具有过度扩张传染的默认系统

和限制→∞Γ（k）t=+∞ a、 美国，所有k∈ N我们假设概率空间支持一系列随机变量e（k），k∈ n其中i.i.d.具有参数为1的指数分布，且与F无关∞. 我们定义：τ（k）=inf{t≥ 0; Γt（k）≥ e（k）}，k∈ N该过程被称为信贷风险时代的危险过程（见[21]、[34]、[11]）；它综合了有关默认时间的所有必要信息；默认时间的补偿过程可以从危险过程开始计算，我们马上就会看到。对于任意集合C N，我们引入过滤GCasGCt：=HCt+和HCt：=Ft\\u k∈Cσ（t∧ τ（k）），即满足通常条件的逐步扩大的过滤，并用k生成nyτ（k）∈ C停车时间。我们有G= F和GNI如（2.1）所示。符号每当N的单个元素{i}出现s上标时，我们将省略括号。也就是说：我们写gi而不是G{i}，GC∪代替GC∪{i} 为了简单起见，我们引入以下内容：假设。A1、对于所有k∈ N，Γt（k）=Ztαs（k）ds+ΓT（k）（k）1{T（k）≤t} ，其中每个t（k），k∈ N是完全不可能的F停止时间，具有强度过程（γt（k））t≥对于所有k，过程α（k）和γ（k）是F-可预测的、非负的且有界的。我们定义了（F，P）鞅：nt（k）：=1{T（k）≤t}-Zt公司∧T（k）γs（k）ds。假设A1。允许有一个简单的模型，其中默认时间允许强度。更一般的框架出现在《科库列斯库》【9】中，其中仅处理单一债务人的情况。本着易于处理公式的精神，我们添加了以下附加假设：A2。鞅n（k）和n（j）对于任何k，j都是正交的∈ N，k 6=j.A3。

对于任何k∈ N鞅：pt（k）：=Pτ（k）=T（k）| Ft, 对于k∈ Nis与n（k）正交。消除这三个假设在概念上或技术上都没有困难。但删除它们将大大增加所获得公式的复杂性，从而掩盖下一节中的构造。我们在该度量下的构造要求f条件生存概率（也被称为Az’ema的超级鞅），对于ms来说很简单，特别是对于债务人的违约：Zt（k）：=P（τ（k）>t | Ft）=e-Γt（k）。下面，我们给出生存概率的乘法分解，以及默认时间τ（k），k的强度∈ N对应于上述引入的危险过程：命题3.1。Az'ema的超鞅Z（k）具有关于（F，P）的乘法分解（即以a（F，P）-局部鞅乘以a递减和F可预测过程的形式），由：Zt（k）=Et（ν（k））e给出-∧t（k），（3.2），其中：νt（k）：=-Ztgs（k）dns（k）（3.3）gt（k）：=pt（k）eΓt-（k） {T（k）≥t} （3.4）∧t（k）：=Ztλs（k）ds（3.5），其中λ（k），τ（k）的强度为：λt（k）：=αt（k）+gt（k）γs（k）。证据我们注意到，Zt（k）=P（τ（k）>t | Ft）给出：ZT（k）（k）=-P（τ（k）=T（k）| FTk）=-pT（k）（k）。另一方面，Zt（k）=e-Γt（k）给出：ZT（k）（k）=e-ΓT（k）（k）- e-ΓT（k）-（k） ，使这两个表达式相等，我们得到：ΓT（k）=- 自然对数1.- pT（k）（k）eΓT（k）-（k）= - 自然对数1.- gT（k）（k）= - 自然对数1 + νT（k）（k）因此，Z（k）的唯一间断出现在T（k）处，我们得到：Zt（k）=e-Rtαs（k）dsYs≤t（1+νs（k）），精确地说是（3.2）。根据假设A2。，鞅p（k）和n（k）是正交的，这确保了ν（k）是局部鞅。过程λ（k）精确地表示τ（k）的强度，这一事实源于Jeulin a和Yor（19 78）的结果，我们在附录（定理B.2）中回忆到了这一结果。

