风险最小化交易对手风险对冲

因此，我们验证了方程域上的条件【A3’】成立。通过假设（A1）和（A2），可以满足系数u（x）和σ（x）的条件[A1]和[A2]。这也意味着[A3a\']成立。此外，由于σσ（x） 在假设（A1）和（A2）下是连续可逆的，σσ（x） 是（t，x）×Dn上的一致椭圆，即[A3b\']成立。注意，f（l+1），jα（t，x+wj）是有界的，而C1,2in（t，x）是由归纳假设得到的。此外，注意h（x）在x中是线性的。然后，系数h（x）上的条件[A3c\']和[A3d\']在（t，x）上的条件w（t，x）∈ [0，T]×d满足。最后，我们需要验证[A3e]。为此，需要证明（ZTtw（s，~X（t，X）（s））e族的一致可积性-Rsth（￠X（t，X）（u））哑铃；（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。（91）事实上，根据归纳次命题that F（l+1），jα（t，x）是非负的，并且对于所有j，其有界于[0，t]×RN+1+/∈ {j，…，jl}，存在一个与（t，x）无关的常数C>0，这样对于所有（t，x）∈ [0，T]×RN+1+我们有ZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 总工程师中兴通讯-Rst（主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u））du1+Xj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）ds公司≤ 2CT+2CE中兴通讯-Rst（主键/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u））dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du≤ 2CT+2C1 +Ehe公司-RTt（Pk/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u））dui≤ 2CT+4C。（92）这就产生了一个常数C>0的存在性，与（t，x）无关，因此SUP（t，x）∈[0，T]×RN+1+EZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ C<+∞.这就产生了族（91）的一致可积性。这意味着健康和Schweizer（2000）的条件[A3e\']是满足的。利用健康和Schweizer（2000）的定理1，等式（90）在[0，t]×RN+1+上承认了唯一的经典解u（t，x）。此外，该解允许（31）给出的概率表示。

此外，估计值（9 2）意味着（31）给出的概率表示对所有（t，x）都有界∈ [0，T]×RN+1+。这就完成了命题的证明。引理3.3的证明。由式（16）得出，d（T）=ξ（H（T））（1- K（T））+ZT（1- K（u））a（u）du+ZTZ（u）dK（u）。利用部分积分（19），我们得到了d（T）=ξ（H（T））（1- K（H（T））+ZT（1）- K（H（u）））a（u）du+Z（H（T））K（H（T））- Z（H（0））K（H（0））-ZTK（H（u-))dZ（H（u））。由于K（0）=0，它遵循命题3。2 thatY（t）=F（1,1,1）（t，X（t），H（t））+Zt（1- K（u））a（u）du-ZtK（H（u-))dZ（H（u））。（93）F（1,1,1）（t，x，z）是由，on（t，x，z）给出的后向Cauchy问题递归系统的唯一有界经典解∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AF（1,1,1）（t，x，z）+（1- K（z））a（z）-N+1Xj=1K（z）[z（zj）- Z（Z）]（1- zj）xj=0（94），终端条件f（1,1,1）（T，x，z）=ξ（z）（1- K（z））+z（z）K（z），（x，z）∈ RN+1+×S.（95）应用It^o公式，我们得到F（1,1,1）（t，X（t），H（t））=F（1,1,1）（0，X（0），H（0））+ZtN+1Xj=1K（H（u））[Z（Hj（u））- Z（H（u））]（1）- Hj（u））Xj（u）- (1 - K（H（u）））a（H（u））du+ZtDxF（1,1,1）（u，X（u），H（u））σ（X（u））dW（u）+N+1Xj=1Zt[F（1,1,1）（u，X（u-) + wj、Hj（u-)) - F（1,1,1）（u，X（u-), H（u-))]dMj（u）。使用公式（93），我们推导出dy（t）=DxF（1,1,1）（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）+N+1Xj=1[F（1,1,1）（t，X（t-) + wj、Hj（t-)) - F（1,1,1）（t，X（t-), H（t-))]dMj（t）-N+1Xj=1K（H（t-))[Z（Hj（t-)) - Z（H（t-))]dMj（t）。这将产生增益过程的动力学（33）。命题4.1的证明。该证明是Schweizer（2001）定理2.4的一个简单扩展，适用于支付链具有随机交付状态的情况。Let^1*= (θ*, η*) 成为inEq定义的战略。(58). 然后是V^1*（t） ：=θ*（t） YN+1（t）+η*（t） =V（t）- Θ（t），因此从等式s（54）和（57）中，它保持sthatcД*（t） =V（t）-ZtθGKW（u）dYN+1（u）=E[Θ（T∧ τN+1）]+A（t），这意味着CД*结果是一个与YN+1强正交的G-鞅。

