半静态稀疏方差最优套期保值

接下来，我们实现了第3节中描述的方法，即：（1）贪婪的正向选择（有和没有卖空约束）（2）跳跃（有和没有卖空约束）（3）套索R，[R C16]；使用带有选项type=“lasso”的lars[HE13]包中的函数lars计算lasso解决方案。虽然计算要求最高，但跳跃和边界解决方案可以作为基准解决方案，因为它是解析半静态套期保值问题（3.1）的精确解决方案（最大数值误差）。相反，其他方法仅将“reasonableclose”解决方案返回到（3.1）。在所有情况下，我们报告相对套期保值误差ε/k*, i、 e.按差额掉期价格标准化的对冲误差。所有方法都面临的一个挑战是矩阵C的恶劣条件。对于上述参数Schosen（5.1），C的倒数条件数为1.11×10-虽然这个数字很小，但仍比机器精度2.22×10大几个数量级-16（双精度算术）。C的糟糕状况并不令人惊讶，因为看跌期权和看涨期权与相邻的行权高度相关。这种影响可能因C包含GKW残差的相关性而不是期权价格本身的相关性而加剧。虽然我们考虑了C的预条件作用，但按照[Neu98]的思路，我们发现贪婪的正向选择和跳跃即使没有额外的条件作用也表现得很好。此外，卖空限制的加入似乎对这种方法有着规范化的效果。图1显示了在不同有效投资组合规模d=0的情况下，通过方法1-3返回的最优投资组合所获得的相对对冲误差（作为方差掉期价格的百分比）。21

请注意，LASSO的实现从活动集中添加和删除了补充资产，因此该图可以显示相同有效投资组合规模的多个解决方案（例如，对于d=15）。着眼于方法的比较，我们发现14 PAOLO DI TELLA、MARTIN HAUBOLD和MARTIN KELLER-Reselfigure 1。具有不同有效投资组合规模的方差掉期稀疏半静态对冲的相对对冲误差（对数标度）。该图比较了跳跃法（蓝色十字）、贪婪法（红色钻石）和套索法（绿色圆圈）获得的解决方案跳跃法返回套期保值误差最小的解，这与它精确解（3.1）的事实一致。它的速度非常快，但进一步的数值实验表明，它的运行时间对模型参数的选择非常敏感贪婪法是最快的方法，其解的剩余套期保值误差仅略高于跳跃解的套期保值误差。此外，贪婪方法的性能在参数选择方面是稳定的LASSO方法似乎受到C的恶劣条件的严重影响。这并不奇怪，因为在【BVDG11，第2.6节】中已经指出，LASSO方法与高度相关的数据存在问题。综上所述，我们可以推荐贪心方法，因为它快速、可靠且易于实现。边界法是计算精确基准解的有效方法。我们不能推荐LASSO，因为它不能很好地处理C的恶劣条件。有趣的是，这一观察结果与回归问题变量选择的通常智慧相反，贪婪的正向选择通常具有不稳定的性能，LASSO产生了更好的结果，参见【BVDG11，Ch.2】。

我们将这些发现归因于矩阵C的高度相关性，这在回归场景中是不典型的，但也是我们对冲问题的一个自然特征。公平地说，R函数lars也提供了“逐步”选项，而不是“套索”，这有效地对应于贪婪方法。半静态稀疏方差最优套期155.2。套期保值误差分析。我们返回图1，分析不同有效组合d的稀疏方差最优半静态套期保值问题（3.1）产生的套期保值误差。我们考虑了有卖空约束的跳跃法返回的基准解。首先，我们注意到基础S中的动态对冲，在看跌期权和看涨期权中不使用任何静态头寸（d=0），导致相对对冲误差为59.7%。仅通过添加三个辅助资产（d=3），该误差已降低至5.7%，通过选择六个辅助资产（d=6），该误差可进一步降低至3.4%。最后，当使用Kmin=50和Kmax=150之间的put和call的全范围（d=21）时，误差将稳定到1.6%。只有通过扩大可用罢工范围，才能进一步大幅减少对冲误差；在当前范围内添加更多选项的效果可以忽略不计。d=0和d=3之间套期误差的大幅减少，确立了稀疏半静态套期的基本前提：仅选择少量补充资产已经导致套期误差大幅减少。另一方面，LASSOsolution的糟糕表现表明，辅助资产的次优选择并不能令人满意地减少对冲误差。换言之，重要的是以最佳方式选择稀疏子投资组合，而不是任意选择。5.3.

