鞅概率测度集的密度

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英文标题：
《Density of the set of probability measures with the martingale
  representation property》
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作者：
Dmitry Kramkov, Sergio Pulido
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Let $\\psi$ be a multi-dimensional random variable. We show that the set of probability measures $\\mathbb{Q}$ such that the $\\mathbb{Q}$-martingale $S^{\\mathbb{Q}}_t=\\mathbb{E}^{\\mathbb{Q}}\\left[\\psi\\lvert\\mathcal{F}_{t}\\right]$ has the Martingale Representation Property (MRP) is either empty or dense in $\\mathcal{L}_\\infty$-norm. The proof is based on a related result involving analytic fields of terminal conditions $(\\psi(x))_{x\\in U}$ and probability measures $(\\mathbb{Q}(x))_{x\\in U}$ over an open set $U$. Namely, we show that the set of points $x\\in U$ such that $S_t(x) = \\mathbb{E}^{\\mathbb{Q}(x)}\\left[\\psi(x)\\lvert\\mathcal{F}_{t}\\right]$ does not have the MRP, either coincides with $U$ or has Lebesgue measure zero. Our study is motivated by the problem of endogenous completeness in financial economics.
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中文摘要：
设$\\ psi$为多维随机变量。我们证明了概率测度集$\\mathbb{Q}$，使得$\\mathbb{Q}$-鞅$S^{\\mathbb{Q}}}}t=\\mathbb{E}^{\\mathbb{Q}}左[\\psi\\lvert\\mathcal{F}}{t}}右]$在$\\mathcal L}范数中为空或稠密是的。证明基于一个相关的结果，该结果涉及开放集$U$上的终端条件$（\\ psi（x））{x \\ in U}$和概率测度$（\\ mathbb{Q}（x））{x \\ in U}$的分析域。也就是说，我们证明了U$中的点集$x，使得$S\\t（x）=\\mathbb{E}^{\\mathbb{Q}（x）}\\left[\\psi（x）\\lvert\\mathcal{F}\\ut}\\right]$没有MRP，或者与$U$重合，或者具有Lebesgue测度零。我们的研究是基于金融经济学中的内生完备性问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：概率测度 Quantitative Applications Presentation Mathematical

具有鞅表示性质的概率测度集的密度*Sergio Pulido+2019年7月8日抽象ψ为多维随机变量。我们证明了使Q-鞅SQt=EQ[ψ| Ft]具有鞅表示性质（MRP）的概率测度集Q在L中为空或稠密∞-标准证明基于涉及终端条件（ψ（x））x的分析领域的相关结果∈Uandprobability measures（Q（x））x∈U在开集U上。也就是说，我们展示了点x的集合∈ U使得St（x）=EQ（x）[ψ（x）| Ft]没有MRP，要么与U重合，要么Lebesgue测度为零。我们的研究是基于内生金融经济学的复杂性问题。关键词：鞅表示性质，鞅，随机积分，分析领域，内生完备性，完全市场，均衡。AMS学科分类（2010）：60G44、60H05、91B51、91G99。*卡内基梅隆大学数学科学系，美国宾夕法尼亚州匹兹堡福布斯大道5000号，15213-3890。作者还在牛津大学（University of Oxfo rd）担任兼职。电子邮件：kramkov@cmu.edu+Evry（LaMME）数学实验室，EvryVal-d\'Essonne，Ensie，Universit\'e Paris Saclay，UMR CNRS 8071，IB GBI 23 Boulevarde France，91037，Evry Cedex，France。电子邮件：sergio。pulido公司nino@ensiie.fr.作者的研究得益于转型期椅子市场（法国证券交易所）和ANR 11-LABX-0019.1 IntroductionLet项目的支持(Ohm, F、 （Ft），P）是一个过滤的概率空间，Q是一个等价的概率测度，S=（Sit）是Q下的多维鞅。了解S是否具有鞅表示性质（MRP）通常很重要，也就是说，Q下的每个局部鞅是否都是关于S的一个astochastic积分。

例如，在数学金融中，这种MRP对应于市场与股票价格的完整性。根据Jacod定理，s具有MRP当且仅当Q是其唯一等价鞅测度。在许多应用中，S以forw ard形式定义，作为anSDE的解决方案，MRP的验证非常简单。例如，假设S是一个d维It^o过程，其中dst=σt（αtdt+dBt），其中B是一个d维布朗运动，α=（αt）是一个d维风险过程的市场价格，σ=（σt）是一个d×d维波动过程。假设局部鞅zt=exp-ZtαsdBs-Zt |αs | ds, t型≥ 0，一致可积；这一事实通常可以通过Novikov的orKazamaki的条件来验证。根据Girsanov定理，Z是s的等价鞅测度Q的密度过程。如果过滤由B生成，则s具有MRP（等价地，Q是其唯一的等价鞅测度），当且仅当矩阵值波动过程σ=（σt）几乎肯定具有满秩dP×dt。我们感兴趣的是这样一种情况，即S和Z都是通过它们的终值以向后的形式描述的：Z∞=dQdP=ζE[ζ]，St=等式[ψ| Ft]，t≥ 0，（1）其中ζ>0和ψ=（ψi）为随机变量。这种设置自然涉及到金融经济学的最终生成完备性问题，其中随机变量ψ表示交易证券的终值，Q定义了均衡定价度量。术语“内生”表示股票价格S=（Si）由（1）计算，作为解决方案的一部分。

