金融市场波动的结构模型

（9） 运动方程（7）和噪声统计规范（8）、（9）中出现的有序参数m（t）和q（t，s）必须自洽确定，以满足m（t）=hhnθ（t）iiθ，（10）q（t，s）=hhnθ（t）nθ（s）iiθ，（11）G（t，s）=δhnθ（t）iδφ（s）θ. （12） 这里，内平均h。i指单站群中给定成员的平均过色噪声φ。外部平均h。iθ指系综上的平均值，如θ分布所示。附录A中提供了该计算的更多详细信息。还应注意，这种形式主义在N→ ∞ 限度我们强调以下几点：（i）单点动力学与整体“磁化”m（t）有依赖关系；（ii）对于相互作用的任何对称度，α6=0，有效单节点动力学是非马尔可夫的，记忆由响应函数G（t，s）给出；（iii）单点动力学中出现的噪声是有色的，其相关性由等式（9）所述单个节点的平均时间相关性q（t，s）确定。因此，我们将描述N个相互作用资产价格动态的方程组简化为通过一组序参数自洽耦合的动态演化方程组，这些方程组在热力学极限下变得精确。与GFA通常的情况一样，由此产生的运动方程非常复杂，通常依赖于可感知的假设进行进一步分析。B、 时间尺度分离-准平稳区域，用于方程式（4）中γ值非常小的一个方面，分离动态时间尺度，这意味着快速uθ（t）过程在时间尺度上变得统计平稳，在此时间尺度上，缓慢的u（t）过程可以被视为非变化。

在接下来的内容中，我们将在假设uθ（t）动力学在慢过程的给定值Uo下是静止的情况下，分析uθ（t）动力学。为了进一步验证我们的分析，我们通过忽略记忆项中的函数来近似公式（7），将其改写为˙uθ（t）=-κuθ（t）+I+Jm（t）+σu（t）+αJZtds G（t，s）hn（s）I+φ（t）（13），其中，给定θ下有效单过程动力学的平均值出现在延迟相互作用中。因此，我们丢弃了动力学中的一个噪声源，因此可能高估宏观有序参数的值。然而，s系统集体属性的重要定性方面预计将保持不变，因为我们稍后将通过模拟进行验证。假设给定u的平稳性和时间平移不变性，我们引入积分响应χ=Ztds G（t，s），（14），并假设其保持不变。这使我们可以将静止状态下的有效动力学重新编写为˙uθ（t）=-κuθ（t）+I+Jm+σu+αJχmθ+φ（t）（15），其中mθ（s）=hnθ（s）I可被视为s的独立函数，对t有效，响应函数不可忽略。预计相关性q（t，s）可能会发展为时间持续值q，q（t，s）→ q，as | t- s |→ ∞, （16） 我们将有色噪声φ分解为静态（冻结）和独立时变分量φ（t）=J√qz+η（t），（17），其中z~ N（0，1），噪声时变部分的统计量由hη（t）i=0，hη（t）η（s）i=σδ（t- s） +JC（t，s），（18）带c（t，s）=q（t，s）- q→ 0，作为| t- s |→ ∞. （19） 然后，可以用更具暗示性的形式将固定区域内的有效单过程动力学改写为˙uθ（t）=-κ（uθ（t）-uθ）+η（t），（20），其中我们引入了（长期）平均uθ=κI+Jm+J√qz+αJχmθ+σu.

