鞅概率测度集的密度

通过局域化，我们可以假设γn·X→ H中的0，根据Davis不等式，它等价于（[γn·X]1/2）的收敛性∞) 至0 in L。假设|γn |≤ 1、然后[γn·X]≤ [十] 由理论主导的收敛性得出[γn·X]∞→ 0 in L.AsE[[γn·X]∞] = E[hγn·Xi∞] = EZ∞κXγndAX公司= EuXhκXγni、 我们推断κXγnuX→ 从（4）来看，0也意味着γnuX→ 在一般情况下，我们观察到βn，1+|γn |γnar是X的最小被积函数，因此|βn |≤ 1和[βn·X]≤ [γn·X]。因此，根据我们已经证明的，βnuX→ 0，这显然会产生γnuX→ 然后是κXγnuX→ 引理3.5。设X是一个s平方可积m维鞅，γ=（γij）是一个可预测的X可积过程，其值为i n Rm×d。那么，对于一些可预测的Y可积d×m维过程ζ，Xis是关于Y，γ·X的s阶积分，即i s X=X+ζ·Y，当且仅当秩κXγ=秩κX，uX- a、 s。。（5） 证明。我们记得，可预测过程ζ是Y=γ·X可积的当且仅当γζ是X可积的。根据引理3.3，我们推断ζ是Y-可积的，并且满足X=X+ζ·Y=X+ζ·（γ·X）=（γζ）·Xif，并且仅当κXγζ=κX，uX- a、 s。。然而，通过线性代数的一个基本参数，该线性方程关于ζ的可解性等价于（5）。引理3.6。设U是RDX和x 7中的开放连通集→ σ（x）是k×l-矩阵中具有值的分析图。然后在U上有一个非零实解析函数f，这样e，x个∈ U：秩σ（x）<supy∈Urankσ（y）= {x∈ U:f（x）=0}。特别地，集合E的Lebesgue测度为零，如果d=1，则它包含孤立点。证据让m，supy∈Urankσ（y）。如果m=0，则集合E为空，我们可以取f=1。如果m>0，则结果适用于f（x）=xαdetσα（x）σ*α（x），其中（σα）是σ的所有m×m子矩阵族。

剩余的赋值遵循实解析函数零集的众所周知的性质。定理3.1的证明。在不限制一般性的情况下，我们可以假设ζ（x）=1，因此Q（x）=P。文献[9]中的命题2表明，如果某个多维局部鞅具有MRP，则存在一个有界的、因此是平方可积的m维鞅x具有MRP。我们定义了这样的x，并使用Sm+-值的可预测过程κx和在Lemma3.3之前引入的可预测σ-代数P的有限度量uXon。我们定义了鞅Y t（x），E[ζ（x）| Ft]，Rt（x），E[ξ（x）| Ft]，并观察到R（x）=S（x）Y（x）。设α（x）和β（x）是x的被积函数，其值分别为Rmand Rm×d，使得Y（x）=Y（x）+Y-（x） α（x）·x，R（x）=R（x）+Y-（x） β（x）·x，其中通常为Y-表示左侧连续流程（Yt-). 按部件集成可生成thatdR（x）- S-（x） dY（x）=Y-（x） d（S（x）+[S（x），α（x）·x]）。因此，S（x）+[S（x），α（x）·x]=S（x）+σ（x）·x，其中σ（x）=β（x）- α（x）S*-（x） 。根据定理B.1，我们推导出S（x）具有MRP（在Q（x）下）当且仅当随机积分σ（x）·x具有MRP。根据引理3.5，LaterProperty等价于秩κXσ（X）=秩κX，uX- a、 因此，异常集I接受以下描述：I=x个∈ U：uX[D（X）]>0,x的位置∈ U∪ {x} 可预测集D（x）由byD（x）给出=（t，ω）：秩κXt（ω）σt（x）（ω）<秩κXt（ω）.来自TheoremA。1我们推导了被积函数α（x）和β（x）的存在性，以及鞅Y（x）和R（x）的修正，使得对于每个（t，ω）∈ [0, ∞) × Ohm functionx 7→ σt（x）（ω）=βt（x）（ω）- αt（x）（ω）R*t型-（x） （ω）Yt-（x） （ω）取m×d矩阵空间中的值，对U进行解析。此后，我们将使用这些版本。设λ是rl上的Lebesgue测度，B=B（U）是U上的Borelσ代数。

