Heath-Jarrow-Morton框架中的加性能量正演曲线

通过位置3.3和3.4追踪，自然会有一种形式的鞅测度核：φ（t）=φ（t）X（t）+φ（t），（3.38）ξ（t）=ξ（t）X（t）+ξ（t）。（3.39）检查的第一个条件是阳性。从（3.21）中的表示可以看出，Zis严格正当且仅当H>-1 a.s.这归结起来是为了验证H（t）=ξ|（t-)J（t）>-1，每t∈ [0，T]，a.s.，在以下假设下成立。假设6。跳跃风险参数ξ是[0，T]上的有界确定性向量函数（即ξ≡ 0 in（3.39）），从而ξ|（t）y>-1表示ν-a.e.y∈ RK和每个t≥ 观察到，为了确定正密度过程，我们假设跳跃核ξ是确定性的。由于正局部鞅是一个超鞅，为了证明Z是一个真鞅，有必要验证E[Z（T）]=1。然后，让我们陈述本节的主要结果。定理3.5。假设存在有界可测确定性函数φ：[0，T]→ Rk，φ：[0，T]→ Rk×m。定义Girsanov核φ（t）：=φ（t）X（t）+φ（t）和ξ，如假设6所示。进一步假设ν有四阶矩，isRRkkykν（dy）<∞.然后，（3.19）定义的过程Z是严格正真鞅。证据见附录A。在下一个定理中，我们陈述了随机指数的鞅性质，在动力学中没有跳跃的情况下，即ν≡ 0，另一种方式。Novikovcondition（[41]）是在连续密度过程中证明这一点的标准方法，即H（t）=Rtφ|（s）dW（s）。然而，对依赖于状态的φ应用Novikov条件只会在有限的时间间隔t内产生有效的度量变化∈ [0，τ]，其中τ将取决于模型中的参数（检查附录B中的证明以了解这一点）。

因此，Novikov条件可能无法验证所讨论的所有时间的鞅测度，并且我们无法得出结论，即对于t≥ τ. 因此，我们采用aweaker-Novikov型准则，该准则依赖于高斯矩的渐近性质。我们顺便指出，有关这个问题的文献可以在[31]的引言中找到。定理3.6。假设Θ：[0，T]→ Rm×mis有界可测函数满足（CP），θ：[0，T]→ Rmis可积与v:[0，T]→ Rm×kis平方可积。Letφ：【0，T】→14 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.Vargiolugger，φ：[0，T]→ Rk×mbe可测场，使得φ（t）有界且Rtkφ（s）kds<∞.定义Girsanov核φ（t）=φ（t）X（t）+φ（t），其中X是X（t）=（θ（t）+Θ（t）X（t））dt+v（t）dW（t）的唯一解。ThenZ（t）=expZtφ|（s）dW（s）-Ztkφ（s）kds（3.40）是[0，T]上的（严格正）P鞅。证据见附录B。现在，我们将证明定理3.6证明中使用的相同技术在X的动力学中添加跳跃分量时失败，即使密度过程Z仍然是连续的，即ξ≡ 我们需要纯跳跃L'evy分量J满足以下关于toL'evy过程的随机积分偶矩的渐近性质，这在非常简单的情况下并不成立。定义3.7。我们说，如果对于任何t，L'evy过程J（t）：=RtRRky N（ds，dy）满足性质（P）∈ [0，T]与有界可测函数h:[0，T]→ Rm×k，它支持→∞nEhkRtRRkh（s）y N（ds，dy）K2NIHKRTRRKH（s）y N（ds，dy）k2n-2i≤ C、 （3.41）其中C=C（t，t，h）是一个常数，可能取决于t，t和函数h。为了简单起见，让我们考虑一维情况，即k=1，和fix h≡ 1，t=t=1。然后，属性（P）变得很小→∞氖J（1）2nE[J（1）2n-2]≤ C

