考虑贪婪和恐惧因素的期权定价：理性金融方法

PT加权函数图()= ()()=(-1） ln（10),0< <1,1<< 2.()()=(+1） ln公司(-10), -1<<0,1<<2将Tversky和Kahneman（1992）的方法嵌入RDAPT需要找到资产回报的有限可分分布R, 代表投资者先前的观点,谁根据她的“恐惧-贪婪档案”选择了一个函数()(), ∈, 对于类型（1），决定改变R, 假设使用后视镜“更安全”R()= ()(R). 鉴于定义（1），人们倾向于使用双边威布尔分布，即R=R()-R(), 哪里R()和R()独立同分布（iid）R()(, ), >0,>0，即其累积分布函数（cdf）R()()=PR()≤=1.-经验值. 然后，定义R()= R(,)-R(,)具有R(,)= ()R(), , R(,)= ()R(), . “显而易见”的问题“代表“分配平等”。第11页的方法是(, )是无限可除的，当且仅当<因为我们想R()对于每个∈（0,1），双侧Weibull分布的选择R 不合适。如果我们选择双侧广义伽马分布，也会出现类似的问题R= R()-R(), 哪里R()和R()是独立广义gamma分布R()(, ), >0,>0，即其概率密度函数（pdf）由下式给出R()()= R()()=||()经验值(-), >0,∈R\{}, >0。（3）不幸的是，(, )是无穷可除的当且仅当||<1.

仔细观察无限可分非负随机变量的分布结构可以发现R()= R(,)-R(,), 哪里R(,)和R(,)iid是否可无限除数DOM变量（rvs）不适用于以下情况R()在期权合同中被视为标的资产的回报。我们将说明选择拉普拉斯分布作为先验分布的方法 就是在处理()R= R()+ , 哪里= R 以及()R()= R()-R()哈斯拉普拉斯分布。也就是说，R()(), >0，和R()和R()iid是否为指数分布rvs，平均值为R()= . pdfR()(), ∈ 和cdf(R)()属于R, 具有窗体R()()= (,)()=经验值-||, ∈, >0.（4）见Steutel和van Harn（2004），附录B，第3节。第12页(,)()= 经验值  ≤01-- ≥0，（5）见图3a和3b。图3a。Laplacedistribution的PDF图(,)()=-||,   对于∈[-, ], ∈[. , ].图3b。拉普拉斯分布的CDF图(,)()=   ≤-- ≥,   对于∈[-, ], ∈[. , ].R()有意思R()=0，差异R=2., 偏斜度R()=0，超出峰度R()=3、特征函数R()()= R()=, ∈R.第13页   选择R()+  作为初始（先前）分配R, 原因如下：() 估计股票有平均回报R=  和方差R=2., 和将股票回报的分布建模为R= R()+ ,和R()= R()-R(), 哪里R()>0和R()>0，是iid无限可分rv；()   R(, ):=()+  是无限分布的rv，生成Laplacemotion，这是一个Lévy过程，单位增量分布为(, ).

与Black-Scholes公式定价公式类似，当潜在收益过程是马丹、卡尔和张（1998）提供的具有线性漂移的拉普拉斯运动时；随机过程(), ≥0以概率为基础定义（Ω，F, , P), 哪里=(F,0≤≤) 是一种正确的连续过滤F= F,  ∈(0, ∞], F={, Ω}，称为Lévyprocess，如果：()  (o)是一个cádlág-经过调整的流程和()=0;() (o)具有独立的固定增量，即0≤()< ()< ···< (), rvs()-(), =1, … , , 是独立的rvs；() (o)具有固定增量，即0≤< + <,  的分布(+ )-()不依赖于;()(o)是随机连续的，即每0≤< , 而且每>0，lim→P(|()-()|> )=关于金融中莱维过程的详细论述，见Sato（1999）和Schoutens（2003）以及Adplebaum（2009）。我将删除所有提及最后两场会议的内容。另见第8.5节Kotz、Kozubowski和Podgórski（2001）。第14页()对于灵活的广义PTWF类的适当选择，(o),  R(,)= ()R() 和R(,)= ()R() 是独立的无限可分rvs，因此后验返回R()=R(,)-R(,)也是可无限整除的rvs。然后考虑以下对数形式的广义PTWF族：()()= (,)()∶= lnx+,  >0, >0,∈R,()()-ln公司(-)-,  <0, >0,∈R,（6） （6）给出的参数族足够灵活，可以适应. 为了说明这一点，让我们进行比较()()∶= ,  对于∈[0.45,0.9], ∈[0.87,0.89]（见方程式（1）），适当安装(,)()∶= lnx公司, ∈[0.45,0.9]. 匹配点处的第一个导数,()()()=()()(), =0,1，我们选择()= , ()= (1+ln2）。然后定义(,)()= ()lnx+().

