多agent市场中商品交换的动力学模型

与[12]一致，这可以通过取值0来实现≤ α(ω) ≤ 1和0≤ β(ω) ≤ 1在更新的数量（2.17）和（2.18）中，作为正的独立随机变量，例如hα（ω）i=α，hβ（ω）i=β，α+β=1，（3.21），其中h·i表示数学期望。由于这些选择，给定时间t的货物数量（x，y）≥ 0，经销商将根据tox更新其数量*= x+β（ω）Mx（t）+λxmx（t）My（t）+λymy（t）y- x个y*= y+α（ω）My（t）+λymy（t）Mx（t）+λxmx（t）x- y.（3.22）同样，投机者将在时间t更新≥ 0数量（x，y）根据x*= x+β（ω）Mx（t）+λxmx（t）My（t）+λymy（t）λyy- λxxy*= y+α（ω）My（t）+λymy（t）Mx（t）+λxmx（t）λxx- λyy.（3.23）请注意，t>0时处置货物的变化规律取决于两组同时密度的平均值。与定义（2.16）一致，时间t的平均价格p（t）≥ 相对于灰岩的第二个好的0由p（t）=βαMx（t）+λxmx（t）My（t）+λymy（t）定义。（3.24）立即认识到，类型（3.22）和（3.23）的相互作用都意味着在每一时间t的平均守恒≥ 代理人财富的0。Indeedw公司*A（t）=x*+ P（t）y*=x+P（t）y+β(ω) -βαα(ω)αβP（t）y- x个,w*B（t）=x*+ P（t）~y*= x+P（t）~y++β(ω) -βαα(ω)αβP（t）λyy- λxx,（3.25）这意味着*A（t）i=x+P（t）y=wA（t），hw*B（t）i=x+P（t）y=wB（t）。（3.26）一旦确定了货物数量的变化机制，通过表达可观测数量的时间变化规律，可以很容易地记录密度的时间演变。

对于任何给定的光滑函数Д，它对应于写入线性空间齐次Boltzmann方程的系统dTdTzr+Д（x，y）f（x，y，t）dx dy=σ*ZR+（Д（x*, y*) - Д（x，y））f（x，y，t）dx dy+，ddtZR+Д（x，y）g（x，y，t）dx dy=σ*ZR+（Д（￠x*, y*) - Д（x，y））g（x，y，t）dx dy+。（3.27）在（3.27）中，正常数σ是相互作用频率的量度。方程式（3.27）的右侧描述了由于类型（3.22）的变化而导致的密度f的变化（分别是由于类型（3.23）的变化而导致的g的变化）。考虑到微观相互作用的性质，（3.27）中的两个动力学方程相互关联，其中涉及两个密度的平均值。通过选择Д（x，y）=x（分别为Д（x，y）=y），可以计算平均值（3.19）和（3.20）相对于交易商和投机者群体的时间变化规律。经销商人口的平均值根据mx（t）dt=β变化Mx（t）+λxmx（t）My（t）+λymy（t）My（t）- Mx（t）,dMy（t）dt=αMy（t）+λymy（t）Mx（t）+λxmx（t）Mx（t）- 车型年款（t）.（3.28）同样，投机者群体的平均值根据Mx（t）dt=β变化Mx（t）+λxmx（t）My（t）+λymy（t）λymy（t）- λxmx（t）,dmy（t）dt=αMy（t）+λymy（t）Mx（t）+λxmx（t）λxmx（t）- λymy（t）.（3.29）立即认识到mx（t）+mx（t）=Ix=mx（0）+mx（0），My（t）+My（t）=Iy=My（0）+My（0）。（3.30）这些限制反映了封闭市场中商品平均数量的守恒。此外，鉴于（3.26），它保持SDDTWA（t）=My（t）ddtP（t），ddtWB（t）=My（t）ddtP（t）。（3.31）方程式（3.31）表示A类和B类代理人的平均财富随时间变化的价格变化。备注III.1有趣的是，如果两个保存常数λx，λ都是严格正的，我们还有一个更进一步的守恒定律。