（3.42）因此，它归结为不可分分布矩的渐近行为。一般来说，L'evy过程的矩在累积量方面可以使用显式公式，但涉及相当复杂的组合量，这不允许以直接的方式解释关于n的增长行为（参见[44]或[13，引理2.2，命题2.3]）。在接下来的示例中，我们表明，对于非常常见的分布，（3.42）中的属性实际上没有得到验证。示例3.8（泊松过程）。具有强度参数λ的泊松过程N（t）的矩可以用所谓的Touchard多项式表示：E[N（1）N]=Tn（λ）=nXk=0nk公司λk，其中nk公司是第二类斯特林数，即将一组n个标记对象划分为k个非空未标记子集的方法数。观察这里的累积量由λ表示。例如，如果我们取λ等于1，则ne[N（1）N]=Tn（1）=nXk=0nk公司=: Bn，HEATH-JARROW-MORTON框架15中的加性能量正向曲线，其中我们用Bn表示第n个Bell数（参见[46]）。通过数值计算（3.42）中的比率，结果表明，从广义上讲，这种钟形数的增长实际上更快→∞氖N（1）2nE[N（1）2n-2] =lim supn→∞nB2nB2n-2= ∞.示例3.9（伽马和泊松从属）。在财务建模中，构建基于L'evy的模型的一种流行方法是布朗从属（参见[19，第4.4节]）。这包括通过一个独立的从属项改变布朗运动的时间，即增加的L'evy过程。设W为布朗运动，U为从属，相互依赖。然后，一个经典的结果是L（t）：=W（U（t））是一个L'evy过程。

L的动量可以根据W和U的动量计算如下：E[L（t）2n]=E[W（U（t））2n]=E[E[W（U（t））2n | U]]=E[U（t）n]E[W（1）2n]。因此，EL（1）2nE[L（1）2n-2] =E[U（1）n]E[W（1）2n]E[U（1）n-1] E[W（1）2n-2]≤ CnE[U（1）n]E[U（1）n-1] ，这得益于高斯矩的特性。因此，（3.42）中的渐近条件可归结为对从属矩的以下要求：lim supn→∞E[U（1）n]E[U（1）n-1]≤ C、 （3.43）然而，如果U是泊松从属函数，则（参见前一示例）E[U（1）n]E[U（1）n-1] =BnBn-1，这在数值上是无界的，因为n趋于完整。此外，如果U是Gammasubordinator，即U（1）是Gamma分布的，则ne[U（1）n]e[U（1）n-1]≈ Cn！βnβn-1（n- 1)!≈ Cn，因此，即使在这种情况下，属性（P）也不满足。3.3。风险溢价。在结束本节时，我们简要讨论了风险溢价，它在商品市场中代表了一个相关的数量（参见例[24]）。其定义为交割时远期价格和现货价格预测之间的差异，即在数学上，RPf（t，t）=f（t，t）- E【f（T，T）| Ft】，（3.44），现货价格为S（T）：=f（T，T）。由于f（t，t）是一个向量，风险溢价也被定义为一个向量。注意，在定理3.5的假设下，我们还可以写出鞅测度Q:RPf（t，t）=EQ[f（t，t）| Ft]- E[f（T，T）| Ft]。（3.45）风险溢价的经济解释尤其重要，几位作者在能源市场的背景下从经验和理论上对其进行了研究：例如，参见英国天然气市场的[15]、电力市场的[8、3、10]和各种能源交易所的[36]。由于我们目前的目的只是在我们的模型中确定它，我们参考上述文献，以更详细地描述风险溢价的财务和数学特征。16 F.E.本特，M。