误差项图(,)()()()()()≤0.10, ∈[0.45,0.55], ∈[0.87,0.89]如图4所示。图4：。错误项的绘图(,)()()()()()≤. , ∈[. , . ], ∈[. , . 页码| 15现在回想一下实值rv()具有负Gumbel分布，如果()(, ), ∈R, >0，如果有pdf(,)和cdf(,)提交人：()=经验值-, ∈R,  和(,)()= 1.-经验值-, ∈R, 见图5a和5B。图5a。负Gumbel分布的pdf图(,)()=-, -< < , . < < 图5b。负Gumbel分布的cdf图(,)= --, -< < , . < < .见科茨和纳达拉贾（2000年，第8页）和附录B，Steutel和van Harn（2004年）第2节。第16页()= -(), 哪里()=lim公司↑-+∑~0.57721，是Euler–Mascheroni常数，()=, 偏斜度()= -√()~ -1.14,  ()=∑是黎曼-泽塔函数，过剩峰度()=和特征函数()()= ()= Γ(1+), ∈R.  ()是一个无限可分的rv。接下来，设置R(,)= (,)R() 和R(,)= -()-R() 导致PR(,)≤=1.-经验值(-经验值 和PR(,)≤=1.-经验值-(), ∈R.因此R(,)(), , 具有()= - , 虽然R(,)(), =具有()= + .因此R(,)= R(,)-R(,)具有特征功能R(,)()= ()Γ(1+)Γ(1 -)= ()(1 + ,1.-),    （7） 在哪里(, )=()()()是Beta函数。

因此R()有物流配送R()(, ), = + , 使用pdfR(,)()= (,)()=, ∈R,                                               （8） 参见Fisher（1921）、McDonald（1991）、McDonald和Nelson（1993）、Johnson、Kotz和Balakrishnan（1995）以及Ficher（2000a）（200b）。第17页（见图6a）和cdfR(,)()= (R,,)()=, ∈R （见图6b）。Wedefine后回路R():=R(,)+ , 哪里= R. 然后R()是无限可除的R()= ()+ ,  R()=,  R()=0和 R()=1.2.图6a。logisticdistribution pdf的绘图(,,)()=, -< < , . < < 图6b。物流配送cdf图(,,)()=, -< < , . < < 第| 18页当基础股票返回时，我们现在转到期权定价R()有pdf（8）。考虑以下市场：()风险资产（股票） 带价格流程(), ∈[0, ] 遵循指数逻辑律()= （）eL(), ≥0，其中L(o)是一个逻辑Lévy运动，这是一个Lévy过程L() (), ;()无风险资产（债券）B 带价格流程()= , ∈[0, ], 哪里>0是无风险状态。考虑欧洲看涨期权，, 带价格流程(), ∈[0, ] 具有成熟度 和执行价格>0、确定（0）通过风险中性估值，我们首先定义Esscherdensity()(; , h), ∈R, ≥0, h>0，共个L(o).  允许L()(), ∈R 是的pdfL（t） ，并让h>0应确保ML()（h） =经验值hL（t）= ML()（h）< ∞, 并定义()(; , h)ML()（h）L()(), ∈R, ≥0、那么特征函数()(; , h)由给出()(; , h)=∫()(; , h)=L()()ML()(), ∈R, ≥0，（9）详细证明见Ficher（2000a）。