因为对于每个（t，ω），函数x 7→ σt（x）（ω）在U上是连续的，函数（t，ω，x）7→ σt（x）（ω）是P×B-可测的。接下来就是这样，（t，ω，x）：秩κXt（ω）σt（x）（ω）<秩κXt（ω）∈ P×B。根据Fubini定理，我们推导出等价：（uX×λ）[E]=0<=> uX【F】=0<=> λ[I]=0，其中f，（t，ω）：λx个∈ U：秩κXt（ω）σt（x）（ω）<秩κXt（ω）> 0.因此，要获得定理的多维版本，我们需要显示uX（F）=0。引理3.6和函数x 7的解析性→ σt（x）（ω）we导出f=（t，ω）：秩κXt（ω）σt（x）（ω）<秩κXt（ω），x个∈ U. （6） 现在我们回想起来，如果（xn）是U中收敛到x的序列，那么鞅（R（xn），Y（xn））通过Lemma收敛到L中的鞅（R（x），Y（x））=（S（x），1）。3，传递到一个子序列，我们可以假设（R（xn），Y（xn））→ （R（x），Y（x））位于H1，loc。根据引理3.4，我们推断κXα（xn）uX→ 0，κXβ（xn）uX→ κXβ（X）=κXσ（X）。因此，κXσ（xn）=κX（β（xn）- α（xn）S*-（xn））uX→ κXβ（X）=κXσ（X）。通过一个子序列，我们可以选择序列（xn），以便κXσ（xn）→ κXσ（X），uX- a、 s。。作为7→ 秩a是矩阵上的下半连续函数，它遵循lim infnrankκXσ（xn）≥ 秩κXσ（X），uX- a、 s。。考虑到（6），我们得到 D（x），ux- a、 s。。然而，由于S（x）有MRP，引理3.5得出ux[D（x）]=0，定理的多维版本如下。现在假设U是R中的一个开区间，与定理的估计相反，例外集I是不可数的。然后有>0，一个闭合区间[a，b] U、 和序列（xn） 【a，b】使得uX【D（xn）】≥ ，n≥ 因为对于每个（t，ω），函数x 7→ σt（x）（ω）是解析的，我们从Lemma3.6推导出在每个闭区间上整数值函数x 7→秩（κXt（ω）σt（x）（ω））具有常数值，但有限数量的点除外，其值较小。

因此，可数（n′）的ifrank（κXt（ω）σt（xn′）（ω））<rank（κXt（ω）） （n） ，则所有x的秩（κXt（ω）σt（x）（ω））<秩（κXt（ω））∈ U、 说明（6）如下：，∩n∪m级≥nD（xm）=因此为uX[F]≥ lim supnuX【D（xn）】≥ .然而，正如我们已经展示的，uX【F】=0，我们得出了一个矛盾。用D表示的鞅和随机积分的解析域∞([0, ∞), Rd）RCLL（带左极限的右连续）函数f的Banach空间：[0，∞) → R配备统一规范：kfk∞, 支持≥0 | f（t）|。定理A.1。设U为Rland x 7中的开连通集→ ξ（x）bean分析m ap从U到L（Rd）。然后对相应的d-维鞅Mt（x），E[ξ（x）| Ft]进行了修改，使得对于每个ω∈ Ohm 地图x 7→ M·（x）（ω）取D中的值∞([0, ∞), Rd）是对U的分析。此外，如果MRP适用于具有Rm值的局部鞅X，则存在随机场X 7→ x的被积函数的σ（x），使得M（x）=M（x）+σ（x）·x，对于每个（t，ω）∈ [0, ∞) × Ohm 函数x 7→ 取m×d-矩阵值的σt（x）（ω）在U上是解析的。定理的证明分为一系列引理。对于多指数α=（α，…，αl）∈ Zl+我们表示|α|，α+···+αl。空间hh是在引理3.4之前引入的。引理A.2。Let（Mα）α∈Zl+be值为Rd且xα|α| kMαkL<∞ .然后有一个增加的停止时间序列（τm），使得{τm=∞} ↑Ohm andXαkMα，τmkH<∞ , m级≥ 1.证明。我们定义鞅，E“Xα|α| Mα∞|英尺#，t≥ 0和停止时间τm，inf{t≥ 0：Lt≥ m} ，m≥ 显然，{τm=∞} ↑ Ohm 作为m→ ∞ 和| Mα|≤ 2.-|α| L.此外，kLτmkH=Esup0≤t型≤τmLt≤ m+E[Lτm]=m+L<∞.因此xαkMα，τmkH≤ kLτmkHXα-|α|< ∞ .引理A.3。设（Mn）和M是一致可积鞅，使得Mn→ M英寸L。

