回溯测试预期短缺：一个简单的配方？

历史VAR估计中使用的损益向量假设；参见第2节进行讨论。特别要注意的是，在VAR情况下，Remark2.1中提出的归一化方案对TNA的价值没有影响，违约仅由yi符号确定；很容易证明1{eyi<0}=1{yi<0}，这反过来意味着nw相对于归一化方案的不变性。为了评估市场风险资本计算的内部模型的性能，监管机构根据一年中观察到的回溯测试br each的数量确定了三个区域。1%VAR参考风险度量的正确指定模型预计将在n=250（营业）天内产生2或3个违约。围绕预期违规数量构建一个约束带，内部模型（IM）被称为处于：-绿色区域，如果违规数量少于5个：在正确的模型下，预计90%左右的情况会发生，并对应于Tn∈ [0.00，0.02）；-如果违规数量在5到9之间，则为黄色区域：在正确的模型下，预计约有10%的情况下会发生这种情况，并对应于Tn∈ [0.02，0.04）；-红色区域，如果有10个或10个以上的违规行为：在正确的模型下，预计发生的违规行为不到所有案例的0.01%，对应于Tn∈ [0.04, 1.00].注意，为了更好地表达，我们使用了名义违约次数（n·Tn）；有关巴塞尔监管回溯测试的更多详细信息，请参阅（BCBS，1996）。虽然文献中广泛研究了检验统计量tn的一般性质（参见Alexander（2009）），但据我们所知，命题3.1中提出的基于对偶的关系尚未研究。在我们陈述结果之前，让我们重新对预期缺口进行回测：一个简单的配方？6标准经验VAR估值器的定义。

对于固定置信水平α∈ （0，1）和样本x=（x，…，xn），其中n∈ N、 我们说^V@Rαn（x）：=-x个(nα+1） ，（3.2）是α级VAR的经验（历史）估计量∈ （0，1），其中x（k）是样本的第k阶统计量，并且z 表示z的（整数）层∈ R、 我们现在准备好提出命题3.1；证明见附录A。提案3.1。对于固定位置y=（y，…，yn），由（3.1）给出检验统计量tn。那么，Tn=inf{α∈ (0, 1] :^V@Rαn（y）≤ 0}，（3.3）其中约定inf = 使用1。从命题3.1中，我们可以看出，为了测试IM绩效，可以使用不同置信水平α的经验VAR估值器将监管机构视为EDA∈ （0，1）并检查位置的水平是否可以接受（保守）。注意到VAR系列相对于目标信心水平是单调的，我们可以找到我们接受头寸的最低水平。该数字用于量化该职位的绩效。Trans-light绩效阈值0.02和0.04说明了潜在的模型错误、偏差、模型风险等。换句话说，如果我们（略微）提高风险水平，监管机构希望确保模型的保守性；参见备注4.3 inPitera&Schmidt（2018）。事实上，表述（3.3）表明，TN可以被视为一种性能度量或可接受性指数；seeCherny&Madan（2009）。这个m ap系列旨在评估财务状况的表现。由于回溯测试统计数据旨在衡量安全头寸的表现，因此这种表示非常自然。利用Cherny&Madan（2009）的对偶定理，我们可以看到测试函数t可以被视为是VAR映射族的对偶映射（即历史估计量（^V@Rαn）α∈（0,1）），因此是回溯测试函数的自然候选。

