风险最小化交易对手风险对冲

我们可以重复上述递归过程，并在t上建立马尔可夫过程（X（t），H（t））∈ 【^τn】-1，^τn），直到n=n+1。如果t≥ ^τN+1，池中的所有名称都已默认。使用Lando（1998）第4节中给出的论点，我们得出结论（X（t），H（t））t≥0是所需的马尔可夫过程。2.2可违约索赔我们引入形式主义来描述本文处理的可违约索赔类别。该规范足够通用，可以容纳一大类投资组合信用衍生品，其中的信用估值调整可以计算。定义2.1。设ξ（z），a（z），z（z）和K（z），z∈ S、 成为可测量的功能。T>0时的默认分类是四重分类（ξ，A，Z，K），其中随机变量ξ：=ξ（H（T）），过程A（T）：=A（H（T））和Z（T）：=Z（H（T）），用于T∈ [0，T]。过程K（t）：=K（H（t）），t∈ [0，T]是正G-停止时间？τ的指标函数，即它认为K（T）=1？τ≤t、 可违约索赔组成部分的财务含义从分割或总现金流流程的定义中变得清晰。该过程描述了在其寿命（0，T）内，即在时间0启动合同后，由可违约索赔评级的所有现金流基因。此后，我们引入以下符号saj（T）：=a（Hj（T）），Zj（T）：=Z（Hj（T）），Kj（T）：=K（Hj（T）），（8），其中Z表示∈ S、 zj：=（z，…，zj-1, 1 - zj，zj+1，zN+1），j=1，N+1（9）是通过将z的第j个分量从0变为1来获得的，反之亦然。定义2.2。股息过程D=（D（t））t≥0与T等于到期的可违约索赔（ξ，a，Z，K）相关，对于每T≥ 0，D（t）=ξ（1- K（T））1[T，∞)（t） +Zt∧T（1- K（u））a（u）du+Zt∧TZ（u）dK（u）。从上述定义可以清楚地看出，过程D=（D（t））t≥0具有有限的变化。它承认以下财务解释：r.v。

ξ是承诺的报酬，a=（a（t））t≥0表示预分配股息的过程，过程Z：=（Z（t））t≥0指定指标处理K=（K（t））t时交付的支付≥0从0更改为1。请注意，我们允许质量依赖于defaultprocess H，并且流程Z不被假定为G-可预测的。这种设置不同于earlierworks，参见instanceBielecki et al.（2008），并允许我们使用相同的一般框架来对冲更大范围的可诽谤索赔的交易对手风险，包括那些其恢复过程取决于原子上不可预测的停止时间的索赔。2.3示例拟议的框架可以专门处理一类信贷衍生品，投资者通常使用这些衍生品来对冲风险。在不损失道德的情况下，假设所考虑合同的名义金额为1。默认强度。对于i=1，N+1，假设第i个参考实体的默认强度遵循动态dXI（t）=（κi- νiXi（t））dt+KXk=1σkpXi（t）dWk（t）+dJi（t），Xi（0）=χi>0。（10） 参数κi，νi，i=1，N+1和σk，k=1，K、 是满足以下Feller边界分类条件的正常数：2κi≥PKk=1σk，对于i=1，N+1。这意味着假设（A2）成立。在两个连续的de故障事件之间，默认强度mea n恢复到κjνj>0给出的长期水平。这捕获了经验观察到的违约强度的时间衰减效应。当一个企业i破坏时，企业j的默认强度会立即向上跳跃。传染效应以指数速度衰减。信用掉期投资组合o.考虑信用违约掉期合同的投资组合，其参考实体用“1”、“2”、“2”表示。。。，“N”和rec投资者的交易对手用“N+1”表示。

