回溯测试预期短缺：一个简单的配方？

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英文标题：
《Backtesting Expected Shortfall: a simple recipe?》
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作者：
Felix Moldenhauer and Marcin Pitera
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We propose a new backtesting framework for Expected Shortfall that could be used by the regulator. Instead of looking at the estimated capital reserve and the realised cash-flow separately, one could bind them into the secured position, for which risk measurement is much easier. Using this simple concept combined with monotonicity of Expected Shortfall with respect to its target confidence level we introduce a natural and efficient backtesting framework. Our test statistics is given by the biggest number of worst realisations for the secured position that add up to a negative total. Surprisingly, this simple quantity could be used to construct an efficient backtesting framework for unconditional coverage of Expected Shortfall in a natural extension of the regulatory traffic-light approach for Value-at-Risk. While being easy to calculate, the test statistic is based on the underlying duality between coherent risk measures and scale-invariant performance measures.
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中文摘要：
我们为监管机构可能使用的预期缺口提出了一个新的回溯测试框架。与其单独查看估计的资本储备和实现的现金流，不如将它们绑定到安全的头寸中，这样风险度量就容易得多。利用这个简单的概念，结合预期不足相对于其目标置信水平的单调性，我们引入了一个自然而有效的回溯测试框架。我们的测试统计数据是由担保头寸的最大最差变现数给出的，这些最差变现数加起来等于负总数。令人惊讶的是，这个简单的数量可以用来构建一个有效的回溯测试框架，以无条件覆盖风险价值监管红绿灯方法的自然扩展中的预期不足。虽然易于计算，但测试统计数据基于一致风险度量和规模不变性能度量之间的潜在对偶性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Backtesting_Expected_Shortfall:_a_simple_recipe?.pdf (334.46 KB)

2022-6-1 07:38:38 上传

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关键词：Quantitative Applications Mathematical backtesting QUANTITATIV

回溯测试预期短缺：一个简单的配方？a、 bFelix Moldenhauerc，Marcin Piterad该版本：2018年8月13日摘要：我们为监管机构可能使用的预期短缺提出了一个新的回溯测试框架。与其单独查看估计资本储备和变现现金流，还可以将其约束在安全头寸中，这样风险度量就容易得多。利用这一简单的概念，结合预期短缺相对于目标约束水平的单调性，我们引入了一个自然而有效的回溯测试框架。我们的测试统计数据是由最大数量的担保头寸的Worst变现提供的，总计为负值。令人惊讶的是，这一简单的数量可以用来构建一个有效的回溯测试框架，以无条件覆盖风险价值监管轻量化方法的自然扩展中的预期缺口。虽然易于计算，但测试统计学家基于一致风险度量和尺度不变量性能度量之间的潜在对偶性。关键词：风险价值、预期缺口、回溯测试、回溯测试、风险b ias、风险估计、风险保守性、基于内部模型的方法、无条件覆盖测试、交易账簿基本面审查，G281简介风险度量在计算监管资本方面发挥着重要作用，监管资本是确保基础金融机构金融稳定所必需的。因此，监管机构需要确保机构采用的风险估计方法是保守的，并且由此产生的资本储备是稳健的；参见Alexander（2009），McNeil等人（2010），以及其中的参考文献。回测程序是监管机构用来评估风险衡量方法保守性的关键定量工具之一。

因此，对风险估计量的回溯检验及其相关统计特性进行了深入研究，估计技术也在不断改进；s eeDavis（2016）；Cont等人（2010年）；Acerbi&Sz\'ekely（2014）；Ziegel（2016）；Frank（2016）最近的杰出贡献。作者对匿名推荐人提出的宝贵意见和建议表示感谢，这些意见和建议有助于改进论文。我们感谢塞巴斯蒂安·雷（S’ebastien Ray）的激励性讨论和非常有益的评论。第二作者的部分工作得到了波兰国家科学中心2016/23/B/ST1/00479项目的支持。B本文中表达的观点和意见是作者自己的，不一定反映他们当前或过去雇主的观点和意见。cHSBC Global Banking and Markets，London，United K in gd omE mail:felix。moldenhauer@hsbcib.comdInstitute杰吉伦大学数学系，克拉科夫，波兰德。邮件：marcin。pitera@uj.edu.pl，URL：http://www2.im.uj.edu.pl/MarcinPitera/Backtesting预期短缺：一个简单的配方？2目前，关于两个风险度量标准：风险价值（VAR）和预期缺口（ES）存在激烈的争论。最近的监管发展（如FRTB、ICS）以及学术界对可激发性概念的讨论；参见Acerbi&Szekely（2017）及其参考文献。特别是，在基于模型的内部ap方法（IMA）下，巴塞尔资本市场风险要求的更新引起了很多关注，因为VAR在1%的水平被ES在2.5%的水平所取代；参见（BCBS，2016）。