对冲组合的组成。现在我们来看看静态hedgingportfolio的组成，即向量v∈RN和constraintkvk≤ d、 这是由稀疏半静态套期保值问题（3.1）的解决方法返回的。回想一下，元素Vi是补充资产Hi中头寸的名义规模，负号表示空头头寸。在我们的设置中，v的元素可以简单地通过相应put/call的strike K来索引。图2显示了不同解决方案方法返回的最优投资组合，以及它们对有效投资组合大小d的依赖性。我们进行了以下观察：o除put K=55外，仅观察到多头头寸；oOTM看跌期权（K<100）中的头寸大于OTM看涨期权（K>100），与纽伯格的复制投资组合（2.16）一致所有方法的一般模式（从有效投资组合规模d=1到21）可以描述如下：从（大约）ATM选项开始。继续选择bothOTM puts和CALL，随着d的增加向外移动，并在OTM puts上增加重量，直到达到Kmin=50的极限。继续添加OTM呼叫并填补早期阶段的差距。我们怀疑罕见的空头头寸是数值伪影，而不是（3.1）的真正最优解。事实上，它们对对冲误差的影响微乎其微，因此我们建议在对冲方差掉期的情况下使用先验卖空约束。图2很好地概述了投资组合的组成，但很难评估单个头寸vi的精度。因此，我们在图3中提供了一个额外的投资组合权重v图，该权重v由K线索引，用于有效规模为d=3、6、12的最佳投资组合的对数坐标。

请注意，Neuberger的复制投资组合（2.16）将v（K）dK=KdK的最小权重放在了一个具有罢工K的期权上。在双对数坐标中，这变成了slogv（K）=-2log K，即在投资组合中，权重应形成一条向下的斜率线-图3显示了与此渐近结果的合理一致性，即使对于d=3的有效投资组合规模也是如此。当d=12时，由于矩阵C的恶劣条件而产生的数值误差似乎在累积，这可以解释图形的不规则形状。16保罗·迪特拉（PAOLO DI TELLA）、马丁·豪博尔德（MARTIN HAUBOLD）和马丁·凯勒·雷塞尔（MARTIN KELLER-RESSEL）（A）有卖空约束的跳跃（B）没有卖空约束的跳跃（C）有卖空约束的贪婪正向选择（D）拉索夫图2。取决于有效投资组合规模的最优对冲投资组合的组成。多头头寸显示为红色，空头头寸显示为蓝色；颜色饱和度对应于位置大小v（K）。不同的子地块对应不同的求解方法。半静态和稀疏方差最优套期保值17图3。组合权重vKin在双对数坐标系下，有效大小=3（黑色十字）、d=6（绿色圆圈）和d=12（红色x）的最佳对冲组合。5.4. 相关性的作用。最后，我们转向相关参数ρ的作用，这有几个原因：首先，ρ的值不影响方差Swap的理论价格。其次，ρ也不影响最终最优策略（2.16）。最后，ρ允许调整市场不完全程度，因为赫斯顿模型在边界情况ρ=±1下成为一个完整的市场模型。尽管有前两点，但在稀疏半静态套期保值问题中，ρ对可达到的套期保值误差和最优投资组合的组成有显著影响。

从主导因素1可以怀疑这种影响-ρ出现在OREM 4.2中，其传播到（平方）对冲误差本身，另见备注4.3。实际上，如图4所示，相对航向误差对ρ的依赖关系非常接近“半圆定律”f（ρ）=cdp1-ρ、 对于不同的有效投资组合规模，具有不同的常数Cd。参考文献[Alf15]Aurélien Alfonsi。精细扩散和相关过程：模拟、理论和应用。Springer，2015年。[AP07]Leif B.G.Andersen和Vladimir V.Piterberg。随机波动率模型中的矩爆炸。财务会计。，11(1):29–50, 2007.Jean Pascal Ansel和Christophe Stricker。渡边坤田的构图。《斯特拉斯堡概率报》，1993年27:30–32。Mathias Beiglb"ock、Pierre Henry Labordère和Friedrich Penkner。期权价格的模型独立界限——一种大众运输方法。《金融与随机》，17（3）：477–5012013。Peter Bühlmann和Sara Van De Geer。高维数据统计：方法、理论和应用。Springer Science&Business Media，2011年。彼得·卡尔。泊松跳下障碍期权的半静态套期保值。《国际理论与应用金融杂志》，14（07）：1091–11111911.18保罗·迪特拉、马丁·豪博尔德和马丁·凯勒·雷塞尔图4。相对于杠杆参数ρ，有效规模为d=3（黑色交叉）、d=6（绿色圆圈）和d=12（红色x）的投资组合可达到的相对套期保值误差。还显示了f（ρ）=cdp1的曲线图-ρ（蓝色虚线）与cdchosen匹配，以匹配红色和蓝色图形。[CM01]P.Carr和D.Madan。走向波动性交易理论。在期权定价、利率和风险管理方面，Handb。数学《金融》，第458-476页。剑桥大学出版社，剑桥，2001年。【DTHKR17】P.Di Tella、M.Haubold和M.Keller Ressel。

