半静态稀疏方差最优套期保值

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英文标题：
《Semi-Static and Sparse Variance-Optimal Hedging》
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作者：
Paolo Di Tella, Martin Haubold, Martin Keller-Ressel
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We consider hedging of a contingent claim by a \'semi-static\' strategy composed of a dynamic position in one asset and static (buy-and-hold) positions in other assets. We give general representations of the optimal strategy and the hedging error under the criterion of variance-optimality and provide tractable formulas using Fourier-integration in case of the Heston model. We also consider the problem of optimally selecting a sparse semi-static hedging strategy, i.e. a strategy which only uses a small subset of available hedging assets. The developed methods are illustrated in an extended numerical example where we compute a sparse semi-static hedge for a variance swap using European options as static hedging assets.
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中文摘要：
我们考虑通过“半静态”策略对未定权益进行对冲，该策略由一项资产的动态头寸和其他资产的静态（买入并持有）头寸组成。在方差最优性准则下，我们给出了最优策略和套期保值误差的一般表示，并在赫斯顿模型的情况下，利用傅立叶积分给出了易于处理的公式。我们还考虑了最优选择稀疏半静态对冲策略的问题，即仅使用可用对冲资产的一小部分的策略。在一个扩展的数值示例中，我们使用欧式期权作为静态对冲资产，计算了方差掉期的稀疏半静态对冲。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Semi-Static_and_Sparse_Variance-Optimal_Hedging.pdf (541.38 KB)

2022-6-1 08:46:59 上传

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关键词：套期保值 Mathematical Differential Presentation Quantitative

半静态稀疏方差最优HEDGINGPAOLO DI TELLA、MARTIN HAUBOLD和MARTIN KELLER-Reselabstract。我们考虑通过“半静态”策略对未定权益进行对冲，该策略由一项资产的动态头寸和其他资产的静态（买入并持有）头寸组成。在方差最优准则下，我们给出了最优策略和套期保值误差的一般表示，并在赫斯顿模型的情况下，利用傅立叶积分给出了易于处理的公式。我们还考虑了最优选择稀疏半静态对冲策略的问题，即只使用可用对冲资产的一小部分的策略。在一个扩展的数值示例中，我们使用Europeanoptions作为静态对冲资产，计算了方差掉期的稀疏半静态对冲。内容1、导言12。方差最优半静态套期保值32.1。方差最优套期保值32.2。方差最优半静态套期保值问题42.3。方差交换和多头/空头约束63。稀疏半静态对冲74。傅立叶表示的随机波动率模型94.1。策略和对冲误差的傅立叶表示94.2。赫斯顿115型。数值结果125.1。方法比较135.2。套期保值误差分析155.3。对冲组合的构成155.4。相关性的作用17参考17附录A.定理4.2的证明191。简介半静态套期保值策略是由一项资产的动态（即持续平衡）头寸和其他资产的静态（即买入和持有）头寸组成的策略。此类对冲策略出现在数学金融中的几个不同背景中：障碍期权的hedgingof（参见[Car11]），基于鞅最优运输2010数学科目分类的无模型对冲方法。

91G20，60H30。MKR感谢Johannes Muhle Karbe对“方差最优半静态对冲”概念的早期讨论。Weacknowledge资金来自德国研究基金会（DFG），资金来源为grant ZUK 64（所有作者）和KE 1736/1-1（MKR，MH）。2保罗·迪特拉（PAOLO DI TELLA）、马丁·豪博尔德（MARTIN HAUBOLD）和马丁·凯勒·雷塞尔（MARTIN KELLER-Restel）（参见[BHLP13]），以及纽伯杰公式（参见[Neu94]）中最相关的方差掉期半静态复制。与完全动态策略相比，半静态策略的优势在于，该策略的静态部分没有再平衡成本或流动性风险，因此，即使流动性有限的资产也可以用作静态对冲资产。值得注意的是，对于某些对冲问题，半静态策略允许在不完整的市场中进行完美复制，至少在理论上是这样。同样，最突出的例子是[Neu94，CM01]给出的方差掉期的复制公式：在任何连续鞅模型中，方差掉期都可以通过动态对冲欧洲看跌期权和看涨期权的基础和静态投资组合来复制。这一复制公式是波动率指数VIX计算的核心，其值是通过对纽伯杰的复制期权组合进行离散化而精确确定的（参见CBOE的技术文件[Exc14]）。然而，Neuberger的结果依赖于某些理想化：最重要的是，该策略的静态部分包括有限数量的看跌期权和看涨期权中的微小头寸，其行权从零变为完整。因此，该策略的任何实际实施都必须决定理论策略的某种量化，即如何为实际可交易的看跌期权和看涨期权分配非最小权重。