根据Schweizer（2001）的引理2.3，我们可以限制自己考虑自我融资策略。设Д=（θ，η）∈ ψ是平均自我融资策略0-实现，即VД（τN+1∧ T）=0，然后从公式（54）中，得出CД（T∧ τN+1）- CΘ（t）=Θ（t∧ τN+1）- Θ（t）- VД（t）-ZT公司∧τN+1t∧τN+1θ（u）dYN+1（u）。（96）由于Д是平均自我融资，CД是G-鞅，这意味着通过应用公式（54），VД（t）+Θ（t）是G-鞅。请注意，VД（τN+1∧ T）+Θ（τN+1∧ T）=Θ（τN+1∧ T）。那就这样吧，福特∈ [0，T∧ τN+1]，VΘ（t）+Θ（t）=E[Θ（t∧ τN+1）| Gt]。使用公式（57），我们得到t∈ [0，T∧ τN+1]thatVД（t）+Θ（t）=E[Θ（t∧ τN+1）]+ZtθGKW（u）dYN+1（u）+A（t）。将上述显示器插入等式（96），我们到达atCД（T∧ τN+1）- CД（t）=ZT∧τN+1t∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）+A（T∧ τN+1）- A（t）。类似地，它对t保持that∈ [0，T∧ τN+1]，CД*（T∧ τN+1）- C^1*（t） =A（t∧ τN+1）- A（t）。作为顺序，对于t∈ [0，T∧ τN+1]，并利用YN+1和A之间的强正交性，我们得到了Rν（t）=Rν*（t） +EZT公司∧τN+1t∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）！燃气轮机+ E“（A（T∧ τN+1）- A（t））ZT∧τN+1t∧τN+1[θGKW（u）- θ（u）]dYN+1（u）！Gt#=R#*（t） +EZT公司∧τN+1t∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）！燃气轮机. （97）因此，它认为RΓ（t）≥ R^1*（t） ，则， t型∈ [0，T∧ τN+1]，对于任何平均自我融资和0-实现策略Д=（θ，η）∈ Ψ.我们现在证明了唯一性。如果存在不同的平均自我融资和0-实现策略Д=（θ，η）∈ ψ，这是一个lso风险最小化，然后通过等式（97）我们得到ZT公司∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））dYN+1（u）= E“ZT∧τN+1（θGKW（u）- θ（u））d hYN+1，YN+1i#=0这意味着θGKW（t）=θ（t），对于a.e.t∈ [0，T∧ τN+1]。最后，公式（60）后面是公式（57）以及YN+1和A之间的理论正交性b。理论证明4.2。在不丧失一般性的情况下，我们为所有z设置LN+1（z）=1∈ S

然后在默认状态z=0j，。。。，jl，我们可以用以下抽象形式重写等式（63）：on（t，x）∈ [0，T）×RN+1+，t+~Au（t，x）+h（x）u（t，x）+w（t，x）=0（98），所有x的终端条件u（t，x）=0∈ RN+1+。系数由h（x）给出：=-Xj公司/∈{j，…，jl}xj，w（t，x）：=(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）F（1,1,1）i（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）- Z（l+1），N+1iK（l+1），N+1i+×xN+1j，。。。，jl6=N+1+Xj/∈{j，…，jl}g（l+1），j（t，x+wj）xj。我们还想应用定理1 o fHealth和Schweizer（2000）证明PDE（98）的经典解的存在性和唯一性，通过验证条件系列【A1】、【A2】、【A3’]和【A3a’]-【A3e’】在我们的情况下成立。为此，我们首先考虑有界域Dn=（n，n）n+1，n∈ N、 具有光滑的拐角，以满足∪∞n=1Dn=RN+1+。然后，我们可以验证条件[A3\']在方程的域中是否成立。使用假设（A1）和（A2），条件【A1】和【A2】成立。同样的假设也意味着[A3a\']不存在。此外σσ（x） 是（t，x）×Dn上的一致椭圆，即[A3b\']成立。注意，解g（l+1），j（t，x+wj）是有界的，C1,2in（t，x）是由j的归纳假设确定的/∈ {j，…，jl}。函数F（1,1,1）i（t，x）也是有界的，对于i=1，…，C1,2in（t，x），根据第3.2条的规定。注意，h（x）在x中是线性的。然后，系数h（x）和w（t，x），（t，x）上的条件[A3c\']和[A3d\'）∈ 满足[0，T]×Dn。剩下来验证[A3e\']。为此，需要证明族（ZTtw（s，~X（t，X）（s））e的一致可积性-Rsth（￠X（t，X）（u））哑铃；（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。（99）以上，基本的N+1维RN+1+值过程X（t，X）（t）=（X（t，X）j（t））j=1，。。。，N+1统计数据（3）。首先考虑N+1的情况∈ {j，…，jl}。

