考虑贪婪和恐惧因素的期权定价：理性金融方法

然后T&K建议 会加重损失吗R{R<0}并减持增益R{R<0}.为了量化这一论断，T&K引入了持续严格递增的PWF()(), ∈[0,1], ()()=0,()（）=1，回火的形状(R)(), ∈R.  因此 不使用(R)(), ∈,  但是相反  将用作的cdfR 以下处罚cdf：(,R)()()(R)().                                                   （12） 在接下来的小节中，我们将研究PWF的各种参数类()(), ∈[0,1]这是文献中提出的，我们将介绍新的。3.1 Tversky和Kahneman的概率加权函数Tversky和Kahneman（1992）介绍了以下PWF：()()(,)():=[()], ∈(0,1], ∈[0,1].                                 （13） 图10a显示了该形状的曲线图。第| 28页图10a：T＆K面向恐惧投资者的wpf图。该图给出了(,)():=[()], ∈[, ], < < 很明显，closer参数 是0.5，更可怕 是图10b显示了一阶导数的形状图。Golstein和Einhorn（1987）以及Gonzalez和Wu（1999）通过增加一个参数来考虑更一般的情况：(,,)():=[()], ∈[, ], ≤≤, > .参数 更改的曲率(,,), 参数 控制的高度(,,).另见Al Nowaihi和Dhami（2010）、Ackert和Deaves（2010，第3章）、andTakemura和Murakami（2016）的评论。第29页。图10b：一阶导数图(,)()():=[()], ∈[, ], < <  在投资者恐惧的情况下，T&K的wpf。什么时候=1.(,)():= , 和(,R)()= (R)(), ∈.  的确↓(,)()=0

根据图11a和11b，当> ,  性情是“贪婪的”，意思是 将增持收益R{R>0}并减持损失R{R>0}.图11a:T＆K wpf图(,)():=[()], ∈[, ], < < 对于一个贪婪的投资者来说。T&K认为所有交易者都很害怕。我们不知道这一点，并想测试在特定时间段内，大多数市场参与者是害怕还是贪婪。这就是为什么我们这么说>0允许 成为一个贪婪或恐惧的交易者。第30页图11b：一阶导数T&K的wpfin曲线图——贪婪投资者的情况。请注意，从风险厌恶投资者的角度来看,  T&K-PWF(,)(),0<<1，有矛盾的意义。事实上，通过应用（13），在股票回报率方面没有任何先验信息的投资者对股票变得非常乐观。要看到这一点，假设没有关于股票回报的信息，所以′s之前的股票回报分布由以下公式给出：[-1,1]，均匀rv开启[-1,1]. 成为最可怕的投资者 决定使用asposterior returnR,:=  ,(), 如（13）所示。然后是cdf和pdfR,havethe form后返回R,:=  ,(), 如（13）所示。然后是cdf和pdfR,有表格,()= PR,≤=√2.+2.√+1+√1.-,-1<<1.[-1,1]不是无限可除的，不应与theradapt一起用作先验分布。

然而，我们在这里只是为了说明即使在BF的框架内使用（13）也是毫无意义的。第31页,()=,()=3+-√1.-√2.-2.√+1+√1.-, -1<<1，见图12a和12b。图12a:pdf,的绘图,()=,()=√√, -< < .图12b：的cdf,的绘图,()= P,≤=√√√,-< < 的平均值R,不再是零，而是正的R,= 0.24645. 差异为R,=  0.5917314，标准偏差R,= 0.7692408 . 基准回报率为零的informationratio为R,=R,R,= 0.3203808.第32页在金融行业，通常认为信息比率在0.40到0.60之间是“非常好的”。事实上，通过改变′ 先验均匀分布（信息比确实为零）， 非常看好这只股票。作为第二个示例，假设′  之前的股票收益率分布是标准正态分布[0,1]，然后再次 决定用作后回归R,,:=  ,(), 如（13）所述。的cdf和pdfR,,没有易于处理的分析性表示。其图表如图13a和13b所示。图13a:pdf,,:=  ,().绘图仪,()=,()=√√, -< < .参见2017年Informa Business Intelligence Inc.Zephur Informa Investments Solutions的博客。http://www.styleadvisor.com/resources/statfacts/information-ratio，2017页| 33图13b:cdf,,:=  ,()的平均值R,,还是积极的R,,=  2.945167. 差异为R,,=4.12624和标准偏差R,,=  2.031315.