应该注意的是，性能度量通常在参数空间R+上定义，而不是（0，1）。然而，这只是一种非正态化方案，即通过应用（单调）参数失真函数g（x）=1+x，我们可以改变p参数化；详见inBielecki等人（2012）第4.2节。4预期短缺回溯测试在本节中，我们定义了ES的回溯测试框架。选择回溯测试函数背后的动机是由一致风险度量和标度变量可接受性指数背后的双重表示所驱动的。简言之，我们希望维持与命题3.1中所述的关系相似的关系，但对于ES而不是VAR。与之前一样，给定IM方法，我们使用y=（y，…，yn）表示由ES资本支持的担保头寸样本。我们通过设置gn=nXk=1{y（1）+…+y（k）<0}n来定义检验统计量Gn，（4.1），其中y（k）是y的第k阶统计量。简单地说，我们寻找安全头寸的最大WORSTREALIZATION数，其总和为负值，然后我们将结果除以n。这个框架对于E S来说似乎很自然——我们关注最坏情况和（或平均值）的性能，而不是测量异常的总数。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？7事实上，在（4.1）中，我们将基础ES模型的正确规格与其产生正确的最坏情况条件和的属性联系在一起，直至其符号。与VAR情况一样，这比在历史ES估计中对损益向量施加整体i.i.d.假设的限制性要小得多；有关讨论，请参见第2节。备注4.1。当我们将y（k）值与不同的k值进行组合（求和）时，我们需要特别注意潜在的波动峰值。

对于存在波动性集群的具有高度可变风险的投资组合，建议采用备注2.1中提出的归一化方案，并考虑（4.1）中的y而非y。应该注意的是，这种微妙之处是从VAR到ES迁移而非施工流程的范式变化的结果；s eeCont等人（2010年），其中讨论了ES风险度量的统计复杂性。备注4.2。对（4.1）的不同解释可以通过将担保头寸拆分回其两个定义部分来实现，即损益实现和资本储备估计。很容易注意到，标称值n·gni等于k，当且仅当-kXi=1P&L（i）<kXi=1^ρ（i）和-k+1Xi=1P&L（i）≥k+1Xi=1^ρ（i），其中[·]（i）是与担保头寸y的i阶统计量相对应的指数d。因此，我们可以说，我们正在对担保头寸的最差变现进行求和，直到潜在损失等于其相应的总资本储备。在我们关注（4.1）的统计方面之前，让我们展示一下如何将我们的统计数据嵌入监管框架。根据（BCBS，2016）的指南，我们将参考指标设置为α=2.5%水平的ES（而非α=1%水平的VAR）。为了简单起见，并与VAR框架更为一致，我们参考了和成分的名义数量n·gnin，而不是平均数。2.5%ES参考风险指标的正确指定模型预计将在n=250（营业）天内产生多达6或7个最坏情况担保头寸的负总额。

围绕一个内部模型（IM）所处的数字构建一个置信带：-绿色区域，如果y的12个最小值之和为正：在正确的模型下，这预计会发生在大约90%的所有情况下，并对应于Gn∈ [0.00，0.05）；-黄色区域，如果y的12个最小值的su m为负值，但y的25个最小值之和为正值：在正确的模型下，预计在大约10%的情况下会发生这种情况，并对应于Gn∈ [0.05，0.10）；-红色区域，如果y的25个最小值之和为负值：在正确的模型下，预计在所有情况下，th的发生率不到0.01%，对应于Gn∈ [0.10, 1.00].由于监管机构的偏好，提议的阈值水平可能会有所修改；（乘法）监管附加模块的大小可以由具有负和的最坏情况下的最大obs-er变化数来确定；在VAR的情况下，它取决于异常的总数。为了完整性，我们提出了选择阈值水平背后的动机：首先，我们的阈值水平与VAR阈值一致，并具有直接的财务解释。在VAR设置（参考风险水平为1%）中，阈值为2%和4%，注意，对于n=250，阈值（0.05）无法通过GN获得，因为0.05×250=12.5不是整数。为了更好的分析可追溯性，我们将相应的标称阈值设置为12，因为它是最接近（保守）的整数值。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？8可能被解释为最大可接受风险水平误认阈值，该阈值是通过将初始置信水平分别乘以2和4获得的；见命题3.1。在这里，我们也这样做。事实上，我们稍后将证明命题3.1的类比是真的，即。