由于归纳假设函数g（l+1），j（t，x）在[0，t]×RN+1+上有界，因此存在一个常数C>0，使得ZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 总工程师ZTt公司Xj公司/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）e-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duds= 总工程师中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du≤ C1 +Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dui≤ C、 其中C>0且独立于（t，x）。接下来，考虑N+1的情况/∈ {j，…，jl}。还要注意，函数F（1,1,1）i（t，x）也是有界的，对于i=1，…，C1,2in（t，x），提案3.2中的“N”。因此，存在一个常数C>0，这样EZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 总工程师中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duX（t，X）N+1（s）+Xj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）ds公司.使用假设（A2）和sinc e N+1∈ {j，…，jl}c，它认为▄X（t，X）N+1（s）≤主键/∈ {j，…，jl}X（t，X）k（s），a.s。。这意味着ZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ 4CE中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du≤ 4C级1 +Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dui≤ 4C，其中C>0且独立于f（t，x）。因此，我们验证了一个常数C>0的存在性，该常数与（t，x）无关，如thatsup（t，x）∈[0，T]×RN+1+EZTtw（s，~X（t，X）（s））相对（~X（t，X）（u））哑弹≤ C<+∞.这就产生了族（99）的一致可积性。这意味着Health和Schweizer（2000）的条件[A3e\']成立。利用Health定理1和Schweiz-er（2000），我们得出如下结论：式（98）a在[0，t]×RN+1+上给出了唯一的经典解u（t，x）。接下来，我们证明了解是非负的且在[0，T]×RN+1+上有界。我们首先写出经典解u（t，x）的费曼卡表示。

对于ll（t，x）∈ [0，T]×RN+1+，u（T，x）=E“ZTte-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）g（l+1），j（t，▄X（t，X）j（s）+wj）+(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）F（1,1,1）i（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）- Z（l+1），N+1iK（l+1），N+1i+××X（t，X）N+1（s）1j，。。。，jl6=N+1！ds#。（100）此外，如果N+1∈ {j，…，jl}，则等式（100）减少了tou（t，x）=E中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj公司/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）g（l+1），j（t，▄X（t，X）j（s）+wj）ds公司.由于非负函数g（l+1），j（t，x）是基于[0，t]×RN+1+的归纳假设，因此存在一个常数C>0，使得0≤ u（t，x）≤ CXj公司/∈{j，…，jl}E“ZTtX（t，X）j（s）E-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duds#=CE中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du= Cn1- Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）对。显然，上述不等式得到了常数C>0的存在性，使得0≤ u（t，x）≤ 全部为C（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。接下来，考虑N+1的情况/∈ {j，…，jl}。由（100）可知，u（t，x）=E“ZTte-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）g（l+1），j（t，▄X（t，X）j（s）+wj）+(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）F（1,1,1）i（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）- Z（l+1），N+1iK（l+1），N+1i+××X（t，X）N+1（s）！ds#。使用假设（A2），存在一个常数C>0，使得0≤ u（t，x）≤ 总工程师中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）duXj公司/∈{j，…，jl}X（t，X）j（s）+X（t，X）N+1（s）ds公司.自N+1起∈ {j，…，jl}c，根据（A2）的假设，X（t，X）N+1（s）≤主键/∈ {j，…，jl}X（t，X）k（s），a.s。。这意味着0≤ u（t，x）≤ 2CE中兴通讯-RstPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）dudZstXj/∈{j，…，jl}X（t，X）j（u）du= 2Cn1- Ehe公司-RTtPk公司/∈{j，…，jl}X（t，X）k（u）对。显然，上述不等式给出了常数C>0，使得0≤ u（t，x）≤ 全部为C（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。这就完成了定理的证明。参考Sait Sahalia，Y.，T.R。

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