在修订违约掉期合同中，保护分支机构承诺支付合同规定的利差溢价εI>0，直至参考实体的违约时间τio或合同到期时间T中的最早者。保护卖方支付损失率Li（t）：=Li（H（t））∈ （0，1）倍于第i个参考实体违约时的给定名义金额。该损失率可能取决于投资组合的违约状态。考虑所有信用违约掉期的到期日均相同T>0的情况，我们从保护卖方的角度来看支付。i=1的四倍（ξi，ai，Zi，Ki，N+1，具体如下：ξi=0，ai（t）=-εi，Zi（t）=Li（t），Ki（t）=Hi（t），即Ki（t）=Hi（t）是第i个参考实体的默认时间（(R)τi=τi）的指示器。根据定义2.2，第i期CDS股息过程的r表示为di（t）=-εiZt∧T（1- Hi（u））du+Zt∧TLi（u）dHi（u）=-εi（t∧ T∧ τi）+Li（τi）1τi≤t型∧T、 （11）风险债券组合。考虑由公司“1”、“2”和……承销的息票支付债券组合。。。，“N”。公司i债券的卖方收到承诺的息票付款εi>0，直到公司i到期或违约的最早日期。如果公司i未违约T，则卖方还收到名义付款。如果公司i在到期日T之前违约，债券持有人将收到回收率R（T）：=1- Li（H（t））∈ [0，1）在τi到期时违约。该恢复率可能取决于投资组合的默认状态。然后，我们得到了i=1，…，N的四倍（ξi，ai，Zi，Ki），具体如下：ξi=1，ai（t）=εi，Zi（t）=Ri（t）=1- Li（t），Ki（t）=Hi（t），即Ki（t）=Hi（t）是第i个参考实体的默认时间（(R)τi=τi）的指示器。

定义2.2之后，第i种风险债券的股息过程表示为di（t）=（1- Hi（T））1t≥T+εiZt∧T（1- Hi（u））du+Zt∧三（u）dHi（u）=（1- Hi（T））1t≥T+εi（T∧ T∧ τi）+Ri（τi）1τi≤t型∧T、 （12）优先违约索赔。在t-to-default掉期中，保护买方将向保护卖方支付价差ε>0的补偿款。作为回报，保护卖方将被要求在任何一个参考实体“1”、。，“N”在合同于T到期之前违约。仅对第一个违约的实体进行付款，即付款为Li（t）：=Li（H（t））∈ （0，1）如果我是第一个违约的实体。这项交易通常是由一家希望对冲其对多家不同公司风险敞口的公司执行的。假设名义金额为一，让我们从保护卖方的角度来查看支付。然后，我们有四个（ξ，a，Z，K）具体如下：ξ=0，a（t）=-ε、 Z（t）=NXi=1Li（t）Hi（t），K（t）=1-NYi=1（1- Hi（t）），即“τ=τ”∧ · · · τN.引理2.2。第一次违约索赔的股息过程承认比亚迪（t）=-ε（t∧ T∧ \'τ）+NXi=1Li（\'τ）1τi=\'τ\'τ≤t型∧T、 （13）式中，τ=τ∧ · · · τ是第一个默认时间。3收益过程和CVA代表在本节中，我们研究一般可违约索赔的交易对手风险对冲，包括portfoliocredit衍生品。对冲工具是一种信用违约掉期，参考风险y交易对手“N+1”。在整篇论文中，我们将利率设定为零。这种假设允许我们避免不必要的符号混乱，并突出主要的概率力。

整个分析可以直接推广到非零利率的情况。套期保值框架的建立包括以下步骤。第3.1节研究了定义2.1中规定的可违约索赔的价格表示和收益过程（或累积价格过程）的动态。第3.2节描述了索赔的信用估值调整（CVA），并导出了与CVA相关的停止支付流的表示。3.1价格和收益过程let（ξ，a，Z，K）是定义2.1中的可违约索赔。对于任何固定时间t∈ [0，T]，过程（D（u）- D（t））u∈[t，t]表示区间[t，t]内可违约索赔（ξ，a，Z，K）产生的所有现金流。这一过程可能取决于索赔的过去行为以及时间t之前的市场历史。很明显，过去的现金流不是由市场来估价的，因此可违约索赔时间t的市场价值只反映了在时间间隔（t，t）内要支付/接收的未来现金流。价格过程（S（t，t））t∈可违约索赔（ξ，a，Z，K）的[0，T]在默认时间τ等于Z（\'τ），在默认时间τ后等于零，即S（T，T）=0，在{T>\'τ}。在{τ>t}上，违约前价格由其风险中性的股息支付支出给出，即∈ [0，T]，S（T，T）=ED（T）- D（t）燃气轮机. （14） 上文中，E表示定价措施Q下的预期。相应地，默认索赔的收益过程（ξ，a，Z，K）（参见alsoFrey和Schmidt（2012）的相关定义）为∈ [0，T]，Y（T）：=E[D（T）| Gt]。（15） 注意，Y（t）=S（t，t）+D（t）（在{τ>t}上），即收益过程由当前市场价值和股息支付的总和给出。