使用基于ES异常率的监管TRAffic-light Backtest受到强烈批评，因为这样的框架与基本风险度量哲学不一致：计算分位数违规与VARrisk度量严格相关。此外，还提出了一个更根本的问题，即ES是否有可能进行回溯测试。尤其是，片麻岩（2011）表明ES是不可诱导的；另见Weber（2006）。在这一发现之后，许多其他人将其解释为根本不可能有效地对ES进行回溯测试的证据；参见例如Carver（2013）。另一方面，Acerbi&Sz'ekly（2014）指出，可激发性与模型比较有关，而不是与模型测试有关，因此，在考虑回溯测试时，可激发性的缺失并非关键。此外，Fissler&Ziegel（2016）表明，ES与VAR是可联合激发的，因此E S可以采用可激发性测试技术NIQUE；s eeNolde&Ziegel（2017）。更多详情请参见Carver（2014）；Emmeret al.（2015）；Davis（2016）；Acerbi&Szekely（2017）及其参考文献。最后，应注意的是，回溯测试的定义/概念并不统一，因此“ES的回溯测试（不）可能”等陈述仅是主观表述，而非科学事实。在文献中，已经提出了许多可能的回溯测试框架，其中大多数与可引出性没有直接联系。特别是，Won g（2008）提出了参数鞍点法，Righi&Ceretta（2013）研究了基于拉伸的ES回测，Emmer et al.（2015）使用不同水平的变量近似ES，并使用标准回测工具，Cerbi&Szekly（2014）提出了基于特定归一化的回测。我们参考Acerbi&Szekely（2017）；Nolde&Ziegel（2017）；Fissler等人。

（2015）针对基于启发性的各种回溯测试程序，toMcNeil&Frey（2000）；Berkowitz（2001）；Kerkhof&Melenber g（2004）；Costanzino&Curran（2015）；Du&Escanciano（2016）；L¨oser et al.（2018），了解其他替代方法。不幸的是，前面提到的大多数方法需要高级数学框架、某些模型假设、参考估计过程和/或相对较大的样本。缺乏可用于任何IMA模型的透明且直接的回溯测试框架，且其结果在财务背景下是不言自明的，这更令人惊讶，特别是考虑到我们用于VAR回溯测试的例外率程序的简单性和优雅性；见（BCBS，1996）。在本文中，我们试图通过提出一种新的ES回溯测试框架来解决这个问题。我们重点关注无条件覆盖率回溯测试，因为储备资本突破的独立性通常是通过目视检查来评估的。我们没有单独查看估计资本储备和实际财务头寸现金流，而是将其绑定到安全头寸中，因为风险度量要容易得多。这一简单直观的观察结果引出了最近由inPitera&Schmidt（2018）提出的风险偏差概念。利用这个框架，我们提出了一个针对ES的自然回溯测试，重点是有多少担保头寸的最差变现（在给定时期内）仍然为负值。相反，VaR回溯测试计算担保头寸的负变现数量，称为回溯。与当前的监管框架类似，可以根据我们的“产生负数的最差变现的最大数量”，对预期短缺进行回溯测试：一个简单的配方？3保留其正（和负）属性。

我们认为，拟议的框架简单、不言自明，而且效率很高。此外，我们还证明了我们的检验统计量是利用相干风险度量和尺度不变性能度量之间的对偶关系得到的性能度量；参见等式（4.2）。我们还表明，在VAR框架中，当考虑异常率统计时，类似的关系是真实的。这就解释了VAR和dexception rate测试之间的紧密联系，并为我们选择测试统计提供了数学依据。应该注意的是，给定一个实现了安全位置的示例，我们的测试统计数据几乎可以在任何编程语言中轻松实现。例如，在R软件中，假设我们得到了安全位置样本向量y，则可以在一行代码中计算出最差实现的最大数量，这些实现加起来就是负的总数：sum（cumsum（sort（y））<0。本说明组织如下：在第2节中，我们提供了我们框架的背景。第3节专门描述了标准监管风险值回测。特别是，我们展示了与我们的fr模型的联系，讨论了VAR模型中偏差的概念，并解释了为什么可以将检验统计量解释为可接受性指数。第4节包含了本文的主要贡献，即对ES回溯测试框架的描述，而在第4节中，我们研究了所提出的测试统计量的分布。接下来，在第6节中，我们提供了一个小型的实证研究，以展示拟议的框架在市场和模拟数据上的表现。特别是，我们分析了ES回溯检验的实证结果如何与经典监管VAR回溯检验的结果相一致。

我们在第7.2节序言中得出结论。在这一节中，我们概述了风险无偏的概念，并介绍了相关的符号；有关严格的数学框架和正式定义，请参阅toPitera&Schmidt（2018）。设ρ为基于分布的风险度量（例如VAR或ES）。我们假设我们有一个内部模型（IM），用于计算资本储备，以防止金融投资组合未来价值的波动。例如，这可能是指历史模拟、高斯或蒙特卡罗风险估计模型；见Alexander（2009）。为了透明度，我们假设持有期为1天，并使用损益表表示与未来投资组合损益相关的随机变量。我们使用ρ来表示ρ（P&L）的估计值，该值是使用历史数据结合IM方法计算得出的，即ρ确定P&L的估计资本准备金。我们可以将这些值绑定到一个随机变量中：=P&L+ρ，我们称之为安全头寸，而不是单独计算P&L的（理论）风险，然后将其与eIM估计值进行比较。特别是，如果Y为正，则意味着估计的资本储备足够高，足以弥补（发生的）损失。给定风险度量ρ，我们有兴趣度量担保头寸Y的风险。如果Y的风险等于零，即如果ρ（Y）=0，（2.1），则可以认为估计资本公积是足够的。事实上，如果我们知道损益的理论风险，那么我们可以简单地设置ρ=ρ（损益），并使用现金可加性属性得到ρ（Y）=ρ（损益+ρ（损益））=ρ（损益）- ρ（损益）=0。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？4遗憾的是，数量ρ（损益）通常未知，需要估计，例如使用历史数据。

