不完全市场中美式期权的极大极小定理

此外，X L（Q）在假设（2.2）下有效，在这种情况下，我们可以引入以下映射ρQ:X→ R、 X 7→ supQ公司∈QEQ【X】。如果ρQ（Xn）0表示Xn0 P-a.s，则我们将ρQto从上边的0处连续。。在这一节中，我们想给出一个一般的抽象极大极小关系（1.1），它将是导出主要结果定理2.1的起点。它依赖于以下关键假设。（A） 存在一些λ∈]0，1[对于每个τ，τ∈ Tf \\{0}infA∈Fτ∧τρQ（（A- λ） （Yτ）- Yτ））≤ 0，其中tf表示从t开始的具有有限范围的停止时间集。定理5.1。如果Y=（Yt）0≤t型≤完整填充（2.2），如果ρq从0开始连续，则在假设（A）supτ下∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。定理5.1的证明委托给第6.2节。在这里，我们可以引用定理2.1的假设，即与Q相关的向量测量uqa的范围应相对紧凑w.r.t。sup范数k·k∞. 如下结果表明，该条件本质上暗示了假设（A）。提案5.2。设Y=（Yt）0≤t型≤t满足（2.2），并使ρq0在0处从上方连续。进一步假设t{uQ（A）| A∈ F} 相对k·k∞-契约若为τ，τ∈ Tf \\{0}概率速度(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） 是无原子的，theninfA∈Fτ∧τρQ（（A- 1/2）（Yτ- Yτ））≤ 命题5.2的证明见第6.3.6节，证明（2.2）已填写完毕。注意，在（2.2）Yτ下∈ L（Q）表示τ∈ T（6.1）条件（6.1）意味着对于任何Q∈ co（Q）其Radon-Nikodym导数qdpsatis函数τdQdPis P-可积于每个τ∈ T（6.2）让集合X和映射ρqe在第5.6.1节开始时定义QLet M的拓扑闭包(Ohm, 十） 表示F上的概率测度Q的集合，使得X是Q-可积的X∈ 十、

SetQ˙=Q∈ M级(Ohm, 十） | supX∈十、等式[X]- ρQ（X）≤ 0.明显co（Q）Q、 andQ是凸的，supQ∈QEQ[X]=ρQ（X），对于所有X∈ 十、 （6.3）我们赋予Q最共价拓扑σ（Q，X），使得映射φX:Q→ R、 问题7→ 等式[X]（X∈ 十） 是连续的。在下一步中，我们将研究σ（Q，X）何时是紧的，co（Q）是稠密子集。引理6.1。如果（2.2）成立，并且如果ρQis从abov e到0是连续的，那么σ（Q，X）是紧的。此外，co（Q）是Q的σ（Q，X）-稠密子集，dq是由P证明支配的。让我们装备代数对偶X*具有最粗糙拓扑σ（X*, 十） 这样映射shx:X*→ R、 ∧7→ ∧（X）（X）∈ 十） 是连续的。函数ρQis次线性。然后通过Banach-Alaoglutheorem的一个版本（参见[19，定理1.6]）集合Q˙=Λ ∈ L（Q）*| supX公司∈L（Q）（λ（X）- ρQ（X））≤ 0是紧凑的w.r.t.σ（X*, 十） 。此外，假设ρQis在0处从上方连续。这意味着每个∧∈ 当Xn0时，qsaties∧（Xn）0。因为X是Stoneanvector格，其中包含Ohm, 它生成σ-a代数F，应用Daniell-Stone表示定理得到每个∧∈ cl（{∧Q | Q∈ Q} ）唯一可由概率测度Q∧表示，即Q∧：F→ [0，1]，A 7→ ∧（A）。因此，通过定义Q，我们可以得到Q={∧Q | Q∈Q} ，且∧Q6=∧eQfor Q 6=eQ，（6.4），其中∧Q:X→ R、 X 7→ Q的等式【X】∈Q、 显然，我们可以从QontoQ w.r.t.马球σ（X*, 十） 和σ（Q，X）。特别地，Q是紧w.r.t.σ（X*, 十） 。接下来，{∧Q | Q∈ co（Q）}是X的凸子集*. 我们可以利用双极性定理的一个版本（参见[19，结果1.5]）来观察σ（X*, 十） -闭包cl（{∧Q | Q）∈ {∧Q | Q的co（Q）}）∈ co（Q）}与Q、 因此（6.4）使我们能够从cl（{∧Q | Q）定义同胚∈ co（Q）}）ontoQ w.r.t.拓扑σ（X*, 十） 和σ（Q，X）。

