具有过度扩张传染的默认系统

我们有那个GNT Htand因为任何e（k），k∈ N- C独立于GC∞, 我们得到：E[X | GNt]=E[E[X | Ht]GNt]=E[E[X | GCt]GNt]=E[X | GCt]。最后，我们应用定理B.4（3）。（b） 在PCGC下，F停止时间T（k），k的补偿器∈ N不适用于GC的过滤。这表明：FPCk6→ GCPCk6→ ...PCk6→ GCk。另一方面，氡-尼科德ym密度过程CKDP | GNtis GCKAadapted。然后，根据命题B.5，浸没性在GCk的给定超过滤中保持不变，因为它在P.（c）氡Nikod'ym密度过程D'PCdP'GNtis F适应下保持不变。结果就是命题B.5的序列。推论5.2。（F，P）鞅s P（i）满足pt（i）=pt∧T（i）（i）。证据对于任何i∈ N，p（i）是满足gt（i）=gt的鞅g（i）：=p（τ（i）=T（i）| Gi·）的（F，p）最优投影∧T（i）=Rt{T（i）>s}dgs（i）。根据引理5.1（a），我们有FP→ 我们可以应用定理B.6得出结论。5.2. 准备结果（二）。在本节中，集合C是固定的，C N，我们考虑两个附加集：S：=N- C和D S、 在定理4中。1、SDE（4.3）l在过滤Fa GS上投影后获得的S | Dis-Dadapted过程，表示为LS | D。在本节中，我们确定过程LS |并准备构建块以获得其（F，\'PC）投影。提案5.3。以下结果：（a）PN（τ（k）>t，k∈ C） =(R)EC[lSt]。

（5.2）其中lSis程序的（F，’PC）可选投影定义为：LSt：=exp-∧St（C）易∈设置ZtASs（i）dms（i）易∈网ZtBSs（i）d’nCs（i）.（b） PN（τ（k）>t，k∈ CτB（j）≤ t，j∈ D） =`EC“lS | DtYj∈Dpt（j）1{T（j）≤t} #，（5.3）其中lS | Dt过程LS | Dde的（F，\'PC）可选投影定义：LS | Dt：=Yi∈S-DEt公司Z·AS-Ds（i）dms（i）易∈网Z·BS | Ds（i）d'nCs（i）（5.4）×exp-∧S | Dt（C）+Xj∈DZT（j）∧助教-Ds（j）α（j）Ds！。我们使用了以下符号：∧S | Dt（i）：=ZtλS | Ds（i）Ds∧St（i）：=λS|t（i）=ZtλSs（i）ds（5.5）λS | Dt（i）：=λS-Dt（i）+gt（i）Xj∈DφBs（i，j）1{T（j）<s}！（5.6）BS | Dt（i）：=γ（i）Xj∈S-DφBt（i，j）1{τB（j）<t}+Xj∈DφBt（i，j）1{T（j）<T}！（5.7）证明。让我们表示：pS | D（t）：=PN（τ（k）>t，k∈ CτB（j）≤ t，j∈ D） 。我们首先表明：pS | D（t）=ECLSt{τB（j）≤t；j∈D}. （5.8）从（5.8）中的公式来看，路线图是明确的：我们需要从概率到“PC”，从过滤GN到GS，因为LS是一个GSadapted过程。我们注意到氡Nikod'ym密度过程DS=dPS/dP | GN，S N被GNadapted。现在我们介绍一些有用的GS适应过程：ESt=Yi∈设置ZtASs（i）dms（i）易∈网ZtBSs（i）dns（i）FSt=Yi∈设置ZtASs（i）dms（i）易∈网ZtBSs（i）d’nCs（i）所以thatLSt=FStexp-∧St（C）我们注意到，实际上，ESA和FSA都是GSadapted。此外，ESis是P下的局部鞅，而Fs是PC下的局部鞅。