由于（3.30）Mx（t）+λxmx（t）=Ix- (1 - λx）mx（t），My（t）+λymy（t）=Iy- (1 - λy）my（t）。（3.32）进一步的守恒定律如下所示，如果对于任何给定的r>0Φx（r）=β（1- λx）对数[Ix- (1 - λx）r]，（3.33）保持不变-dΦx（mx（t））dt=-Φx（mx（t））dmx（t）dt=+β[Ix- (1 - λx）mx（t）]dmx（t）dt=λymy（t）Iy- (1 - λy）my（t）-λxmx（t）Ix- (1 - λx）mx（t）。（3.34）类似地，如果Φy（r）=α（1- λy）对数- (1 - λy）r]，（3.35）保持不变-dΦy（my（t））dt=λxmx（t）Ix- (1 - λx）mx（t）-λymy（t）Iy- (1 - λy）my（t）（3.36）随之d[Φx（mx（t））+Φy（my（t））]dt=0，这意味着守恒定律（Ix- (1 - λx）mx（t））1/[β（1-λx）]··（Iy- (1 - λy）my（t））1/[α（1-λy）]=C，（3.37）由于进化定律（3.28）和（3.29）是非线性的，即使存在守恒定律，对系统（3.28）和（3.29）进行精确的分析研究似乎非常困难。同样，以闭合形式将解的高阶矩演化为（3.27）也很麻烦。因此，Boltmann方程（3.27）是通过蒙特卡罗方法对密度演化进行数值研究的起点【10，16】。B、 一个显式可解的案例在下面，我们将讨论B类代理商仅在封闭市场上交易一种类型的商品的情况，例如Y，目的是增加其X类商品的数量。这对应于选择λX=0，λY=δ。当λy=1时，得到最简单的情况，即第二类代理人将其y类货物的总金额兑换成标记金额的情况。如果是这种情况，（3.29）中的第二个等式reduceToDmy（t）dt=-αmy（t），（3.38），可以很容易地解决给定my（t）=my（0）exp{-αt}。

（3.39）这表明，B类代理人手中的Y类货物在时间上呈指数递减，与α成正比，B类货物将仅与Y类货物保持一致。然后，由于守恒（3.30），（3.28）中的第一个方程采用的形式为DMX（t）dt=βMx（t）My（t）+My（t）My（t）- Mx（t）=-βMx（t）my（t）Iy。（3.40）因此我们得到了log Mx（t）dt=-βmy（0）Iyexp{-αt}，（3.41）可以集成到给定的Mx（t）=Mx（0）exp-βαmy（0）Iy（1- 经验值{-αt}）.（3.42）正如预期的那样，A类代理中X类货物的数量在时间上正在减少，并且将以指数形式超过极限值'Mx=Mx（0）exp-βαmy（0）Iy.根据守恒定律（3.30），从（3.39）和（3.42）中，我们得到mx（t）和My（t）的值。此外，（3.24）isP（t）=βαMx（0）Iyexp中定义的平均价格P（t）-βαmy（0）Iy（1- 经验值{-αt}）.（3.43）货物Y相对于X的价格在一段时间内下降，并将达到极限值'P=βαMx（0）Iyexp-βαmy（0）Iy.请注意，在这种情况下，（3.31）给出的两个阶级财富的时间变化为负值，两个阶级的财富都会随着时间的推移而减少。考虑这样一种情况，即最初两类拥有相同的货物Y的平均数量，但a类拥有更大的货物X的平均数量。然后，在时间t=0时，一类拥有WA（0）>WB（0）。由于B类将Y类货物转移至A类，因此在随后的任何时间t>0差异My（t）-my（t）为正，相对财富WA（t）- WB（t）在（3.31）中随时间而减少。在这种情况下，B类代理人的战略是使其最终财富更接近A类代理人的财富。前面的例子表明，B类代理人的最终战略能够确定其财富状况的有效改善。C

一般caseLet us设置ρx（t）=Mx（t）Mx（t）+λxmx（t），ρy（t）=My（t）My（t）+λymy（t）。（3.44）然后，方程（3.28）可以重写为asMx（t）+λxmx（t）dMx（t）dt=β（ρy（t）- ρx（t）），My（t）+λymy（t）dMy（t）dt=α（ρx（t）- ρy（t））。（3.45）使用约束条件（3.30），得出dρx（t）dt=λxIx（λxIx+（1- λx）Mx（t））dMx（t）dt，（3.46）和ρy（t）的类似结果（用y改变x）。因此，由于（3.44）表示λxIxλxIx+（1- λx）Mx（t）=1- (1 - λx）ρx，（3.47）方程（3.45）采用ρx（t）dt=β（1）的形式- (1 - λx）ρx（t））（ρy（t）- ρx（t）），dρy（t）dt=α（1- (1 - λy）ρy（t））（ρx（t）- ρy（t））。（3.48）很明显，系统（3.48）的平衡点是在ρx=ρy时获得的。另一方面，守恒定律（3.37）意味着，在平衡时，函数h（ρx（t），ρy（t））=（（1- (1 - λx）ρx（t）））1/β（1-λx）·（（1- (1 - λy）ρx（t）））1/α（1-λx）（3.49）满足恒等式H（ρx，ρy）=H（ρx，ρx）=H（|ρx，|ρy），（3.50），其中|ρx，|ρyde记录初始值。由于函数H=H（u，v）在0<u，v<1时相对于u和vw减小，每当ρ=min{ρx，ρy}H（(R)ρx，ρy）≥ H（°ρ，±ρ）。因此，有一个唯一的平衡点ρ与min{ρx，\'ρy}≤ ρ ≤ 最大{ρx，\'ρy}，其中H（ρ，ρ）=H（\'ρx，\'ρy）。对应于这个平衡点，我们得到了价格的极限值'P=βλxIxαλyIy1- (1 - λy）ρ1- (1 - λx）ρ。（3.51）IV.非线性Boltzmannequations系统第三节中讨论的基本模型可以很容易地用于恢复同一类主体之间或不同类别主体之间的微观二元相互作用。为了简单起见，让我们从第二节开始，考虑一个拥有两种不同类型X和Y商品的N个代理商的市场。