以便以后能够区分直接响应。间接传染，我们需要在其“特定”（τa（k））和“系统”（τB（k））对应物中分解默认时间τ（k），如下：命题3.2。让我们考虑一组C N和fix一些k∈ C、 我们定义了gc停止时间τA（k）和τB（k）：τA（k）：=τ（k）1{τ（k）6=T（k）}+∞1{τ（k）=T（k）}τB（k）：=τ（k）1{τ（k）=T（k）}+∞1{τ（k）6=T（k）}，因此：τ（k）=τA（k）∧ τB（k）。然后，计算了R+上τaan和τBadmit（GC，P）强度的补偿器。下面给出了这些。（i） 对于τA（k），（GC，P）-补偿器为（Rt∧τ（k）αs（k）ds），即强度为1{τ（k）>t}αt（k）。（ii）对于τB（k），（GC，P）-补偿器为（Rt∧τ（k）βs（k）ds），即强度为1{τ（k）>t}βt（k），其中：βt（k）：=gt（k）γt（k）。证据让我们用∧A（k）表示τA（k）的（GC，P）-补偿器，用∧B（k）表示τB（k）的（GC，P）补偿器。我们计算第一个∧B（k），它被定义为唯一的递增和GC可预测过程，因此对于所有有界和GC可预测过程H和f或所有≥ 0，以下保留：EZtHsd1{τB（k）≤s}= EZtHsd∧Bs（k）对于作为上文的（任何）H（即GC可预测），存在GC-k-可预测过程，即wedenote h，这样：Ht{τ（k）≥t} =ht{τ（k）≥t} 尤其是，Hτ（k）=Hτ（k）（参见示例[37]，Lemme 1）。因为{τB（k）≤ t} {τ（k）≤ t} ，我们还有HτB（k）{τB（k）≤t} =hτB（k）{τB（k）≤t} 因此：EZtHsd1{τB（k）≤s}= EZthsd1{τB（k）≤s}= EhT（k）{τ（k）=T（k）}{T（k）≤t}= EhhT（k）Pτ（k）=T（k）| GC-kT（k）{T（k）≤t} i=EhT（k）pT（k）（k）1{T（k）≤t}= EZTSPS（k）d1{T（k）≤s}= EZths{τ（k）≥s} Zs公司-（k） ps（k）d1{T（k）≤s}= EZtHs{τ（k）≥s} Zs公司-（k） ps（k）d1{T（k）≤s}= E“Zt∧T（k）Hs{τ（k）≥s} Zs公司-（k） ps（k）γs（k）ds#。在最后一步中，我们使用了假设A2。在第5页（这允许我们将ps（k）以上的积分替换为ps-（k） T（k）的补偿器由（Rt）给出∧T（k）γ（s）ds）。

我们得出结论：∧B（k）=Zt{τ（k）≥s}∩{T（k）≥s} Zs公司-（k） ps（k）γs（k）ds=Zt∧τ（k）βs（k）ds。因为1{τ（k）≤t} =1{τA（k）≤t} +1{τB（k）≤t} ，我们有∧A（k）=∧（k）- ∧B（k），因此得到结果。推论3.3。让k∈ NGN停止时间τA（k）避免了过滤GN的所有停止时间-k、 即P（τA（k）=θ）=0，对于任何有限GN-k-停止时间θ。证据让我们首先计算相对于τA（k）和过滤因子的Az'ema超鞅。利用（3.2）中的分部积分，我们得到：P（τ（k）≤ t | Ft）=ZtZs-（k） αs（k）ds+pT（k）{T（k）≤t} 另一方面：P（τ（k）≤ t | Ft）=P（τ（k）≤ t、 τ（k）=τA（k）| Ft）+P（τ（k）≤ t、 τ（k）=τB（k）| Ft）=P（τA（k）≤ t | Ft）+P（t（k）≤ t、 τ（k）=τB（k）| Ft）=P（τA（k）≤ t | Ft）+1{t（k）≤t} pt（k）。从上述两个表达式出发，使用特性pt（k）=pt∧T（k）（推论5.2），weget:P（τA（k）>T | Ft）=1-ZTZ公司-（k） αs（k）ds。（3.6）现在，我们计算相对于τA（k）的Az'ema上鞅和较大的滤波-k、 因为e（i），i∈ N是独立的，用（3.6）表示t≥ 0，我们得到：P（τA（k）>t | GN-kt）=EPτA（k）>t | Ft∨我∈N-kσ（e（i））|GN公司-千吨级= EPτA（k）>t | Ft|GN公司-千吨级= PτA（k）>t | Ft= 1.-ZTZ公司-（k） αs（k）ds。这表明Az'ema相对于τA（k）和过滤比n GN-K有限t的连续性（事实上，可以证明在t=∞,有关更多详细信息，请参见[9]。根据定理VI.76。在【16】中，我们推断τA（k）避免任何有限GN-k-停止时间。在继续进行下一步并引入传染之前，查看条件独立下的生存概率是有用的，如时间0所示。目的是强调一类概率度量是方便使用的。

