风险最小化交易对手风险对冲

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英文标题：
《Risk-Minimizing Hedging of Counterparty Risk》
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作者：
Lijun Bo, Agostino Capponi, and Claudia Ceci
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study dynamic hedging of counterparty risk for a portfolio of credit derivatives. Our empirically driven credit model consists of interacting default intensities which ramp up and then decay after the occurrence of credit events. Using the Galtchouk-Kunita-Watanabe decomposition of the counterparty risk price payment stream, we recover a closed-form representation for the risk minimizing strategy in terms of classical solutions to nonlinear recursive systems of Cauchy problems. We discuss applications of our framework to the most prominent class of credit derivatives, including credit swap and risky bond portfolios, as well as first-to-default claims.
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中文摘要：
我们研究了信用衍生产品组合中交易对手风险的动态对冲。我们的经验驱动的信贷模型由相互作用的违约强度组成，这些违约强度在信贷事件发生后上升，然后下降。利用交易对手风险价格支付流的Galtchouk Kunita Watanabe分解，我们根据Cauchy问题非线性递归系统的经典解，恢复了风险最小化策略的闭合形式表示。我们将讨论我们的框架在最重要的信用衍生品类别中的应用，包括信用掉期和风险债券组合，以及首次违约债权。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Risk-Minimizing_Hedging_of_Counterparty_Risk.pdf (428.28 KB)

2022-6-1 07:29:58 上传

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关键词：风险对冲 counterparty Applications Quantitative Presentation

交易对手风险最小化对冲李俊波*Agostino Capponi+Claudia Ceci2021年11月17日摘要我们研究信用衍生品组合交易对手风险的动态对冲。我们的经验驱动型信贷模型由相互作用的违约强度组成，这些违约强度在信贷事件发生后上升，然后下降。利用对价支付流的Galtchouk-Kunita-Watanabe分解，我们在Cauchy问题的非线性递归系统的经典解中恢复了风险最小化策略的封闭形式表示。我们讨论了我们的框架在最主要的信用衍生品类别中的应用，包括信用掉期和风险债券组合，以及首次违约索赔。AMS 2000科目分类：60J25、60J7、60H30、91B28。关键词和短语：风险最小化；GALTCHUK Kunita Watanabe分解；柯西问题的非线性递推系统；交易对手风险。1引言我们研究了对开信用衍生产品的缔约方风险的动态套期保值。绝大多数文献都关注交易对手风险的评估，在本文中简称为CVA；有关调查，请参见alsoCapponi（2013）。尽管动态对冲交易对手风险在决策者和金融业中具有重要意义，但关于这一主题的文献仍然不够完善。大量文献研究了使用均值-方差策略对可违约债权的动态对冲，但并没有考虑合作伙伴风险。Bielecki et al.（2004a）和Bielecki et al.（2004b）在经典的Markowitz均值方差投资组合选择框架的基础上，引入了一个在不完全市场中对冲风险的框架。

他们分析了二次套期保值方法，并考虑了适用于违约自由市场信息以及包括违约事件在内的收益率的策略。Bielecki等人（2008年）考虑了一个由布朗运动驱动的简化形式框架，并表明通过连续滚动交易信用违约互换（CDS）合同可以实现p-e-rfect套期保值。Frey和Backhaus（2010）在信息不完整的动态信用风险模型下分析了合成CDO份额的套期保值，考虑到违约传染和利差风险。在本文中，他们使用风险最小化方法，并选择单名信用掉期作为其动态交易工具。我们从风险最小化的角度研究了与无违约投资者和可违约交易对手之间交易的组合信贷衍生品相关的交易对手风险。风险最小化是一种水龙对冲方法，通常用于不完全金融市场中的衍生品对冲，它保持了可复制性约束，但放松了自我融资条件。准确地说，风险最小化策略是平均自我融资（平均自我融资），并将通过标准未来对冲成本的条件预期值衡量的相关风险最小化。它与Galtchouk Kunita Watanabe（GWK）对用作对冲工具的风险资产的索赔分解密切相关。F¨ollmer和Sondermann（19 85）在Martingale情形中引入了一般框架，然后在Schweiz er（1988）中将其推广到半鞅情形。