现在考虑两个代理人之间的交易，财富wj（t）和wk（t）分别由wj（t）=xj（t）给出-) + P（t）yj（t-),wk（t）=xk（t-) + P（t）yk（t-).（4.52）然后，两个代理确定其财富的一部分来分配货物X，并将提醒分配给货物Y。再次使用Cobb-Douglas效用函数（2.4），代理将更新货物数量toxj（t）=αwj（t），P（t）yj（t）=βwj（t），xk（t）=αwk（t），P（t）yk（t）=βwk（t）。（4.53）与之前对封闭市场的（全球）分析不同，价格P（t）的值现在由时间t的变量值确定- t通过考虑两个代理j和k的X型和Y型商品总量守恒的约束。在这种情况下，α（wj（t）+wk（t））=xj（t-) + xk（t-),β（wj（t）+wk（t））=Pk（t）（yj（t-) + yk（t-)).（4.54）因此，通过求解P（t），我们得到了关系P（t）=βαxj（t-) + xk（t-)yj（t-) + yk（t-).

（4.55）将P（t）的表达式替换回（2.5）中，使试剂j的新数量为货物xj（t）=xj（t-) + βxj（t-) + xk（t-)yj（t-) + yk（t-)yj（t-) - xj（t-)yj（t）=yj（t-) + αyj（t-) + yk（t-)xj（t-) + xk（t-)xj（t-) - yj（t-).（4.56）类似的结果适用于代理人k商品数量的更新。这种二元交换可以很容易地推广到之前考虑的两组交易商和投机者。在a级交易商j和B级投机者k之间的二进制交换中，交易商j根据toxj（t）=xj（t）更新其商品-) + βxj（t-) + λxxk（t-)yj（t-) + λyyk（t-)yj（t-) - xj（t-),yj（t）=yj（t-) + αyj（t-) + λyyk（t-)xj（t-) + λxxk（t-)xj（t-) - yj（t-).（4.57）同样，投机者k根据toxk（t）=xk（t）更新其商品数量-)++βxj（t-) + λxxk（t-)yj（t-) + λyyk（t-)λyyk（t-) - λxxk（t-),yk（t）=yk（t-)++αyj（t-) + λyyk（t-)xj（t-) + λxxk（t-)λkxk（t-) - λyyk（t-).（4.58）我们注意到，通过使用Hedgeworthbox提供的二进制交换规则，在【12】中获得了更新货物数量的类似表达式。与[12]中考虑的模型类似，我们可以使用二进制交换（4.56）、（4.57）和（4.58）来构建双线性Boltzmann型方程组。我们假设交易商可以根据各自的规则（4.56）和（4.57）与其他交易商和投机者进行互动，而投机者根据（4.58）只与交易商进行互动。如前所述，letf（x，y，t）表示A类经销商的密度，以及时间t时两种货物的数量x和y≥ 0，letg（x，y，t）表示B类投机者的密度，时间t时两种商品的数量为x和y≥ 0.然后f（x，y，t）满足Ddtzr+Д（x，y）f（x，y，t）dx dy=σZR+Д（x，y）Q（f，f）（x，y）dxdy++uZR+Д（x，y）P（f，g）（x，y）dxdy。（4.59）常数σ和ν测量碰撞频率。

