Heath-Jarrow-Morton框架中的加性能量正演曲线

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英文标题：
《Additive energy forward curves in a Heath-Jarrow-Morton framework》
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作者：
Fred Espen Benth, Marco Piccirilli, Tiziano Vargiolu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  One of the peculiarities of power and gas markets is the delivery mechanism of forward contracts. The seller of a futures contract commits to deliver, say, power, over a certain period, while the classical forward is a financial agreement settled on a maturity date. Our purpose is to design a Heath-Jarrow-Morton framework for an additive, mean-reverting, multicommodity market consisting of forward contracts of any delivery period. The main assumption is that forward prices can be represented as affine functions of a universal source of randomness. This allows us to completely characterize the models which prevent arbitrage opportunities: this boils down to finding a density between a risk-neutral measure $\\mathbb{Q}$, such that the prices of traded assets like forward contracts are true $\\mathbb{Q}$-martingales, and the real world probability measure $\\mathbb{P}$, under which forward prices are mean-reverting. The Girsanov kernel for such a transformation turns out to be stochastic and unbounded in the diffusion part, while in the jump part the Girsanov kernel must be deterministic and bounded: thus, in this respect, we prove two results on the martingale property of stochastic exponentials. The first allows to validate measure changes made of two components: an Esscher-type density and a Girsanov transform with stochastic and unbounded kernel. The second uses a different approach and works for the case of continuous density. We apply this framework to two models: a generalized Lucia-Schwartz model and a cross-commodity cointegrated market.
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中文摘要：
电力和天然气市场的一个特点是远期合约的交付机制。期货合约的卖方承诺在一定期限内交付（比如说）权力，而传统的远期合约是在到期日结算的金融协议。我们的目的是设计一个Heath-Jarrow-Morton框架，用于由任何交货期的远期合约组成的加性、均值回复、多商品市场。主要假设是，远期价格可以表示为普遍随机性来源的仿射函数。这使我们能够完整地描述防止套利机会的模型：这归结为在风险中性度量$\\mathbb{Q}$$之间找到一个密度，这样像远期合约这样的交易资产的价格是真实的$\\mathbb{Q}$-鞅，而现实世界的概率度量$\\mathbb{P}$，在此情况下远期价格是均值回复。这种变换的Girsanov核在扩散部分是随机无界的，而在跳跃部分，Girsanov核必须是确定性有界的：因此，在这方面，我们证明了随机指数鞅性质的两个结果。第一种方法允许验证由两个组件所做的度量更改：Esscher型密度和具有随机无界核的Girsanov变换。第二种方法使用不同的方法，适用于连续密度的情况。我们将此框架应用于两个模型：广义Lucia Schwartz模型和跨商品协整市场。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
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关键词：Jarrow Morton arrow HEATH Heat

AHEATH-JARROW-MORTON框架中的附加能量正演曲线Fred ESPEN BENTH、MARCO PICCIRILLI和TIZIANO VARGIOLUAbstract。电力和天然气市场的一个特点是提前合同的交付机制。期货合约的卖方承诺在一定期限内交付（比如说）电力，而传统远期合约是在到期日结算的金融协议。我们的目的是设计一个Heath-Jarrow-Morton框架，用于由任何交货期的远期合约组成的加性、均值回复、多商品市场。即使对于相对简单的动力学，我们也面临着在风险中性度量Q（如远期合约等交易资产的价格为真Q鞅）和真实世界概率P（在此概率下远期价格为均值回复）之间找到密度的问题。通过假设远期价格可以表示为普遍随机性来源的函数，我们可以完全描述防止套利机会的模型。在这方面，我们证明了随机指数鞅性质的两个结果。验证两个分量的测量变化的实验结果：Esscher型密度和具有随机无界核的Girsanov变换。第二种方法使用不同的方法，适用于连续密度的情况。我们通过引入广义的德鲁西亚-施瓦茨模型和跨商品协整市场，展示了该框架如何为描述各种模型提供明确的方法。1、导言自过去几十年中许多国家放松管制以来，能源市场正在迅速发展，并引起了实践者和研究人员的注意，他们从建模角度提出了挑战性的问题。