我们指的是Schweizer*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，西安电子科技大学数学与统计学院，西安710071，中国；中国科技大学数学与统计学院，合肥，安徽省，230026+电子邮件：ac3827@columbia.edu，美国纽约哥伦比亚大学工业工程与运筹学系，邮编：10027，邮编：c。ceci@unich.it，意大利佩斯卡拉切蒂佩斯卡拉“G.d\'Annunzio”大学经济系，邮编：65127。Canabarro（2010）认为，全球金融危机期间经历的高市场波动性给CVA的动态对冲带来了挑战。（2001）进行调查。该方法随后被扩展到包括inSchweizer（2008）的支付流。我们提出了一个直接无过错传染的一般模型，该模型考虑了过去违约对幸存企业违约强度的影响。我们的模型可以专门用于捕获通过实证研究确定的违约相关性的主要来源。例如，Azizpour等人（2017年）通过基于历史公司违约数据的统计分析记录了违约传染的时间衰减效应。通过为默认强度函数选择线性规格，在故障瞬时影响上升后，幸存企业的默认强度将随时间恢复到其长期平均值。我们考虑一般类型的可违约债权组合的合作伙伴风险对冲，包括风险管理部门经常使用的信用衍生品类别，如CDS投资组合、riskybonds投资组合和首次违约债权。我们选择对冲工具作为（可违约）交易对手的信用掉期。我们的选择符合目前的市场惯例。

主要衍生工具公司通常使用信用掉期对冲交易对手的风险敞口（Gregor y（2010），见章节2.4），市场参与者在相当大的市场困境期间强烈要求这些合同。信用掉期的流动性通常高于相应债券的流动性，这使得它们能够更好地实施具有成本效益的对冲策略。套期保值仅在投资组合到期日和缔约方违约时间的最早期限内执行，即如果投资组合到期或交易对手违约触发或有付款，套期保值终止。本文的主要概念新颖之处在于开发了一个综合框架，该框架同时处理（i）违约反馈增强的违约强度模式l（见命题2.1），以及（ii）动态为跳跃分散型的对冲工具（CDS）的分红过程。早期研究（Biagini和Cretarola（2007）、Bia gini和Cretarola（2009）、Biagini和Cretarola（2012）和Ceci等人（2017））考虑了具有连续交易的对冲工具，并使用了扩大过滤方法。Ceci et al.（2015）的工作考虑了在跳跃式差异化过程后，通过无违约交易工具对欧洲衍生工具进行套期保值。与toFrey和Schmidt（2012）类似，我们直接在风险中性的马汀啤酒（定价）指标下工作。因此，交易对手CDS的gainor累积价格过程是一个鞅。这种设置允许我们考虑风险最小化，而不是局部风险最小化。Frey和Schmidt（201 2）也采用风险最小化方法，但假设条件独立的违约时间，其强度取决于不可观测的随机事实r。

信贷风险建模二次套期保值方法的其他相关研究包括采用结构性违约模型的Deokhrati等人（20 14）和考虑脆弱的欧洲未定权益的Wang等人（2016）。我们的工作中有几项技术贡献，下面概述。我们提出了一个具有衰减传染强度的相互作用强度模型，并通过构造分段随机微分方程（SDE）的解序列来建立其数学存在性。我们讨论了如何通过CVA支付流的GKW分解的被积函数给出最优套期保值策略（见Proposition4.1和定理4.4）。这样一个步骤对于将风险最小化方法应用到我们的环境中是至关重要的。我们通过推导交易对手风险价格支付流的条件期望的马丁格尔表示，获得了风险最小化对冲策略的明确公式（请参阅Proposition4.3）。这表示为柯西问题非线性递归系统的唯一光滑解。这些Cauchy问题定义在无界域上，具有非Lipschitzcoefficient，并通过经济的默认状态联系在一起。该部分微分方程组（PDE）的非线性继承自CVA的非线性结构。本文还对非线性偏微分方程理论做出了其他技术贡献。我们的解决方法是在固定时空数据点的任何邻域上，改进由费曼-卡茨表示的解族的一致可积性。这样的属性允许我们将Health和Schweizer（2000）的存在性和唯一性结果应用到我们的规范设置中。论文的其余部分组织如下。第2节发展了模型。第3节讨论了收益过程和CVA表示。

