风险最小化交易对手风险对冲

我们得到ξ=0，a（t）=ε，Z（t）=NXi=1Li（t）Hi（t），K（t）=1-NYi=1（1- Hi（t））；（37）ξ=0，a（t）=-εN+1，Z（t）=LN+1（t），K（t）=HN+1（t）。因此，根据定义3.1，我们得到了“N=1，”“τ=τ”∧ · · · ∧ τNand？τ=τN+1。对于i=1，N+1和t∈ [0，T]，设Si（T，T）为投资组合中第i个可违约索赔（ξi，ai，Zi，Ki）的时间T价格。根据命题3.1和式（32）中的表达式，对于i=1，…，它如下所示，\'N+1，在{τi>t}上，Si（t，t）=1t6=TFi；（1,0,0）（t，X（t），H（t））+Fi；（0,1,1）（t，X（t），H（t））- Zi（t）Ki（t）。（38）上述功能Fi；（1,0,0）（t，x，z）和Fi；（0,1,1）（t，x，z）是下列后向Cauchy问题递归系统的唯一有界经典解，其中我们分别设置α=（1，0，0）和α=（0，1，1）：on（t，x，z）∈ [0，T）×RN+1+×S，t+A金融机构；α（t，x，z）+α（1- Ki（z））ai（z）- αN+1Xj=1Ki（z）[Zi（zj）- Zi（z）]（1- zj）xj=0（39），终端条件为Fi；α（T，x，z）=αξi（z）（1- Ki（z））+αZi（z）Ki（z），（x，z）∈ RN+1+×S.（40）接下来，我们使用可违约索赔组合生成的价格过程序列推导CVA过程的分析表示。我们首先确定投资者对交易对手的风险敞口（假定无违约），“N+1”。这表示如果其交易对手“N+1”在t之前或t时违约，套期保值者将遭受的损失。由εN（t，t）：=\'NXi=1biSi（t，t），（41），其中i=1，N，重量bi∈ R表示投资者购买（bi>0）或出售（bi<0）实体的合同数量。因此，从式（41）可以看出，ε′N（t，t）=NXi=1biSi（t，t）1′τi≥t=(R)NXi=1biSi（t∧ \'τi，T）1\'τi≥t=(R)NXi=1bi(1 - Ki（t））Si（t，t）+Zi（\'τi）1\'τi=t. （42）自K（t）以来。

，K'N+1（t）不会同时跳变（见定义3.1），注意到K'N+1（t）=HN+1（t）是计数的默认指标过程，我们从（42）中得出ε'N（τN+1，t）=NXi=1bi（1- Ki（τN+1））Si（τN+1，T）。（43）可违约索赔组合的CVA由CVA N（t，t）=E给出LN+1（τN+1）1{t<τN+1≤T}{ε′N（τN+1，T）}+燃气轮机,其中x+=x∨ 0表示任意实数x∈ R、 即上述实数x的正部分，LN+1（t）=LN+1（H（t））表示当交易对手“N+1”违约时，投资者产生的损失率百分比。该损失在默认时间τN+1支付。由于我们正在考虑CVA的动态HEDGING，这可以看作是随机区间上的支付流[0，T∧ τN+1]。更准确地说，其支付流Θ=（Θ（t））t∈[0，T]的计算公式为Θ（t）=LN+1（τN+1）1τN+1≤t{ε′N（τN+1，t）}+，t∈ [0，T），Θ（T）=0，T=T，（44），其中风险敞口ε′N（τN+1，T）由等式（43）给出。此处选择的对冲工具是参考缔约方的CDS合同的收益过程。接下来，我们推导收益过程的动力学YN+1=（YN+1（T））T∈[0，T]张CD。重新调用C DS投资组合的表示（ξi，ai，Zi，Ki）i=1，。。。，N+1由公式（35）得出。设Yi（t）：=E[Di（t）| Gt]是i=1，…，的第i个cd的增益过程，N+1。对于等式（35）给出的CDS投资组合，如下所示，对于i=1，N+1，N+1Xj=1Ki（z）[Zi（zj）- Zi（z）]（1- zj）xj=N+1Xj=1zi[Li（zj）- Li（z）]（1- zj）xj=Xj6=izi[Li（zj）- Li（z）]（1- zj）xj。回想一下（39）和（40）给出的柯西问题系统。对于i=1，N+1，考虑以下与CDS投资组合相关的后向Cauchy问题递归系统：on（t，x，z）∈ [0，T）×RN+1+×S，t+AFcdsi（t、x、z）- (1 - zi）εi-Xj6=izi[Li（zj）- Li（z）]（1- zj）xj=0（45），终端条件fcdsi（T，x，z）=Zi（z）Ki（z）=Li（z）Zi，（x，z）∈ RN+1+×S。