因此co（Q）是σ（X*, 十） -Q的稠密子集，根据拓扑σ（Q，X）的定义，Q很可能由P支配。这就完成了证明。现在考虑以下新的优化问题maximize infQ∈QEQ[Yτ]在τ上∈ T，（6.5）和最小化supτ∈Q上的TEQ[Yτ]∈Q、 （6.6）鉴于（6.3），我们得出（6.5）与相应的w.r.t.Q和co（Q）具有相同的最优值。提案6.2。在假设（2.2）下，我们有SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]。将问题（6.6）的最优值与相应的w.r.t.co（Q）进行比较更难处理。为了准备，让我们生成一个序列（Yk）k∈Nofstochastic processesYk˙=（Ykt）0≤t型≤TviaYkt˙=（Yt∧ k）∨ (-k） 。它们都适用于（Ft）0≤t型≤T、 引理6.3。如果满足（2.2），并且如果ρQis从0开始连续，则Limk→∞supQ公司∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]- supτ∈TEQ[Ykτ]= 0.证明。对于τ∈ T和k∈ N我们可以观察到Y*∈ X乘以（2.2）和| Yτ-Ykτ|≤{Y*>k}Y*- k.然后是SUPQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]- supτ∈TEQ[Ykτ]≤ supQ公司∈Qsupτ∈TEQ[| Yτ-Ykτ|]≤ supQ公司∈量化宽松{Y*>k}Y*- k（6.3）=ρQ{Y*>k}·Y*- k适用于任何k∈ N、 最后，{Y*>k}·Y*- k0，因此引理6.3的陈述紧随其后，因为ρQis假设从0开始是连续的。在下一个提供步骤中，我们将用过程Yk替换（6.6）中的过程Y。我们想看看o最优值何时与相应问题w.r.t.co（Q）的最优值重合。引理6.4。如果（2.2）保持不变，且i fρQis在0处从上方连续，则infq∈Qsupτ∈TEQ[Ykτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ]f或每k∈ N、 证明。让k∈ N、 和fix Q∈Q、 鉴于引理6.1，其Radon-Nikodym导数dQ/dPis在{dQ/dP | Q的弱闭包中∈ co（Q）}，被视为上L-空间的子集(Ohm, F、 P）。此外，通过引理6.1，集合{dQ/dP | Q∈ co（Q）}是（Ohm, F、 P）。

然后根据Eberlein-Smulian定理（参见例[20]），我们可以选择一个序列（Qn）n∈Nin co（Q）使LIMN→∞方程n【X】=limn→∞EhXdQndPi=EhXdQdPi=EQ[X]（6.7）适用于每个P-本质有界随机变量X。让我们介绍F上与P等价的概率测度集。然后，对于任何Q∈ Petheσ-代数F包含F和Q（A）的所有空集∈ {0，1}对everyA有效∈ F、 特别是，设置所有停止时间的tqw.r.t(Ohm, 英尺，（英尺）0≤t型≤T、 Q）与Q的T重合∈ 体育课。还要注意（Ykt+k）0≤t型≤这是一个非负、有界、右连续和（Ft）自适应过程，它是准左上半连续的w.r.t.每Q∈ 体育课。这里必须理解准左上半连续性w.r.t.Q，因为我们定义了它w.r.t.t oP。因此，由Fatou引理lim supm→∞公式[Ykτm+k]≤ 等式[Ykτ+k]对每个Q有效∈ pem（τm）m∈对于某些τ满足τmτ的T中的Nis a序列∈ T然后我们可以利用[16，提案B.6]得出结论 Q∈ 体育课 τ ∈ T：等式[Ykτ+k]=supτ∈TEQ[Ykτ+k]。（6.8）让我们表示Q∈ co（Q）和λ∈]0，1[由Qλ定义的viaP Radon-Nikodym导数的概率测度t ivedQλdP˙=λdQdP+（1- λ).通过这种构造，我们可以引入setsQλ˙={Qλ| Q∈ co（Q）}（λ）∈]0，1[）。显然，这些集合包含在Pe中。现在，定义λ∈]0，1[序列（fn，λ）n∈Nofmappingsfn，λ：T→ R、 τ7→ 公式λn【Ykτ+k】。注意序列（fn，λ）n∈λ的Nis一致有界∈]0，1[因为| Ykτ+k |≤ 每τ2k∈ T（6.9）我们想将Simons引理（参见[22，引理2]）应用于每个序列（fn，λ）n∈N、 为此，需要显示固定λ∈]0，1[我们可以找到（fn，λ）n的任何可数凸组合∈Nsome最大化器。So let（λn）n∈Nbe[0，1]中的一个序列，带P∞n=1λn=1。我们可以通过以下方式确定∞Xn=1λnQλn（A）=Q（A），每A∈ F上属于Pe的Fa概率测度。