最活跃的细分市场通常是远期市场，因此，流动性最强的衍生产品是远期合约。我们不区分远期和期货，因为正如我们在这里假设的那样，在确定性利率的情况下，结果是相同的。在本文中，我们使用了与[5]相同的术语，并将名称保留在未来固定时间交货的合同中，而在一段时间内交付商品的协议称为掉期。后一类在电力和天然气市场建模中尤其重要，在这类市场中，商品在一定时间段（例如一天、一个月或一整年）内进行物理或金融交换。对这些市场的数学模型的深入研究，以及对其最显著的经验特征的描述，可以在[9，47]中找到。日期：2018年6月8日。2010年数学学科分类。60G44、60G51、91G20、91B70。关键词和短语。能源市场，均值回归，希思-贾罗-莫顿方法，远期，鞅性质。这项工作在Piccirilli先生访问奥斯陆大学期间完成了一部分。F、 E.Benth感谢挪威研究委员会资助的FINEWSTOCH研究项目提供的财政支持。T、 Vargiolu感谢帕多瓦大学资助的研究项目CPDA158845“多维多项式过程和应用，以应对数学金融和能源市场的新挑战”提供的财政支持。2 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和T.Vargiolut这篇论文旨在通过应用Heath-Jarrow-Morton范式，为多商品能源远期市场开发一个一致且易于处理的框架[26]。直觉上，这包括将远期价格描述为不同市场中时间和交货日期的随机演变函数。

据我们所知，将这一理念应用于能源相关商品的第一项工作是【17】，此后，其他许多工作也相继开展【35、28、14、34】；有关电力和天然气市场中HJM模型的回顾和更多参考资料，请参见【9，第6章】。在本文中，我们希望设计一个具有与[5]相同理念的现实远期市场模型，其中理论上可以交易任何交付期的合约，并且这些合约之间不存在套利关系。我们提出了远期和掉期价格动态的均值回复随机过程（实际上是一种参数化超额交货时间的Ornstein-Uhlenbeck模型）。通过在市场概率测度P下建立模型，我们可以表示观测价格的典型经验行为。远期和掉期之间的无套利约束是通过各自动力学参数之间的显式关系建立的。正如文献[5]所指出的，为远期曲线指定一个随机演化，然后导出掉期价格作为交割时间的平均值，这样做的缺点是失去了理想的分布特征，在某些情况下，甚至失去了马尔可夫性。这导致了不可处理的模型，这些模型继承了复杂的概率结构。因此，在那篇论文中，作者支持掉期市场模型，即只对所谓的原子掉期进行直接建模。虽然非原子掉期的价格可以通过套利论据重建，但在根据真实数据拟合模型时，不可能使用市场上所有可用的信息。

这些事实促使我们寻找一个足够普遍的HJM市场模型，以包括远期和掉期，同时保持由此产生的随机结构的可跟踪性。在本文中，我们研究的动态模型是可加的，这意味着我们不会对价格进行对数变换（更多详细信息，请参见第2节）。最近，additivemodels越来越受欢迎，尤其是用于描述电力现货价格，例如[4、22、21、27、33、37]。这是因为他们能够很好地再现电价的程式化特征，包括负现货价格的经验证据，并为衍生品定价提供明确的公式。通常，当这些模型用于电力以外的商品时，问题是可能出现负价格。然而，根据建模偏好，可以求助于从属者（参见【4】）。对于能源远期市场的应用，尚未对多种商品的设置进行广泛的研究（但是，请参见[23、29、43]的基于现货的模型）。例如，随着电力市场的逐步一体化，需要建立能够同时描述不同电力市场价格演变的跨商品动态模型，例如北欧国家电力市场和德国电力市场。事实上，我们的多商品框架允许我们开发商品具有各种依赖关系的模型，如驱动过程之间的相关性或它们之间的协整/价格耦合（见第5节）。

