Heath-Jarrow-Morton框架中的加性能量正演曲线

（2.8）通过积分上述等式，我们得出，如果λ（t）满足（CP），那么f（t）可以明确地写为f（t）=e-Rtλ（u）duZteRsλ（u）duσ（s）dW（s）。（2.9）鉴于备注2.1，我们引入以下假设。假设3。矩阵值函数λ（·，T）和∧（·，T，T）满足（CP）所有T≤ Tand T<T≤ T、 特别是，让我们注意到（CP）完全由时间上的任何矩阵常数和任何时间相关的对角矩阵填充。假设2确保（2.2）和（2.3）允许唯一平方可积解（参见[5，附录a]）。此外，假设3（见Remark2.1）保证（2.2）的解可以显式表示为f（t，t）=e-Rtλ（s，T）dsf（0，T）+中兴通讯-Rtsλ（u，T）duc（s，T）ds+中兴通讯-Rtsλ（u，T）duσ（s，T）dW（s）+中兴通讯-Rtsλ（u，T）duψ（s，T）dJ（s），类似地，（2.3）的解可以写成f（T，T，T）=e-Rt∧（s，T，T）dsF（0，T，T）+中兴通讯-Rts∧（u，T，T）duC（s，T，T）ds+中兴通讯-Rts∧（u，T，T）du∑（s，T，T）dW（s）+中兴通讯-Rts∧（u，T，T）duψ（s，T，T）dJ（s）。这些过程之间也通过无套利联系在一起。事实上，在这个连续时间设置中，一个极限参数（例如，参见[11]）会导致每个掉期和相应的远期系列之间出现以下无套利条件：对于任何≤ TandT>T>0F（T，T，T）=ZTTbw（T，T，T）f（T，T）dT，（2.10）通过观察0=d（U（T）U，该特性遵循（2.5-1（t））=dU（t）U-1（t）+U（t）dU-1（t）=λ（t）U（t）U-1（t）- U（t）λ（t）U-1（t）=λ（t）- U（t）λ（t）U-1（t）。6 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.VARGIOLUwhere bw:AT→ Rn×n是一个权重函数，表示货币的时间价值。这可以根据结算的方式在不同的合同中有所不同（见[5]中的等式4.2]）。

例如，在一维情况下，我们可以得到bw（T，T，T）=T-Tor，通过假设连续复合恒定无风险利率r，bw（T，T，T）=e-rTRTTe公司-rTdT。因此，如果我们以一种简单的方式将其推广到多维市场，那么我们可以定义，例如，bw（T，T，T）=T- T或bw（T，T，T）=e-rTRTTe公司-rTdTIn，将n维的单位矩阵与生俱来。我们可以通过在更广泛的意义上解释f（t，t）的一个或多个成分的作用，进而解释bw的作用，来进一步丰富这种设置。例如，f（t，t）的最后一个组成部分可能代表一些前向随机因素，其动态受（2.2）控制，这会影响掉期合同f（t，t，t）至（2.10）的价值。然而，我们目前不想调查这一问题，将调查的可能性留给未来的工作。鉴于其建模步骤，我们按照以下方式定义权重函数。定义2.3。矩阵值映射bw:AT→ Rn×nis称为权函数，如果anyT<T，则它可积于[T，T]上的T，且zttbw（T，T，T）dT=In。在下一个命题中，我们将说明（2.10）中的无套利条件如何决定动力学（2.2）和（2.3）中出现的系数。让我们观察到，为了做到这一点，我们假设平均反向速度λ和∧与输送无关。提案2.4。对于所有T≤ T和T<T≤ T、 设f（·，T）和f（·，T，T）是满足假设2的给定系数的（2.2）和（2.3）的唯一解，此外，平均回归系数与传递无关：∧（T，T，T）=λ（T，T）：=λ（T）。