因此，^ρ成为依赖于估计过程的随机变量，等式（2.1）更难获得；详见Pitera&Schmidt（2018）。虽然从金融机构的角度来看，找到Y风险为零的ρ可能是最佳选择，但监管机构更关心的是位置Y是否可以接受，即ρ（Y）≤ 0。（2.2）换句话说，我们对模型的保守性感兴趣，而不是检查IM风险估计器^ρ的整体性能：如果ρ（Y）<0，那么估计器^ρ高估了损益的风险。在这种情况下，监管机构不太可能拒绝该方法，因为由此产生的资本公积高于投资组合/头寸风险的要求。现在让我们介绍一下将在以下部分中使用的基本符号。我们使用∈ N说明回溯测试中使用的天数，即回溯测试窗口的长度。对于i=1，n我们用第一天的损益表表示，我们用ρito表示相应的资本公积，该资本公积是使用IM方法（VAR或ES）结合截至第一天的可用数据估计的- 1、接下来，我们u seyi：=P&Li+ρi（2.3）表示第i天实现的安全头寸，y：=（y，…，yn）表示后验窗期间实现的向量。作为损益变现和估计资本公积的总和，担保头寸继承了两者的统计特性。众所周知，由于波动模式的变化，金融市场的回报很难预测；参见Mandelbrot（1963）。

虽然资本储备会随着受保护投资组合的风险而变化，但在实践中，它们的调整往往相当缓慢，尤其是在根据历史数据系列进行估计的情况下。不相关但异方差（P&Li）与高度自相关（^ρi）的组合对y意味着什么？我们认为，由于资本储备的调整部分影响了损益波动性的变化，因此，左/亏损尾部产生的担保头寸的统计稳健性增加。由于P&L的随机性导致估计风险资本储备的调整相当缓慢，因此组合头寸在很大程度上保持不相关，因此向量y更接近于满足i.i.d.假设——在我们的回溯测试所要求的意义上。我们分别在第3节和第4节中参考VAR和ES回溯测试对此索赔进行了详细讨论。在以下章节中，我们假设担保头寸向量y相关部分的e i.i.d.行为，隐含地依赖于正确的模型规范来估计资本公积。为了明确说明投资组合和/或波动率聚类风险比例的变化，可以考虑适当的损益向量y归一化方案；详见备注2.1。备注2.1。如果投资组合风险文件发生变化，则（2.3）中给出的担保投资组合头寸的实现值可能无法准确反映当前的风险敞口。为了缓解这种影响，可以将风险值标准化，并考虑修改后的担保头寸样本i：=损益+ρiρi=损益+1。（2.4）简单地说，我们重新调整了已实现损益表的比例，以使估计风险为常数，等于1。虽然（2.3）要求持续波动，但（2.4）中的风险与投资组合波动成正比。这种情况并不对称，我们只低估了风险。

基于风险估计总体而非保守性的回溯测试与我们的定义不一致。请注意，法规与保守的概念一致：无违规的VA R模型位于绿色区域。回溯测试预期短缺：一个简单的配方？5–给定^ρi的正确模型规范。这允许对已固化头寸进行时间一致的风险度量；如果不可靠的风险度量是正同质的，并且允许风险的线性转换，那么这种操作是合理的。请注意，该转换已在埃尔比和塞克里（2014）的ES b acktestingcontext中使用。或者，我们可以将y除以总投资组合价值，使其正常化，即考虑回报率而不是损益。然而，这可能是一个问题，因为在实践中，我们通常拥有具有重大风险的零价值投资组合，而这种转换没有考虑到波动率的变化影响。当实际损益与历史风险估计员发生冲突时，拟议的转换对于现实交易部门尤为重要；对于假设性投资组合回测，可以使用标准担保头寸（2.3）。3风险价值回溯测试典型的VaR回溯测试框架测试无条件覆盖，并基于例外率（违约）测试；参见例如Alexander（2009）。对于y对应于由VAR资本支持的有担保头寸样本，异常率回溯检验统计量由tn给出：=nXi=1{yi<0}n，（3.1），其中1a是集合a的指标函数。简单地说，我们计算有担保样本中的异常数（资本中断），并将其除以n得到平均异常率。在（3.1）中，我们将基础VAR模型的正确规格与其产生正确伯努利分布违约数量的属性联系起来。这与强制实施i.i.d相比，限制性要小得多。