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集合DT（来自（4.11））和函数ψt（u，w）（来自（4.12））具有以下性质：（a）集合DT是开放的和凸的。（b） If（u，w）∈ S（DT）然后（u，ψT-t（u，w））∈S（Dt）。（c） 函数φt（u，w）和ψt（u，w）是在S（Dt）上解析的。（d） If（a，b）∈ DT，然后（a，b）∈ 适用于所有b≤ b、 （e）Reψt（u，w）≤ ψt（Reu，Re-w）表示所有（u，w）∈ S（Dt）证明。特性（a）、（b）和（c）如【FM09】所示。对于（d），请注意VT≥ 0表示E经验值aXT+bVT≤ E【exp（aXT+bVT）】适用于所有b≤ b、 对于（e），请注意Jensen不等式隐含exp（ReφT（u，w）+ReψT（u，w）V+Re uX）=E[经验（uXT+wVT）]≤≤ Eexp（uXT+wVT）= exp（φT（Reu，Re-w）+ψT（Reu，Re-w）V+Re-uX）。由于可以选择任意大的vc，（e）如下。引理A.2。设（X，V）由赫斯顿模型（4.9）给出，并假设（u，w）∈ S（Dt）。ThenE公司euXt+wVtVt={wφt（u，w）+Vwφt（u，w）}eXh（u，t，V）。证据固定（a、b）∈D和考虑（u、w）∈形式为（u=a+i y，w=b+i z）的S（Dt）。按假设K=EeaXt+bVt存在，并且是（0，∞). 定义概率度量M on(Ohm,20保罗·迪特拉（PAOLO DI TELLA）、马丁·豪博尔德（MARTIN HAUBOLD）和马丁·凯勒（MARTIN KELLER RESSELdMdQ）Ft=exp（aXt+bVt）/K，即通过Q的指数倾斜。显然，M下（Xt，Vt）的特征函数由em给出eiyXt+izVt= 均衡器euXt+wVt= exp（φt（u，w）+Vψt（t，u，w）+uX）。由于φt（u，w）和ψt（u，w）的解析性质，参见引理A.1（c），左手边关于（y，z）的所有偏导数都存在。关于特征函数可微性的标准结果（参见[Luk60，第2.3节]）得出eiyXt+izVtVt= -iddzEM公司eiyXt+izVt=ddwexp（φt（u，w）+Vψt（u，w）+uX）。将左手侧转换回Q会产生所需的结果。定理4.2的证明。首先，在theHeston模型的情况下，我们确定命题4.1的相关数量。

利用（4.10）和（4.9），我们得到了（u，T-t、 Vt）=expφT-t（u，0）+Vtψt-t（u，0）, vh（u，T-t、 Vt）=ψt-t（u）h（u，t-t、 Vt），vγ（T-t、 Vt）=λ1.-e-λ（T-t）, dQ=σ（1-ρ） Vtdt。因此，根据命题4.1，dA=σ（1-ρ)λ1.-e-λ（T-t）VtdtdB（u）=σ（1-ρ)λ1.-e-λ（T-t）ψT-t（u）Ht（u））VtdtdC（u，u）=σ（1-ρ） ψT-t（u）ψt-t（u）Ht（u）Ht（u）Vtdt。如果（4.14）中的期望值是有限的，则应用定理4.1可以得到A、B、C的期望表示。因此，仍需显示可积性并确定（4.14）中的显式表达式。首先，（4.14a）很容易从赫斯顿SDE（4.9）获得。为了显示（4.14b），我们使用了图A.1和A.2。设u=x+iz是一些条带S（Rj）的元素，注意，xts上的可积条件意味着（x，0）∈DT。根据引理A.1（b），我们得出结论（x，ψT-t（x，0））∈Dt。NowReψT-t（u，0）≤ ψT-t（0，x）和引理A.1（d）表明（Re u，Reψt-t（0，u））∈ Dt，等于（u，ψT-t（u，0））∈ S（Dt）。应用引理A.2，w=ψT-t（u，0）屈服4.14b。对于（4.14c），我们可以使用类似的参数：写入u=x+iz和u=x+iz。XT上的可积条件意味着（2x，0）和（2x，0）在DT中。根据引理A.1（b），我们得出结论（2x，ψT-t（2x，0））∈ 类似地，对于x.Dt的凸性，参见引理A.1（A），显示（x+x，qT-t（2x，2x））∈ DT。ψT的Now凸性-t（因此为qT-t） ，再加上引理A.1（d），也得到了（x+x，qT-t（x，x）∈ Dt。要传递到复杂的参数，请注意引理A.1（e）也意味着（u+u，qT-t（u，u））∈ S（DT）。因此，我们可以应用引理A.2，其中u=u+u，w=qT-t（u，u），其产率为（4.14c）。德累斯顿大学数学随机研究所