第4节研究风险最小化CVA对冲策略。第5节专门介绍我们的框架，以具体的组合信贷衍生品。第6节结束。一些技术性许可委托给附录。2模型我们假设存在N个风险实体，称为名称“1”，名称“2”，。。。，名称“N”。我们使用“N+1”表示合同中投资者的交易对手。第2.1节开发了交互默认强度模型。第2.2节阐述了一般违约索赔的表述。2.1交互默认强度模型默认强度过程是交互跳跃扩散过程。跳跃反映了企业违约对幸存企业违约强度的传染性影响。让(Ohm, F、 Q）是具有风险中性概率测度Q的概率空间。Le t W（t）=（Wj（t））j=1，。。。，K、 t型≥ 0，是K维布朗运动，假设存在N+1平方可积正随机变量χ，χ，χN+1。设F=（F（t））t≥0，F（t）=σ（W（s）；s≤ t）∨ σ（χi；i=1，…，N+1）。用H（t）=（H（t），HN+1（t））N+1维违约指示过程，即如果名称i在时间t之前或时间t时违约，则Hi（t）=1，否则为零。这意味着进程的状态空间H=（H（t））t≥0由S给出：={0，1}N+1。相应地定义过滤比n Hi=（Hi（t））t≥0对于i=1，N+1，其中Hi（t）=σ（Hi（s）；s≤ t） 。全球市场过滤，包括违约事件信息，由G=（G（t））t给出≥0=F∨ H∨ · · · ∨ HN+1由所有Q-null集加总，以满足通常的条件。pas t缺省值对name i缺省强度的影响由purejump processJi（t）捕获：=N+1Xj=1wijHj（t），t≥ 0

（1） 权重向量的第i项wj=（wij）i=1，。。。，N+1∈ [0, ∞)N+1测量名称i的缺省值对名称j的缺省强度的影响程度。接下来，我们介绍了具有衰减传染强度的交互强度模型。在风险中性概率测度Q下，默认强度过程满足相互作用SDE系统，对于i=1，N+1，dXi（t）=ui（X（t））dt+KXk=1σik（X（t））dWk（t）+dJi（t），Xi（0）=χi.（2）和X（t）=（Xi（t））i=1，。。。，t的N+1≥ 0.如果权重wijis较高，则名称j的默认值会在本质上增加名称i的默认值强度。如果对于足够多的i，wij较高，则在名称j默认值后的短时间内发生多个错误的概率较高。这抓住了文献中经验记录的去故障聚类现象（例如，参见Azizpour等人（2017））。通过本文，我们对式（2）的系数施加以下条件：（A1）系数u（x）=（ui（x））i=1，。。。，N+1和σ（x）=（σik（x））i=1，。。。，N+1；k=1，。。。，Kare局部Lipchitz在x中线性增长∈ RN+1+，R+：=（0，∞). 此外，det（（σσ)（x） ）6=0 forx∈ RN+。（A2）对于（t，x）∈ [0，T]×RN+1+，设▄Xt，x（s）=（▄Xt，xi（s））i=1，。。。，N+1满足▄Xt，x（t）=x，对于s∈ [t，t]，d▄Xt，x（s）=u（▄Xt，x（s））ds+σ（▄Xt，x（s））dW（s）。（3） 然后它认为Q（~Xt，x（s）∈ RN+1+适用于所有s∈ [t，t]）=1。根据inProtter（2005）中的定理V.38，条件（A1）意味着SDE（3）具有唯一的（stro ng）解，而条件（A2）保证▄Xt，x=（▄Xt，x（s））s≥如果数据在时间t为三次正，则总是严格为正。此外，这意味着第i个违约强度过程Xi=（Xi（t））t≥0是严格肯定的，另请参见下面的命题2.1。