方程（3.27）右侧描述了交易商（操作员Q）和交易所交易商-投机者（操作员P）之间的交易导致的密度变化。Q和P的定义是通过它们对可观测量的作用而得到的ZR+Д（x，y）Q（f，f）（x，y）dxdy=*ZR+（Д（x*, y*) - ν（x，y））f（x，y，t）f（x，y，t）dπ+，（4.60），其中，现在和以后，dπ=dx dy dxdy，and*= x+β（ω）x+xy+yy- x个,y*= y+α（ω）y+yx+xx- y.（4.61）如EwiseZr+Д（x，y）P（f，g）（x，y）dxdy=*ZR+（Д（￠x，y）- Д（x，y））f（x，y，t）g（x，y，t）dπ+，（4.62），其中￠x=x+β（ω）x+λxxy+λyyy- x个,y=y+α（ω）y+λyyx+λxxx- y.（4.63）与第三节一致，数值0≤ α(ω) ≤ 1和0≤ β(ω) ≤ （4.61）和（4.63）中的1个是满足（3.21）要求的正独立随机变量。方程（4.59）与g（x，y，t）的演化方程耦合，由ddtzr+Д（x，y）f（x，y，t）dx dy=uZR+Д（x，y）(R)P（g，f）（x，y）dxdy给出。（4.64）清晰ZR+Д（x，y）(R)P（g，f）（x，y）dxdy=*ZR+dx dy dxdy（Д（(R)x，y）- Д（x，y））g（x，y，t）f（x，y，t）i，（4.65），其中'x=x+β（ω）x+λxxy+λyyλyy- λxx,y=y+α（ω）y+λyyx+λxxλxx- λyy.（4.66）注意，表示X*= x+β（ω）x+xy+yy- x个,y*= y+α（ω）y+yx+xx- y.（4.67）将变量转换为积分变量具有等式*ZR+（x*- x） f（x，y，t）f（x，y，t）dπ+=*ZR+（x*+ x个*- x个- x） f（x，y，t）f（x，y，t）dπ+=0。混合运营商P（f.g）和'P（g，f）不满足该属性。然而，可以很容易地验证ZR+xP（f，g）（x，y）dxdy+ZR+x'P（g，f）（x，y）dxdy=0。如果我们用好的y代替好的x，同样的性质成立。这意味着（3.30）给出的平均值守恒对于非线性系统仍然成立。由于（3.23）类商品的交换是非线性的，因此研究Boltzmann系统溶液的性质显得很困难。

然而，可以从数值的角度研究Boltmann系统（4.59），（4.64）。五、 数值实验本节包含非线性Boltzmann系统（4.59）和（4.64）解的数值描述。对于Boltzmann方程的数值近似，我们采用蒙特卡罗方法，如【2】第4章所述。如果未另行说明，则已使用N=10种药剂进行了动力学模拟。数值实验将有助于阐明投机者策略在最终分布中的影响0 500 1000 1500 2000t0.50.60.70.80.911.11.21.31.41.5P（t）价格0 500 1000 1500 2000t0.50.60.70.80.911.11.21.31.41.5P（t）价格图。5.1: α = 0.5; β = 0.5; Mx=3；mx=10；My=3；my=2；λx=0.8；λy=0.2（左）；α = 0.5; β = 0.5; Mx=3；mx=10；My=3；my=2；λx=0.5；λy=0.5（右）。两类代理人之间的财富密度。从实验中可以明显看出，由于对商品平均数量的守恒，交易商的密度f（x，y，t）和投机者的密度g（x，y，t）将收敛于平稳分布[2]。与通常的inkinetic理论一样，这些平稳解将以指数级的速度达到。我们将评估参数λx、λyan的不同值以及参数α和β的不同值的稳态解。通过这种方式，我们将首先认识到投机者策略的影响，其次认识到偏好参数α和β在最终财富分配中的作用。主要测试为两个阶段的实验。在第一阶段，仅考虑经销商数量，即可显示价格与其均衡值的收敛性。然后，当价格接近其均衡值时，投机者进入博弈以修改价格值。

与第三节中描述的线性模型不同，在没有投机者群体的情况下，经销商群体拥有的商品价格取常数值，非线性模型在价格演变中表现出振荡，并随时间呈指数递减。这项测试旨在模拟少数投机者进入市场，通过逃避政治获得明显的财富优势的情况。由于商品价格在时间上的适应指数很快，实验也证明了一个事实，即经销商没有时间通过改变偏好来适应新的形势。对相关参数α、β、λx和λy的不同值进行测试，以阐明它们对价格演变的影响。图5.1显示了投机者策略引起的第二种商品（相对）价格的变化。当保存参数λx和λy使得λx>λy时，货物y的价格显示为增加0 500 1000 1500 2000t22.533.544.555.56P（t）价格0 500 1000 1500 2000t0.20.250.30.350.40.450.50.550.6P（t）价格图。5.2: α = 0.25; β = 0.75; Mx=3；mx=10；My=3；my=2；λx=0.8；λy=0.2（左）；α = 0.75; β = 0.25; Mx=3；mx=10；My=3；my=2；λx=0.5；λy=0.5（右）。（左）。相反，通过采用保存参数Sequal，并保持其他数量不变，货物Y的价格显示为增加（左）。请注意，在这两种情况下，投机者行为所导致的价格值都会以指数形式快速衰减到极限值。图5.2显示了在偏好参数α和β发生根本变化的情况下，投机者的策略导致的第二种商品（相对）价格的变化。