半静态稀疏方差最优套期保值

使用Schur补码，块矩阵CNEWC的逆可以写为（Cnew）-1=C-1+C-1KK>C-1米-1.-C-1公里-1.-K> C类-1米-1米-1.,参见[HJ12]，并应用定理2.3得出εn+1（u）=A-（Bnew）>（Cnew）-1新建。因此εd（u）-εn+1（u）=（Bnew）>（Cnew）-1新建-B> C类-1进一步代数操作产生（2.13）。2.3. 方差交换和长/短约束。我们回顾了具有欧洲看跌期权和看涨期权有限池的方差掉期的半静态对冲，如[Neu94，CM01]所述。我们将在第5节将本文中开发的方法应用于该套期保值问题。这也是向半静态套期保值问题中添加多头/空头约束的动机。回想一下，差异掉期是对基础交易资产的或有权益，到期时支付的金额为HswapT：=[log S，log S]T-k、 其中k∈R、 通常，选择k时，合同的价值在开始时为零，相应的价值k*= E[[log S，log S]T]被称为swaprate。回想一下，我们对折扣价格过程S的唯一假设是它是一个平方可积严格正连续鞅。将It^o的公式应用于log STwe get（2.14）logST=log s+ZTStdSt-ZTStd[S，S]tSEMI静态和稀疏方差最优套期保值7HenceHswapT=ZTStd[S，S]t-k=2ZTStdSt-2个日志-也就是说，为了对冲差额掉期，只需动态交易股票S，并在“对数合约”中输入一个静态头寸，使用收益对数，参见【Neu94】。

此外，根据[CM01]，我们有（2.15）logSTS=ST-不锈钢-ZS（K-ST）+KdK-Z∞S（ST-K） +KdK，插入上述方程得出（2.16）HswapT=2ZTSt公司-SdSt公司-k+2ZS（k-ST）+KdK+2Z∞S（ST-K） +KdK。这种平等可以被解释为方差掉期的半静态复制策略，它使用S中的动态头寸和固定数量的货币外认沽和货币外赎回中的小型微观头寸的静态组合。我们观察到以下几点：（a）对于任何实际实施，“最小投资组合”必须离散化，并且必须为每个看跌期权和看涨期权分配组合权。（b） 由于它们是相同标的资产的看涨期权和看跌期权，因此静态对冲资产具有高度相关性。（c） 看跌期权和看涨期权中的静态头寸仅为多头头寸。为了解决点（a），可以对（2.16）中的积分进行不同的特殊离散化（例如，左或右黎曼和、梯形和等）。然而，在最小化套期保值误差的意义上，哪种离散化是等时的并不明显。定理2.3精确地给出了方差最小化意义下最优离散化的选择。第（b）点表明，鉴于作为静态对冲资产的看跌期权和看涨期权数量适中（如30），其中许多将是多余的，因为它们的对冲贡献（考虑到其他补充资产）很小。这一观察结果推动了下一节的稀疏方法，并将在第5节的应用中进行数值验证。第（c）点最终促使添加短期/长期约束，或更一般地，类型为（2.17）v>p的线性约束≥ 0，其中p∈ 修复了（2.6）中的外部问题。有了这些约束，外部问题就是早期约束二次优化问题，标准数值软件仍然可以有效地解决这个问题。3.

稀疏半静态套期保值我们现在关注静态套期保值资产的最优选择问题，如引言中所述，并在前一节中有所激励。注意，子集选择只影响策略的静态部分，因此只影响（2.6）中的外部问题。调用“-normkvk”=∑ni=1 | vi | on rnand the（non-凸面）`-quasinormkvk，它计算v的非零元素的数量，cf[FR13]。定义3.1（稀疏方差最优半静态套期保值问题）。稀疏方差最优半静态对冲（θ，v）∈ L（S）×RN，有效投资组合规模d<n及其最佳初始资本8保罗·迪特勒（PAOLO DI TELLA）、马丁·豪博尔德（MARTIN HAUBOLD）和马丁·凯勒（MARTIN KELLER Reselc）∈ R是最小化问题（2.6）的解，外部问题替换为ε=minv∈Rn，v≥0（v>Cv-2v>B+A），根据。托克夫≤ d、 （`-约束问题）（3.1）该问题的`-松弛由ε=minv给出∈Rn，v≥0（v>Cv-2v>B+A）+λkvk，（`-弛豫）。（3.2）其中λ>0是一个替代d的调整参数。在这两个问题中，我们考虑了形式（2.17）的长/短包含。当然，极小化问题（3.1）等价于线性回归中广泛研究的子集选择问题，（3.2）等价于拉格朗日形式的凸松弛问题，通常称为拉格朗日松弛问题。我们参考[HTF13]了解一般概述，参考[Tib96]了解套索。我们强调：“-约束子集选择问题（3.1）是非凸的，如果维数n较高，则很难精确求解。”“-惩罚极小化问题（3.2）是凸的，对于大n，存在有效的数值解。