然后存在（Mn）的子序列，该子序列在H1，loc中收敛于toM。证据自Mn起→ l中的M存在一个子序列（Mnk），使得∞Xk=1kMnk+1- MnkkLk<∞.伦马。2表示Mnk→ H1中的M，位置。设X是取Rm值的平方可积鞅。如第3节所述，我们将X与递增的可预测过程AX、tr hXi、Sm+-值可预测过程κXsuch联系在一起，h Xi=（κX）·AX，以及[0]的可预测σ-代数P上的有限测度uX（dt，dω），dAXt（ω）P[dω]，∞) × Ohm. 我们记得，如果γ=κX，则X的被积函数γ是最小的⊕κXγ。（7） 引理A.4。设X是有界鞅，其值为Rmand（γα）α∈X的Zl+be m i最小被积函数，使得Xαkγα·XkH<∞ . （8） ThenXα|γα|=Xα|γαt（ω）|<∞ , uX- a、 s。。（9） 证明。根据Davis不等式，（8）等价于toXαEh[γα·X]1/2∞i<∞.如果必要，用1+|γα|γα替换γα，我们可以在不损失一般性的情况下假设|γα|≤ 1、让我们证明，在这种情况下，增加的optionalprocessBt，Xα[γα·X]t，t≥ 0，是局部可积的。自b起∞=Xα[γα·X]∞≤Xα[γα·X]1/2∞< ∞ ,我们只需要检查正向跳跃过程B是局部可积的。事实上，我们会证明≥0Btis可积。实际上，当Xis有界时，存在一个常数c>0，使得|（γα）*X |≤ c、 因此，支持≥0英国电信≤Xα（（γα）*X）≤ cXα|（γα）*X |≤ cXα[γα·X]1/2∞,其中右侧具有确定的预期值。因为对于每个停止时间τE[Bτ]=XαE[[γα·X]τ]=XαEZτκXγαdAX公司,B的局部可积性产生了停止时间（τm）的存在，例如τm↑ ∞ andXαEZτmκXγαdAX公司=XαEuXhκXγα[0，τm]i<∞ .下面是xακXγα< ∞, uX- a、 s。。从最小被积函数的不等式（4）来看，这种收敛性意味着（9）。引理A.5。设X是可积鞅中的一个平方，取Rmand（γn）中的值为X的最小被积函数，使得（Mn，γn·X）是一致可积的。

假设存在一致可积函数M和可预测过程γ，使得Mn→ 陆地上的Mγnt（ω）→ γt（ω）表示每个（t，ω）。那么γ是X的最小被积函数，dM=γ·X。考虑到最小被积函数的特征（7），（γn）的每个元素的最小值意味着γ的最小值，前提是latteris X-可积。因此，我们只需要用Lemma证明γ是X可积的，m=γ·X。3，传递到子序列，我们可以假设Mn=γn·X→ H1中的M，位置。由于随机积分空间在H1，loc收敛下是闭合的，因此存在一个X-可积的可预测过程eγ，使得M=eγ·X。从引理3.4我们推断出κX（γn- eγ）uX→ 因此，κX（eγ- γ） =0，uX- a、 Lemma3.3给出了结果。定理A.1的证明。仅在每个y的邻域内局部证明所需分析版本的存在是足够的∈ U、 此后，我们将∈ U、 有=（y）∈ （0，1）和一个族（ζα=ζα（y））α∈Zl+inl使得ξ（x）=ξ（y）+xαζα（x-y） α，maxi | xi- yi |<2，XαE[|ζα|]（2）|α|<∞,其中，第一个序列在L中收敛。通过对Ft取条件期望，我们得到Mt（x）=Mt（y）+xαLαt（x- y） α，maxi | xi- yi |<2，（10），其中Lαt，E[ζα| Ft]和级数在L.Lemma收敛。2产生停止时间的递增序列（τm），使得{τm=∞} ↑ Ohm andXαkLα，τmkH|α|<∞ , m级≥ 1、遵循Xαsupt≥0 | Lαt（ω）||α|<∞ , P- a、 我们可以对鞅（Lα）进行修改，使上述收敛对每个ω保持不变∈ Ohm. 然后（10）中的级数在t前ω上一致收敛∈ Ohm 每x，maxi | xi- 彝族。因此，它定义了具有所需分析性质的x的M（x）的修正。对于定理的第二部分，我们观察到，该陈述对于具有MRP的局部鞅X的选择是可变的。