然后利用单调收敛定理∞Xn=1λnfn，λ（τ）=∞Xn=1λnZ∞Qλn（{（Ykτ+k）>x}）dx=Z∞Q（{（Ykτ+k）>x}）dx=τ的等式[Ykτ+k]∈ T（6.10）此外，根据（6.8），存在一些τ*∈ T因此∞Xn=1λnfn，λ（τ*) = 公式[Ykτ*+ k] =supτ∈TEQ[Ykτ+k]=supτ∈T∞Xn=1λnfn，λ（τ）因此，满足了Simons引理（参见[2 2，引理2]）的假设，因此我们可以得出上τ∈Tlim支持→∞fn，λ（τ）≥ inff公司∈co（{fn，λ| n∈N} ）supτ∈Tf（τ），其中co（{fn；λ| n∈ N} ）表示{fn，λ| N的凸包∈ N} 。对于任何凸组合f=Pri=1λifni，λ，概率测度Q˙=Pri=1λiqni是co（Q）的一个成员，f（τ）=等式λ[Ykτ+k]表示τ∈ T因此，在一次上举τ∈Tlim支持→∞公式λn【Ykτ+k】≥ infQ公司∈Qλsupτ∈TEQ[Ykτ+k]。另一方面，通过（6.7）supτ∈Tlim支持→∞公式λn【Ykτ+k】=supτ∈TλEQ【Ykτ+k】+（1- λ） E[Ykτ+k].因此由（6.9）和（Ykt+k）0的非负性得出≤t型≤Tλsupτ∈TEQ[Ykτ+k]+（1- λ） 2公里≥ supτ∈TλEQ【Ykτ+k】+（1- λ） E[Ykτ+k]≥ infQ公司∈Qλsupτ∈TEQ[Ykτ+k]=infQ∈co（Q）supτ∈TλEQ【Ykτ+k】+（1- λ） E[Ykτ+k]≥ λinfQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ+k]。然后通过发送λ1supτ∈TEQ[Ykτ+k]≥ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ+k]和thussupτ∈TEQ[Ykτ]≥ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ]。这就完成了证明，因为Q是从Q和co（Q）中任意选择的 Q保持不变。我们准备提供以下标准，以确保（6.6）的最优值与相应问题w.r.t.co（Q）的最优值一致。提案6.5。填写Le t（2.2）。如果ρQis从0开始连续，则infq∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。证据首先infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]≤ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]因为co（Q）Q

然后我们通过引理6.4得到每k∈ N0号≤ infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]- infQ公司∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]引理6.4=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]- infQ公司∈co（Q）supτ∈TEQ[Ykτ]+infQ∈Qsupτ∈TEQ[Ykτ]- infQ公司∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]≤ 2·supQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]- supτ∈TEQ[Ykτ]命题6.5的陈述紧接着引理6.3.6.2定理5.1的证明，如前一小节所定义。证明的思想是首先验证问题（6.5）和（6.6）的双重性，然后应用命题6.2和命题6.5。关于问题（6.5）和（6.6）的极大极小关系，如果ρQis在0以上连续，我们可以将考虑减少到具有有限范围的停止时间。引理6.6。