在P下，C组的时间tsurvival概率 N由：P（τ（k）>t给出，k∈ C） =E“Yk∈CZt（k）#=E“exp-Xk公司∈CZtλs（k）ds！Yk公司∈CEt（ν（k））#=“EC”exp-Xk公司∈CZtλs（k）ds#（3.7）=“EC”扩展-Xk公司∈C∧t（k）！#，（3.8）其中“EC是以下定义的度量”P下的期望运算符。定义3.4。对于C N，我们定义了相应的违约调整概率度量，表示为“Pc”，定义为：d“PCdPGNt=Yk∈CEt（ν（k）），t≥ 0，其中（3.3）中定义了ν（k）。由于我们已经假设过程α和γ是有界的，所以所有t和C的概率都是明确的。我们总结了（GC，P）鞅，它们将在剩下的：mt（k）：=1{τa（k）中起作用≤t}-Zt公司∧τ（k）αs（k）ds，t≥ 0（3.9）nt（k）=1{T（k）≤t}-Zt公司∧τ（k）γs（k）ds，t≥ 0. (3.10)3.2. 通过概率测度的变化传染。在本小节中，我们提出了过滤概率空间(Ohm, G、 GN，PC），C 这代表了不同传染债务人集合C的模型。我们首先介绍：-直接影响矩阵φA=（φAt（i，j））（i，j）∈Nand-间接冲击材料ixφB=（φBt（i，j））（i，j）∈N、 组件是F-可预测的非负有界过程。这里，φA（i，j）（分别φB（i，j））是jthdebtor违约直接（分别间接）对债务人违约强度的影响，只要最后一个债务人尚未违约。从现在开始，我们假设∈ N，鞅（pt（i））∈ [0，1）；关于这些鞅的定义和其他性质，请参见假设3。以下命题是G ir sanov定理的简单应用。命题3.5。设C为传染因子集，C N我们为大家介绍我∈ C可预测过程：ACt（i）：=αt（i）Xj∈CφAt（i，j）1{τA（j）<t}，t≥ 0（3.11）BCt（i）：=γt（i）Xj∈CφBt（i，j）1{τB（j）<t}，t≥ 当αt（i）>0时，分别为0（3.12）。γt（i）>0；考虑动作（i）=0。

BCt（i）=0，否则。我们定义了概率测度家族（PC），C N：dPCdPGNt=DCt：=Yi∈网Z·ACs（i）dms（i）易∈网Z·BCs（一）dns（一）.那么默认时间τ（i），i∈ N的（GN，PC）强度由λCt（i）=λt（i）给出+αt（i）ACt（i）+βt（i）BCt（i）.评论1、我们注意到，PCare下的默认强度的形式为announcedin（3.1）：λCt（i）=λt（i）+Xj∈对于i，CξX（j）t（i，j）1{τ（j）<t}∈ N，X（j）=A1{τ（j）=τA（j）}+B1{τ（j）=τB（j）}，这是一个GNτ（j）可测量的随机变量；ξA（i，j）=φA（i，j），ξB（i，j）=g（i）φB（i，j）。2、在PC下，一些默认值可能会修改环境的演变：停止时间T（i），i的（GN，PC）强度∈ N是γ（i）[1+BCt（i）]，即在默认时间j有向上跳跃∈ 满足τ（j）=τB（j）的C。或者，T（i）i∈因为它们是默认系统环境的元素。4、主要工作成果(Ohm, G、 GN，PN）。我们记得，在PNP下，这类具有传染性的债务人并不存在。这并不缺乏一般性：可以将两个冲击矩阵φA和φBt的kthcolumn设置为null，并使kthdebtor不具有传染性。我们想描述时间t生存概率的特征：PN（τ（k）>t，k∈ C） 对于任何C∈ N我们记得，在条件独立的情况下，生存概率满足：P（τ（k）>t，k∈ C） =(R)EC[lt] ，其中l 满意度：dlt=-lt（峰值∈Cλt（k））dt（见（3.7）中的表达式）。我们的目的是提出PN下具有类似形式的公式，即PN（τ（k）>t，k∈ C） =(R)EC[lt] ，（4.1）其中l 是一个适应F的过程。但现在，l 属于一个更大的过程家族，该过程产生了线性随机微分方程组的s解，该方程组可以进行递归求解。