此外，它还为以更现实的方式计算多商品衍生资产的价格开辟了道路，因为darkor spark的价差记录在现货或期货价格上，并且在风险管理方面，对多商品投资组合实施一致的风险度量，如PaR和VaR。我们的主要想法是将远期价格表示为普遍随机性来源的一种有效转换，后者独立于交货日期（见假设4）。这种简化假设既可以保持马尔可夫性，也可以描述一致的相关掉期价格过程。最重要的是，这将是证明等价鞅测度Q的存在性的关键，从而确保无套利模型。事实上，均值回归的存在迫使我们面对非平凡的数学障碍。在这方面，我们证明了定理3.5随机指数的鞅性质，其中L'evy部分是Esscher型HEATH-JARROW-MORTON框架3中的加性能量正向曲线，而Brownian分量的Girsanov核是状态变量中的一个函数，因此，特别是随机的。然后，我们在连续密度和连续核的情况下，通过对指数函数的级数表示应用弱Novikov型条件，给出了不同的证明（参见定理3.6）。这一结果的证明依赖于高斯矩的渐近性质。当我们继续考虑更一般的L'evy核时，我们发现同样的技术无法应用。

这与除高斯分布外的各种不可整除分布的例子不满足所需的矩渐近性有关。我们通过指定两个示例模型来证明我们的理论框架的实用性。第4节介绍的第一个模型是加性双因素LuciaSchwartz模型的推广[39]。我们通过引入均值回复无套利forwarddynamics对其进行了扩展，该模型能够描述内部波动性期限结构。这使我们能够考虑价格变化的季节性影响，例如在电力或天然气市场中通常可以观察到的情况。[37]在平行工作中，对该模型的一个版本进行了校准程序和在德国电力期货市场的实证应用。此外，我们引入了一个考虑无套利约束的均值回复协整远期市场的多维模型。特别是，我们看到这些约束如何暗示期货曲线动力学平均回归系数的某些条件（见第5节）。本文的结构如下。第2节介绍了HJM方法在多商品、添加剂、能源远期市场中的应用。在第3节中，我们研究了我们的主要假设如何确定过程的动力学和等价鞅测度集。然后，我们证明了随机指数鞅性质的两个主要结果。第4节介绍了双因素Lucia-Schwartz模型[39]的推广。最后，在第5节中，我们开发了一个具有协整动力学的跨商品模型。第6节，我们做一些最后的评论。附录A包含定理3.5的证明，而定理3.6的证明在附录B.2中给出。

HJM型能源远期合约市场在本节中，我们通过将Heath-Jarrow-Morton方法应用于能源远期曲线来介绍我们的远期市场的一般结构。如前所述，我们假设一种或多种商品的交易合同可以采用即时到期的远期和任意交货期的掉期形式。通过这种方式，我们能够引入一个有效的通用框架，以一致的方式应用于能源相关市场。远期和掉期动态均采用随机微分方程描述，它们之间的关系遵循自然无套利条件。我们通过【5，第3节和第4节】将分析扩展到多维框架。此外，我们在价格动力学中引入了（确定性）波动率调制的纯跳跃L'evy分量。我们从它们的设置开始，研究如何指定一个灵活但有效的多元加性均值回复模型。我们强调，我们的动态是在经验概率测度P下描述的。让我们首先介绍我们框架下的随机基础。假设1。让(Ohm, F、 F，P）是满足通常假设的过滤概率空间（见[32]）。设W是多维布朗运动，N（dt，dy）：=N（dt，dy）-dtν（dy）表示与中心平方可积纯跳跃L'evy过程j（t）=ZtZRy N（ds，dy）（2.1）4 F.E.BENTH、M.PICCIRILLI和t.Vargiolu相关的补偿泊松随机测度，其中L'evy测度ν（dy）在rrkkykν（dy）的意义下被假定为平方可积<∞.过程W和J都是k维的，并且相互独立。假设我们的市场上有n种商品。