此外，我们还有以下关系：FSt=ESt×expXk∈CZtBS（k）βs（k）ds！。因此，（b）中的表达式可以计算为：pS | D（t）=EDNt{τ（k）>t，k∈C} {τB（j）≤t，j∈D}= EDSt{τ（k）>t，k∈C} {τB（j）≤t，j∈D}= E“EStexp-Xk公司∈CZtαs（k）ASs（k）ds！{τ（k）>t，k∈C} {τB（j）≤t，j∈D} #=E“EStexp-Xk公司∈CZtαs（k）ASs（k）ds！Yk公司∈CZt（k）1{τB（j）≤t，j∈D} #。最后一个等式是通过使用随机变量e（i），i∈ N根据Pand C独立∩ S=:P（τ（k）>t，k∈ C | GSt）=EP（τ（k）>t，k∈ C |英尺∨我∈Sσ（e（i））| GSt= EP（τ（k）>t，k∈ C | Ft）| GSt=Yk公司∈CP（τ（k）>t | Ft）。为了继续，我们只需要使用（3.2）中的Z（k）表达式和“PCin定义3.4：pS | D（t）=E”EStexp-Xk公司∈CZt公司λs（k）+αs（k）ASs（k）ds！Yk公司∈CEt（ν（k））1{τB（j）≤,j∈D} #=“EC”EStexp-Xk公司∈CZt公司λs（k）+αs（k）ASs（k）ds！{τB（j）≤t，j∈D} #=“EC”FStexp-Xk公司∈C∧St（k）！{τB（j）≤t，j∈D} #=(R)ECLSt{τB（j）≤t，j∈D},证明了（5.8）。现在我们证明了我们命题的特殊公式：（a）公式（5.2）由（5.8）得到，其中D=.（b） 关于集{τb（j）<t；j∈ D} 我们有一个LS，它是一个适应GS的过程，与一些GS相等-D-适应过程，即：LSt{τB（j）<t；j∈D} =LS | Dt{τB（j）<t；j∈D} ，（5.9），LS | Dbeing GS-D-适应。我们继续确定过程LS | D（基本包括，对于所有j∈ D、 将τ（j）替换为T（j），因为它们在集合{τB（j）<∞}).

我们需要显示它对应于（5.4）中的表达式。首先，我们注意到：易∈设置Z·ASs（i）dms（i）{τB（j）<t；j∈D} ==经验值-Xj公司∈DZt公司∧T（j）AS-Ds（j）α（j）Ds！易∈S-DEt公司Z·AS-Ds（i）dms（i）{τB（j）<t；j∈D} 此外，对于k∈ S- D、 我们有：BSt（k）1{τB（j）<t；j∈D} =BS | Dt（k）1{τB（j）<t；j∈D} λSt（k）1{τB（j）<t；j∈D} =λS | Dt（k）1{τB（j）<t；j∈D} 。BS |和λS | Dbeing GS-D-适应；BS | Dis（5.7）和λS | Din（5.6）。因此，我们将LS确定为（5.4）中的一个。使用公式（5.8）中的关系式（5.9），然后使用LS | Dis GS-经Dadapted，我们得到：pS | D（t）=EChLS | Dt{τB（j）≤t，j∈D} i=‘EChLS | Dt’PCτB（j）≤ t，j∈ D | GS-Dt公司i、 另一方面，PCτB（j）≤ t，j∈ D | GS-Dt公司= PτB（j）≤ t，j∈ D | GS-Dt公司= EPτB（j）≤ t，j∈ D |英尺∨k∈S-Dσ（e（k））|GS公司-Dt公司= EPτB（j）≤ t，j∈ D |英尺|GS公司-Dt公司= PτB（j）≤ t，j∈ D |英尺=Yj公司∈DPτB（j）≤ t |英尺=Yj公司∈Dpt（j）1{T（j）≤t} 。在上文中，我们使用了一个事实来获得第一个等式，即RadonNikod“ym”密度过程D“PCdP”GNtis F a adapted，因此-对于第二个等式-Dt公司 英尺∨k∈S-Dσ（e（k））。因此：pS | D（t）=EC“LS | DtYj∈Dpt（j）1{T（j）≤t} #=(R)EC“E（LS | Dt | Ft）Yj∈Dpt（j）1{T（j）≤t} 从而证明了（5.3）。过程的动力学l沙lS | d将从中间量中获得，基本上分为两类：命题5.4。以下为j∈ S- D： （a）(R)EC【LS | Dt{τB（j）<t}| Ft】=lS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}，（5.10）（b）EC[LS | Dt{τA（j）<T}| Ft]=lS | Dt- lS-j | Dt- lS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}。（5.11）我们回顾lS | Dis（F，\'PC）-过程LS | D的可选投影。因此，lS-j | Dis（F，’PC∪{j} ）-流程LS的可选投影-j | D.证明。我们证明（5.10）。可以直接检查j/∈ D、 LS | Dt{τB（j）<t}=LS | D∪jt{τB（j）<t}。