它的解通常是精确子集选择问题的一个很好的近似值，但通常不能保证接近（3.1）的解。为了说明“-惩罚的效果，用v表示*未赋能Hedging问题（2.5）的解，并假设所有GKW残差（LT，…，LdT）均不相关。这种假设在对冲环境中是非常不现实的，但导致了惩罚问题的一种简单形式的解决方案，参见【Tib96】：它由v=符号（v）（| v）给出|-λ）+，即所有静态位置均向零收缩λ，并在达到零时截断。这很好地说明了惩罚的稀疏效应和λ的作用。虽然（3.2）经常用作（3.1）的替代品，但对于直接求解（3.1）或近似求解（3.1），存在以下备选方案。再次，我们参考[Tib96]了解描述方法的更多详细信息：蛮力：解决基数Yd的每个可能子集的二次优化问题。因为有dn在这些子集中，这种方法通常并不有效，并且对于大的n跳跃来说完全不可行。“跳跃”是【FW74】引入的用于线性回归子集选择的分枝定界算法，它给出了（3.1）的精确解，而无需测试所有可能的子集。贪婪正向选择：对（3.1）的一个简单贪婪近似是假设不同基数的最优子集是嵌套的。在正向方法中，问题（3.1）首先在d=1时解决，这很容易。然后，迭代地将相对对冲贡献最大的补充索赔（见（2.5））添加到每个步骤的主动静态头寸集中。

同样的过程也可以向后使用（“贪婪向后选择”），即从d=n开始，然后用最小对冲贡献迭代删除补充索赔。通常，这些方法不能保证接近（3.1）的精确解。我们将在第5节中比较不同求解方法的实际性能。我们注意到，可在压缩传感的理论框架内，给出通过求解（3.2）完全恢复（3.1）溶液的条件，参见例如【FR13】。半静态稀疏方差最优套期保值94。具有傅立叶表示的随机波动率模型（稀疏）半静态Hedging问题数值解仍然缺少的最终成分是根据定理2.3计算数量a、B和C的有效方法。一种可能的方法是计算S和H的跃迁密度。，Hnby蒙特卡罗模拟，并通过顺序反向回归计算GKW分解，参见【FS88】。由于需要S的联合分布和补充索赔的所有价格过程，我们期望使用该方法获得相当大的精度需要大量的计算量。[KP10]（另见[HKK06，Pau07]）为欧洲索赔的经典方差最优套期保值问题（2.1）提出了一种有趣的替代方法。该备选方案基于众所周知的欧洲索赔定价傅立叶方法，参见[CM01，Rai00，KP10]。4.1. 策略和对冲误差的傅立叶表示。我们接近[KP10]的框架，并假设某些期权H的收益由H=f（XT）给出，其中X是标的股票的对数价格过程，即我们还假设S=exp（X）。

例如，通话的支付可以写成f（x）=（ex-K） +，但没有必要局限于这种特殊情况。此外，我们假设（重定标）双边拉普拉斯变换（4.1）~f（u）=2πiZ+∞-∞经验值(-ux）f（x）dx在某些u=R时存在收益∈ R可积于条带（R）：={u∈复平面中的C:Re u=R}。如果可积条件EeRXT公司< ∞ 持有，则为索赔H在时间t的风险中性价格∈ [0，T]可以通过沿S（R）的傅里叶型积分（4.2）Ht=ZS（R）Ht（u）~f（u）du恢复，其中我们表示XTbyHt（u）的条件矩母函数（解析扩展到复平面）：=EeuXT公司英尺.注意，由于XT上的可积性条件，Ht（u）在S（R）上定义得很好。在欧式看跌期权和看涨期权的重要案例中，双边拉普拉斯变换▄f由▄f（u）=2πiK1给出-uu（u-1） ，对于调用，R>1，对于put，R<0，参见[HKK06，第4节]。[HKK06]对独立增量模型中的方差最优套期保值和[KP10，Pau07]对有限随机波动率模型的主要见解是，欧洲债权的傅立叶表示（4.2）可以扩展到其GKW分解（2.2）。更准确地说，策略θ和对冲误差ε=E书信电报方差最优套期保值问题（2.1）可以用傅里叶型积分表示，类似于（4.2）。对于我们感兴趣的问题，半静态套期保值问题（2.5），[HKK06、KP10、Pau07]的结果并不充分：为了获得定理2.3中的数量A、B和C，我们还需要计算不同索赔的GKW残差之间的协方差E[LiTLjT]。在配套文件[DTHKR17]中，我们将[HKK06，KP10，Pau07]的结果推广到半静态套期保值问题。