（46）因此引理3.3给出了引理3.5。在假设（A1）和（A2）下，对于i=1，N+1，第i个CDS的增益过程Yi（t）=E[Di（t）| Gt]，即与（35）中规定的可违约索赔（ξi，ai，Zi，Ki）相关的，允许以下动力学，对于t∈ [0，T]，dYi（T）=Vcdsi（T，X（T），H（T））σ（X（t））dW（t）（47）+N+1Xj=1Gcdsij（t，X（t-), H（t-)) - 高（t-)[Lji（t-) - Li（t-)]dMj（t）。上面，我们回忆起Li（t）：=Li（H（t））和Lji（t）：=Li（Hj（t））。对于j=1，N+1，过程Mj=（Mj（t））t∈[0，T]是由等式（4）给出的G-默认鞅。对于（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S，Vcdsi（T，x，z）：=DxFcdsi（T，x，z），Gcdsij（T，x，z）：=Fcdsi（T，x+wj，zj）- Fcdsi（t，x，z），（48）对于所有i，j=1，N+1。备注3.6。考虑特殊情况，即Zi（z）=Li（z）=Lifor i=1，N+1，即它们是常数，与默认状态z无关∈ S、 然后，柯西系统（45）减小到，on（t，x，z）∈[0，T）×RN+1+×S，t+AFcdsi（t、x、z）- (1 - zi）εi=0（49），终端条件Fcdsi（T，x，z）=Lizifor（x，z）∈ RN+1+×S。相应地，第i个cd的增益过程yi（t）=E[Di（t）| Gt]允许动态yi（t）=Vcdsi（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）+N+1Xj=1Gcdsij（t，X（t-), H（t-))dMj（t）。（50）引理3.7。与可违约索赔组合的CVA相关的停止支付流（ξi，ai，Zi，Ki）i=1，。。。，\'N+1到期前允许分析表示：Θ（τN+1∧ T）=ZTs<TLN+1N+1（s-) （51）×（(R)NXi=1bi1.- KN+1i（s-)金融机构s、 X（s）-) + wN+1，HN+1（s-))+dHN+1（s），其中Fi（t，x，z）是后向Cauchy问题递归系统（39）的唯一有界经典解，其中我们设置α=（1，1，1），即Fi（t，x，z）：=Fi；（1,1,1）（t，x，z）。我们还回顾了（8）中产生的符号。证据我们从Eq。

（44）对于t∈ [0，T]，Θ（T）=Θ（T）1t<T=LN+1（τN+1）1τN+1≤t{ε′N（τN+1，t）}+t<t。然后我们得到了Θ（τN+1∧ T）=Θ（τN+1）1τN+1≤T=LN+1（τN+1）1τN+1≤τN+1{ε′N（τN+1，T）}+τN+1<TτN+1≤T=LN+1（τN+1）{ε′N（τN+1，T）}+τN+1<T=LN+1（τN+1）{ε′N（τN+1，T）}+τN+1≤T、 我们使用了Si（T，T）=0的事实，对于所有i=1，使用价格表示法（38）。因此，我认为ε′N（T，T）=0。因此，从价格表示（38）可以得出Θ（τN+1∧ T）=ZTLN+1（s）{ε'N（s，T）}+dHN+1（s）=ZTs<TLN+1（s）(R)NXi=1bi（1- Ki（s））Si（s，T）+dHN+1（s）=ZTs<TLN+1（s）（\'NXi=1bi（1- Ki（s））s6=TFi；（1,0,0）（s，X（s），H（s））+Fi；（0,1,1）（t，X（s），H（s））- Zi（H（s））Ki（H（s））]+dHN+1（s）=ZTs<TLN+1（s）（\'NXi=1bi（1- Ki（s））金融机构；（1,0,0）（s，X（s），H（s））+Fi；（0,1,1）（t，X（s），H（s））- Zi（H（s））Ki（H（s））]+dHN+1（s）。（52）通知金融机构；（1,0,0）（t，x，z）+Fi；（0,1,1）（t，x，z）=Fi；（1,1,1）（t，x，z）。因此，它认为Θ（τN+1∧ T）=ZTs<TLN+1（s）(R)NXi=1bi（1- Ki（s））金融机构；（1,1,1）（s，X（s），H（s））- Zi（H（s））Ki（s）+dHN+1（s）=ZTs<TLN+1（HN+1（s-))（(R)NXi=1bi（1- Ki（HN+1（s-)))×金融机构；（1,1,1）（s，X（s-) + wN+1，HN+1（s-)) - Zi（HN+1（s-))Ki（HN+1（s-)))+dHN+1（s）。这产生使用Fi（t，x，z）=Fi的表示（51）；（1,1,1）（t，x，z）和（1- Ki（z））Ki（z）=0。从而完成了引理的证明。4 CVAThis的风险最小化对冲本节研究了表格g iven INDENITION3.1中可违约索赔组合的CVA动态对冲。投资者使用的对冲工具是在投资者的交易对手“N+1”和无风险资产上写的CDS。在我们的不完全市场模型中，无法保证存在完全复制CVA的自我融资战略。