基准回报率为零的信息比率为R,=R,,R,,=  1.449882>1在这种情况下， 非常看好这只股票。3.2 Prelec概率加权函数和期权PricingPreec（1998）引入了以下WPF（指定为PWPF）：“长期的信息比率为1.00的情况很少见。根据Informa BusinessIntelligence Inc.，2017。Prelec（1998）还引入了指数幂WPF，(,,)():=经验值-(1 -),0<<1.>0,>0和双曲对数(,,)()=(1+),0 <<1.>0, >Luce（2001）介绍了以下WPT(,,)()=经验值-,0< <第34页(,,)():= 经验值{-(-)}, ∈[0,1],0<  <1.>0.                                       (14)()对于0<<1，并固定>0,  恐惧，见图14a；图14a。带固定比例参数的Prelec pwf图：(,,)():=经验值{-(-)}, ∈[0,1],0 < <1.()对于固定,  控制wpf的高度，见图14b；图14b。使用固定形状参数绘制Prelec函数： ,,():= -√-, ∈[, ], ∈[, ]1.>0,>我们无法将第3.2节中的结果扩展到这些WPF，这似乎是不可能的。第35页()对于>1.>0, 变得贪婪 是贪婪者 变为，见图14c。图14c：贪婪投资者Prelec wpf图(,,)():= {-(-)}, ∈[, ], ∈[, ].为了推导出与上一节中的期权定价公式类似的期权定价公式，我们需要使用以下PWPF的微小修改，指定为MPWPF，并有相应的说明：(,,)()=1.-(,,)(1 -)==1.-经验值{-(-ln（1-))}, ∈[0,1], >0,> 0

（15） 类似于（14），假设 修改她对资产的看法（严格持续增加）cdf(R)(), ∈R 通过应用(,,)(o)获取(,R)()(,,)(R)()                                         （16） 后cdf(,R)(). 然后(), (), 和()保持，见图15a、15b和15c。第36页图15a：带fixedscale参数的修改Prelec wpf图：(,,)()= -{-(-(-))}, ∈[, ], ∈(, ).图15b：具有固定形状参数的修改Prelec wpf的曲线图： ,,()= ---(-)}, ∈[, ], ∈[, ].图15c:greedyinvestor修改后的Prelec wpf图：(,,)()= -{-(-(-))}, ∈[, ], ∈(, ].第37页注意，尽管PWPD和MPWPD的形状相似，但它们却有很大的不同，见图15d。图15d:ModifiedPrec wpf和Preelec wpf之间的差异图：(,,)()-(,,)()= -{-(-(-))}-{-(-)}, ∈[, ], ∈(, ].允许[0,1]在[0,1]rv上均匀分布。允许(,R)()啜饮: (R)()≤, ∈[0,1]是cdf的倒数(R)(), ∈R. 然后(,R)()R.设置R()(,,R)(),  哪里(,,R)(), ∈[0,1]是(,R)(), ∈R.  然后(,R)cdf是否用于R().  表示为()(), ∈[0,1]，的反函数()(), ∈[0,1].  因此R()(,R)(,,)((R)(R))                                               （17） 第38页，从（15）、（16）和（17）中可以看出(R)(), ∈R, 是负伞形分布，R(, ), ∈R, >0，见图5a和5b(R)()=(,)()= 1.-经验值-, ∈R.具有R(, ), 从（17）可以看出R()(), (), 哪里()= -自然对数, 和()=.