Gnis是ES风险度量系列的双重绩效度量；见第4.3节。第二，在正态性假设下，ES风险资本水平与相应的VAR风险资本水平具有可比性的方式选择风险持有。对于表示标准正态变量的X，我们得到ES5%（X）和ES10%（X）分别约等于2.06和1.75。同样，VAR2%（X）和VAR4%（X）分别等于2.05和d 1.75。请注意，监管机构以类似的方式提出了VAR/ES迁移的参考风险水平变化：ES2.5%（X）等于2.34，而VAR1%（X）等于2.33。这允许在VAR和ES框架之间进行平滑过渡（至少在保证头寸分布接近正常的情况下）。第三，我们表明，提出的阈值导致了与VaR后验一致的统计框架。即使在对零分布施加极端规范的情况下，提议的三个阈值也会导致统计置信阈值接近95%和99.99%。因此，阈值可以被认为（几乎）与模型无关；详见第5节。第四，数值模拟表明，所提出的阈值选择导致了与旧VAR框架一致的框架；第5节和第6节将详细解释这一事实。现在，如本节开头所述，我们想证明检验统计量GNI是一个与经验估计量E S族对偶的形式度量。对于固定密度等级α∈ （0，1），样本x=（x，…，xn），其中n∈ N、 我们称^ESαN（x）：=-Pni=1xi{xi+^V@Rαn（x）≤0}Pni=1{xi+^V@Rαn（x）≤0}!, （4.2）α级ES的经验（历史）估计量∈ （0，1），其中V@Rαn（·）定义于（3.2）。我们现在准备好提出3.1号提案；证明见附录A。提案4.3。对于固定位置y=（y，…）。

，yn）让检验统计量GN由（4.1）给出。那么，Gn=inf{α∈ （0，1）：^ESαn（y）≤ 0}. （4.3）如果公约 = 在VAR情况下，我们寻求使担保头寸可接受的最低置信水平。表示背后的直觉（4.3）与VAR情况类似，此处省略。让我们回顾一下f romCherny&Madan（2009），我们知道GNI是一种性能度量，设计用于量化ES框架下y的性能，并使用一致风险度量和s尺度不变可接受性指数之间的双重表示法获得；详见inBielecki等人（2012）第4.2节。5理论检验统计量分布在本节中，我们想检查ES检验统计量Gn在n=250时的分布情况，以及它与相应的VAR统计量Tn的关系。为了透明，并与监管框架更加一致，我们分别使用标称值n·Gn和n·Tn，而不是Gn和Tn。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？9对于选定的先验分布，我们模拟了一个规模为50 000的强蒙特卡罗（MC）样本，其中每个强样本对应250个观察值（投资组合损益）。为了构建相应的VAR 1%和ES 2.5%担保头寸，我们将真实风险值添加到观察值中。然后，对于每次MC运行，我们计算标称统计值。我们采用标准正态分布以及自由度为3、5、10和15的t-student分布。图1给出了获得的标称试验统计量的经验概率质量函数，而表1给出了tra-lightthreshold附近的累积经验分布值。对于VAR，模拟分布对应于伯努利分布，成功概率参数等于0.99。

可以看出，对于标称TN，阈值的累积概率分别在0.95和0.99左右振荡。对于名义Gn，累积概率取决于基础分布，但在阈值附近非常稳定。第一个阈值的极限情况的累积概率差异约为0.03，这表明测试统计对于基础分布选择是稳健的。预计，在所有情况下，红色区域阈值都非常接近1。我们还测试了市场数据施加的各种GARCH（1,1）模型规格下GN的分布。结果与图1中给出的结果非常相似，为简洁起见，省略了这些结果；如有要求，可向作者索取。最后，请注意，为了消除可能导致担保样本非i.i.d.行为的波动性集群或风险偏好变化，有人可能想考虑应用Remark2.1.0 2 4 6 8 100 2000 6000 10000 VaR回溯检验统计经验分布VaR违约数MC RunSnromt df=15t df=10t df=5t df=35 10 15 20 250 2000 4000 6000 6000 ES回溯检验统计经验分布MC RunSnromt df=15t df=10t df=5t df=3最小正总和图1：我们给出了经验分布n=250时，标称VAR回测统计量n·Tn（左）和标称ES回测统计量n·Gn（右）的概率质量函数。我们考虑了五种不同的先验分布，并使用真实风险资本储备附加值构建了安全样本。注意，VAR的概率质量函数对应于p=0.99的伯努利概率质量函数。我们可以看到，在极端条件下，即ν=3自由度的eunder t-student分布，ES回溯检验统计量非常稳定。虚线表示提议的光线阈值。