根据定义2.2，可违约索赔的股息过程（ξ，a，Z，K）由以下公式给出，对于t∈ [0，T]，D（T）=ξ（1- K（T））1t=T+Zt（1- K（u））a（u）du+ZtZ（u）dK（u）。（16） 接下来，我们研究（14）给出的时间-时间价格S（t，t）的表示，这将用于描述以下小节中可违约索赔组合的CVA表示。提案3.1。对于t∈ [0，T]，由（14）给出的时间T价格S（T，T）允许以下表示：S（T，T）=1t6=T∧（T，X（T），H（T））+∧（T，X（T），H（T））- Z（t）K（t），（17），其中，对于（t，x，Z）∈ [0，T]×RN+1+×S，∧（T，x，z）：=Et，x，z[ξ（1- K（T））]，∧（T，x，z）：=Et，x，zZ（T）K（T）+ZTt（1- K（u））a（u）du（18）-N+1Xj=1ZTtK（u）[Zj（u）- Z（u）]（1- Hj（u））Xj（u）du.上文中，我们使用了缩写词Et，x，z[·]：=E[·| x（t）=x，H（t）=z]表示条件期望，我们还记得式（9）中定义了Zj（u）。证据使用公式（16），它认为，对于t∈ [0，T]，D（T）- D（t）=ξ（H（t））（1- K（T））1t6=T+ZTt（1- K（u））a（u）du+ZTtZ（u）dK（u）。那么从公式（14）可以得出，对于t∈ [0，T]，S（T，T）=E“ξ（H（T））（1- K（T））1t6=T+ZTt（1- K（H（u）））a（H（u））du+ZTtZ（H（u））dK（H（u））Gt#。注意，（Z（H（t）））t∈[0，T]和（K（H（T）））T∈[0，T]是纯跳跃过程。利用分部积分，得出Z（H（T））K（H（T））=Z（H（T））K（H（T））+ZTtZ（H（u））dK（H（u））+ZTtK（H（u-))dZ（H（u））。（19） 另一方面，It^o的公式给出了u∈ [t，t]，dZ（H（u））=N+1Xj=1[Z（Hj（u-)) - Z（H（u-))]dHj（u）=N+1Xj=1[Z（Hj（u-)) - Z（H（u-))]dMj（u）+N+1Xj=1[Z（Hj（u））- Z（H（u））]（1）- Hj（u））Xj（u）du。对于j=1，N+1，回想一下Mj=（Mj（t））t∈[0，T]是由式（4）给出的G-鞅。