我们的目标不是以一种特殊的方式来实现这一点，而是确定当有固定数量的对冲资产可用时，如何以最佳方式实施半静态对冲策略。我们的最优性准则是[Sch84，FS86]提出的著名方差最优性准则，即我们在风险中性测度下最小化剩余套期保值误差的方差。如第2节所示，该标准与半静态套期保值非常兼容：半静态套期保值问题分为一个内部问题，相当于单一资产的方差最优套期保值问题（如[Sch84，FS86]所述）和一个外部问题，这是一个n维二次优化问题，参见定理2.3。在分析了方差最优半静态套期保值问题的一般结构之后，我们转向第3节中的另一个问题：有多少资产d<n足以获得“合理的最小”套期保值误差？以纽伯杰的方差掉期公式为例——实际上许多欧洲期权将对冲误差减至零——使用12、6甚至仅仅3个期权有多好？除此之外，应该从市场上现有的30个选项中选择哪3个？结果表明，找到稀疏半静态对冲策略的问题与高维回归中众所周知的变量选择问题密切相关，参见[HTF13，Sec。

3.3]，更广泛地说是统计和机器学习中的稀疏建模方法。事实上，为了解决最优选择的问题，我们将借鉴统计学中发展起来的方法，如套索法、贪婪向前选择法和跳跃法。最后，为了实现稀疏半静态套期保值的数值实现，我们必须找到可处理的方法来计算套期保值误差的方差和协方差，以数学方式表示为Galtchouk Kunita Watanabe（GKW）鞅分解中的残差。在这里，我们以[KP10]的结果为基础，该结果允许在几个感兴趣的模型（如赫斯顿模型）中“半解析”计算GKW分解，即根据傅立叶积分。【KP10】的结果侧重于计算经典变量最优套期保值框架中的策略和套期误差，但不足以解决半静态套期保值问题，我们借鉴了技术配套文件【DTHKR17】中的一些扩展。我们在第5节中通过一个详细的数值示例得出结论，在Heston模型中实现了稀疏半静态套期保值问题，用于对具有看跌期权和看涨期权的方差掉期进行套期保值。在这些与线性回归的联系中，我们不应感到惊讶：已经在[FS88]中指出，离散时间内的方差最优套期保值相当于序列线性回归问题。半静态和稀疏方差最优套期保值3特别是，我们比较了子集选择问题不同解决方法的性能，分析了最优套期保值组合和套期保值误差对静态套期保值资产数量d的依赖性，并研究了杠杆参数ρ对最优解的影响。2.

方差最优半静态hedging为了建立我们的金融市场模型，我们定义了一个完整的概率空间(Ohm,F、 P）配备过滤器，以满足通常条件。我们确定一个时间范围T>0，假设F为平凡的σ-代数，并设置F=FT。我们还假设给定了一个状态价格密度dqdpi，它明确规定了一个风险中性定价度量Q。所有期望值E[.]表示该风险中性度量Q下的预期。我们用S=（St）t表示≥0交易资产的价格过程，将利率设置为零以简化结果的展示，并假设S是Q下的连续平方可积鞅。更一般地，我们用H=H（F）表示适应平方可积Q-鞅的实值集，当配备了形式kXkH:=E时，它成为希尔伯特空间XT公司. 我们还设置了H：=十、∈ H： X=0.2.1. 方差最优套期保值。在讨论半静态套期保值之前，我们快速回顾了索赔的方差最优套期保值(Ohm,F、 Q），直到时间范围T>0，如[FS86]中所述。我们用鞅H=E来确定索赔HH英尺, t型∈ [0，T]是H的一个元素。所有可容许动态策略的集合用l（S）表示：=θ可预测和R值：EZT | t | dhS，Sit< +∞,式中，hS，Si通常表示S的可预测二次变化。索赔初始资本为c的方差最优对冲θ，其解为（2.1）ε=minθ∈L（S），c∈RE“c+ZTθtdSt-HT公司#.得到的数量ε是最小的套期保值误差。最小化问题（2.1）可以解释为权利要求Hon到由确定性常数（对应于首字母c）和L（S）跨越的闭子空间的正交投影（H）：={RTθtdSt，θ∈ L（S）} H、 使用L（S）中的策略可以实现的一组要求。

