金融市场波动的结构模型

但是，为了不使演示负担过重，我们不会在下面的内容中明确回顾和记录这些步骤。使用等式（22）中给出的解，我们可以看到uθ=中兴通讯-κ（t-s） η（s）ds-中兴通讯-κ（t′）-s′）η（s′）ds′（43）由于η是一种高斯噪声，我们发现，准平稳区域中有效单点过程集合的单个成员的回报为正态分布，即。uθ~ N0,σκ1.- e-κt-t′型|. （44）对于上文定义的短时间尺度，可以扩展方差中出现的指数，这意味着κ依赖性vanis he s（扩展中的t阶），uθ~ N0，σ| t- t′型|. （45）在这些非常短的时间间隔内，回报分布因此表现出简单的差异加宽。如果σ在集合中为常数，则该结果在市场上交易的任何资产组合中均为真。在准静态制度下的长期和中期时间尺度上，个人收益当然会有κ依赖性。然而，如果我们关注分布p(u） 在整个过程集合的收益中，我们可以通过在θ分布上取平均值来获得，p(u） =ZdθP（θ）P(uθ）（46）一般来说，该积分必须以数值形式进行。对于拟平稳系统内的非常大的时间间隔，可以进行简化，从而可以对等式（44）中的方差进行指数校正，并且uθ~ N0,σκ. 将σ常数保持在整个系综上，则在该极限下唯一的θ分量为κ。如果我们假设κ为Γ-分布，P（κ）=κΓ（ν），则可以得到整个集合中收益分布的解析闭合形式κκν-1exp(-κ/κ) .

（47）这里，κ是一个尺度参数，它也定义了κ分布的平均值，而ν决定了其实际形状。对于这个κ分布家族，我们得到(u）=√κ√2πσΓ(ν +)Γ(ν)1 +κ(u） 2σ-(ν+1/2).（48）在这个收益分布族中，我们观察到维幂律尾部行为，p(u）~ (u）-u用于|u |>> 1，u=1+2ν。我们注意到，情况ν=1将对应于指数κ分布，这将是由三正随机变量的最大熵原理自然选择的分布，具有描述的平均值，在这种情况下，尾部指数将为u=3。在图4中，我们将这一分析性症状结果与κt在整个集合中回报分布的完整数值评估结果进行了比较- t′|=20，观察到两者之间已经在适度时间分离方面达成了极好的一致。虽然我们无法评估穿过θ-系综的中间时间分离的折返的完整分布，但我们可以以封闭形式评估q辅助状态下所有时间分离的一个量是其方差h(u） i=hh(uθ）iiθ，其中内平均值是θ-集合中给定成员的返回分布方差，如公式（44）所述，外平均值高于θ分布。与之前一样，对于规范，即在整个系综中保持σ恒定，唯一平均的θ组分是κ分布。对于上述分布的κ，我们得到(u） i=σκ（ν- 1)\"1 -（1+κt- t′|）ν-ν6=1时为1#（49）。

在ν中→ 1将此限制为(u） 我ν=1=σκlog1+κt- t′型|（50）在极短时间分离的限制下，这会产生不同的加宽h(u） 我~ σ| t- 如前所述，方差的t′|与κ分布的属性无关。值得指出的是，准平稳区域中的收益分布与globaluprocess无关，事实上也与表征相互作用的其他参数无关，因为依赖于相互作用参数的u-依赖平均数（u-dependentmeansuθ）在取差时会取消-20-10 0 10 20-5-2图。4.（在线彩色）k | t评估的准静态区域中的回报分布- t′|=20（红色虚线），与ν=1.2的指数κ分布的渐近行为方程（48）（蓝色实线）的分析预测相比。中长时间尺度我们现在将注意力转向快速过程在两个不同的u值下处于平衡状态的情况。特别是对于集合中的一个成员，公式（42）给出uθ=uθ（t）- uθ（t′）+中兴通讯-κ（t-s） η（s）ds-中兴通讯-κ（t′）-s′）η（s′）ds′（51）与准平稳状态相比，时间相关的平均值suθ由两个不同的t和t′的值确定，现在明确出现在收益中。我们还期望在这个时间尺度上，快速噪声过程与另一个过程不相关。因此，对于给定的e符号成员以及给定的u（t）和u（t′）值，r e匝数的分布现在正态，平均值为非零，由uθu（t），u（t′）~ Nuθ（t，t′），σuθ（t）+σuθ（t′）,（52）其中uθ（t，t′）=uθ（t）- uθ（t′）=κhJ（mt- mt′）+σ（u（t）- u（t′）+αJ（χtmθ，t- χt′mθ，t′）i.（53）这里我们用atto表示感兴趣的阶数参数A，以表示其在慢过程时间t的给定值u（t）的平衡值。