因此，theequality（19）y ields thatZTtZ（H（u））dK（H（u））=Z（H（T））K（H（T））- Z（H（t））K（H（t））-ZTtK（H（u-))dZ（H（u））=Z（H（T））K（H（T））- Z（H（t））K（H（t））-N+1Xj=1ZTtK（H（u-))[Z（Hj（u-)) - Z（H（u-))]dMj（u）-N+1Xj=1ZTtK（H（u））[Z（Hj（u））- Z（H（u））]（1）- Hj（u））Xj（u）du。这导致了由S（t，t）=F（t，X（t），H（t））给出的价格表示- Z（H（t））K（H（t）），其中f（t，x，Z）：=Et，x，Zξ（H（T））（1- K（H（T）））1t6=T+Z（H（T））K（H（T））+ZTt（1- K（H（u）））a（H（u））du-N+1Xj=1ZTtK（H（u））[Z（Hj（u））- Z（H（u））]（1）- Hj（u））Xj（u）du, （20） 利用该对（X，H）是一个G适应的马尔可夫过程。然后，价格表示（17）来自于价格函数F（t，x，z）的分解，F（t，x，z）=1t6=t∧（t，x，z）+∧（t，x，z），（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S.（21）这完成了引理的证明。接下来，我们描述了（18）中给出的函数∧和∧，并进一步研究了增益过程Y=（Y（t））t的动力学∈公式（15）给出的可违约索赔（ξ，a，Z，K）的[0，T]。为此，对于α=（α，α，α）∈ R、 考虑以下由，on（t，x，z）给出的向后递归问题系统∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AFα（t，x，z）+α（1- K（z））a（z）- αN+1Xj=1K（z）[z（zj）- Z（Z）]（1- zj）xj=0（22），终端条件fα（T，x，z）=αξ（z）（1- K（z））+αz（z）K（z），（x，z）∈ RN+1+×S.（23）在上述表达式中，运算符A是马尔可夫过程（X，H）的生成器。它是一个微分算子，作用于每个z的光滑函数f（·，z）∈ S、 并由Af（x，z）给出：=▄Af（x，z）+N+1Xj=1f（x+wj，zj）- f（x，z）(1 - zj）xj，（24）其中权重向量wj=（wij）i=1，。。。，N+1，并回顾默认状态zjhas已在Q中定义。(9). 二阶微分算子A定义为（x，z）∈ RN+1+×S，~Af（x，z）：=u（x）Dxf（x，z）+tr[（σσ)（x） Dxf（x，z）]，（25），并且在假设（A2）下是一致椭圆的。根据等式。

（24），我们可以用以下等价形式重写Cauchyproblem（22）：0=t+~AFα（t，x，z）+α（1- K（z））a（z）- αN+1Xj=1K（z）[z（zj）- Z（Z）]（1- zj）xj+N+1Xj=1Fα（t，x+wj，zj）- Fα（t，x，z）(1 - zj）xj。（26）接下来，我们用默认状态z来说明后向Cauchy问题系统（26）的递归结构∈ S、 回想一下，z=0j，。。。，jl表示向量，其中零个条目exc e pt用于设置为1的组件sj6=j，···6=jl。显然，0j，。。。，jN+1=eN+1（这里eN+1表示所有条目都等于1的规范行向量）。对于任何可测函数f（t，x，z），定义于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，对于l=0，1，N+1，setf（l）（t，x）：=f（t，x，0j，…，jl），f（l+1），i（t，x）：=f（t，x，0j，…，jl，i），i/∈ {j，…，jl}。（27）我们还设置f（0）（t，x）：=f（t，x，0）。我们区分了两种情况：ol=N+1，即所有名称都已默认。在这种情况下，柯西问题（26）简化为t+~AF（N+1）α（t，x）+α（1- K（N+1））a（N+1）=0（28），终端条件F（N+1）α（T，x）=αξ（N+1）（1- K（N+1））+αZ（N+1）K（N+1），对于所有x∈ RN+1+。不难看出，该解接受由，for（t，x）给出的闭式表示∈[0，T]×RN+1+，F（N+1）α（T，x）=αξ（N+1）（1- K（N+1））+αZ（N+1）K（N+1）+α（1- K（N+1））a（N+1）（T- t） 。(29)o 0 ≤ l≤ N、 即名称j，JL已默认。然后柯西问题（26）变成了0=t+~AF（l）α（t，x）-Xj公司/∈{j，…，jl}xjF（l）α（t，x）+α（1- K（l））a（l）- αXj/∈{j，…，jl}K（l）[Z（l+1），j- Z（l）]xj+xj/∈{j，…，jl}F（l+1），jα（t，x+wj）xj。（30）终端条件由F（l）α（T，x）=αξ（l）（1）给出- K（l））+αZ（l）K（l）对于所有x∈ RN+1+。