因此，值得注意的是，MPWPFK保留了先前的cdf(R)和后cdf(,R)相同的负Gumbel分布类。先验信息比率之间的关系(R)=()√和后验信息比率R()=()√现在完全依赖于MPWPF参数>0，先前平均回报R = -()和后验平均收益率R(),R()-(R)=√-自然对数                                （18） 与（13）给出的WPF的情况相比，（18）给出的关系提供了一个灵活合理的后验信息比结构，与先验信息比相比。现在，我们的目标是看看期权市场是否能为我们提供一些关于“贪婪-恐惧”参数的总体“市场价值”的线索>（15）给出的MPWPF中的0。考虑到这一点，这是因为负Gumbel分布是无限可分的，向左倾斜，重尾，金融文献中使用了Gumbel Lévy过程来模拟资产回报，参见Bell（2006）和Markose and Alentraft（2011）。如Leadbetter、Lindgren所示，。andRootzén（1983），定理1.5.3，iid标准正态分布（适当缩放和移位）最小值的渐近分布是负Gumbel分布。第39页由风险资产构成的负向Gumbel Levy市场()以及无风险资产（债券）B.的价格动态()由给出()()= ()()eN(), ≥0, ()()>0，其中N（t） ，则，≥0，是一个负的Gumbel-Lévy过程；也就是说，N（t） ，t≥0，是单位增量的Lévy过程N() (), ().

用Sato的Theoremon等价鞅测度Q~P  对于Lévy过程，风险中性动力学()()由给出()(,Q)=()()经验值N(Q)（t）, ≥0，其中N(Q)（t） ，则，≥0也是一个负的Gumbel-Lévy过程，但是()N(Q)() (,Q), (), 以及()(,Q)满足鞅条件：=自然对数N(Q)()=自然对数(,Q)1+(), 哪里>0是无风险利率。因此(,Q)= -自然对数1+(). 特征函数 N(Q)()(), ∈R  的N(Q)（t） ，则，≥0，由给出 N(Q)()()= N(Q)()= (,Q)Γ1+(), ∈R, ≥因此，pdf N(Q)()(),   ∈R, 的N(Q)（t） 由反演公式给出：N(Q)()()=∫ N(Q)()().考虑欧洲未定权益（ECC），, 带价格流程(), ∈[0, ]最终的回报是()= ()(). 那么 在=0()= ()()N(Q)()= ∫()()N(Q)()().  （19） 另见Schoutens（2003年，第6.2节）、Carr和Wu（2004年）、Bell（2006年）和Tankov（2011年）。佐藤（1999，第218页），定理33.1。另见Kyprianou、Schoutens和Wilmott（（2005）第8.5.1节和Bell（2006）。我们假设债券的价格动态B 由给出, ≥0.第| 40页要评估基于MPWPF的金融市场的恐惧贪婪概况，需要根据市场期权价格校准期权定价公式（19）。3.3 WPF的一般形式与理性动态资产定价理论一致。我们首先观察（14）中Prelec WPF的性质。认为′ 优先回报分布是一种Gumbel分布：R(, ), ∈R, >0, (,)()= 经验值-, ∈R, 和′ 目标是找到WPF,,,(),()(), ∈（0,1）使得后验回归分布R()(), (), ()∈R, ()>0，带cdfR()()= ,,,(),()(R)().

然后,,,(),()()=经验值--()ln公司()(),哪里()= ()>0和()=()>0，即Pwpf,(),()(), ∈（0,1），见（14）。类似地，如果分布为R(, ), ∈R, >0, (,)()=  1.-经验值-, ∈R, 和 目标是找到WPF,,,(),()(), ∈（0,1）使得后验收益分布R()(), (), ()∈R, ()>0，带cdfR()()=,,,(),()(R)(). 然后,,,(),()()=1.-经验值--()ln（1-)() 这是（15）给出的MPWPF。这些观察结果导致WPF的以下一般形式与rationalasset定价理论一致。允许R 和R()是无限可除的随机变量，带有CDF(R)(), ∈R 和R()(), ∈R, 让mgfMR()()= R()< ∞,0 << ().定义WPF的一般形式，,R,R()(), ∈（0,1），与RDAPT作为以下方程式的解一致：第41页R()()= ,R,R()(R)(), ∈R.接下来，我们提供一些示例。示例3。（物流WPF）出租R(, ), (R)()=, ∈R, ∈ R,>0，和R()(), (). 然后,R,R()=()(), ∈(0,1), ()=e()()>0,()=()>0.对于()∈(0,1),  ,R,R()具有凹凸形状(“恐惧”），而对于()>0,,R,R()具有凸面形状( “贪婪”）。参数()>0控制,R,R(), 见图16a和16b。图16a。物流wpf图,,()=+ -(), ∈(, ), . < ()< 物流分布是无限可分的，见Steutel和van Harn（2004），附录B2。第42页图16B。物流wpf图,,()=(), ∈(, ), . < ()< 示例4。（Gumbel Logistic WPF）出租R(, ), ∈ R, >0和R()(), (), ()∈R, ()>0那么,R,R()()=经验值-()-1.(),0< <1，见图17a和17b。