PICCIRILLI和T.VARGIOLUIt很自然地将风险溢价的定义扩展为掉期价格与交付期内加权现货价格预期值之间的差异：RPF（T，T，T）=F（T，T，T）- EZTTbw（T，T，T）f（T，T）dT英尺. （3.46）为了使讨论保持在一个简单的水平，让我们省略数学上的论证。作为（3.44）和（3.46）的直接结果（参见[8]），我们有以下关系：RPF（t，t，t）=ZTTbw（t，t，t）RPF（t，t）dT。这意味着掉期的风险溢价是交割期内远期风险溢价（t，t）的加权平均值【t，t】。通过以积分形式写出（2.2），我们得到了rpf（t，t）=ZTtλ（s）E[f（s，t）| Ft]ds-ZTtc（s，T）ds，使用（2.10）后，它变成RPf（T，T）=（In- e-RTtλ（u）du）f（t，t）-中兴通讯-RTsλ（u）duc（s，T）ds，最后，由于bw与所有大小相同的矩阵进行换算，互换风险溢价可以写成rpf（T，T，T）=ZTT（In- e-RTtλ（u）du）bw（T，T，T）f（T，T）dT-ZTTbw（T，T，T）ZTte-RTsλ（u）duc（s，T）ds dT。在商品市场中，尤其是电力市场，观察到的风险溢价的行为是ratherinvolved（参见例[48，3]）。因此，为了恰当地描述这些程式化事实，我们假设了一个惊人的规格。据我们所知，文献中研究的几个模型（至少有[6,30]的例外）暗示了风险溢价的确定性结构。事实上，我们在目前的建模框架中拥有的是随机信号变化（在每个组件中）和一个有效的风险溢价。Lucia Schwartz模型的推广能源市场文献中的一种经典方法是直接对现货价格动态进行建模：例如，参见[4、16、25、39]和许多其他方法。这一研究方向有一些优点：例如：。

为了表示远期价格，有必要在任何等效的概率度量（称为定价度量）下计算现货的贴现预期值。在本节中，我们看到了一个一维现货价格动态示例，它给出了类型（3.2）的远期价格。我们从原始的Lucia Schwartz模型开始，然后基于波动率期限结构的更精确表示给出了一个推广。双因素Lucia Schwartz模型由两个状态变量和一个季节性分量组成。如果S（t）表示时间t的现货价格，则S（t）=S（t）+X（t）+X（t），带有S（t）季节性确定性分量，dx（t）=-κX（t）dt+vdWQ（t），（4.1）dX（t）=udt+vdWQ（t），（4.2）HEATH-JARROW-MORTON框架17中的加性能量正向曲线，其中wqa和wqa是定价测度Q下的两个布朗运动。然后，我们得到时间t和到期日t≥ t、 S（t）=S（t）+e-κ（T-t） X（t）+vZTte-κ（u-t） dWQ（u）+X（t）+u（t-t） +v（WQ（t）-WQ（t））。（4.3）表示X（t）=（X（t），X（t））|，交割时间为t的远期合约的价值由f（t，t）=等式[S（t）| Ft]=α（t，t）X（t）+β（t，t）给出，其中α（t，t）=（e-κ（T-t） ，1），β（t，t）=s（t）+u（t- t） 。通过将这些恒等式与（3.34）和（3.35）进行比较，我们发现在我们的模型中，这与γ（t）相对应≡ γ:=u, γ（t）≡ γ:=-κ 00 0.（3.26）中X的P-动力学与Q的Girsanov核之间的关系嵌入在（3.36）和（3.37）中。在该模型中，自V（t）≡ 五：=v0 v,我们有vφ（t）=γ- Θ（t），（4.4）vφ（t）=γ- γθ（t），（4.5），其中φ（t），Θ（t）是2×2矩阵，φ（t），θ（t）是二维列向量。