此外，我们还表明，该方法可用于对数价格X的傅里叶变换已知的任何随机波动率模型（如赫斯顿模型、3/2模型或斯坦-斯坦模型，参见[Lew00]）。这里，我们只需要[DTHKR17]中更一般结果的一个特例，它被浓缩成下面的定理4.1（i）。10 PAOLO DI TELLA、MARTIN HAUBOLD和MARTIN KELLER Reselin为了表述结果，我们假设索赔H（例如方差交换）和补充资产H。，给出了HN的傅立叶表示（4.1），并定义了u、u、u∈ C有限变量A，B（u），C（u，u）bydA=dhH，Hi的复值可预测过程-θθdhS，Si，A=0（4.3a）dB（u）=dhH，H（u）i-θθ（u）dhS，Si，B（u）=0，（4.3b）dC（u，u）=dhH（u），H（u）i-θ（u）θ（u）dhS，Si，C（u，u）=0。（4.3c）定理4.1。设远期价格过程S=Ex和方差过程V为随机波动率模型，T>0为固定时间范围。设Hbe为方差掉期，收益[X，X]T=RTVtdt，补充资产（H，…，Hn）为欧式看跌期权或看涨期权，傅立叶表示见（4.1）。假设（S，V）是连续的平方可积半鞅，并且在最后一个分量中存在连续可微的函数h（u，t，Vt），γ（t，Vt），使得（4.4）Ht（u）=EeuXT公司英尺= euXth（u，T-t、 Vt），Ft:=E[[X，X]t-[X，X]t | Ft]=γ（t-t、 Vt）。那么，以下情况成立：（i）定理2.3中的量A、B和C可以表示为asA=E[AT]（4.5a）Bi=ZS（Ri）E[BT（u）]~fi（u）du，i∈{1，…，n}（4.5b）Ci j=ZS（Ri）ZS（Rj）E[CT（u，u）]~fi（u）~fj（u）dudu，（i，j）∈{1，…，n}。（4.5c）（ii）过程（4.3）可以写成dat=(vγ（T-t、 Vt）dQt，（4.6a）dBt（u）=euXtvh（u，T-t、 Vt）vγ（T-t、 Vt）dQt（4.6b）dCt（u，u）=e（u+u）Xtvh（u，T-t、 Vt）vh（u，T-t、 Vt）dQt（4.6c），其中（4.7）dQ=d【V，V】-d[X，V]d[X，X]d[X，V]。证据

该定理的第（i）部分在技术上要求很高，源于配套论文[DTHKR17]中的定理4.5、4.6和4.8。为了显示第（ii）部分，设Y为Rn值连续半鞅，α、β为C（Rn，C）中的函数。利用伊藤公式（参见[JS03，Thm.I.4.57]）和二次协变量的性质（参见[JS03，Thm I.4.49]），我们得到了计算规则（4.8）d[α（Y），β（Y）]=∑i、 jyiα（Y）yjβ（Y）d【Yi，yj】。插入方差最优策略的定义θ（u）=dhH（u），SihS，Siinto（4.3），并识别连续鞅的可预测方差h。，。i和二次变化[，.]重合，weobtaindC（u，u）=d【H（u），H（u）】-C的d[H（u），S]d[S，S]d[H（u），S]，以及B和A的类似表达式。使用假设（4.4）并多次应用（4.8），我们得到（4.6）。半静态稀疏方差最优套期保值114.2。赫斯顿模型。在赫斯顿模型（参见[Hes93]）中，风险中性价格过程S由St=Sexp（Xt），t给出≥ 0，其中dxt=-Vtdt+√VtdWt，（4.9a）dVt=-λ（Vt-κ） dt+σ√VtdWt，（4.9b），其中Wand表示两个布朗运动，使得hW，Wit=ρt，ρ∈ [-1,1]; λ , σ,κ > 0.赫斯顿模型的联合力矩母函数是明确已知的，其形式为（4.10）E[exp（uXT+wVT）]=exp（φT（u，w）+ψT（u，w）V+uX，对于集合（4.11）DT中的实数参数定义良好：=（u、w）∈ R： E[经验（uXT+wVT）]<∞,并对相关的“复杂条带”（DT）进行分析扩展：=（u、w）∈ C： （Re u，Re w）∈ DT公司.为了表示φt（u，w）和ψt（u，w），我们引入（u） =（ρσu-λ )-σ（u-u） ，r±=r±（u，w）：=σλ -ρσu±p（u）g=g（u，w）=r--wr公司+-w、 然后给出ψtis的显式表达式，对于（u，w）∈ Dtby（参见[Alf15，Prop.4.2.1]），（4.12）ψt（u，w）：=w+（r--w） 1个-经验值-t型√1.-gexp(-t型√), （u） 6=0；w+（r--w） σt2+σt（r--w） ，则，（u） =0。使用conventionexp(-t型√) -g1级-g： =1,1-exp（t√)1.-g膨胀（t√):= 0只要g的分母等于零。