示例包括拉德纳均衡的构建[1、4、10、6]，以及amarket与期权的完备性验证[2、11]。现有文献的主要关注点是随机变量ζ和ψ在符合费曼-卡克公式的形式下根据马尔可夫差定义的情况。证明依赖于PDE方法，尤其是解析半群理论[7]。时间依赖性是分析性的假设发挥了关键作用。在本文中，我们不对随机变量ζ和ψ的形式施加任何条件。我们的主要结果如定理2.3和3.1所述。在orem2.3中，我们证明了setQ（ψ），nQ~ P:SQt，EQ[ψ| Ft]的MRPois为空或L∞-所有等价概率测度集中的稠密。在理论3.1中，我们考虑概率测度（Q（x））x的分析领域∈u和终端条件（ψ（x））x∈在开集U上，我们证明了例外集i，nx∈ U:St（x），EQ（x）[ψ（x）| Ft]没有与U重合的MRPoeither或Lebesgue测度为零。我们期望本文的结果对涉及内生完备性的金融经济学问题有用。其中一个应用，即价格影响下的最优投资问题，在Remark2.5.2概率测度集的密度中讨论，MRPWe在过滤概率空间上的工作(Ohm, F、 （Ft）t≥0，P）满足完备性和右连续性的一般条件；初始σ-代数F平凡且F=F∞.

我们用L=L（Rd）和L表示∞= L∞（Rd）d维随机变量ξ的（等价类）的banach空间，其范数为kξkL，E[|ξ|]和kξkL∞, inf{c>0:P[|ξ|≤ c] =1}。对于范数为kMkL，kM的均匀可积鞅M的等距Banach空间，我们使用了相同的符号lf∞吉隆坡。对于矩阵a=（Aij），我们用a表示其转置*并确定其标准| A |，√tr AA*=sXi，j | Aij |。如果X是m维半鞅，γ是m×n维可积可预测过程，则γ·X=Rγ*dX表示γ相对于X的n维托氏积分。我们记得，n×k维可预测过程ζ是（γ·X）-可积的当且仅当γζ是X-可积的。在这种情况下，ζ·（γ·X）=（γζ）·X是k维半鞅。定义2.1。设Q为等价概率测度（Q~ P） Sbe是Q下的d维局部鞅。如果Q下的每个局部鞅M是关于S的随机积分，则S具有鞅表示性质（MRP），也就是说，存在一个可预测可积过程γ，其值为Rd，使得M=M+γ·S。注2.2。[5，XI.1（a）]节中的Jacod定理指出，s有theMRP当且仅当只有一个Q~ P使得S是Q下的局部鞅。因此，在MRP的定义中不需要提及Q。设ψ=（ψi）i=1，。。。，dbe一个d维随机变量。我们用byQ（ψ）表示概率测度Q族~ P使得等式[|ψ|]<∞ Q-鞅sqt=等式[ψ| Ft]，t≥ 0，有MRP。这是我们的第一个主要结果。定理2.3。增加ψ∈ L（Rd）和Q（ψ）6=. 如果f大于0，则存在Q∈ Q（ψ）使得kdqdp- 1公斤∞≤ .证明基于第3节的定理3.1和以下基本引理。我们回顾了第3节开头对Banach空间中具有值的解析函数的定义。引理2.4。