（21）我们注意到，mθ=hg（uθ（t））i，其中平均值超过了以uθ作为其长期平均值的平稳uθ分布；因此，公式（21）是该长期平均值的自洽方程。注意，现在θ包括z的lso，即θ=（i，κ，σ，z）。问题的解决方案。（20） 现在很容易记下asuθ（t）=uθ+uθ（0）- uθe-κt+中兴通讯-κ（t-s） η（s）ds，（22）意味着uθ（t）是一个预期uθ（t）i=uθ的高斯过程+uθ（0）- uθe-κt.（23）对于自协方差cuθ（t，t′）=Duθ（t）- 胡θ（t）uθ（t′）huθ（t′）对于大时限下的uθ（t），我们得到了一个仅依赖于时间差的平稳律，Cuθ（t，t′）=Cuθ（t-t′）带Cuθ（t- t′）=2κσe-κt-t′|+J^C（0）, （24）其中^C（0）是Fourier变换的零频率极限^C（ω）=R∞-∞ds e公司-iωsC（s）。专门记录Cuθ，Cuθ（0）=2κ的等时限是有用的σ+J^C（0）≡ σuθ。（25）C.准平稳区域的自洽方程充分了解uθ（t）的统计信息后，我们可以重新构造描述平稳区域的序参量的自洽方程。它们是（i）平稳磁化强度m，（ii）节点自相关的时间持续部分q，（iii）积分响应χ，以及（iv）平稳区域中节点自相关（非时间持续）部分C（τ）的傅里叶变换的ze-ro频率极限^C（0）。为了计算后者，我们还必须计算平均节点自相关系数q（τ）。为了建立m=hmθiθ的自洽方程，我们回顾了mθ=hg（uθ（t））i，其中平均值在平稳的uθ分布上，因此可以用等式（25）中定义的σuθ来表示asmθ=hg（uθ+σuθx）ix（26），而h。IX表示N（0，1）高斯x上的平均值。通过定义，参数集分布的平均值然后给出m=hmθiθ。

根据两点函数q（τ）的相同对数ic，我们得到序参数sm=DDg（uθ+σuθx）ExEθ，（27）q（τ）=DDg的以下全套自洽方程uθ+σuθxg级uθ+σuθyEx yEθ，（28）χ=DDg′（uθ+σuθx）ExEθ，（29）^C（0）=Z+∞-∞dτ[q（τ）- q] ，（30）式（28）中，平均h。ix yis在相关正态随机变量x，y上~ N（0，1），相关系数由ρuθ（τ）=Cuθ（τ）Cuθ（0）=σe给出-κ|τ|+J^C（0）σ+J^C（0）。（31）我们系统的u依赖序参数现在由方程组的解给出。（27）-（31）由定义Uθ的自洽方程（21）补充。不容易获得固定点的分析特征，我们必须求助于数值分析。D、 自洽方程分析在本节中，我们将分析描述系统平稳动力学的执行点方程。特别是，我们将取errorfunction，g（x）=erf（x）=√πZxdy e-y（32）作为控制动力学中非线性反馈的sigmoid函数。这种反馈函数的选择有一个优点，即它简化了等式评估所需的一些高斯平均值。（27）-（30）为了充分利用此功能，我们进一步假设~ N（I，σI），因此可以将等式（21）中的两个高斯z和I合并为一个。同样，我们在有效的单节点问题集合中保持σ恒定。这些选择允许在评估原始执行点方程中出现的平均值时进行一些简化。

E、 g.，eva luating mθgivesmθ=herf（uθ+σuθx）ix=erfuθp1+2σuθ！，（33）nowuθ=κhJm+I+qσI+Jq z+αJχmθ+σui。（34）可以对其他orde R参数进行相同的简化，从而允许我们重写固定点方程组asm=*erfuθp1+2σuθ+θ，（35）q（τ）=**erfuθ+σuθx×erfuθ+ρuθ（τ）σuθxp1+2（1- ρuθ（τ））σuθ+x+θ，（36）χ=pσI+Jq*z erfuθp1+2σuθ+θ，（37）^C（0）=Z+∞-∞dτ[q（τ）- q] ，（38）其中，考虑到我们当前的系统规格，平均h。iθ现在对应于高斯z和κ分布上的平均值。为了进一步加速数值计算，我们遵循【25】的规定，并避免为θ系综的每个成员解决自洽问题（34），方法是使用自洽解（34）的单调性，用uθ积分代替z平均值。为此，我们需要变换的雅可比矩阵，从式（34）的z-导数中，可以得到asdzduθ=pσI+Jqκ -2αJχexp-uθ1+2σuθpπ（1+2σuθ）.（39）根据【25】中的推理，我们意识到，对于αJχ/κ的较大值，Uθ分布将有一个间隙，对应于Mθ自洽解的跳跃。分布跳跃的临界条件是2αJχκpπ（1+2σuθ）=1（40），uθ（z）从负解跳到正解o fuθ=καJχerfuθp1+2σuθ！。（41）这就结束了对一般理论框架的分析。我们现在谈谈结果。四、 结果为了构建我们的结果陈述，有必要回顾一下，在缺乏对称性破坏领域的情况下，即Ii+σu≡ 0-等式（3）描述的系统具有全局Z对称ui<-> -用户界面。由于相互作用的存在，这种对称性可以自发破坏，从而在非常低的噪声水平（以及非常小的κi值）下产生铁磁自旋玻璃相[20，23]。