如果Y全填充（2.2），并且如果ρQis从0开始连续，则（i）supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]；（二）infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]。此处，TF表示从T到有限范围的所有停车时间集。证据对于τ∈ 我们可以通过τ[j]（ω）：=min{k/2j | k来定义∈ N、 τ（ω）≤ k/2j}∧ Ta序列（τr[j]）j∈Nin tf满足τ[j]τ逐点，并通过Ylimj路径的右连续性→∞Yτ[j]（ω）（ω）=任何ω的Yτ（ω）（ω）∈ Ohm. （6.11）为了证明声明（i），让我们确定任何τ∈ T然后| Yτ-Yτ[j]|→ j为0点→ ∞由于（6.11）。SetbYk˙=supj≥k | Yτ- Yτ[j]|对于k∈ N、 这定义了序列（bYk）k∈Nof随机变量BYKON(Ohm, F、 P）满足| bYk |≤2支持∈[0，T]| Yt |因此它们属于L（Q）。从k0开始，由于ρQis在0处从上方连续，我们得到0≤ ρQ（| Yτ）- Yτ[j]|）≤ ρQ（bYj）→ j为0→ ∞.因此（6.3）0≤ | infQ公司∈QEQ[Yτ]- infQ公司∈QEQ[Yτ[j]]|（6.3）≤ ρQ（| Yτ）- Yτ[j]|）→ j为0→ ∞,和thussupτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]≥ 林姆杰→∞infQ公司∈QEQ[Yτ[j]]=infQ∈QEQ[Yτ]。停止时间τ是任意选择的，因此我们可以得出upτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]≥ supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]≥ supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]，其中最后一个不等式由于Tf而明显 T

因此，见表（一）。为了证明陈述（ii），让我们对任何ε>0进行拟合。然后对于任意Q∈Q我们可能会发现一些τ∈ T使SUPτ∈TEQ[Yτ]- ε<等式[Yτ]。（6.12）我们有Yτ[j]→ j的点方向Yτ→ ∞, 和| Yτ[j]|≤ 支持∈[0，T]| Yt |对于每个j∈ N、 因此，在（2.2）中，我们可以应用支配收敛定理得出结论→∞EQ[Yτ[j]]=EQ[Yτ]，因此由（6.12）supτ∈TfEQ[Yτ]≥ 林姆杰→∞EQ[Yτ[j]]=EQ[Yτ]>supτ∈TEQ[Yτ]- ε.让ε0，我们得到supτ∈TfEQ[Yτ]≥ supτ∈TEQ[Yτ]≥ supτ∈TfEQ[Yτ]，其中，由于Tf，la st不等式是平凡的 T由于Q是任意选择的，所以语句（ii）紧随其后。证明是完整的。在下一步中，我们要显示supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]。提案6.7。让（2.2）充满。如果ρQis从0开始连续，则根据第5supτ节的假设（A）∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]。证据按假设1/k→ k的Y点方向→ ∞.然后是SUPL≥千日元/升- k的Y |0点方向→ ∞,和supl≥千日元/升-Y |∈ L（Q）由于（2.2）和supl≥千日元/升-Y |≤ 2支持∈[0，T]| Yt |。由于ρQis从0开始连续，我们可以得出0≤infQ公司∈QEQ【Y1/k】- infQ公司∈QEQ[年]≤ supQ公司∈QEQ[| Y1/k- Y |]≤ ρQsupl公司≥千日元/升- Y型|→ k为0→ ∞.特别是SUPτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈Tf \\{0}infQ∈QEQ[Yτ]，（6.13）和infq∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈Tf \\{0}EQ[Yτ]。（6.14）我们想将K"onig的极大极小定理（参见[17，定理4.9]）应用于映射：Q×Tf \\{0}→ R、 （Q，τ）7→ 均衡器[-Yτ]。为了准备，我们赋予Q第6.1小节中定义的拓扑σ（Q，X）。然后通过σ（Q，X）和（6.1）的定义，我们可以观察到（·，τ）是连续的w.r.t。σ（Q，X）对于τ∈ Tf \\{0}。（6.15）通过Q的凸性（见（6.3）），我们也可以观察到Q，Q∈ Q、 λ∈ [0, 1], τ ∈ Tfh（λQ+（1- λ） Q，τ）=λh（Q，τ）+（1- λ） h（Q，τ）。