（2.11）假设无套利关系（2.10）适用于满足以下可积条件的给定权重函数bw：对于所有T<T，ZTZTTk bw（T，T，T）σ（T，T）kdT dt<∞,ZTZTTk bw（T，T，T）ψ（T，T）kdT dt<∞,ZTZTTk bw（T，T，T）c（T，T）k dT dT<∞,ZTTk bw（T，T，T）f（0，T）k dT<∞,ZTZTTk bw（T，T，T）λ（T）f（T，T）kdT dt<∞, a、 s.如果矩阵bw（T，T，T）与λ（T）对每T进行换算≤ T<Tand T<T，则c（T，T，T）=ZTTbw（T，T，T）c（T，T）dT，（2.12）∑（T，T，T）=ZTTbw（T，T，T）σ（T，T）dT，（2.13）ψ（T，T，T）=ZTTbw（T，T，T）ψ（T，T）dT。（2.14）HEATH-JARROW-MORTON框架7证明中的附加能量正向曲线。该证明是随机Fubini定理（参见[45，定理64]）的一个应用，并通过对bw积分后比较（2.2）到（2.3）的系数来证明。从（2.2）我们可以写出ztttbw（T，T，T）f（T，T）dT=ZTTbw（T，T，T）f（0，T）dT+ZTTZtbw（T，T，T）（c（u，T）- λ（u）f（u，T））du dT+ZTTZtbw（T，T，T）σ（u，T）dW（u）dT+ZTTZtbw（T，T，T）ψ（u，T）dJ（u）dT。在观察到ztbw（T，T，T）λ（u）f（u，T）du=Ztλ（u）bw（T，T，T）f（u，T）du后，我们改变最后一个方程中的积分顺序（回顾（2.10）），从而得到f（T，T，T）=f（0，T，T）+ZtZTTbw（T，T，T）c（u，T）dT- λ（u）F（u，T，T）du+ZtZTTbw（T，T，T）σ（u，T）dT dW（u）+ZtZTTbw（T，T）ψ（u，T）dT dJ（u）。然后，通过将最后一个方程的系数与（2.3）中相应的系数进行比较，得出解表示的唯一性。在本节结束时，我们注意到，在对远期价格演变的充分规律性假设下，我们可以记下现货价格的隐含动态，定义为asS（t）=f（t，t）。提案2.5。

除了假设2之外，让我们假设c（t，t）、σ（t，t）、ψ（t，t）和f（t，t）对于任何t都是可微的≤ T，具有有界偏导数sct（T，T），σT（T，T），ψT（T，T）和fT（T，T）。然后，现货价格遵循动态Cds（t）=（c（t，t）+ζ（t）- λ（t）S（t））dt+σ（t，t）dW（t）+ψ（t，t）dJ（t），其中ζ（t）：=fT（0，t）+Zt（cT（u，t）- λ（u）fT（u，t））du+Ztσt（u，t）dW（u）+Ztψt（u，t）dJ（u）。证据该证明是随机Fubini定理的一个应用，遵循了文献[40]中命题11.1.1的相同步骤。很自然，当掉期和远期从均值回复动态开始时，隐含的现货价格动态也将变成均值回复动态。事实上，我们观察到现货价格遵循一个多维L'evy-Ornstein-Uhlenbeck过程，具有与时间相关的均值回归速度λ（t）和波动率σ（t，t）。它的平均值回复到时间相关的水平λ（t）-1（c（t，t）+ζ（t））（只要λ（t）可逆）。这为将季节变化纳入模型打开了大门，这与能源市场非常相关。8 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.VARGIOLU3。一个与无套利一致的均值回复模型我们描述了如何在适当的假设下构建一个HJM型远期市场，如前一节所述。我们陈述了这自然会导致我们如何描述模型，首先是根据其动力学行为，其次是与等价可分配测度的存在以及套利有关。在这方面，我们给出了关于随机指数鞅性质的两个重要结果。主要结果（定理3.5）允许我们验证Esscher型跳跃分量和随机核函数在差异部分的一般度量变化。