因此，我们选择实施一种最佳的对冲策略，该策略完美地复制了CVA索赔，但成本很低，因此平均而言，它仍然是自我融资的。回想一下，Θ=（Θ（t））t∈[0，T]是与可违约索赔组合相关联的CVA支付流，通过（ξi，ai，Zi，Ki）i=1，。。。，N+1，并在公式（44）中给出。套期保值在CVA付息日之前形成。因此，我们只使用最高达T的套期保值策略∧ τN+1，即CVA索赔的性质与投资方的违约时间之间的最小值。正如Frey和Schmidt（2012）以及Frey和Backhaus（2010）所述，我们使用收益过程作为对冲工具：在我们的框架中，这是由过程YN+1=（YN+1（t））t给出的∈[0，T]在引理3.5中考虑，在选择i=N+1下。也就是说，YN+1=（YN+1（t））t的动力学∈[0，T]由dyn+1（T）=VcdsN+1（T，X（T），H（T））给出σ（X（t））dW（t）（53）+N+1Xj=1GcdsN+1，j（t，X（t-), H（t-)) - HN+1（t-)[LjN+1（t-) - LN+1（t-)]dMj（t）。我们记得VcdsN+1（t，x，z）和GcdsN+1，j（t，x，z）由（48）给出，选择i=N+1。定义4.1。设ψ为所有G-可预测过程的空间θ=（θ（t））t∈[0，T∧τN+1]使得e“ZT∧τN+1θ（t）d hYN+1，YN+1i（t）#<∞.容许的st策略是一个二维过程Д=（θ，η），其中θ∈ ψ和η是实值G-适应过程，因此相关的值过程Vν（t）：=θ（t）YN+1（t）+η（t）在[0，t]上是右连续且平方可积的∧ τN+1]。上面，θ（t）表示在时间t时相对于交易对手持有的风险y CDS合同的收益过程的份额，而η（t）是在时间t时投资于无风险资产的金额。

继Schweizer（2008）调查了确定性时间范围内的支付流案例，以及Biagini和Cretarola（2012）考虑了可被视为随机时间范围内支付流的随机交付日期之后，我们为每个可接受的策略分配了一个成本过程：定义4.2。可接受策略的成本过程CД=（θ，η）由CД（t）：=Θ（t）+VД（t）给出-Ztθ（u）dYN+1（u），t∈ [0，T∧ τN+1），（54），其中Θ（t）在（44）中定义。如果一个可接受的策略的成本过程C是鞅，则该策略被称为平均自我融资。风险过程（即套期保值误差的条件方差）由风险过程（t）：=Eh给出CД（T∧ τN+1）- CД（t）Gti，t∈ [0，T∧ τN+1]。文献中众所周知，paymentstreams风险最小化方法的自然扩展要求寻找具有0-实现特性的可接受策略，即V（τN+1∧T）=0。定义4.3。设Θ为等式（44）中给出的支付流。我们说一个可接受的策略*如果以下条件保持不变，则i风险最小化为Θ：（i）Θ*是0-实现，即V^1*（τN+1∧ T）=0；（ii）Д*最小化可接受策略类上的风险过程R。让我们考虑等式（44）中给出的CVA支付流Θ（t）。注意，对于所有t，Θ（t）是平方可积的∈ [0，T]由于等式（38）给出的价格表示Si（T，T）对于所有i=1，…，都有界，使用命题3.2。因此，我们可以写出Θ（T）的GKW分解∧ τN+1），对应于鞅yn+1。这由Θ（T）给出∧ τN+1）=E[Θ（T∧ τN+1）]+ZT∧τN+1θGKW（u）dYN+1（u）+A（T∧ τN+1），（55），其中θGKWis是关于YN+1的G-可预测可积过程，a是时间零点的鞅零，与YN+1强正交。通过设置V（t）：=E[Θ（t）确定过程V∧ τN+1）| Gt]，t∈ [0，T∧ τN+1]。（56）通过调节Gtin等式。