（6.16）鉴于K"onig的minimax结果以及（6.15）、（6.16）和引理6.1，当满足以下性质时，仍需进行研究。 λ ∈]0, 1[  τ, τ∈ Tf \\{0}：infτ∈Tf \\{0}supQ∈Qh（Q，τ）- λh（Q，τ）- (1 - λ） h（Q，τ）≤ 0（6.17）根据假设（A），存在一些λ∈]0，1[对于τ，τ∈ Tf \\{0}infA∈Fτ∧τρQ（（A- λ） （Yτ）- Yτ））≤ 0。（6.18）接下来，定义任意τ，τ∈ Tf \\{0}和A∈ Fτ∧τ映射τA˙=Aτ+Ohm\\Aτ。SinceFτ∧τ Fτ∩ Fτ，我们得到∈ Fτifor i=1、2和{τA≤ t}=A.∩ {τ≤ t}∪Ohm \\ A.∩ {τ≤ t}∈ Ftfor t∈ [0，T]。尤其是τA∈ Tf \\{0}用于∈ Fτ∧τ、 因此，根据（6.3）和（6.18）infτ∈Tf \\{0}supQ∈Qh（Q，τ）- λh（Q，τ）- (1 - λ） h（Q，τ）≤ infA公司∈Fτ∧τsupQ∈Qh（Q，τA）- λh（Q，τ）- (1 - λ） h（Q，τ）（6.3）=infA∈Fτ∧τρQ（A）- λ） （Yτ）- Yτ）(6.18)≤ 这显示了（6.17），并且通过K"onig极小极大定理，我们得到了infτ∈Tf \\{0}supQ∈量化宽松[-Yτ]=infτ∈Tf \\{0}supQ∈Qh（Q，τ）。鉴于（6.13）和（6.14），这就完成了命题6.7的论证。现在，我们准备好展示定理5.1。定理5.1的证明：在定理5.1的假设下，我们可以应用命题6.2和命题6.5来获得supτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TinfQ公司∈co（Q）EQ[Yτ]和infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]=infQ∈co（Q）supτ∈TEQ[Yτ]。此外，根据引理6.6和命题6.7，我们有SUPτ∈TinfQ公司∈QEQ[Yτ]=supτ∈TfinfQ公司∈QEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TfEQ[Yτ]=infQ∈Qsupτ∈TEQ[Yτ]。现在，定理5.1的陈述紧随其后。6.3命题5.2的证明充分满足命题5.2显示的假设。固定任意ε>0。观察| Yτ- Yτ|{| Yτ-k的Yτ|>k}1409; 0→ ∞. 由于ρQis从0开始连续，我们可以选择一些k∈ N使得ρQ|Yτ- Yτ|{| Yτ-Yτ|>k}≤ ε/3. （6.19）随机变量| Yτ- Yτ|{| Yτ-Yτ|≤k} 是有界的，因此我们可以在(Ohm, F、 P）具有满足SUPω的有限范围∈Ohm（Yτ（ω）- Yτ（ω））{| Yτ-Yτ|≤k} （ω）- X（ω）≤ ε/3（参见例如。

【18，提案22.1】）。尤其是Y˙=Yτ- YτρQeY{| eY|≤k}- 十、≤ supω∈Ohm|eY（ω）{| eY|≤k} （ω）- X（ω）|≤ ε/3. （6.20）由于X的范围有限，因此存在沿方向不相交的B，Br公司∈ F和λ，λr∈ 例如X=Pri=1λiBi。现在，让（Ak）k∈Nbe F中的任何序列。我们可以通过假设uQ（Ak∩ Bi）k∈Nis相对k·k∞-i=1时紧凑，所以存在一个子序列（aφ（k））k∈Nand f，fr公司∈ l∞（Q） 使|uQ（AД（k）∩ Bi）- 菲克∞---→k→∞每i 0∈ {1，…，r}。然后是SUPQ∈Q | EQ[AИ（k）·X]-rXi=1λifi（Q）|≤rXi=1 |λi | kuQ（AД（k）∩ Bi）- 菲克∞---→k→∞0。