通过显式地写下它们，我们得到φ（t）=-κ+Θ（t）v-Θ（t）v-Θ（t）v-Θ（t）v, φ（t）=κθ（t）/vu/v.然后，f（t，t）的P-动力学系数由（3.7）–（3.9）确定，其产生λ（t）α（t，t）=α（t，t）（γ（t）- Θ（t））=α（t，t）v（t）φ（t），c（t，t）=λ（t）β（t，t）+α（t，t）（θ（t）- γ（t）），σ（t，t）=α（t，t）v（t）。我们立即观察到，α（t，t）允许每个t有一个右逆，并且有很多λ（t）满足第一个关系。例如，我们可以（假设Θ=Θ=0）取λ（t）=-κ - Θ（t），c（t，t）=λ（t）（s（t）+u（t- t） ）+θ（t）e-κ（T-t） +θ（t）- u，σ（t，t）=（e-κ（T-t） v，v）。鉴于这一分析，我们现在提出了一个双因素模型，该模型可被视为[39]的推广，其中我们添加了波动率的期限结构。文献[37]在一篇配套论文中对该模型进行了实证研究。18 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.VARGIOLUBy重新制定了（4.1）和（4.2），我们定义了x（T）=-κX（t）dt+vdWQ（t），（4.6）dX（t）=v（t）v（t）X（t）dt+v（t）dWQ（t），（4.7），其中v（t）现在是时间的可微函数，使得所有t的v（t）>0，并且v（t）v（t）6=-κ（否则，该模型将塌陷为一个单因素模型）。换句话说，Xis-amean还原了Ornstein-Uhlenbeck过程，而X（t）/v（t）可以显示为布朗运动。而在Lucia-Schwartz模型中，Xis是一个以漂移为粘滞量的布朗运动，这里Xis的方差随时间变化，这使得S的波动性以及价格水平具有季节性。因此，我们可以将vas视为波动性的季节性因素，将s视为价格的季节性因素。通过与上述类似的计算，我们得出s（T）=s（T）+e-κ（T-t） X（t）+vZTte-κ（u-t） dWQ（u）+v（t）v（t）X（t）+v（t）（WQ（t）- WQ（t））。注意，在这个新公式中，过程X和X的平均值是固定的（即，对于所有t，e[X（t）]=X（0）和e[X（t）]=X（0））。

因此，如果我们从X（0）=X（0）=0开始，那么s（T）也是s（T）的期望值（在风险中性度量Q下）。在时间t交割的远期合约在时间t的价值isf（t，t）=等式[S（t）| Ft]=α（t，t）X（t）+β（t，t），其中现在α（t，t）=e-κ（T-t） ，v（t）v（t）, β（t，t）=s（t）。这意味着df（t，t）=e-κ（T-t） σdWQ（t）+σ（t）dWQ（t），（4.8），特别是σ（t，t）=（e-κ（T-t） σ，σ（t））。该模型允许即时远期合约f（t，t）具有波动性的期限结构，该结构同时考虑了萨默尔森效应（波动性随着t的增加而增加→ T）在术语e中-κ（T-t） σ，以及σ（t）项中绝对成熟度的潜在复杂季节性。由此，通过指定权函数^w的选择并使用（2.13），我们可以获得所有（t，t，t）的动力学ofF（t，t，t）∈ 位于。例如，如果^w≡T-T、 我们有df（T，T，T）=-e-κ（T-t）- e-κ（T-t） κ（t- T） σdWQ（T）+RTTσ（T）dTT- TdWQ（t）。如果我们想要这样，在经验测量下，f遵循（2.2）中的均值回复过程，我们必须将X在其P-动力学（3.26）中的系数与（3.7）–（3.9）联系起来。我们已经知道，在P和Q下，我们都有v（t）=v0 v（t）.与我们之前对Lucia Schwartz模型所做的类似，我们可以进行一个节约型选择，并将θ（t）放入≡ 0和Θ（t）=Θ（t）≡ 这给出了HEATH-JARROW-MORTON框架19和Θ（t）中的usc（t，t）=λ（t）s（t）附加能量正向曲线=Θ（t）00Θ（t）=-κ - λ（t）0v（t）v（t）- λ（t）！。关于风险的市场价格，我们观察到γ（t）≡ 0 =, γ（t）=-κ0v（t）v（t）！andv（t）φ（t）=γ（t）- Θ（t）=λ（t）I，其中Iis为2×2单位矩阵。这与（3.37）一起得出φ（t）=λ（t）v，λ（t）v（t）, φ（t）≡ 我们现在遵循定理3.6来确定上述过程φ是否给出鞅。根据那里的充分条件，如果我们施加Θ是有界的，即。