由此产生的正交分解（2.2）Ht=c+ZtθsdSs+Lt，其被称为关于S的Hw的Galtchouk Kunita Watanabe（GKW-）分解，参见【KW67，AS93】。从财务数学的角度来看，（2.2）将索赔分解为初始资本、合规风险和不可规避的剩余风险。Hilbert空间意义下L到L（S）的正交性意味着L到S在鞅意义下的正交性，即它认为hL，Si=0。因此，方差最优策略θ可以从（2.2）计算为（2.3）hH，Sit=ZtθsdhS，Sis，并且θ可以表示为Radon-Nikodym导数θ=dhH，Si/dhS，Si。4保罗·迪特拉、马丁·豪博尔德和马丁·凯勒·雷斯2.2。方差最优半静态套期保值问题。我们现在准备讨论方差最优半静态套期保值问题及其解决方案。除了要对冲的未定权益H外，用H=（H，…，Hn）>补充未定权益向量表示，均假设为L中的平方可积随机变量(Ohm,F、 Q）。同样，我们将每个Hithemartingale（2.4）命中关联：=E你好英尺, t型∈ [0，T]，i=0。，n、 策略的静态部分可以用Rn的一个元素v表示，其中vire表示在t=0时请求hib的数量，并一直保持到t=t。策略的动态部分θ再次由L（S）元素表示。定义2.1（方差最优半静态套期保值问题）。方差最优半静态对冲（θ，v）∈ L（S）×R和最优初始资本c∈ R是最小化问题（2.5）的解ε=min（θ，v）∈L（S）×Rn，c∈重新c-v> E【HT】+ZTθtdSt-（HT-v> HT）.请注意，v>E[HT]是设置对冲静态部分的成本，其终值为v>HT。动态部分是自融资的，并产生终端值rtθtdSt。

加上初始资本C，再减去目标索赔Ht，就得到了对冲问题的上述表达式。为了解决方差最优半静态套期保值问题，我们将其分解为一个内外最小化问题，并将（2.5）改写为（2.6）ε（v）=minθ∈L（S），c∈重新c-v> E【HT】+RTθtdSt-（HT-v> HT）, （内部探针）ε=最小值∈Rnε（v）。（外部探测器）内部问题的形式与（2.1）相同，而外部问题则是一个有限维二次优化问题。为了制定解决方案，我们将权利要求（H，…，Hn）关于S的GWK分解写成（2.7）Hit=Hi+ZtθisdSs+Lit，i=0。，n、 与（2.3）类似，我们得到（2.8）θi=dhHi，SidhS，Si，i=0。，n、 并为GKW分解中的策略和残差引入向量表示法（L:=（L，…，Ln）>。最后，我们提出以下条件：定义2.2（非冗余条件）。如果没有x，则补充权利要求H=（H，…，Hn）>满足非冗余条件∈ Rn \\{}x>LT=0，a.s.直觉上，x>LT=0的非零x的存在意味着可以减少补充资产的数量，而不改变（2.5）中的对冲误差ε。我们现在准备陈述关于方差最优半静态套期保值问题解的主要结果：定理2.3。考虑方差最优半静态套期保值问题（2.5），setA：=Var[LT]，B：=Cov[LT，LT]，C：=Cov[LT，LT]。（2.9）半静态稀疏方差最优套期保值5在非冗余条件下，C是可逆的，半静态套期保值问题的唯一解由C=E给出HT公司, v=C-1B，θv=θ-v> θ。最小平方对冲误差由ε=A给出-B> C类-1B。此外，A、B和C的元素可以表示为（2.10）ELiTLjT公司= EhLi，LjiT= EhHi，HjiT-ZTθitθjtdhS，坐下, i、 j=0。，n推论2.4。