像以前一样，我们对整个组合的回报分布感兴趣，这是通过对θ分布进行平均得到的。除此之外，我们可以查看一系列特定值的回报分布，也可以选择对其分布进行平均。由于theuterm模拟了全球经济行为的状态，该平均值对应于所有市场条件下的回报分布。由于自定义统计是高斯分布，联合分布变得很容易记下，从而使我们能够以简单的方式进行此平均。最后，在整个过程中，在所有市场条件下的回报分布被记录下来(u） =Zdθdu（t）du（t′）P（θ）P（u（t），u（t′））×P(uθu（t），u（t′）（54）中长时间尺度之间的差异是通过s低过程的联合分布p（u（t），u（t′）中的差异产生的。在第一种情况下，市场状况仍然存在相关性，而在很长的时间内，这些相关性不再存在。在这两种情况下，我们发现整个投资组合的回报率保持在幂律分布的尾部-10-5 0 5 10-3-2-1图。5、在所有市场条件下，集合中长期对数收益的平均分布。观察到增益、幂律尾，我们期望在适当的标准化后，跨时间尺度的分布应具有很好的比例，如微观模拟中所示。C、 集体定价在本节中，我们探讨本节开头提到的集体定价现象。更具体地说，我们更仔细地研究了在Eq中定义的uθ的作用。

(21); 我们知道，这个数量以给定宏观经济条件下相关资产价格的均衡值作为参数，由缓慢增长的价值来确定。为了确定定价分布的集体交互中介属性，我们从寻找非交互基线开始。在系统中没有相互作用的情况下，根据公式（21），平均回归、漂移、波动性和描述宏观经济条件的缓慢过程的值Uo的综合影响将产生平均对数价格Uθ=κI+σu（55）这主要取决于I和uprocess的值。回想一下，Ii=ui-σi，因此i包括漂移和波动的影响。假设I的正态分布如上所述，I~N（I，σI）我们得到了给定均值回复uκ下均值价格的正态分布族~ NI+σuκ，σIκ, （56）在对κ进行平均后，其中Γ-分布为ν>-1根据式（47），给定sp（u）=νκp2πσIexpn-2σII+σuo×β-（1+ν）/2expnγ4βoD-(1+ν)γ√β, （57）其中Dν（z）是抛物柱面函数[32]，且β=κuσI, γ = 1 -κuσI（I+σu）。（58）注意γ/β→ 常数。as | u |→ ±∞, 因此，U分布的尾部行为受β-（1+ν）/2上述表达式中的项，给出p（u）~u-（1+ν）表示| u |>> 相反，等式（57）第二行中的三项显示出asu的奇点→ 0（因此β→ 0）cance l，因此p（u）仍在该限值内。在分析了非相互作用的情况后，我们现在回到公式（21），更具体地说，回到正态分布I的版本，公式（34），以研究相互作用对uθ的影响。如第三节D末尾所示，通过变换zp（uθ）=P（z）的正态密度，得到等式（34）的溶液uθ的分布dzduθ（59）其中P（z）=√2πe-z/2，其中z=z（uθ），通过求解公式获得。

（34）对于z，以及变换的Jacobiandzd uθ-对于误差函数反馈（32）-givenby公式（39）。这使我们能够获得由固定κ的标准变量z引起的均衡价格分布。如前所述，通过对θ分布进行平均，得到系综上平衡对数价格的分布p（u）；如果σ在整个系综上保持不变，则mor e的平均值将减少到κ分布的平均值。我们在图6中看到，与非相互作用的对应物相比，相互作用导致平衡分布显著加宽。此外，这些分布的不对称程度也因相互作用而显著增强。一个非常重要的影响是系统性地抑制均衡价格，这在非互动系统中是典型的。这种影响主要是由相互作用的铁磁偏压引起的，这种偏压可能是由市场中的代理人的放牧或模仿效应引起的，也可能是由暗示资产价格协同运动的经济基础引起的。可以公平地说，这种机制创造了一种互动中介的市场机制，将资产价格推到更极端的水平，即非常高和非常低的价值。平均回复常数κ值较小的系综成员的影响似乎更强；对于平均回复常数较大的情况，其减弱。我们还可以查看整个集合中定价分布的全球特征。这是通过平均κ分布来实现的。对于所使用的参数设置，可以在图7中看到，这平滑了在图7中所示的选择κ值的资产子集合中观察到的双峰性质。