这是下面定理4.1的目标，这是本文的主要结果。这很容易说明这个过程l 出现在（4.1）中lC、 反映其与C组的生存概率相对应。然而，我们不这样做；相反，我们的符号是：l = lN-C、 我们选择N的子集作为超级脚本表示传染实体。实际上，我们观察到：PN（τ（k）>t，k∈ C） =PN-C（τ（k）>t，k∈ C） ，（4.2）即，我们可以认为N- 在计算上述概率时，C实际上是一组具有传染性的债务人。这是因为根据PN，特定债务人产生的传染只会在其违约后发生，而且之前不存在。在数学方面，以下Radon-Nikod'ym密度过程满足nt{τ（k）>t，k∈C} =DN-Ct{τ（k）>t，k∈C} 。根据命题3.5中的表达式得出。符号给定一个向量（V（i），i∈ N）矩阵M=（M（i，j），i，j∈ N）和C，D N we writeV（C）：=Xi∈CV（i）和M（C，D）：=Xi∈CXj公司∈DM（i，j）。例如λt（C）=Pi∈Cλt（i）和φAt（C，D）=Pi∈CPj公司∈DφAt（i，j）等。定理4.1。支持C、D∈ N带C∩ D= 并表示S：=N- C、 然后：PN（τ（k）>t，我∈ CτB（j）≤ t，j∈ D） =`EC“lS | DtYj∈Dpt（j）1{T（j）≤t} #，其中lS | d统计：dlS | Dt=(-lS | Dt-λt（C）+Xj∈S-DlS | Dt-- lS-j | Dt-+ lS | D∪jt公司-pt（j）1{T（j）<T}ψA（C∪ D、 j））dt+Xk∈N（Xj∈S{T（j）<T}{j∈D}lS | Dt-+ 1{j∈S-D}lS | D∪jt公司-pt（j）φBt（k，j）γt（k））dnt（k）（4.3）lS | D=1。上面，我们表示：ψA（k，j）：=（φA（k，j）k∈ S- DφA（k，j）1{T（k）>T}k∈ D、 特别是，表示lS： =lS|, C组的生存概率满足：PN（τ（k）>t，k∈ C） =(R)EClSt公司,带：dlSt公司=(-lSt公司-λt（C）+Xj∈SlSt公司-- lS-jt公司-+ lS | jt-pt（j）1{T（j）<T}φA（C，j））dt+Xk∈N（Xj∈S{T（j）<T}lS | jt-pt（j）φBt（k，j）γt（k））dnt（k）（4.4）lS=1。我们将这个结果的证明推迟到下一节。

现在，我们想探索上面的塞德斯。我们首先强调一些特殊情况：（1）如果φA≡ 0和φB≡ 0（即没有传染），则PC=Pand:dlt=-ltλt（C）dt，它确实对应于（3.7）中的表达式。（2） 如果p（i）≡ 0代表所有i∈ N（即默认系统对其环境没有影响），则所有τ（i），i∈ N避免F停止时间。我们以这种方式恢复了一个类似于第2节中介绍的马尔可夫框架，其中时间t的转换率来自状态x∈ {0，1}到另一个状态y∈ {0，1}nis:qt（x，y）=（λt（k）+Pj∈NφAt（k，j）x（j）if对于某些k∈ N：y=xkand x（k）=00，否则，如前一节所述，xkis从x=（x（1），···，x（N））中获得∈ {0，1}通过调整KTH坐标x（k）。我们观察到“PC=Pand（4.4）”变成：dlSt=- lSt公司λt（C）+φAt（C，S）dt+Xj∈SlS-jtφAt（C，j）dt。（4.5）公式（4.5）可以直接从与默认过程Y相关的Kolmogorov正向方程中获得，如附录C中所述。（3）如果φa=0且φB6=0（即，仅存在间接传染），则：lSt=- lSt公司-λt（C）dt+Xj∈S{T（j）<T}lS | jt-pt（j）Xk∈NφBt（k，j）γt（k）dnt（k）。我们现在说明如何从SD Esin定理4.1中具体获得生存概率。A目标集C* N是固定的，即我们想要获得过程lS*, 带*= N- C*. 我们从S= 我们递归地添加元素，以便创建S的所有可能子集*. 集合S*= N- C*在最后一次迭代中获得。更准确地说，这项工作如下：0。S=. 我们计算lt、 1。对于所有j∈ S*, 我们取S={j}并得到数量lj | jandlj、 2。对于所有{j，j} S*, 我们取S={j，j}并得到数量lS | S，lS | j，lS | j，lS（按该顺序）。。。。通常情况下，在KThitation:k。