条件det（（σσ)（x） ）6=0 in（A1）意味着马尔可夫过程的最小生成元是一致椭圆的，参见Health和Schweiz e r（2000）中的引理3。我们假设二元过程（X，H）=（X（t），H（t））t≥0是具有s状态空间RN+1+×s的Mar kovian。具体而言，对于每个i=1，N+1且t>0，H（t）过渡到其邻国Hi（t）：=（H（t），你好-1（t），1- Hi（t），Hi+1（t），HN+1（t）），状态依赖速率为1{Hi（t）=0}Xi（t）。然后，第i个名称的默认时间由τi给出：=inf{t>0；Hi（t）=1}，其中inf = +∞ 按惯例。等效Hi（t）=1τi≤t对于t≥ 很容易看出Mi（t）：=Hi（t）-Zt公司∧τiXi（s）ds，t≥ 0（4）是一个Q-鞅。据我们所知，文献中尚未研究此默认模型的数学存在性。命题2.1证明了这种过程的存在。提案2.1。在假设（A1）和（A2）下，存在唯一的满足（1）、（2）和（4）的RN+1+×S值和G-适应的马尔科夫过程（X，H）。证据我们首先介绍方便的符号。我们使用z=0j，。。。，jl表示通过将条目j6=j，···6=jl的零向量转换为1而获得的向量。显然，0j，。。。，jN+1=eN+1（这里eN+1表示所有条目都等于1的标准行向量）。我们为t构造（X（t），H（t））≥ 0迭代。更准确地说，对于i=1，N+1，我们首先考虑由dx（0）i（t）=ui（X（0）（t））dt+KXk=1σik（X（0）（t））dWk（t），X（0）i（0）=χi>0给出的以下SDE。（5） 这里X（0）（t）=（X（0）i（t））i=1，。。。，t的N+1≥ 假设（A1）和（A2）意味着SDE（5）含有唯一的强解，对于每个i=1，…，该强解是严格正的，N+1。设（ξij；i，j=1，…，N+1）是独立的标准指数分布随机变量，它也独立于K维布朗运动。

在初始时间，没有出现默认值，即H（0）=0。然后，当N+1个名称中的任何一个默认值第一次用^τ表示，并由^τ：=mini=1，。。。，N+1τ1i，τ1i：=inft>0；ZtX（0）i（u）du≥ ξ1i, i=1，N+1。对于i=1，N+1，我们设置Xi（u）=X（0）i（u），H（u）=H（0）=0 w he N u∈ [0，^τ）。此外，定义：=arg mini=1，…，N+1τ1，并设X（1）i（t）=0表示t≥ ^τ. 对于i∈ {1，…，N+1}\\{i}，考虑以下SDE:≥ τ，X（1）i（t）=X（0）i（τ）+Ztτui（X（1）（u））du+KXk=1Ztτσik（X（1）（u））dW（1）k（u）+wii。（6） 这里W（1）k（t）：=Wk（t+^τ）- Wk（^τ）a和X（1）（t）=（X（1）i（t））i=1，。。。，t的N+1≥ 假设（A1）和（A2）意味着等式（6）承认t上的唯一正强解X（1）i（t）≥ ^τ，因为wii>0。此外，我们将第二个默认时间定义为^τ：=最小∈{1，…，N+1}\\{i}τ2i，τ2i：=inft型≥ ^τ;Zt^τX（1）i（u）du≥ ξ2i, 我∈ {1，…，N+1}\\{i}。类似于t上的（X（t），H（t））的上述构造∈ [0，^τ），对于u∈ 【^τ，^τ】，我们为所有i设置Xi（u）=X（1）i（u）∈ {1，…，N+1}\\{i}，H（u）=H（τ）=0i。此外，集合i：=arg mini∈{1，…，N+1}\\{i}τ2i。更一般地，对于n=3，N、 第N个默认时间由^τN指定：=最小值∈{1，…，N+1}{i，…，in-1} τni，τni：=inf（t≥ ^τn-1.Zt^τn-1X（n-1） i（u）du≥ ξni），i∈ {1，…，N+1}{i，…，in-1}.在我之上，在里面-1以类似于I的方式定义，并遵循递归过程。对于i∈ {1，…，N+1}{i，…，in-1} ，对于t≥ ^τn-1，X（n-1） i（t）=X（n-2） i（^τn）-1） +Zt^τn-1ui（X（n-1） （u）du+KXk=1Zt^τn-1σik（X（n-1） （u））dW（n-1） k（u）+Xj∈{i，…，in-1} wij（7）带W（n-1） k（t）：=Wk（t+^τn-1) - Wk（^τn）-1） 和X（n-1） （t）=（X（n-1） i（t））i=1，。。。，t的N+1≥ 假设（A1）和（A2）意味着等式（7）允许一个唯一的正解sincePj∈{i，…，in-1} wij>0。