这里，我们仅绘制时间0时选项值的推导。参见Eberlein、Papapantoleon和Shiryaev（2009）。L()(), ∈R 可从特征函数中获得L()(), 通过标准反演公式：L()()=∫L()().第19页，其中L()(), ∈R, 是的特征函数L（t） ，则，L()()= 经验值L（t）= ()(1 + ,1.-).                   （10） LetML()（u；h）ML()()ML()()= ML()（u；h）.  然后是形式的鞅方程(), ()= (Q)(), ≥0, Q~P  相当于=自然对数ML()1.h(Q), 哪里h(Q)是鞅函数的aroot：()- ()+自然对数1+(+1),1-(+1), -< <-1、出租-().然后是期权的价值 当时=0，由给出()= ()∫(); , h(Q)+1.-∫(); , h(Q).    （11） 将公式（11）作为潜在实证研究的目标()拥有标准普尔500指数股票的每日回报数据，以校准R(, )以及标准普尔500指数股票市场期权数据的广义PTWF（6）：()对广义PTWF（6）的参数进行估计，得出关于“贪婪与恐惧”市场情绪的结论。我们在完成本节时对PTWF（1）这一事实进行了评论。允许R(), =两项风险资产的1,2倍回报率(), =1,2，带cdf()()= PR()≤, ∈R. 然后()一阶随机支配()（表示为()()(), 或等效地，我们参考Levy（1998）获得随机优势的一般参考。第20页R()()R(), 或()()()), 当且仅当()()≤()()对于所有人∈R.  考虑一下这个类 在所有非递减函数中(), ∈R 具有有限(). 然后()()(), 当且仅当()≥() 对于所有人∈.

PT的“缺陷”在于，如果在之前的退货范围内R()()R(), 那么，一般来说，顺序将不会保留后验收益R(,)= R(),  R(,)= R(), 见方程式（1）。利用（5）、（6）和（8）给出的定义，保留了一阶随机占优（FOSD）原理。确实，假设()()(), 还有回报R()have定义为R()=()+ (). 因为() 具有()≠  ()始终在点±处相交()()()(), 然后R()()R()当且仅当R()= ()+ (), ()≥0.因此，R(,)()R(,)根据FOSD原则的要求。备注4：我们认为PT不符合FOSD原则的事实与BF范围无关。公平地说，我们认为，在这种情况下，对PT的批评是没有根据的。首先，之前的R()和R(), 应与后验收益之间的顺序（如果存在）无关R(,)= R(),  R(,)= R(), 作为转型的目标(o)  就是改变′ 对风险和回报的感知，并可能纠正优先顺序。其次，FOSD的定义可能会受到批评。（我们不主张以下示例的作者身份，这可能存在于文献中，但我们无法找到确切的参考文献）。考虑一个市场，所有收益都严格正或严格负依赖于市场指数收益R(), 哪个cdfR()(), ∈R 严格来说是不断增长的。假设R(), 是市场的积极驱动源，因为遵循市场指数方向的股票总是上涨，不遵循指数方向的股票总是下跌。允许R()R().

然后每只股票, 带返回R 和CDF第21页(R)(), ∈R, 具有以下表示形式：或R= (R,)(), 或R= (R,)(1 -).  接下来，让(), =1,2，是两个分布函数，和()()(). 考虑股票(), =1,2带返回R()= (,)(1 -)和R()= (,)(1 -), 哪里(,)()=sup公司{∈R: ()()≤ } 是的倒数(). 根据FOSD的定义，()()(), 事实上，事实上，()是一支亏损的股票，而()是一支成功的股票。2.2展望理论价值函数和期权定价的一般方法在本节中，我们试图定义展望理论价值函数的一般方法。我们的目标是要说明，它不可能是等式（1）所建议的PTWP的唯一类别，应该用于每个先前的收益分布。事实上，PTWP的形状应该由之前的回报分布和.允许R 和R()前后资产收益可无限分割。我们假设矩母函数（mgf）MR()()= R()< ∞,0 << ().我们将举例说明，对于给定的先验概率分布，需要特定的PTWFPR对于R 和所需者 后验先验分布PR().示例1。假设’s之前的回报分布为R(0, ), 也就是说，它有cdf(R)()= (,)()= , <01-, ≥0, ∈R, >0,(R)=0,(R)=√R=√2., (R)=0,(R)=3（见图3a和3b）。该分布具有指数尾，并且 变换尾部使其变细，即高斯。 希望这种情况可以放松，见Hurst、Platen和Rachev（1999）和Rachev et al（2011）。第22页确定PTVF(,,)(), ∈,  这将改变R 到R()(0, ), 也就是说，R()= (,,)(R). 那么，真的(,,)()= ,° (,)(), ∈R, 见图7a。图7a。