对于任何S S*带卡=k，对于任何D S、 我们计算lS | D，在D的基数的递减或排序中nk公司S的子集*包含k个元素，每个元素都有2个不同的子集。因此，在KThitation，我们必须解决nk公司类型的方程式（4.3）。为了求解这些方程，在步骤k中获得的量- 需要1个。例如，如果卡*) = s、 该过程需要上述形式的迭代0，1，···，s，也就是说，我们需要求解：sXk=0sk公司k=3类型的方程式（4.3）。我们看到，当应用于大型默认系统时，该过程的复杂性非常高。然而，在实际应用中，我们主张可以合理地降低复杂性。在大多数金融系统中，尽管存在大量债务人，但预计会在系统之外产生显著影响的违约数量可能仅限于少数实体（系统企业）。其他公司可以被视为非系统性公司：我们可以假设τB（k）=∞ a、 当债务人k是非系统的时。其解释是，如果债务人k不是系统性的，其违约最多会对其交易对手（即违约系统中的其他债务人）产生直接的传染影响，但不会产生更大的经济影响（即对违约系统的环境）。例如，假设S*= S*A.∪ S*B N和所有k∈ S*Awe haveτB（k）=∞a、 即τ（k）=τa（k）a.s。。在其他工作中*Ais是一组非系统债务人和*B可能包含系统性债务人。我们考虑S*A.∩ S*B= 和卡*B） =B，因此该卡*A） =秒- b、 为了获得过程lS*, 我们需要这段时间来解决：s-bXk=0s- 黑色×bXk=0黑色k！=2秒-B类型的方程式（4.3）。该过程的复杂性在较小时大大降低。5.

主要结果的证明本节致力于定理4.1的证明。为方便读者阅读，我们在附录B中分别给出了过滤放大理论的基本结果，这些结果对我们的证明非常有用。此外，为了清晰起见，我们在前两小节中建立了一些中间结果。5.1. 准备结果（一）。因为我们正在处理大量的过滤和概率，所以我们在这里澄清当我们改变过滤和/或概率时，鞅会变成什么。仅强调过滤和概率的相关变化。定理4.1中的结果使“PC”下出现预期。让我们确定一组C∈ N在“Pc”下，我们有：-对于k∈ C、 停止时间T（k）的强度为γ（k）（1- g（k））。我们定义了以下（F，\'PC）-鞅：\'nCt（k）：=1{T（k）≤t}-Zt公司∧T（k）γs（k）（1- gs（k））ds（5.1）-用于i∈ N- C、 停止时间T（i）具有不变的强度γ（i），如P-更一般地，所有与n（k），k正交的P-鞅∈ C也是“Pc鞅”。符号给定两个过滤器F G和概率测度P，我们写出FP→ G当所有F鞅在概率测度P下仍为G鞅时，这种性质通常称为浸入性质（即我们说F浸入G中）或（H）假设。引理5.1。以下保留：（a）对于所有C N我们有以下特点：FP→ GCP→ GN，（b）设（Ck）为n的子集的n递增族。在测量PCK下，保持以下状态：FPCk6→ GCPCk6→ ...PCk6→ GCkPCk→ ...PCk→ GN，（c）在“PCwe hav e”下：F“PC”→ GS“PC”→ GN，对于任何S N证据（a） 让我们考虑X∈ 总承包商∞. 我们表示Ht：=GCt∨k∈N-Cσ（e（k））。