此外，φt（u，w）由（4.13）φt（u，w）给出：=λκr-t型-2λκσ对数1.-gexp(-t型√)1.-g级（u） 6=0；λκr-t型-2λκσ对数1+σ（r--w） t型（u） =0。以下定理将定理4.1专门用于赫斯顿模型，并给出了（直至积分）定理2.3中数量A、B和C的显式表达式。附录A中给出了定理的证明。定理4.2。让（X，V）由赫斯顿模型（4.9）给出，并让索赔Hbe进行方差交换，即收益HT=【X，X】Tat到期T。让补充权利要求（H，…，Hn）为欧式看跌期权和带收益的看涨期权，双边拉普拉斯变换fi，可沿条带S（Ri）积分，as12 PAOLO DI TELLA，MARTIN HAUBOLD和MARTIN KELLER Reselin（4.2）。如果Ee2RiXT公司< ∞ 对于所有i=1。，n则定理2.3中定义的数量A、B和C由A=σ（1）给出-ρ） λZT1.-e-λ（T-t）E[Vt]dtBi=σ（1-ρ） λZTZS（Ri）1.-e-λ（T-t）ψT-t（u）E[Ht（u）Vt]~fi（u）du dtCi j=σ（1-ρ） ·ZTZS（Ri）ZS（Rj）ψT-t（u）ψt-t（u）E[Ht（u，u）Vt]~fi（u）~fj（u）dududt，其中E[Vt]=E-λtV+1.-e-λtκ（4.14a）E[羟色胺（u）Vt]=wφu、 ψT-t（u，0）+五、wψu、 ψT-t（u，0）euXh（u，t，V），（4.14b）E【Ht（u）Ht（u）Vt】=wφu、 qT-t（u，u）+五、wψu、 qT-t（u，u）·（4.14c）e（u+u）Xh（u，t，V）h（u，t，V），其中qt（u，u）=ψt（u，0）+ψt（u，0），h（u，t，V）=expφt（u，0）+Vψt（u，0）.备注4.3。注意公共引导因子σ（1-ρ） A、B和C也成为最小平方对冲误差ε的主导因素，参见（2.12）。这很有意义，因为它使套期保值误差大致与volσ的vol成正比，并表明套期保值误差在Heston模型的完全市场边界情况ρ=±1下消失。然而，ρ和σ也出现在φ、ψ旁边，因此它们对ε的影响不限于主导因子σ（1-ρ） 独自一人。备注4.4。[AP07，第3.1款]（另见[FKR10]）中描述了赫斯顿模型中的有限矩域DTof。

利用这些结果，定理4.2中的力矩条件可以通过以下方式进行检查：Setχ（u）：=ρσu-λ , （u） ：=χ（u）-σ（u-u） 和定义（4.15）T*（u）=+∞ , （u）≥ 0，χ（u）<0；√（u） 日志χ（u）+√（u） χ（u）-√（u）, （u）≥ 0，χ（u）>0；√-（u）阿尔茨坦√-（u） χ（u）+π1{χ（u）<0}, （u） <0。根据【AP07，第3.1款】，力矩条件Ee2RiXT公司< ∞ 等于T<T*（2Ri）。5、数值结果根据“风格化金融市场”设置，应考虑以下数值实施，即虽然我们没有根据当前市场数据校准模型，但我们使用的参数在市场设置中是现实的。更具体地说，我们使用了[Gat06]中的赫斯顿模型参数：（5.1）κ=0.0354λ=1.3253ρ=-0.7165σ=0.3877 V=0.0174半静态和稀疏方差-最优对冲13在第5.4小节中，我们改变杠杆参数ρ，但保持所有其他参数不变。当前股票价格标准化为S=100，我们对varianceswap和看涨期权使用T=1（年）的到期时间。方差掉期的价格（即掉期利率k*= E[[对数S，对数S]T]）可以很容易地计算出来*=中兴通讯[Vt]dt=κT+（V-κ)1 -e-λTλ=0.025427。补充资产为OTM看跌期权和OTM看涨期权，罢工范围从Kmin=50到Kmax=150，步骤为K=5。我们关注半静态套期保值问题的三个方面：o比较第3节中提出的解决稀疏半静态套期保值问题的不同方法；o分析套期保值误差和最优投资组合构成对有效投资组合规模d的依赖性分析了套期保值误差和最优组合组合对杠杆参数ρ的依赖性。5.1. 方法比较。作为第一步，我们通过MATLAB中的自适应积分，使用定理4.2中的傅立叶表示，从定理2.3计算a、B和矩阵C。