因此（使用与命题5.3（b）证明中相同的路径）：\'EC[LS | Dt{τb（j）<t}| Ft]=\'EC[LS | D∪jt{τB（j）<t}| Ft]=？EChLS | D∪jt？PCτB（j）<t | GS-D-j|Fti=\'EChLS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}| Fti=\'EChLS | D∪jt | Ftipt（j）1{T（j）<T}=lS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}。另一方面，我们有{τA（j）<t}={τ（j）≥ t}∪ {τB（j）<t}c、 因此（再次使用D S、 j∈ S- D） ：/EC[LS | Dt{τA（j）<t}| Ft]=lS | Dt-\'EC[LS | Dt{τ（j）≥t} |英尺]-\'EC[LS | Dt{τB（j）<t}| Ft]=lS | Dt- lS-j | Dt- lS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}。5.3. 定理4.1的证明。命题5.3部分证明了该定理，其中的过程lS | dlS显示为LS | DandLS的（F，’PC）可选项目。还有待于证明lS | dl正确。我们注意到lSin（4.4）与lS|, 取D=. 因此，只需证明对于一般的D S的动力学lS | Din（4.3）正确。为此，我们从对应于LS | D的SDE开始。从（5.4）开始，我们有：LS | Dt=1+Xi∈S-DZtLS | Ds-作为-Ds（i）dms（i）+Xi∈NZtLS | Ds-BS | Ds（i）d'nCs（i）-xi∈CZtLS | Ds-λS | Ds（i）Ds-xi∈DZt公司∧T（i）LS | Ds-αs（i）AS-Ds（i）D过程lS | Dis LS | D的（F，\'PC）可选投影。因此，为了查找lS | D，我们计算上述表达式右侧每个项的（F，\'PC）Optional投影。需要强调的是，过滤F浸没在过滤GS中-Dunder the measure“PC”（参见引理5.1（c））。因此，我们可以使用附录（B.6和LemmaB.7）中总结的公式的经典投影。首先，我们有：引理5.5。就我而言∈ S- D和t≥ 0：(R)ECZtLS | Ds-作为-Ds（i）dms（i）| Ft= 0.证明。我们有一些∈ S- D、 我们注意到t m（i）是a（GS-D、 \'PC）martinga le和过程H（i）：=LS | D·-作为-D（i）为GS-D-可预测。

作为引理B.7的一个应用，可以得出（GS-D-i、 “\'PC”-hr（i）dm（i）的可选投影为null（因此也是（F，\'PC）-可选投影）。实际上，取ρ=τA（i），H：=GS-D-i、 我们观察到应用引理B.7的条件已满：过滤-D-土地和GS-在'PC（引理5.1（c）），过程H（i）在此有界，τA（i）避免了所有g-D-istopping时间（推论3.3）。其次：引理5.6。就我而言∈ N和t≥ 0，’ECZtLS | Ds-BS | Ds（i）d | nCs（i）| Ft=Zt？EChLS？Ds-BS | Ds（i）| Fsid | nCs（i）证明。这是命题B.6（i）的直接应用，其中H：=F，G：=GS-D、 M：=？nC（i）和G：=LS | Ds-BS | Ds（一）。