然后，针对连续核布朗积分的随机指数特殊情况，提出了一种不同的方法，特别是密度过程是连续的。最后，我们讨论了为什么这种技术不适用于一般L'evy核的情况，以及这一事实如何与不可分分布偶矩的渐近性质相关。让我们从主要的建模假设开始。我们在假设1中考虑相同的随机基。假设4。取整数m∈ N、 假设以下随机微分方程dx（t）=b（t，X（t））dt+ν（t，X（t））dW（t）+η（t，X（t-))dJ（t）（3.1）允许一个唯一的解X取Rm中的值，对于漂移b：[0，t]×Rm→ Rmand挥发系数ν，η：[0，T]×Rm→ Rm×k。对于某些确定性矩阵/向量值函数，远期价格f（t，t）有一个有效的表示形式f（t，t）=α（t，t）X（t）+β（t，t），（3.2）α：→ Rn×m，β：AT→ Rn，我们假设它在At上有界并且在t上连续可微∈ [0，T]，对于所有T≤ T、 鉴于无套利条件（2.10），我们定义了掉期价格过程F（T，T，T）byF（T，T，T）=ZTTbw（T，T，T）F（T，T）dT，（3.3），其中bw是定义2.3中的权重函数。过程X可以解释为所有到期日T的正向曲线下的随机状态变量。这可能与现货价格有关，例如，我们在第4节和第5节中提出的模型就是这样。特别注意，随机过程f（·，T）和f（·，T，T）是马尔可夫的。这类模型的马尔可夫性问题也在[5，方程4.8]中进行了讨论，其中作者表明，即使是简单的正向动力学对数正态规范，通常也会导致非马尔可夫价格过程（除非解释为有限维随机过程）。

相反，假设4允许我们保留模型的马尔可夫特性，从而保持分析的可压缩性。3.1. 动力学由于我们希望f和f具有均值回复型的动态行为（见（2.2）和（2.3）），因此（3.2）中假设的远期价格的有效结构以更自然的方式确定了（3.1）中预期系数的相应函数形式。在这方面，我们有两个对称的结果。HEATH-JARROW-MORTON框架9提案3.1中的附加能量正向曲线。假设在（3.1）中，系数b，ν和η取以下a ffneformb（t，X（t））=θ（t）+Θ（t）X（t），（3.4）ν（t，X（t））=v（t），（3.5）η（t，X（t））=z（t），（3.6），其中θ：[0，t]→ Rmis可积，v:[0，T]→ Rm×kand z：[0，T]→ Rm×kare平方可积和Θ：[0，T]→ Rm×界限错误。如果存在连续矩阵值函数λ：[0，T]→ Rn×nsuchλ（t）α（t，t）=-αt（t，t）- 然后，通过定义c（t，t）：=λ（t）β（t，t）+βt（t，t）+α（t，t）θ（t），（3.8）σ（t，t）：=α（t，t）v（t），（3.9）ψ（t，t）：=α（t，t）z（t），（3.10）随机过程f（t，t）是df（t，t）=（c（t，t）的唯一解- λ（t）f（t，t））dt+σ（t，t）dW（t）+ψ（t，t）dJ（t）。此外，如果bw满足命题2.4的假设，则F（t，t，t）是唯一解F（t，t，t）=（C（t，t，t）- λ（t）F（t，t，t）dt+∑（t，t，t）dW（t）+ψ（t，t，t）dJ（t），其中C，∑，ψ在（2.12）、（2.13）、（2.14）中定义。证据让我们应用It^o引理tof（t，t）=α（t，t）X（t）+β（t，t）。因此，df（t，t）=（βt（t，t）+α（t，t）θ（t）+αt（t，t）X（t）+α（t，t）Θ（t）X（t））dt+α（t，t）v（t）dW（t）+α（t，t）z（t）dJ（t）。