（55），我们得到v（t）=E[Θ（t∧ τN+1）]+ZtθGKW（u）dYN+1（u）+A（t），t∈ [0，T∧ τN+1]。（57）以下命题（其证明推迟到附录中）建立了Θ（T）的GK W分解之间的联系∧ τN+1）g存在于等式（55）a中，以及与CVA合同相关的付款流Θ（t）a的风险最小化策略。这样的结果将inSchweizer（2001）的定理2.4推广到具有随机交付日期的支付流的情况。对于局部风险最小化的情况，可以在Schweizer（2008）中找到证明。提案4.1。等式（44）给出的支付流Θ承认一种独特的风险最小化策略*=(θ*, η*), t的位置∈ [0，T∧ τN+1]，θ*（t） =θGKW（t）和η*（t） =V（t）- Θ（t）+θGKW（t）YN+1（t）。（58）最优价值过程和最小成本由V给出*（t） =V（t）- Θ（t）和CΘ*（t） =E[Θ（t∧ τN+1）]+A（t）。（59）此外，策略θGKWadmits表示如下，对于t∈ [0，T∧ τN+1]，θGKW（t）=d hV，YN+1i（t）d hYN+1，YN+1i（t）。（60）我们的下一个目标是为过程θGKW=（θGKW（t））t提供更明确的表示∈[0，T∧式（60）中给出的τN+1]。我们开始证明由等式（56）定义的过程V的鞅分解，这将在下面的命题4.3中给出。为此，我们考虑了柯西问题递归系统经典解的存在唯一性，这将对（60）中θGKWgiven过程的描述起到重要作用。我们还研究了这些解的有界性，以确保风险最小化策略与过程θGKWbelongs到定义4.1中给出的空间ψ相关。对于任何z∈ S、 on（t，x）∈ [0，T）×RN+1+，0=t+Ag（t，x，z）+LN+1（zN+1）(R)NXi=1bi（1- Ki（zN+1））Fi（t，x+wN+1，zN+1）+(1 - zN+1）xN+1（61），终端条件g（T，x，z）=0，对于所有（x，z）∈ RN+1+×S。

上面，操作符A由（24）定义，Fi（t，x，z）是系统（39）的唯一有界经典解，其中我们取α=（1，1，1）。重写等式。（61）以更方便的形式：0=t+~Ag（t，x，z）+N+1Xj=1g（t，x+wj，zj）- g（t，x，z）(1 - zj）xj+LN+1（zN+1）(R)NXi=1bi（1- Ki（zN+1））Fi（t，x+wN+1，zN+1）+(1 - zN+1）xN+1，（62），其中A由（25）给出。类似于柯西问题的递归系统（22），我们可以通过默认状态z=0j，…，递归地研究等式（62）的可解性，。。。，JL对于l=0，1，N+1。我们还将g（l）（t，x）和g（l+1），i（t，x）乘以（27），f替换为g。很容易看出，当l=N+1时，公式（62）简化为t+~Ag（N+1）（t，x）=0，对于所有x，终端条件g（N+1）（t，x）=0∈ RN+1+。可以立即验证，这会使溶液g（N+1）（t，x）=0（t，x）∈ [0，T]×RN+1+。在更一般的情况下，z=0j，。。。，JL其中L=0，1，N，我们需要处理以下定义在无界域上的柯西问题：on（t，x）∈ [0，T）×RN+1+，0=t+~Ag（l）（t，x）-Xj公司/∈{j，…，jl}xjg（l）（t，x）+Xj/∈{j，…，jl}g（l+1），j（t，x+wj）xj+l（l+1），N+1N+1(R)NXi=1bi（1- K（l+1），N+1i）Fi（t，x+wN+1，0j，…，jl，N+1）+xN+1j，。。。，jl6=N+1（63），终端条件g（l）（T，x）=0，对于所有x∈ RN+1+。函数g（l+1），j（t，x）是当无故障状态z=0j，…，时Cauchy系统（62）的唯一经典解，。。。，jl，j，代表j/∈ {j，…，jl}。回忆起旋转L（L+1），N+1N+1=LN+1（0j，…，jl，N+1）和K（L+1），N+1i=Ki（0j，…，jl，N+1）表示j，jl6=N+1。可以归纳地证明C auchy问题（63）的（非负）有界经典解的存在性和唯一性，如以下定理所述。证据见附录。定理4.2。假设（A1）和（A2）成立。假设j/∈ {j，…，jl}，l=0，1。