6，但它再次显示了分布的显著扩大，以及-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 50.20.40.60.8-10-5 0 5 100.10.20.3图。6.（彩色在线）非相互作用系统（第一个面板）的平衡对数价格分布，与相应的相互作用系统（第二个面板）的平均逆转κ和慢过程u的选定值相比；注意不同的尺度。系统参数为I=0，σI=0.1，κ=0.2，σ=0.1；对于交互系统，我们选择J=J=0.5和α=0.5。对于单个曲线，参数为（κ=0.5，u=0.1）（蓝窄对分布），（κ=0.2，u=0.1）（黑宽对分布）和（κ=0.2，u=1）（红宽对分布）。κ值越小，广泛分布的不对称程度越高。当与非相互作用的对等物相比时的不对称性。D、 亚稳态和波动性集群我们最终回到了我们建模的核心假设之一，即真实市场动态的复杂性，尤其包括波动性聚集现象，可以通过（亚稳态）市场状态内的动态相互作用和偶然性交易的动态来解释-10-5 0 5 100.050.10.150.20.25图。对于相互作用的系统（全线）和非相互作用的系统，u=1时整个重新组合中原木价格的均衡分布。参数如图6所示。在他们之间。在这方面，我们注意到最近的工作【33】，在历史数据中确定了一组不同的市场状态。我们建模背后的假设是，市场状态确实会自然地成为相互作用价格的集合（非线性）动力学的吸引子。

对于我们在本研究中使用的高斯耦合，与SK自旋玻璃模型的类比表明，事实上，我们确实期望在参数空间的大区域中存在大量这样的ttr因子。然而，我们无法先验地知道它们的结构，因此也无法立即定量地检验我们的假设。为了在阐明这一问题方面取得进展，我们建议查看一个版本的市场，其中我们在系统中嵌入了少量已知的随机吸引子，以便分析系统状态（根据与这些已知吸引子的相似性衡量）与观察到的动态波动性之间是否存在关系。为简单起见，我们将系统视为完全连接的，并引入阿加西耦合和赫布耦合组件，如下所示，Jij=J（G）ij+J（H）ij，（60），其中J（G）ij=JN+J√Nxij（61）和j（H）ij=NpXu=1ξuiξuj，（62），其中ξuiare i.i.d.随机变量以相等的概率取值ξui=±1，xijare正态图。模拟一个有N=50个交易资产的市场，展示了波动性和亚稳态结构之间的关系。上面板显示了系统状态与三个随机吸引子的重叠，这三个吸引子以H ebian形式嵌入在耦合矩阵中，如正文所述，而下面板显示的是指数随时间的变化的回报。

其他系统参数为κ=0.2、I=0、σI=0.5、σ=0.1、J=J=0.5、α=0.5和γ=10-4.分布式xij~ N（0，1），与原始设置中的xijxji=α成对独立。图8显示了这样一个尺寸为N=50的系统的模拟结果，其中p=3个“模式”嵌入在耦合中，我们同时记录指数的变化，以及重叠值Smu（t）=NXiξuig（uit）（63）与嵌入在系统中的三个随机模式{ξui}，其中u=1、2和3。指数变化的波动性与系统状态之间确实存在明显的相关性，这是由系统中的三个最新rlapsin所衡量的，我们认为，我们可以将其视为一个定性、半定量的指标，表明我们关于亚稳态与波动性聚类之间联系的假设对于所考虑的模型分类是正确的。五、 总结与讨论在本文中，我们对[1]中介绍的iGBM进行了全面分析。该文详细描述了导致这种相互作用价格模型的推理路线。在此需要指出的是，该模型的结构来源于关于市场机制描述和仅基于价格演变的简化模型内市场中的代理描述的所有一般性论点。在目前的研究中，我们将系统的动力学与缓慢的Ornstein-Uhlenbeck过程相耦合，我们引入该过程来模拟缓慢演变的宏观经济条件的影响。我们对动力学进行了生成函数分析，它将相互作用系统的动力学映射到表现出非马尔可夫动力学的系统集合上，该系统通过一组动态序参数自洽耦合。

利用假设相互作用系统的快速内部动力学在缓慢的Ornstein-Uhlenbeck过程的给定值下平衡的时间尺度参数的分离，我们能够分析系统的平稳动力学。这样就可以识别参数空间中sy-stem显示铁磁自旋玻璃相的区域。我们对静态动力学的分析（在慢速行驶的给定值下）使我们能够评估在准静态区域和较大时间间隔下，在不同时间尺度下集合的对数r分布。对于模型中一类广泛的平均回归项分布，我们发现整个集合中的对数收益分布是厚尾的，表现出与经验事实基本一致的渐近幂律行为[6]。然而，我们注意到，我们目前建立的模型并没有在单一资产水平上重现[7]中经验发现的这些胖尾。我们将在下面讨论该缺陷的根源，从而在这方面改进模型的可能方法。我们还能够评估准静态制度下对数收益分布的时间依赖性方差，并在小时间间隔的限制下发现差异，随着时间的延长，这种差异将变得次要。这些发现与经验观察大体一致。有趣的是，我们的模型预测了资产均衡价格的存在，并且我们能够明确追踪交互作用对均衡价格在整个集合中分布的影响。