设ζ为非负随机变量。然后地图x 7→e-xζ从（0，∞) 至L∞是分析型的。证据修复y>0。对于每个ω∈ Ohm 函数x 7→ e-xζ（ω）具有泰勒六边形-xζ（ω）=∞Xn=0An（y）（ω）（x- y） n，x∈ R、 （2）式中n（y）=n！dndxne-xζ|x=y=n！(-1） nζne-yζ。我们推导出thatkAn（y）kL∞≤n最大值≥0（tne-yt）=n！ney公司n≤ K√nyn、 其中，常数K>0的存在遵循斯特林公式：limn→∞√2πnn！氖n=1。因此，（2）中的级数在L中收敛∞前提是| x- 定理2.3的证明。我们拿R∈ Q（ψ），表示ζ，dRdP，对于x>0，定义随机变量ζ（x），1- e-xζx+x1+x，ξ（x），ζ（x）ψ和概率测度Q（x），使得dq（x）dP=ζ（x）E[ζ（x）]。我们设置ζ（0）、ζ、ξ（0）、ζψ和Q（0）、R，并观察每个ω∈ Ohm 函数x 7→ ζ（x）（ω）和x 7→ ξ（x）（ω）在[0，∞) 是连续的。自|ζ（x）|≤ ζ支持≥01- e-tt+x1+x≤ ζ+1，支配收敛定理得出x 7→ ζ（x）和x 7→ ξ（x）是从[0，∞) 到L.通过引理2.4 x 7→ ζ（x）是（0，∞) 至L∞因此x 7→ ζ（x）和x 7→ ξ（x）是（0，∞) 定理3.1则暗示异常集i，{x>0:Q（x）6∈ Q（ψ）}最多是可数的。现在选择任意>0。自从-1+x≤ ζ（x）- 1.≤x个-1+x，存在x=x（），因此定理的断言适用于x的每个q（x）≥ x和x 6∈ 一、 备注2.5。定理2.3在我们正在进行的关于价格影响“落后”模型中最优投资问题的工作中起着关键作用[3，8]。有一个效用函数为U=U（x）且初始资本为x的大型投资者和一个指数效用函数为V（y）=a的做市商1.- e-是的, y∈ R、 其中，a>0是绝对风险规避系数。

投资者寻找一个可预测的过程γ=（γt）使预期效用最大化的股票数量：u（X）=supγE[u（X+γ·S（γ）t）]。虽然终端股票价格固定为随机股息ψ：ST（γ）=ψ，但其中间值的设置应确保与需求γ相对的位置对于做市商来说是最佳的：-γ=arg maxζE[V（ζ·S（γ）T）]。最优投资中的标准一阶条件导致了价格S（γ）的表达式：St（γ）=EQ（γ）[ψ| Ft]，其中dq（γ）dP=V′(-γ·S（γ）T）E[V′(-γ·S（γ）T）]=exp（aγ·S（γ）T）E[exp（aγ·S（γ）T）]。Theorem2.3允许我们将这个看似复杂的随机控制问题简化为一个简单的静态框架。更准确地说，我们证明了u（X）=maxξ∈CE[U（X+ξ）]，其中C是由C给出的随机变量族，{ξ：E[ξV′(-ξ)] = 0} =ξ：Eξeaξ= 0.证明的主要内容是断言交易策略的终端类{ξ：ξ=γ·S（γ）t对于某些需求γ}是L∞-C中的稠密，可以解释为模型的近似完整性。在我们观察到arandom变量ξ之后，这个说法来自定理2.3∈ 如果Q（ξ）-鞅S（ξ）具有mrp，则C也属于D，其中st（ξ）=EQ（ξ）[ψ| Ft]，dQ（ξ）dP=V′(-ξ） E[V′型(-ξ） ]=exp（aξ）E[exp（aξ）]。3鞅的解析域的MRP在Rd中是一个Banach空间，U是一个开连通集。我们重新定义了一个映射X 7→ 从U到X的X（X）是解析的，如果对于每个y∈ U X中存在一个数=（y）>0和元素（yα（y）），使得y的-邻域属于U且X（X）=Xαyα（y）（X- y） α，| y- x |<。这里级数收敛于范数k·kXof X，求和是关于多个指数α=（α，…，αd）∈ 非负整数的Zl+，如果x=（x，…，xd）∈ Rd，然后是xα，Qdi=1xαii。这是我们的第二个主要结果。定理3.1。

设U是Rland中的一个开连通集，它支持点x∈ RL属于U.Let x 7的闭包→ ζ（x）和x 7→ ξ（x）是U的连续映射∪ {x} 分别到L（R）和L（Rd），对U的限制是分析性的。对于每x∈ U∪{x} ，假设ζ（x）>0，并通过dq（x）dP=ζ（x）E[ζ（x）]，St（x）=EQ（x）定义概率测度Q（x）和Q（x）-鞅S（x）ξ（x）ζ（x）英尺.如果Q（x）-鞅S（x）有MRP，那么异常集i{x∈ U：Q（x）-鞅S（x）没有MRP}有Lebesgue测度z-ero。此外，如果U是R中的一个区间，那么集合I最多是可数的。下面的示例显示，R中的任何可数集I都可以扮演Theorem3.1异常集的角色。在本例中，我们选择ζ（x）=1（因此Q（x）=P），并取x 7→ ξ（x）是从R到L的线性映射∞（R） 。示例3.2。让(Ohm, F、 （Fn），P）是一个过滤概率空间，其中过滤由独立的伯努利随机变量（n）生成，P[n=1]=P[n=-1] =.众所周知，每个鞅（Nn）都有唯一的“积分”表示：Nn=N+nXk=1hk（，…，k-1） k，（3）对于某些函数，hk=hk（x，…，xk-1） ，k≥ 1，这里他的只是一个常数。设I=（xn）是R中的任意序列。我们定义了一个线性映射x 7→ ξ（x）从R到L∞（R） 通过ξ（x）=∞Xn=1（x-xn）n（1+| xn |）n=ψ+ψx，其中ψ和ψ是有界随机变量：ψ=-∞Xn=1xnn（1+| Xn |）n，ψ=∞Xn=1n（1+| Xn |）n。我们得到mn（x）=E[ξ（x）| Fn]=E[ξ（x）| n，…，n]=nXk=1（x- xk）k（1+| xk |）和Mn（x）=Mn（x）- 明尼苏达州-1（x）=（x-xn）n（1+| xn |）n.If x 6∈ 一、 （3）中的鞅（Nn）是关于M（x）的随机积分：Nn=N+nXk=1hk（，…，k-1） k（1+| xk |）（x-xk）Mk（x）。但是，如果xm∈ 一、 然后鞅M（xm）和l（M）n=nXk=1{k=M}k=1{n≥m} m，n≥ 0，是正交的。