这确实是PWPF（14）的一个版本，其中(,,)():=经验值{-(-)}, ∈[0,1]，带=-1.图17a。Gumbel Logistic wpf绘图,,()=--(), < < , < < 第43页图17b。Gumbel Logistic wpf绘图,,()=-()-, < < , . < < 示例5。（双帕累托WPF）LetR(), >1，和R()(), ()>1、那么,R,R()()= (2)(),0< <1.-2(1 -)(),< <1.()=().对于()∈(0,1),  “恐惧”的同时()>1. 是“贪婪的”，见图18。第44页图18。双帕累托wpf图,,()()= ()(), < <-(-)(),< < , ()∈(, )示例6。（双帕累托-拉普拉斯WPF）。允许R()>1和R()(), ()>0那么,R,R()()=()(),0 <<1.-()(),< <1.>1.>0应用双帕累托-拉普拉斯WPF， 从先前的厚尾分布（带动力尾）传递到后部分布（带薄（指数）尾），见图19 a、19b、19c和19d。第45页图19a。双Pareto-LaplaceWPF图,,()()=()(), < <, . < < , = .图19b。双ParetoLaplace WPF二阶导数图 ,,()()=(-)()--()>  显示的凸性,,()(), < << < , = 第46页图19c。双帕累托-拉普拉斯WPF图,,()()= -()(),≤< , . < < , = 图19d。双帕累托-拉普拉斯WPF二阶导数图 ,,()()= -(-)(-)(-)--(-)<  显示的凹度,,()(),< < , . < <, = .示例7。（柯西WPF）。

允许Rh(), >0和R() h(), pdf(R)()= ()(), ∈R, 和cdf cdf(R)()= ()(), ∈R 并由给出()()=+ , ∈R, >0,()()=+阿尔茨坦,第47页见图20a和20b。图20a pdf的绘图，()()=, ∈, > +, -< < ,< < /图20b cdf图()()=+, -< < , /< < /然后,R,R()()=+阿尔茨坦(),见图21a。什么时候():=()∈(0,1),   是“可怕的”，而当()>1.  是“贪婪的”，请参见,R,R()(),0 <<图21中的1。b、 第48页图21a。柯西WPF图,,()()=+()-, < < , < ()< .图21a。CauchyWPF二阶导数图 ,,()()=()() ( )()(())(), < < , < ()< .例8。（Cauchy-Gumbel WPF）。允许Rh(), >0和R()(), (), ()∈R, ()>0那么,R,R()()=经验值-()(), 见图2A。什么时候():=()∈(0,1),   是“可怕的”，而当()>1. 是“贪婪的”，参见,R,R()(),0< <图22中的1。b、 第49页图22a。Cauchy-Gumbel WPF图,R,R()()=经验值-o < < , < < , ()=0,()=1图22b。CauchyWPF二阶导数图 ,,()()= -()-o()+ ()o()o(), << , < < , ()=0,()=1示例9。（拉普拉斯WPF）。允许R(),> 0和R() (), ()>0那么,R,R()()= (2)(),0<<1.-(2 -2.)(),≤<1，第50页，见图23。什么时候()∈(0,1),   是“可怕的”，而当()>1. 是“贪婪的”，请参见,R,R()(),0 < <1、图23。拉普拉斯WPF图,,()()= (), < <-(-),≤< , < < , ()= 示例10。