PTVF图(,,)()=(,)° (,)(), -< < , . < < . , 也就是说. < (R)<5如图7a所示，较小的(R)更明显的是凹凸行为(,,)(o).假设现在   想确定PTVF(,,)()   ∈,  这将改变R= R(0, )到R()(), ∈(1, ∞), （有关双帕累托分布属性的详细定义，请参见示例2）。然后R()(,,)(R)暗示(,,)()= ()()(,)()= 1.-e(),<0e()-1.≥0如图7b所示，较小的(-1)∈（0,1）是凹面凸面行为(,,)(o).第23页图7b。PTVF图(,,)()= ()()(,)()= -(),-< < ()-, ≤ <  , =(-)∈. < 将PTWF（1）应用于, 从RDAPT的角度来看是无用的，因为它将导致PR()非无限可分分布。示例2。假设’s的先验收益分布是双帕累托分布R= R(,)(), ∈(1, ∞), 使用pdf(R)()= ()()=(-1)(1+||), 和cdf(R)()= ()()= (1 -), <01-(1+), ≥0，见图8a和8b。参见Steutel和van Harn（2004）中的B2节。第| 24页图8a。双帕累托分布pdf图，()()= ()()=(-)(+||), -< < , < < 图8b。双帕累托分布的cdf图，()()= ()()= (-), < -(+ ), ≥, -< < , < < 双帕累托分布具有重帕累托尾和R(,)< ∞ 如果∈(1, ), 和R(,)= ∞ 如果∈[, ∞).   , 喜欢确定PTVF(,,)(), ∈R, 这将改变R to和Laplace分布R()(0, )从…起R()(,,)(R), 接下来就是(,,)()= (,)()()()= (1 -)ln（1-), <0-(1 -)ln（1+), ≥0，第25页，见图9a和9b。图9a。

的绘图(,)()=(-)(-), <  < -(-)(+ ), ≤≤, . < < , = 图9b。的绘图(,)()=(-)(-), <  < -(-)(+ ), ≤≤, = , < < 假设’s后验收益率分布再次为双帕累托分布R()(), ()∈(1, ∞). 相应的PTWF由下式给出,,()()= ()()()()== 1.-(1 -)(), <0(1 + )()-1.≥0页| 26如图9c所示，越大()是多发凹凸行为,,()(o).图9c。PTVF图,,()()= ()()()()==-(-)(), -< < (+ )()-,   ≤< , =--()∈(, . )同样，凹凸形状(,,)(), ∈R, 与（1）给出的建议PTVF有很大不同，如本例所示，从RDAPT的角度来看，建议PTVF也没有意义。我们以以下两个观察结果结束本节。首先，PTVF givenby（1）在RDAPT框架内没有任何意义。其次，PTVFs没有通用的参数类。PTVFs参数类的选择取决于先验和后验有限可分收益分布 正在考虑。第273页。广义前景理论加权函数和期权定价与Logistic-LévyAsset收益过程正如我们在上一节讨论的那样，PTWF违反了一阶随机优势。为了克服PT的这一“弱点”，Tversky和Kahneman（1992）（T＆K下文）引入了CPT，其中金融资产产生的正回报（收益）和负回报（损失）被视为不同于交易者的一般“恐惧”处置，但加权函数定义在资产回报CDF的空间上。让我们再来一次R 表示风险资产的回报，以及(R)()= P(R≤), ≥0参考的cdfR.