注意，如果l=N，则F（l+1），jα（t，x）=F（N+1）α（t，x），如（29）所示。接下来，我们证明了Cauchy问题（30）有唯一的有界经典解F（l）α（t，x），如果Cauchy问题（26）有唯一的有界经典解F（l+1），如果z=0j，…，则jα（t，x），。。。，jl，jfor j/∈{j，…，jl}。主要结果在以下提案中陈述，其证明推迟到附录中。提案3.2。假设（A1）和（A2）成立。假设在默认状态z=0j，。。。，jl，jforj/∈ {j，…，jl}，柯西问题（26）在[0，t]×RN+1+上有唯一的有界经典解F（l+1），jα（t，x）。然后在默认状态z=0j，。。。，jl，柯西问题（26）在[0，t]×RN+1+上有唯一有界经典解F（l）α（t，x）。此外，该解允许f（l）α（t，x）给出以下递归表示=αξ（l）（1）- K（l））+αZ（l）K（l）Ee-RTt公司主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）杜邦+ α(1 - K（l））a（l）E“ZTte-Rst公司主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duds#（31）+Xj/∈{j，…，jl}E“ZTtX（t，X）j（s）F（l+1），jα（s，~X（t，X）（s）+wj）- αK（l）（Z（l+1），j- Z（l））×e-Rst公司主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）哑弹#。上面，基本的RN+1+值过程（~X（t，X）（s））s∈[t，t]是SDE（3）的唯一强解。使用上述命题3.2和Feynman-Kac公式，可以将（18）中定义的函数∧（t，x，z）和∧（t，x，z）识别为：∧（t，x，z）=F（1,0,0）（t，x，z），∧（t，x，z）=F（0,1,1）（t，x，z）。（32）ga在过程中的动力学Y=（Y（t））t∈可违约索赔（ξ，a，Z，K）的[0，T]可以很容易地从命题3.2中获得。证据见附录。引理3.3。假设假设假设（A1）和（A2）成立。公式（15）定义的增益过程满足以下动力学，对于t∈ [t，t]，dY（t）=V（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）（33）+N+1Xj=1Gj（t，X（t-), H（t-)) - K（t-)[Zj（t-) - Z（t-)]dMj（t）。对于j=1。

，N+1，Mj=（Mj（t））t∈[0，T]是由等式（4）给出的G-默认鞅。对于（t，x，z）∈[0，T]×RN+1+×S，V（T，x，z）：=DxF（1,1,1）（T，x，z），Gj（T，x，z）：=F（1,1,1）（T，x+wj，zj）- F（1,1,1）（t，x，z），（34）对于j=1，N+1。函数F（1,1,1）（t，x，z）是柯西问题（22）和（23）递归系统的唯一经典解，其中我们设置了α=（1，1，1）。我们使用DxF（1,1,1）（t，x，z）来表示F（1,1,1）（t，x，z）w.r.t.x的梯度（列）向量∈ RN+1+。3.2信贷估值调整（CVA）信贷估值调整（CVA）是交易对手风险的市场价格，见Brigo et al.（2014）；卡波尼（20 13）。我们的目标是计算投资组合信贷估值调整的动态对冲，包括定义2.1中给出的格式的有限数量的可违约债权。定义3.1。让\\N≥ 1、对于每个i=1，\'N+1，设（ξi，ai，Zi，Ki）为可违约索赔，定义为2.1，其中Ki（t）=Ki（H（t））=1'τi≤t对于t∈ [0，T]和‘τi’s，i=1，N+1是正的Gstopping时间，因此K（t），K'N+1（t）不同时跳转。我们称（ξi，ai，Zi，Ki）i=1，。。。，\'N+1可违约索赔组合。示例3.4。我们提供了可违约索赔组合的具体示例（ξi，ai，Zi，Ki）i=1，。。。，\'N+1由例2.3中考虑的权利要求组成。CD订单。对于i=1，N+1，我们有ξi=0，ai（t）=-εi，Zi（t）=Li（t），Ki（t）=Hi（t）。（35）就定义3.1而言，我们有‘N=N，’τi=τifor i=1，N+1。风险债券组合。对于i=1，N、 我们得到ξi=1，ai（t）=εi，Zi（t）=1- Li（t），Ki（t）=Hi（t）；（36）ξN+1=0，aN+1（t）=-εN+1，ZN+1（t）=LN+1（t），KN+1（t）=HN+1（t）。至于CDS投资组合，我们也有\'N=N，\'τi=τifor i=1，N+1。第一个默认索赔。