为我们的经济确定一个时间范围T，并将集合定义为={（T，T）∈ [0，T]：T≤ T}和AT={（T，T，T）∈ [0，T]：T≤ T<T}。对于每个（t，t）∈ AT，设f（t，t）表示在t时刻瞬时交货的nforward合约在t时刻的远期价格的n维向量。类似地，对于任何（t，t，t）∈ AT，设F（t，t，t）为交割期为[t，t]的n个对应合约在t时的掉期价格的n维向量。让c：在→ Rn，λ：AT→ Rn×n，σ：AT→ Rn×k，ψ：AT→ Rn×k，C:AT→ Rn，∧：AT→ Rn×n，∑：AT→ Rn×k，ψ：AT→ Rn×Kb满足以下技术假设的决定性、可测量的向量/矩阵场。假设2.o对于任何T∈ [0，T]，T 7→ c（t，t）在[0，t]上是可积的，即RTkc（t，t）kdtis有限元对于任何T，T∈ [0，T]使得T<T，T 7→ C（t，t，t）在[0，t]上是可积的，即RTkC（t，t，t）kdt是有限的对于每个T∈ [0，T]，T 7→ σ（t，t）和t 7→ ψ（t，t）在[0，t]上是平方可积的，即RTkσ（t，t）kdt和RTkψ（t，t）kdt是有限的对于任何T，T∈ [0，T]使得T<T，T 7→ ∑（t，t，t）和t 7→ ψ（t，t，t）在[0，t]上是平方可积的，即RTk∑（t，t，t）kdt和RTkψ（t，t，t）kdt是有限的对于每个T∈ 【0，T】，矩阵字段T 7→ λ（t，t）在[0，t]上是连续的对于任何T，T∈ [0，T]使得T<T，矩阵字段T 7→ ∧（t，t，t）在[0，t]上是连续的。我们假设以下动力学：df（t，t）=（c（t，t）- λ（t，t）f（t，t））dt+σ（t，t）dW（t）+ψ（t，t）dJ（t），（2.2）dF（t，t，t）=（C（t，t，t）- ∧（t，t，t）F（t，t，t））dt+∑（t，t，t）dW（t）+ψ（t，t，t）dJ（t）。（2.3）初始条件f（0，T）和f（0，T，T）是确定性Borel可测函数inT≤ T和T<T≤ T、 分别为。备注2.1。我们希望（2.2）和（2.3）的解有一个明确的表示。

为了简化即将进行的讨论，请考虑（2.2）的独立于T的连续版本：df（T）=-λ（t）f（t）dt+σ（t）dW（t），（2.4），其中f（0）是单位矩阵，c≡ 假设0和λ，σ具有充分的正则性，因此存在唯一的解f。让我们引入以下定义。定义2.2（交换性质）。我们说，如果对于任意一对时间值tand t，a（t）a（t）=a（t）a（t），则平方矩阵值连续函数a（t）满足交换性质（CP）。这一假设可以放宽toRRk（kyk∧ 1） ν（dy）<∞ 我们可以通过定义非补偿L'evy过程j（t）：=RtRkyk<1y N（ds，dy）+RtRkyk在本节中得出类似结果≥1y N（ds，dy）。然而，由于我们希望简化数学讨论，并将重点放在建模解释上，我们假设条件rrkkykν（dy）<∞, 这尤其意味着J（如（1）所定义）是（2.2）和（2.3）中SDE的平方可积鞅分量。让我们注意到，对于本文中处理的一些结果，我们需要对ν进行更有力的假设（参见第3.2节），这使得从更一般的假设开始是不合适的。HEATH-JARROW-MORTON框架5Ifλ（t）satifies（CP），矩阵ODEdU（t）=λ（t）U（t）dt的唯一解U，可通过引入矩阵指数eA：=P写成asU（t）=eRtλ（U）dub中的加性能量正向曲线∞k=0Akk！（参见例[12]）。特别是，由于U（t）是可逆的，且其逆满足du-1（t）=-λ（t）U-1（t）dt，（2.5）我们还有λ（t）U（t）=U（t）λ（t）。由于矩阵乘积的非交换性，当λ不满足（CP）时，这些结果通常不成立。现在，应用它的引理U（t）f（t）：d（U（t）f（t））=λ（t）U（t）f（t）dt+U（t）df（t）（2.6）=（λ（t）U（t）- U（t）λ（t））f（t）dt+U（t）σ（t）dW（t）（2.7）=U（t）σ（t）dW（t）。