如果耦合是对称的，并且它们的铁磁偏置非常小，那么系统实际上可能会在零噪声极限下以指数形式（在系统大小上）表现出许多亚稳态【21，22】。最近的工作[30]事实上证明，当相互作用的对称性等约束条件消失时，大量无噪声动力学的稳态继续存在于一类非线性相互作用系统中。在没有对称破缺场的情况下，对称性自发破坏的相位通常由尖锐的相位边界与对称性保持不变的相位分开。然而，在对相互作用原理的演化进行建模的背景下，演化方程（3）中没有任何对称破缺场的情况必须被视为高度非典型。如果根据理论中出现的序参数SM、q和χ进行描述，则破坏对称和未破坏对称的相位之间的跃迁（如果有）通常会呈现圆形。因此，精确定位phaseboundaries没有太大意义，因为对于几乎任何实际参数设置，phaseboundaries都不会存在尖锐的边界。在这种情况下，主要的兴趣是在参数空间中定位我们期望存在铁磁或自旋玻璃相的区域。我们将在Sect中努力做到这一点。IV A，以缺乏对称性领域中存在的相位结构的性质为指导。在参数空间中识别出感兴趣的区域后，我们将在第。IV B分析这些感兴趣区域内代表性参数值的对数收益分布，评估相对于时间尺度γ定义的各种时间尺度-1模拟宏观经济条件影响的缓慢动荡。在第节中。

IV C我们通过调查均衡（对数）价格的分布，特别是价格之间的相互作用对该分布的影响，来探索集体定价现象。第节。最后，我们试图通过建立和模拟一个我们至少部分了解其某些亚稳态结构的系统，来支持我们关于系统中存在许多长寿命状态与波动性聚集现象之间关系的假设。A、 相结构在这里，我们简要地讨论了模型的相结构，主要着眼于识别参数空间中的区域，因为我们预计相具有以大量元稳定态为特征的Lassyproperty。[1]的作者通过分析吸引子在无噪声（σi≡ 0）动力学极限。尤其是rit表明，平均r外翻常数κi在整个系统中是同基因的，在[1]中，其作用类似于温度。继续高斯型昆虫的研究。II I D，并假设σI在整个网络中是一致的，σI≡ σ、 我们有7个表征系统的参数，即：。Jand J确定平均值和方差，以及量化耦合不对称程度的参数α，以及Ii分布的平均值和方差σIof，动力学中噪声的强度σ，以及κ，我们将在本文中考虑的κ分布的平均值。除非另有说明，以下图表中的结果实际上是通过选择平均回复常数κi的指数κ分布得出的。完全探索这个7维参数空间是毫无疑问的。