（3.11）假设存在函数λ：[0，T]→ Rn×n满足αt（t，t）+α（t，t）Θ（t）=-λ（t）α（t，t），而c（t，t），σ（t，t）和ψ（t，t）通过定义满足βt（t，t）+α（t，t）θ（t）=c（t，t）- λ（t）β（t，t），α（t，t）v（t）=σ（t，t），α（t，t）z（t）=ψ（t，t），将这些表达式代入（3.11）后，f的语句如下。FCA的结果可以按照命题2.4的相同路线进行证明。以下命题可以看作是前一命题的相反命题。提案3.2。如果f（t，t）是df（t，t）=（c（t，t）的唯一解- λ（t）f（t，t））dt+σ（t，t）dW（t）+ψ（t，t）dJ（t），（3.12）10 f.E.BENTH，M.PICCIRILLI和t.VARGIOLUfor c，σ，ψ和λ满足假设2，然后（3.1）中的b，ν和η采用以下形式α（t，t）b（t，X（t））=Eθ（t，t）+EΘ（t，t）X（t）（3.13）α（t，t）ν（t，X（t））=σ（t，t），（3.14）α（t，t）η（t，X（t））=ψ（t，t），（3.15）带Eθ（t，t）=c（t，t）- λ（t）β（t，t）- βt（t，t），（3.16）eΘ（t，t）=-λ（t）α（t，t）- αt（t，t）。（3.17）证明。正如在命题3.1的证明中，该陈述是其应用的引理tof（t，t）=α（t，t）X（t）+β（t，t）的直接结果，它给出了df（t，t）=（βt（t，t）+αt（t，t）X（t）+α（t，t）b（t，X（t）））dt+α（t，t）ν（t，X（t））dW（t）+α（t，t）η（t，X（t-))dJ（t）。然后将最后一个方程的系数与（3.12）中的系数进行比较。3.2. 套汇现在，我们在HJM类型远期模型的背景下研究套利问题。无套利市场和（3.3）的一个有效条件是存在一个等价鞅测度，这是一个概率测度Q等价toP，使得所有交易合约的贴现价格过程都是Q-鞅。请注意，远期和掉期交易的进入成本很低，因此它们的价格过程应该是Q鞅，没有任何折扣。

我们还提到，利率理论中著名的HJM漂移条件在我们的上下文中并不存在，因为远期合约是可交易的资产，与远期利率不同，远期利率以非线性方式模拟债券价格动态。首先，我们介绍了候选密度过程。假设5。我们假设N（ds，dy）是具有独立分量Jj的L'evy过程j的泊松随机测度，对于j=1，k、 我们用Nj（ds，dyj）表示Jjand的泊松随机测度，Nj（ds，dyj）=Nj（ds，dyj）- dsνj（dyj）对应的补偿版本。设φ=（φ（j））j=1，。。。，kandξ=（ξ（j））j=1，。。。，kbe k维适应过程ZTkφ（s）kds< ∞, EZTkξ（s）kds< ∞, （3.18）和定义∈ [0，T]，过程Z作为dz（T）=Z（T）的唯一强解-) dH（t），（3.19），使得Z（0）=1，其中h（t）：=Ztφ|（s）dW（s）+ZtZRkξ|（s-) y N（ds，dy），=kXj=1Ztφ（j）（s）dWj（s）+ZtZRξ（j）（s-) yjNj（ds，dyj）. （3.20）HEATH-JARROW-MORTON框架中的加性能量正演曲线11如果过程φ和ξ满足（3.18），H是一个定义良好的平方可积鞅。过程Z被称为H的随机或Dol\'eans Dade指数，有时表示为dasz（t）=E（H）（t）。更明确地说，它可以写成（例如，参见[45，定理II.37]）Z（t）=eH（t）-Rtkφ（s）kdsY0<s≤t（1+H（s））e-H（s）。（3.21）如果Z是严格正鞅，我们可以引入一个等价的概率测度qd，定义其Radon-Nikodym导数asdQdP：=Z（T）。（3.22）定义随机过程wq（t）：=W（t）-Ztφ（s）ds，（3.23）随机测量q（dt，dy）：=N（dt，dy）- ξ（t）| yν（dy）dt（3.24）和跳跃过程jq（t）：=ZRky NQ（dt，dy）=J（t）-ZtKξ（s）ds，（3.25），其中k=diag（κ），κ=（κj）j=1，。。。，k、 κj=ZRyνj（dy）。接下来的两个命题确定了承认非等价鞅测度存在的模型的子族。