从最后两个引理可以看出lS |数据写入：lS | Dt=1+Xi∈NZt“EChLS”Ds-BS | Ds（i）| Fsid | nCs（i）-xi∈CZt？EChLS？Ds-λS | Ds（i）| Fsids-xi∈DZt公司∧T（i）αs（i）EChLS | Ds-作为-Ds（i）| Fsids（5.12）上述表达式包含一些条件期望，我们现在在命题5.4的帮助下显式计算这些条件期望。对于i∈ D和αt>0时：(R)EChLS | Dt-作为-Dt（i）| Fti=‘EC’LS | Dt-αt（i）Xj∈S-DφAt（i，j）1{τA（j）<t}| Ft#=αt（i）Xj∈S-DφAt（i，j）’EChLS | Dt-{τA（j）<t}|Fti=Xj∈S-DlS | Dt-- lS-j | Dt-- lS | D∪jt公司-pt（j）1{T（j）<T}φAt（i，j）αt（i）（我们在最后一步中使用了命题5.4）。另一方面，因为我∈ N和γt>0时：(R)EChLS | Dt-BS | Dt（i）| Fti=γt（i）| EC“LS | Dt-Xj公司∈S-DφBt（i，j）1{τB（j）<t}+Xj∈DφBt（i，j）1{T（j）<T}|Ft#=Xj∈S{j∈D}lS | Dt-+ 1{j∈S-D}lS | D∪jt公司-pt（j）φBt（i，j）γt（i）{t（j）<t}。最后，对我来说∈ C、 并使用上述两个计算量：\'EChLS | Dt-λS | Dt（i）| Fti==？EChLS | Dt-nλt（i）+αt（i）AS-Dt（i）+βt（i）BS | Dt（i）o | Fti=lS | Dt-λt（i）+αt（i）’EChLS | Dt-作为-Dt（i）| Fti+βt（i）| EChLS | Dt-学士学位-Dt（i）| Fti=lS | Ds-λt（i）+φAs（i，S）- D） +燃气轮机（i）Xj∈DφB（i，j）1{T（j）<T}！-Xj公司∈S-Dh公司lS-j | Dt-φAt（i，j）+lS | D∪jt公司-φAt（i，j）- gt（i）φBt（i，j）pt（j）1{T（j）<T}i.我们现在用上面计算的项替换（5.12）中的条件期望；我们获得以下信息：dlS | Dt=Xi∈NXj公司∈S{j∈D}lS | Dt-+ 1{j∈S-D}lS | D∪jt公司-pt（j）φBt（i，j）γt（i）{t（j）<t}d'nCt（i）-xi∈中国大陆lS | Dt-λt（i）+φAs（i，S）- D） +燃气轮机（i）Xj∈DφB（i，j）1{T（j）<T}！-Xj公司∈S-Dh公司lS-j | Ds-φAs（i，j）+lS | D∪js公司-φAs（i，j）- gs（i）φBs（i，j）ps（j）1{T（j）<s}iodt-xi∈D{T（i）>T}Xj∈S-DφAt（i，j）lS | Dt-- lS-j | Dt- lS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}dtWe重新排列术语并使用：(R)nC（i）=（n（i）+Rt∧T（i）gs（i）ds i∈ Cn（i）i∈ （5.1）之后的内容以及随后的备注。

此外，我们表示ψA（i，j）：=（φA（i，j）i∈ S- DφA（i，j）1{T（i）>T}i∈ DWe获得lS | D:DlS | Dt=lS | Dt-(λt（C）+ψAt（C∪ D、 S- D）dt+Xj∈D{T（j）<T}Xi∈NφBt（i，j）γt（i）dnt（i））+Xj∈S-DlS | D∪jtpt（j）1{T（j）<T}（ψA（C∪ D、 j）dt+Xi∈NφBt（i，j）γt（i）dnt（i））+Xj∈S-DlS-j | DtψA（C∪ D、 j）dt。这只不过是（4.3）的另一种形式，因此证明了结果。附录A.F-条件马尔可夫链对一个马尔可夫链与西格玛域F有条件的过程的启发式描述是考虑两步随机化过程。在第一步中，我们利用“驱动过程”的随机性，即被解释为随机环境的随机过程，并生成过滤F=（Ft）t≥0带F：=F∞. 一旦选择了一个整体，就会生成一个马尔可夫链，其中转换率是驱动过程当前状态的函数。双随机泊松过程中条件马尔可夫链的一个流行例子（见[44]）。然而，在违约传染的框架下，我们考虑了状态空间I={0，1}n的过程Y，因此排除了双随机泊松过程。现在，给定一个概率空间(Ohm, F、 P），让我们用状态空间I形式化定义F-条件马尔科夫链。