幸运的是，我们发现系统的集体属性位于参数空间的有趣区域，对参数变化具有相当强的鲁棒性，因此我们将仅强调几个最重要的趋势。0 1 2 30.20.40.60.8图。磁化强度作为u的函数，显示为kappa分布平均值的三个不同值κ。这里，我们取J=J=0.5，α=0.5，wile I=0，σI=0.1，σ=0.1。从上到下，曲线分别对应于κ=0.2、0.7和1.2。在图1中，我们使用I=0且σI=0.1的无偏IIDistribution，显示了稳态宏观磁化强度m作为慢过程值uO的函数的行为。注意，选择表征耦合分布和动态噪声强度σ的参数，以便在u→ 0-极限。我们还注意到，增加κ分布的平均κ具有类似于增加温度的效果，因为它降低了宏观（铁磁）有序度。图2说明了在没有全局对称破缺场的情况下，当铁磁偏压Jin的值增加到临界值Jc以上时，系统表现出向铁磁序的shar p s econdorder相变。对于给定的其他参数值，系统处于冻结的“自旋玻璃”状相，f r J<Jc 0.75. 当J/J比值足够大且κ足够低时，降低噪声水平σ也可以诱导铁磁有序转变。在类似的静脉中，如果κ足够小，降低J/J比下的噪声水平可以诱导向自旋玻璃样相的转变。或者，可以选择在σ非常小的值下降低κ来诱导这些转变。无花果

图3显示了相边界，在没有全局对称破缺场的情况下，相边界将小值jj的类自旋玻璃相与大值Jas的铁磁相分离，这是κ的函数。当然，对于这样一个存在的相界来说，无梯度σ是非常低的。与0.5 1 1.50.51.5图类似，预计即使存在弱对称性破裂场，类自旋玻璃相仍将继续存在。2.（在线彩色）磁化m（蓝色实线）、时间持续相关q（红色虚线）和seχ上的积分响应（黑色虚线）作为Jin的函数，即不存在任何全局对称破缺场，即i=u=0。其他参数为σI=0.1，因此存在一个局部随机场，J=0.5，α=0.5，κ=0.2，σ=0.1。图中显示了Jis超过Jc时出现的铁磁相 0.75. 对于J<jc，系统处于类似于“自旋玻璃”的非晶态。图3：。在没有全局对称性破坏场的情况下，相边界将较小值的自旋玻璃相与较大值的铁磁相分离，即i=u=0，但σi=0.1。对于SK模型，其他参数为J=0.5、α=0.5和σ=0.1known【31】。B、 返回分布我们现在希望计算日志返回的分布，以跨越交互资产的集合。（在下面的内容中，我们将稍微宽松地将其称为returndistributions）。首先，我们考虑θ集合中任意成员的回报分布，因此我们需要考虑差异统计，uθ≡ uθ（t）- uθ（t′，（42）为了简单起见，省略了l.h.s.上的时间参数。我们总是会考虑到时间晚了，这样γt>> 1和γt′>> 1为了确保缓慢的过程是不平衡的。

根据上述标准，自然会出现三个时间尺度：（i）q uasi平稳系统，其中γ| t-t′|<< 在这种情况下，我们认为快过程在慢过程的给定值下是平稳的。这构成了观察系统状态的宏观特征保持不变的时间。（ii）由γ| t定义的中间时间尺度- t′|=O（1）。明确地说，这涉及到研究由u（t）和u（t′）参数化的平稳快速过程的收益分布，对于这两个平稳快速过程之间的相关性仍然存在。（iii）长时间尺度，我们定义为γ| t-t′|>>1，这样即使是缓慢的过程也不相关。在任何情况下，我们都会对θ分布和通用性引起的变化感兴趣，也会对自定义统计感兴趣。然而，考察以慢过程的特定值为条件的回报分布也可能有意义。1、准平稳区域在这里，我们考察了对于给定的慢过程值UoW，快过程在平衡态中的分布。这意味着我们看时间差，使得uθ在所有感兴趣的时间都遵守运动方程（15）。当然，我们对极限κt，κt′感兴趣>> 1这再次允许我们定义准平稳区域本身的三个不同时间尺度。我们将这些称为（i）short：κt- t′|<< 1，（ii）培养基：κt- t′|=O（1），（iii）长：κt- t′|>> 1.我们注意到，可能需要对κ分布进行一些初始调整（上下切变），以确定这些时间窗口，并为θ-系综的所有成员确定一些低于该时间窗口的ar-gument；然后，可以在每次计算结束时移除正则化/剪切。