这些值是通过50000次蒙特卡罗运行获得的。6实证研究在这项小型实证研究中，我们使用各种真实市场和模拟数据集来评估ES回溯测试框架的性能。特别是，我们讨论了所提议的fr-amework如何允许从VAR-b-acktesting到ES-backtesting的平滑转换。此外，我们参考Acerbi&Sz\'ekely（2014）的“测试2”，检查我们测试框架的性能。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？10风险度量变量统计值4 5 9 10 11 12 24 25 t学生ν=3 0.8914 0.9586 0.9998 0.9999 0.8944 0.9205 0.9967 0.9973ν=5 0.8931 0.9588 0.9998 1.0000 0.9074 0.9372 0.9998 0.9999ν=10 0.8909 0.9580 0.9998 1.0000 0.9185 0.9464 1.0000ν=15 0.8930 0.9590 0.9999 1.0000 0.9224 0.9518 1.0000 1.000正常0.8913 0.9585 0.9997 1.0000 0.9292 0.9591 1.0000 1.000表1：表针对各种预先定义的分布中的大样本，给出了VAR和ES的名义回测统计数据的计算（经验）分布值。VAR检验统计量的分布符合伯努利分布，p=0.99，理论th reshold值分别为0.9588和0.9999（分别超过5和10）。可以看出，即使在极端条件下（对于ν=3），ES回溯测试统计数据也是稳定的，并且阈值的累积概率与VAR（对于值12和25）相当。这些值是通过50000次蒙特卡罗运行获得的。为了透明，我们决定对VAR和ES仅使用正态和经验估计。我们之所以选择这两个估计器，是因为它们的规格不同：第一个是参数估计器，它将允许我们调查错误指定方法的行为（例如。

如果我们从t-student（而不是normal）中选取一个样本，那么第二个样本是一个非参数估计量，应该与模型无关。我们将估计学习期固定为一年（250次观察）。在标准VAR框架中，回溯测试周期等于1天，滚动窗口长度设置为250。因此，对于单次试运行，我们需要500次后续观察，以将估计资本储备与实现的损益向量进行比较，并执行回溯测试。从第251天开始，我们对每天的估计资本公积和已实现损益求和，以获得已实现的担保头寸价值。为了获得尺寸为250的安全样品，我们将在第500天之前完成这项工作。设x=（x，…，x）表示500个后续实现的1天损益向量的向量。对于i=1，250，第i个回溯测试日VAR估计资本公积等于^V@Rnormi（x） ：=-？ui+？σiΦ-1(0.01),^V@Rempi（x） ：=^V@R0.01（xi，…，xi+249），其中经验估计量^V@R0.01is在（3.2）中定义，“uiis是第i个回溯测试日的有效平均估计量，σiis是第i个回溯测试日的有效标准偏差估计量，即“ui=Xk=0xi+k，d”σi=vuutXk=0xi+k- ui.类似地，第i次回测d日估计资本公积由^ESnormi（x）给出：=-？ui+？σiφ（Φ-1(0.025))1 - 0.025,^ESempi（x）：=^ES0.025（xi，…，xi+249），其中经验估计量^ES0.025在（4.2）中给出，φ与标准正态分布的密度函数有关，Φ是标准正态分布的分布函数；参见Pitera&SchmidtBacktesting Expected Defension：一个简单的配方？11（2018）了解详情。接下来，我们按照（2.3）中的逻辑，为所有估计资本准备金构建安全头寸向量，即对于i=1。