文献[9]中的命题2表明，我们可以选择X为有界D维鞅。当X有MRP时，存在最小被积函数σ（y）和（γα），使得M（y）=M（y）+σ（y）·X，Lα=Lα+γα·X，α∈ Zl+。来自LemmaA。4我们推导出xα|γαt（ω）|2 |α|<∞对于所有（t，ω），除了一组可预测的uX测量值0。通过引理3.3，我们可以在这个集合上设置γα=0，而不改变γα·X。然后级数收敛于every（t，ω）。As∈ （0，1），我们推导出xα|γαt（ω）|2 |α|<∞因此，对于x=（x，…，xl），使得maxi | xi- yi和every（t，ω）我们可以定义σt（x）（ω），σt（y）（ω）+xαγαt（ω）（x- y） α。通过构造，函数x→ σt（x）（ω）在y的邻域内是解析的。作者：Lemma。5，对于每x，maxi | xi- 可预测过程σ（x）是x的被积函数，M（x）=M（y）+xαLα（x- y） α=M（x）+σ（y）·x+xα（γα·x）（x- y） α=M（x）+σ（x）·x。B被测集x变化下的MRP为d维局部鞅，Z>0为P的密度过程~ P、 我们用byeZ，1/Z表示P在ep和setL下的密度过程，eZ-· Z安第尔，Z-·埃兹。利用分部积分，我们推导出thatd（eZX）=X-deZ+eZ-指数，其中ex=X+hX，eLi。因此，ex是ep下的一个d维局部鞅。当然，这只是Girsanov定理的一个版本。我们观察到X和X之间的关系在X=eX+heX，Li的意义上是对称的。实际上，正如我们已经展示的，Y，eX+heX，li是一个d维局部鞅。显然，局部鞅X和Y具有相同的初值和相同的连续鞅部分。最后，它们有相同的跳跃：（Y）- 十） =（hX，eLi+heX，Li）=X个(eL+L+埃尔五十） =十、（ZeZ）=0。定理B.1。局部鞅X具有MRP当且仅当ep下的局部鞅ex具有MRP。证据根据对称性，只需证明其中一个含义即可。我们假设X有MRP。

设Fm为EP下的局部鞅。定理陈述之前的参数产生唯一的局部鞅M，使得fm=M+hM，eLi。如果现在H是X的被积函数，使得M=M+H·X，那么fM=fM+H·（X+hX，eLi）=fM+H·eX。参考文献[1]Robert M.Anderson和Roberto C.Raimondo。均衡不连续时间金融市场：内生动态完全市场。《计量经济学》，76（4）：841–9072008。ISSN 0012-9682。[2] Mark Davis和Jan Ob l\'oj。使用期权完成市场。《金融数学前沿》，巴纳赫中心出版社第83卷。，第49-60页。波兰Acad。Sci。仪器数学。，华沙，2008年。内政部：10.4064/bc83-0-4。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.4064/bc83-0-4.[3] David German。大型投资者基于均衡模型的定价。数学财务部。经济。，4(4):287–297, 2011.ISSN 1862-9679。内政部：10.1007/s11579-011-0041-6。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s11579-011-0041-6.[4] J.Hugonnier、S.Malamud和E.Trubowitz。差异驱动均衡市场的内生完备性。《计量经济学》，80（3）：1249–12702012。ISSN 1468-0262。内政部：10.3982/ECTA8783。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.3982/ECTA8783.[5] Jean Jacod。Calcul stoc hastique et probl\'emes de martingales，数学课堂讲稿第714卷。柏林斯普林格，1979年。ISBN3-540-09253-6。[6] 德米特里·克拉姆科夫。由分歧驱动的内生完全平衡的存在。财务Stoch。，19(1):1–22,2015. ISSN 0949-2984。doi:10.1007/s00780-014-0250-y。URLhttp://dx.doi.org/10.1007/s00780-014-0250-y.[7] Dmitry Kramkov和Silviu Predoiu。金融经济学中内生完备性问题驱动的鞅的积分表示。《随机过程及其应用》，124（1）：81–1002014。ISSN 0304-4149。内政部：10.1016/j.spa。2013.06.017. 统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.spa.2013.06.017.[8] 德米特里·克拉姆科夫和塞尔吉奥·普利多。

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