因此，L（m）不允许关于m（xm）的积分表示。本节的其余部分将用于证明定理3.1。它依赖于附录中的定理A.1和B.1以及下面的引理。在本文中，随机过程的所有操作都是逐点定义的，对于每个（t，ω）。特别地，如果X是一个矩阵值过程，那么| X |表示运行范数的一维过程：| X | t（ω），| Xt（ω）|。设X是（一致）平方可积鞅，取m值。我们用[X]=（[Xi，Xj]）表示其二次变化过程，用byhXi=（hXi，Xji）表示其二次变化的可预测过程；它们都在对称非负m×m-矩阵的锥Sm+上取值。我们确定了可预测的递增过程ax，tr hXi=mXi=1Xi，Xi.标准参数表明，Sm+中存在一个可预测的过程κX，其值为hxi=（κX）·AX。关于[0]的可预测σ-代数P，∞) × Ohm 我们引入了一个度量uX（dt，dω），dAXt（ω）P[dω]。对于非负可预测过程γ，uXis下的期望值为uX[γ]=EZ∞γ-dAX= EZ∞γtdAXt.我们观察到，该测量值是有限的：uX（[0，∞) × Ohm) = EAX∞= E|十、∞- X个|< ∞.对于可预测的m维过程（γn）和γ，表示法为γnuX→ γ表示度量值uX的收敛：>0：uX[|γn- γ| > ] → 0，n→ ∞.引理3.3。设X是平方可积鞅，其值在Rmandγ中是可预测的m维过程。那么γ是X-可积的，γ·X=0当且仅当κXγ=0，uX- a、 s。。证据自γ1{|γ|≤n} ·X个→ γ·X为n→ ∞ 在半鞅拓扑中，我们可以假定γ是有界的，而不损失一般性。

那么γ·X是二次变量可预测的平方可积鞅hγ·Xit=ZtκXγdAX=ZtκXsγsdax，结果来自标识：E（γ·X）∞= E[hγ·Xi∞] = EZ∞κXγdAX公司= EuXhκXγi、 对于每一个取Sm+值的可预测过程ζ，我们可以自然地定义一个Sm+值的可预测过程ζ⊕对于所有（t，ω），矩阵ζ⊕t（ω）是矩阵ζt（ω）的伪逆。从引理3.3我们推断，如果α是X的被积函数，那么可预测过程β，κX⊕κXα也是X-可积的，α·X=β·X。此外，|β|≤ |α|，利用伪逆矩阵的最小范数性质。鉴于这一性质，如果γ是X可积且γ=κX，我们将可预测的m维过程γ称为X的tegrand中的极小值⊕κXγ。根据最小被积函数的定义，我们立即推断κXγ≤κX|γ|, |γ| ≤κX⊕κXγ, （4） 其中，根据我们的约定，范数和不等式都是逐点定义的（t，ω）。我们用H=H（Rd）表示范数为kMkH，E的一致可积维鞅M的Banach空间支持≥0公吨|.根据Davis不等式，收敛性Mn→ 0，相当于会聚度1/2∞→ L中的0，其中[Mn]是Mn的二次变化过程。我们说一个局部鞅序列（Nn）在H1中收敛到一个局部鞅N，如果有停止时间（τm），使得τm↑ ∞和Nn，τm→ Nτmin H。这里像往常一样，我们写Yτ，（Ymin（t，τ）），对于在停止时间τ停止的半鞅Y。引理3.4。设X是一个平方可积鞅，其值在Rmand（γn）中，是一系列可预测的m维X可积过程，使得随机积分（γn·X）在H1，loc中收敛到0。然后是κXγnuX→ 此外，如果（γn）是最小被积函数，则γnuX→ 0.证明。有必要考虑最小被积函数的情况。