如果非冗余条件不成立，则任何解决方案v∈ 线性系统的Rn Cv=B，连同c=EHT公司和θv=θ-v> θ是半静态套期保值问题的解。解集永远不会为空，可以通过设置v=C+B来获得使v的欧氏范数最小化的解，其中C+表示C的摩尔-彭罗斯伪逆。请注意，定理2.3中的最小平方对冲误差ε是“扩展协方差矩阵”Cov[（LT，LT），（LT，LT）]=A B>B C.特别是，如果（LT，LT）具有正态分布，则ε可以表示为ε=Var书信电报书信电报.定理2.3和推论2.4的证明。首先，我们考虑（2.6）中的内部极小化问题。该问题等价于索赔Hv=H的方差最优套期保值问题-v> H.解θν由GKW分解（2.11）（Ht）给出-v> Ht）=（H-v> H）+ZtθvsdSs+Lvt，t∈ 鞅（H）的[0，T]-v> H）对于S，通过（2.3），我们得到θvt=dh（H-v> H），SitdhS，Sit=θt-v> θt，使用可预测二次协变量的双线性性。GKW分解的唯一性产生Lvt=Lt-v> Lt，套期保值误差的平方由ε（v）=E给出（低压）= E（LT-v> LT）= v> E类LTL>Tv-2v>ELTLT公司+ E（LT）]==v>Cv-2v>B+A。因此，（2.6）中的外部优化问题变为（2.12）ε=minv∈注册护士v> 简历-2v>B+A.由于C是正半定义，一阶条件Cv=B对于v的最优性是必要且充分的。在非冗余条件下，对于任何x，Var（x>LT）>0∈ 因此，C是正定义，尤其是可逆定义。因此，外部问题的唯一解由v=C给出-1B，完成定理2.3的证明。对于推论，即使非冗余条件不成立，仍然需要证明Cv=B有一个解决方案。如果B在C范围内，或如果B在（ker C）范围内，则存在解决方案⊥.

假设kerc非空，我们可以选择come x∈ ker C，即x>C=0。由于C是6 PAOLO DI TELLA，MARTIN HAUBOLD和MARTIN KELLER Reselcovariance矩阵的LTI遵循x>LT=0，a.s。这意味着x>B=Cov（x>LT，LT）=0，对于所有x∈ ker C和B∈（ker C）⊥. 最后，我们计算单个补充资产Hn+1的对冲贡献。对冲贡献是指通过将资产Hn+1添加到给定的补充资产池（H，…，Hn）来减少对冲误差的平方。我们用ε和εn+1分别表示补充资产（H，…，Hn）和（H，…，Hn+1）实现的最小hedgengerror。提议2.5（相对对冲贡献）。假设所有补充资产H，…，的非冗余条件成立。，Hn+1。那么Hn+1的相对对冲贡献RHCn+1由（2.13）RHCn+1得出：=εn-εn+1εn=Cov[Ln+1T，LT]-K> C类-1B级Var[Ln+1T]-K> C类-1公里（A）-B> C类-1B）∈ [0,1]，其中K∈ 对于i=1，…，RN的Ki=Cov（点亮，Ln+1T）。，n、 备注2.6。在残差（LT，…，Ln+1T）具有多元正态分布的假设下，相对对冲贡献的表达式具有直观的解释。在这种情况下，Hn+1的对冲贡献等于LT和Ln+1T的偏相关Cor（LT，Ln+1T | LT），givenLT，参见【Mui09，Ch.5.3】。因此，粗略地说，如果补充资产与H密切相关，即使在对S和（H，…，Hn）中的半静态策略可实现的所有债权进行条件化之后，补充资产也具有较高的对冲贡献。证据我们设置Bnew：=[B>，Cov[Ln+1T，LT]]>；Cnew：=（Cnewi，j）i，j=1，。。。，n+1，其中Cnewi，j：=Cov[点燃，LjT]，i，j=1，。。。，n+1。然后我们有了新的=C KK>Var[Ln+1T]由于非冗余条件，这是可逆的。写入M=（变量[Ln+1T]-K> C类-1K）对于Cnew中C的Schur补码。