，N，当z=0j，…，时，Cauchy系统em（62）允许唯一（非负）有界经典解g（l+1），j（t，x），。。。，那么Cauchy系统（62）也承认一个唯一的（非负）有界经典解g（l）（t，x），当nz=0j，。。。，jl（即，上述Cauchy问题（63）允许唯一（非负）有界经典解）。利用定理4.2，我们得到了以下由等式定义的过程V的鞅分解。（56）：提案4.3。假设（A1）和（A2）成立。式（56）中定义的过程V允许t的马丁格尔分解∈ [0，T]，V（T）=V（0）+ZtDxg（s，X（s），H（s））σ（X（s））dW（s）+Zts<TLN+1N+1（s-) (64)×(R)NXi=1bi（1- KN+1i（s-))Fi（s，X（s-) + wN+1，HN+1（s-))+dMN+1（s）+N+1Xj=1Ztg（t，X（s-) + wj、Hj（s）-)) - g（t，X（s-), H（s）-))dMj（s）。对于j=1，N+1，我们记得过程Mj=（Mj（t））t∈[0，T]是由等式给出的G-默认m art ingale。（4） ，对于（t，x，z）∈ 函数g（T，x，z）是柯西问题递归系统的唯一非负有界经典解（61）。函数Fi（t，x，z）是递归系统（39）的唯一有界经典解，其中我们设置α=（1，1，1），Dxg（t，x，z）是表示g（t，x，z）w.r.t.x.证明的梯度的列向量。我们首先得到Θ（T）=Θ（τN+1∧ T）和{τN+1>T}上的Θ（T）=0。根据L emma3.7，对于t∈ [0，T∧ τN+1]，它认为v（t）=E[Θ（τN+1∧ T）| Gt]=E“ZTs<TΥsdHN+1（s）Gt#，其中G-可预测过程Υs：=LN+1（HN+1（s-))(R)NXi=1bi（1- Ki（HN+1（s-)))Fi（s，X（s-) + wN+1，HN+1（s-))+.那么我们有v（t）=E“ZTs<tΥsdMN+1（s）Gt#+E“ZTΥs（1- HN+1（s-))XN+1（s-)ds公司Gt#=Zts<TΥsdMN+1（s）+ZtΥs（1- HN+1（s））XN+1（s）ds+V（t）。

（65）以上，过程s V=（V（t））t∈[0，T]定义为，对于T∈ [0，T]，V（T）：=E“ZTtΥs（1- HN+1（s））XN+1（s）dsGt#。接下来，我们将明确描述上述过程V.Let（t，x，z）∈ [0，T]×RN+1+×S和defi neg（T，x，z）：=Et，x，z“ZTtΥS（1- HN+1（s））XN+1（s）ds#。（66）因为（X，H）是一个G-Markov过程，我们得到V（t）=G（t，X（t），H（t））表示t∈ [0，T]。此外，利用费曼-科氏公式，可以得出g（t，x，z）满足柯西问题（61），即on（t，x，z）∈[0，T）×RN+1+×S，0=t+Ag（t，x，z）+LN+1（zN+1）(R)NXi=1bi（1- Ki（zN+1））Fi（t，x+wN+1，zN+1）+(1 - zN+1）xN+1，终端条件g（T，x，z）=0，所有（x，z）∈ RN+1+×S。由于定理4.2，我们可以应用它的o\'S公式，得到（t，X（t），H（t））=g（0，X（0），H（0））+Zts+Ag（s，X（s），H（s））ds+ZtDxg（s，X（s），H（s））σ（X（s））dW（s）+N+1Xj=1Ztg（s，X（s-) + wj、Hj（s）-)) - g（s，X（s-), H（s）-))dMj（s）。那么柯西问题（61）意味着dg（t，X（t），H（t））=-LN+1（HN+1（t））(R)NXi=1bi（1- Ki（HN+1（t）））Fi（t，X（t）+wN+1，HN+1（t））+× (1 - HN+1（t））XN+1（t）dt+Dxg（t，X（t），H（t））σ（X（t））dW（t）+N+1Xj=1g（t，X（t-) + wj、Hj（t-)) - g（t，X（t-), H（t-))dMj（t）。（67）应用分解（65），我们得到了由式（64）给出的V（t）的鞅表示。我们现在准备给出CVA的风险最小化策略。定理4.4。假设（A1）和（A2）成立。唯一风险最小化策略θGKW∈ ψ与风险CDS合同投资相关，参考交易对手“N+1”（见第4.1条），由θGKW（t）=Xi=1Ui（t，X（t）给出-), H（t-))Φ（t，X（t-), H（t-)), t型∈ [0，T∧ τN+1]。