λ和v有界，φ有界，即λvis有界，那么Z是鞅，Q是等价鞅测度。因此，（4.8）中的Q-动力学对应于P-动力学df（t，t）=λ（t）（s（t）- f（t，t））dt+e-κ（T-t） σdW（t）+σ（t）dW（t）（4.9）和，例如^w≡T-T、 我们还有df（T，T，T）=λ（T）RTTs（T）dTT- T- F（t，t，t）！dt（4.10）-e-κ（T-t）- e-κ（T-t） κ（t- T） σdW（T）+RTTσ（T）dTT- TdW（t）。（4.11）从该模型中，我们可以恢复能源市场典型的各种程式化事实真实世界概率测度下远期价格f（·，T）的动态是均值回复。平均逆转速度λ（t）可以是时间相关的（但在这个公式中不是到期时间相关的），长期平均值s（t）正是现货价格s的季节组成部分。互换动态也是如此（·，t，t），此时长期平均值是长期平均值s（t），t的到期时间平均值∈ [T，T]。o我们在远期价格f（·，T）中有一个广义萨缪尔森效应，这是相当明显的，在掉期价格f（·，T，T）中也有广义萨缪尔森效应。关于后者，将F（t，t，t）的差分向量表示为∑（t，t，t）=（eκtΓ（t，t），ψ（t，t）），其中Γ（t，t）：=t- TZTTσe-κudu=σ（e-κT- e-κT）κ（T- T） ，ψ（T，T）：=T- TZTTσ（u）du。然后函数t→ k∑（t，t，t）k在t中增加：随着到期时间的减少，波动性增加交割期较短的掉期价格比交割期较长的掉期价格波动更大。事实上，|Γ（T，T）|在第二个变量中是递减的。这意味着，对于所有的T<T<T，我们有|Γ（T，T）|>|Γ（T，T）|。例如，在到期时间相同的情况下，月度合同比季度（持续20个F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.VARGIOLU3个月）或日历（持续1年）更具波动性。

这与经验发现相一致，例如参见[5]，作者对Nord Pool上交易的电力合同进行了实证分析。综上所述，我们已经证明，Lucia和Schwartz的自然延伸可以允许第二个因子中的特定时间依赖性平均反转速度，例如X/v（t）是布朗运动，以及向前价格的时间依赖性平均反转速度。此外，我们在我们的框架中计算出了该模型的成分，因此导出的动力学是无套利的。两种商品的协整市场协整是计量经济学中的一个众所周知的概念，表示在几个能源相关市场中观察到的一种现象（例如，见[1，20]）。让我们介绍一个具有均值回归的套利自由交叉商品模型，该模型解释了协整价格变动。为了简单起见，我们将其用于两种商品的情况，因为一般化是向前延伸的。我们受到了[2]中提出的现货价格模型的启发。在指定鞅测度Q下的现货价格动态后，我们将通过条件期望推导出远期价格。本例的重点是探索均值回复协整的可能性，这将导致一些有趣的模型限制。设Sk（t）表示商品k在t时的现货价格，k=1，2，设置k（t）=Sk（t）+Yk（t）+akL（t），（5.1）带有Sk（t）季节性确定性成分，ak∈ R \\{0}表示k=1，2。我们假设，在鞅测度Q下，这些因子的动力学为dl（t）=σdW（t）+ψdJ（t），dY（t）=-uY（t）dt+σdW（t）+ψdJ（t），dY（t）=-uY（t）dt+σdW（t）+ψdJ（t），其中σ，ψ，uk，σk，ψk∈ R表示k=1，2。