这意味着等式【A·X】Q∈Q | A∈ F相对k·k∞-契约（6.21）接下来，让我(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） 表示上的L-空间(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） ，而我们使用符号L∞(Ohm, Fτ∧τ、 PF |τ∧τ） 对于所有P | Fτ的空间∧τ-本质有界随机变量。后一个空间将配备弱*-拓扑σ（L∞τ∧τ、 Lτ∧τ). 由于概率空间(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） 假设是无函数的，我们已经从[15，引理3]知道{A | A∈ Fτ∧τ} 是σ（L∞τ∧τ、 Lτ∧τ） -密集子集 由allZ组成∈ L∞(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） 满足0≤ Z≤ 每年1次。。特别是，我们可能会发现净（Ai）i∈Isuch that（Ai）i∈I收敛到1/2 w.r.t.σ（L∞τ∧τ、 Lτ∧τ). 根据（6.21），有一个子网（Ai（j））j∈Jsuch thatlimjsupQ∈Q | EQ[Ai（j）X]- f（Q）|=0对于某些f∈ l∞（Q） 。进一步注意，EXdQdP | Fτ∧τ属于L(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） 对于每个Q∈ Q、 这意味着任何Q∈ Qf（Q）=limj→∞等式[Ai（j）X]=limj→∞EAi（j）XdQdP= 林姆杰→∞EAi（j）EXdQdPFτ∧τ= EEXdQdPFτ∧τ/2.= 均衡器X/2.亨塞苏普∈Q等式[Ai（j）X]- 均衡器X/2< 对于某些j，ε/3∈ J

（6.22）我们可以通过ρQalong与（6.19）、（6.20）和（6.22）ρQ的次线性直接观察到（Ai（j）- 1/2）·（Yτ- Yτ）≤ ρQ（Ai（j）- 1/2）·eY>k+ ρQ（Ai（j）- 1/2）·（eY≤ k- X）+ ρQ（Ai（j）- 1/2）·X≤ ρQ|eY>k |）+ρQ|eY公司≤ k- X个|+ ρQ（Ai（j）- 1/2）·X≤ ε/3+ε/3+ε/3=ε，其中eY>k˙=eY·{| eY |>k}andeY≤ k˙=eY·{| eY|≤k} 。因此，我们展示了Ninfa∈Fτ∧τρQ（A）- 1/2）·（Yτ- Yτ）≤ ε，通过发送ε0完成证明。6.4定理2.1的证明首先注意，对于τ，τ∈ Tf \\{0}，有一些t>0使得Ft Fτ∧τ. 因此，假设（2.1）概率空间(Ohm, Fτ∧τ、 P | Fτ∧τ） 对于τ是无原子的，τ来自Tf \\{0}。然后，根据命题5.2和定理5.1，还需要显示以下辅助结果。引理6.8。充分满足假设（2.2），并将uq的范围设为相对k·k∞契约如果ρQ（Y*{Y*>a} （）→ 0表示→ ∞, 然后ρQis从0开始连续。证据Let（Xn）n∈Nbe X中的任何非递增序列，其中Xn0 P-a.s.，a且ε>0。作为X的成员，我们可能会发现一些C>0，因此0≤ Xn公司≤ 十、≤ C（Y*+ 1） n的P-a.s∈ N、 那么对于任何N∈ N和每k∈ N我们可以通过ρQ0的次线性来观察≤ ρQ（Xn）≤ ρQ（Xn·{Y*≤k} ）+ρQ（Xn·{Y*>k} （）≤ ρQ（Xn·{Y*≤k} ）+ρQ（C（Y*+ 1） ·{Y*>k} （）≤ ρQ（Xn·{Y*≤k} ）+2CρQ（Y*·{Y*>k} ）。（6.23）接下来，注意Xn·{Y*≤k}n∈Nis一致有界于某个常数say Ckfor anyk∈ N、 然后用xk，N˙=Xn·{Y*≤k} 我们得到k，n∈ N0号≤ ρQ（Xk，n）=supQ∈QZ公司∞QXk，n>xdx公司≤ZCksupQ∈QQXk，n>xdx。（6.24）现在fix k∈ N和x∈]0，Ck[。因为假定uQis的范围相对紧凑w.r.t.k·k∞, 我们可以找到任何子序列uQXk，（i（n））>xn∈Na进一步的子序列uQXk，（j（i（n）））>xn∈Nsuch thatlimn公司→∞supQ公司∈Q |uQXk，j（i（n））>x（Q）- fk（Q）|→ 0对于某些fk∈ l∞（Q） 。此外，QXk，j（i（n））>xn为0→ ∞ 如果Q∈ Q、 这意味着fk≡ 0，因此supQ∈QQXk，n>xn为0→ ∞.