我们表示2i的所有子集的集合；F是西格玛场。F-条件转移概率π是I×2I×的映射Ohm 使（i）对于所有x∈ I和ω∈ Ohm, 地图A→ π（x，A，ω）是2I上的概率测度。（ii）对于所有A∈ 2i和ω∈ Ohm, 地图x→ π（x，A，ω）是2i可测的。（iii）对于所有x∈ I和A∈ 2I，映射ω→ π（x，A，ω）是F可测的。我们说Y是一个F-条件马尔可夫链，如果对于任何具有0的固定s和t≤ t型≤ s、 有一个F-条件转移概率：pt，s:I×2I×Ohm → [0，1]（x，A，ω）→ pt，s（x，A）（ω），使得以下等式成立：P（Ys∈ A | F∨ σ（Yu，u≤ t） ）（ω）=pt，s（Yt，A）（ω）。特别地，pt，s（Yt，A）是F-可测的。因此对于固定ω∈ Ohm, pt，s（x，y）是时间非齐次马尔可夫链从状态x到状态y的传递函数。由于传递函数是可度量的，因此传递函数是随机的，因此捕捉了过程y对随机环境的依赖性。一般来说，过程Y在F上的条件分布可以通过所谓的瞬时跃迁速率或跃迁强度来合成。如果存在，则定义如下。对于x∈ I和y∈ 一： qt（x，y）=lim→0pt，t+（x，y）。由于转移函数是随机变量，因此考虑的收敛是P-几乎必然收敛。附录B.过滤放大的基本事实在此，我们总结了本文中有用的过滤放大理论的结果。我们假设我们得到了一个过滤概率空间(Ohm, F、 H=（Ht）t≥0，P）满足通常假设。A、 逐步扩大。定义B.1。随机时间ρ是非负随机变量ρ：(Ohm, F）→ [0, ∞].与ρ相关且与（H，P）相关的Az'ema超马尔丁格尔是H超马尔丁格尔ρt=P（ρ>t | Ht）（B.1），被选为c'adl'ag，与Az'ema相关的ρ（Az'ema[2]）。

我们注意到，上鞅（Zρt）是1[0，ρ[]的H-可选投影。我们还引入了过程1{ρ]的H-对偶optiona和对偶可预测投影≤t} ，分别用Aρ和Aρt表示。然后，Zρt=EP[Aρ∞|Ht]- Aρt，而（B.1）的Doob-Meyer分解写为：Zρt=mρt- aρt.（B.2）我们用过程（ρ∧ t） t型≥0，因此新的放大过滤Hρ是包含H且使ρ为停止时间的最小过滤（满足通常假设），即：Hρt=Kt+，其中Kt=Ht∨ σ(ρ ∧ t） 。现在我们回顾一个定理，该定理在构造ρ的（Hρ，P）补偿器过程中很有用。定理B.2（Jeulin-Yor【37】）。设H为有界Hρ可预测过程。然后ρ{ρ≤t}-Zt公司∧ρHsZρs-daρsis是Hρ鞅。当我们假设随机m时间ρ避免H停止时间时，那么：引理B.3（Jeulin Yor[37]，Jeulin[36]）。如果ρa空隙H停止时间，则aρ=aρ，且aρ是连续的。因此，过程的补偿器1{ρ≤t} 是连续的。B、 浸没过滤。给出两个过滤器H和G，以及Ht Gt，适用于所有t≥ 0时，在文献中经常遇到以下假设：函数H浸入G中（也称为（H）-假设）：每个H鞅都是Gmartingale。我们写HP→ H的G在概率测度P下浸入G中。我们现在回顾下一个定理B.4（Dellacherie Meyer[15]和Br'emaud Yor[8]）中浸入性质的几个有用的等价刻画。