在本文的其余部分中，我们假设命题3.1的相同假设，因此，特别是X演化为dx（t）=θ（t）+Θ（t）X（t）dt+v（t）dW（t）+z（t）dJ（t）。（3.26）提案3.3。如果f满足df（t，t）=σ（t，t）dWQ（t）+ψ（t，t）dJQ（t），则α（t，t）v（t）φ（t）+z（t）Kξ（t）= Φ（t，t）X（t）+Φ（t，t），（3.27）表示Φ，Φ表示Φ（t，t）=-αt（t，t）- α（t，t）Θ（t），（3.28）Φ（t，t）=-βt（t，t）- α（t，t）θ（t）。（3.29）特别是，如果φ（t）=φ（t）X（t）+φ（t），（3.30）ξ（t）=ξ（t）X（t）+ξ（t），（3.31），则Φ（t，t）=α（t，t）v（t）φ（t）+z（t）Kξ（t）, （3.32）Φ（t，t）=α（t，t）v（t）φ（t）+z（t）Kξ（t）. （3.33）12 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.Vargiolu最后，α和β满足以下线性常微分方程：αT（T，T）=-α（t，t）γ（t），（3.34）βt（t，t）=-α（t，t）γ（t），（3.35），其中γ和γ是γ（t）=v（t）φ（t）+z（t）Kξ（t）+Θ（t），（3.36）γ（t）=v（t）φ（t）+z（t）Kξ（t）+θ（t）。（3.37）证明。应用于f（t，t）=α（t，t）X（t）+β（t，t）的It^o引理给出了f（t，t）=（βt（t，t）+α（t，t）θ（t）+αt（t，t）X（t）+α（t，t）X（t））dt+α（t，t）v（t）dW（t）+α（t，t）z（t）dJ（t）。通过用WQand JQ替换W和J，我们得到df（t，t）=βt（t，t）+α（t，t）θ（t）+αt（t，t）X（t）+α（t，t）Θ（t）X（t）+α（t，t）v（t）φ（t）+α（t，t）z（t）Kξ（t）dt+α（t，t）z（t）dJQ（t）+α（t，t）v（t）dWQ（t）。为了有零漂，（3.27）必须保持Φ和Φ，如（3.28）和（3.29）所示。特别是，如果φ和ξ的形式为（3.30）和（3.31），Φ和Φ由（3.32）和（3.33）定义，那么最后一个方程成立，因此αt（t，t）+α（t，t）Θ（t）+α（t，t）v（t）φ（t）+α（t，t）z（t）Kξ（t）=0，βt（t，t）+α（t，t）θ（t）+α（t，t）v（t）φ（t）+α（t，t）z（t）Kξt）=0，即得出（3.34）和（3.35）。相反的结果也成立。提案3.4。

假设满足以下条件：o对于某些连续函数γ，α和β满足：[0，T]→ Rmandγ：[0，T]→ Rm×m，线性常微分方程（3.34）和（3.35）；o存在满足（3.18）形式φ（t）=φ（t）X（t）+φ（t），ξ（t）=ξ（t）X（t）+ξ（t）的适应过程φ（t）和ξ（t），其中φ、φ、ξ和ξ与γ和γ的关系为（3.36）和（3.37）；o（3.19）中定义的过程Z是[0，T]上的严格正P-鞅。然后，通过定义dqdp=Z（T），它认为WQin（3.23）是Q下的布朗运动，而（3.24）中定义的nq（dt，dy）是N在[42，定理1.35]意义上的Q补偿泊松随机测度。此外，我们还有dF（t，t）=σ（t，t）dWQ（t）+ψ（t，t）dJQ（t），dF（t，t，t）=∑（t，t）dWQ（t）+ψ（t，t）dJQ（t），具有与命题3.1中相同的系数，尤其是过程f（·，t）和f（·，t，t）是所有t和t<t证明的Q鞅。通过与命题3.3中类似的论证，应用it^o引理tof（t，t）=α（t，t）X（t）+β（t，t）就足够了，它给出了sdf（t，t）=σ（t，t）dWQ（t）+ψ（t，t）dJQ（t）。HEATH-JARROW-MORTON框架中的加性能量正演曲线13由于F（t，t，t）=RTTbw（t，t，t）F（t，t）dT，我们很容易得到df（t，t，t）=∑（t，t，t）dWQ（t）+ψ（t，t，t）dJQ（t）。由于假设Z是一个P-鞅，测度Q是一个等价的概率测度，我们可以通过Girsanov定理（例如[42，定理1.35]）得出结论。在命题3.4中，我们假设Z是[0，T]上的严格正P-鞅，而Z（T）定义了等价概率测度的Radon-Nikodym导数。根据命题3.4，Q实际上是市场的鞅测度。然而，一般来说Z只是一个局部鞅。因此，有趣的问题是，在哪些条件下我们可以证明Z是严格正真鞅。