网络上的中心度分布

这是因为有许多长距离步行从第1组开始，在那里保持许多链接，然后穿过第2组，然后穿过第3组。但大多数从第2组开始并在第1组花费大部分时间的长距离步行必须在第1组和第2组之间进行两次，这是不太可能的。当φ较大时，第1组成员的Katz-Bonacich中心度增加幅度大于第2组成员的Katz-Bonacich中心度。该示例扩展到实际的随机网络。我们再次考虑相对组大小固定的m组，但现在允许条目pijof'A为任何常数概率。“Aare”的条目与“A”的条目相等，但一对i组和j组除外。推论3。存在pij>pij，一系列常数φ（n）远离λ（n）和λ（n）以及群i、j和k，使得概率接近1为n→ ∞,ck（A（n），φ（n））- ck（A（n），φ（n））>ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））表示任意φ（n）<φ（n）<λ（n）。6其他网络形成模型上一节的基本技术是应用主要定理计算随机网络的中心度，然后进行确定性计算。该方法更为通用，在本节中，我们将考虑在随机块模型之外的更为通用的随机网络模型中的应用。第一小节讨论了网络形成的空间模型，并给出了一个数字示例，其中当不太可能或很可能存在较长距离的链接时，某些代理位置良好，但不适用于中间概率。第二小节给出了一个随机网络模型，其中链路形成概率取决于几个特征。

在独立性假设下，可以“逐个特征”计算中心度。6.1空间模型基于群体结构的网络形成模型的常见替代方案依赖于空间结构（少数示例见Leung（2015）、Chaney（2014）和Breza、Chandrasekhar、McCormick和Pan（2017））。代理分布在具有距离度量的连续空间中，距离越近的代理越有可能连接。该空间可以表示地理空间中的物理位置，或者更一般地表示一些特征空间中的物理位置。我们的工具可以帮助确定这些模型中的网络中心度如何依赖于位置和底层参数。在一个基于Hoff、Raftery和Handcock（2002）的潜在空间模型中，每对代理i和j之间的联系形成的概率为“Aij比例toexp（β·xi，j+γd（i，j）），其中xi，这对代理的jare协变量，β是常数向量，γ是常数系数，d（i，j）是i和j之间的距离。当所有联系独立形成时，我们的定理适用于此类网络的序列。因此，我们的理论结果补充了Breza、Chandrasekhar、McCormick和Pan（2017），他们根据模拟和实证数据提供的证据表明，仅基于潜在空间模型的参数就可以很好地近似中心度（以及其他网络统计）。我们的定理1和2意味着，当代理在空间上分布时，这些中心确实可以在给定基本参数的情况下渐近确定，从而使定理的条件成立。我们在一个类似的模型中给出了一个数值例子，表明当链接在距离处衰减得很快或很慢时，某些代理处于中心位置，但当衰减率居中时，则不处于中心位置。经验工作中常用的一种函数形式设定了代理i和j到d（i，j）之间联系的概率-ρ.

参数ρ决定了连接在一定距离内衰减的速度。为了确定A，考虑平面中（k+1）×（k+1）网格上的代理，因此{（x，y）：x，y中的每个点都有一个代理∈ Z、 0个≤ x、 y型≤ k} 。位于不同坐标（x，y）和（x，y）的代理之间的每个链接都具有权重d（（x，y），（x，y））-ρ，其中d是欧氏距离，每个自链接的权重为1。图3显示了一个k=20且ρ=的示例。由于三角不等式的存在，从距离推导链接概率受到限制：如果i和jare可能链接，而j和k可能链接，那么i和k链接的概率不是toolow。这在随机块体模型中不一定成立。例如，如果距离d（i，j）是一致有界的，则‘（n）ij上有一个一致的正下界，因此这两个条件都成立。1.1106201.11071.11081.110915201.111Katz-Bonacich中心度1.1111151.1112y位置101.1113x位置101.11145500图3：k=20、ρ=和φ·λ=。我们考虑这个网络中的特征向量中心。以下权利要求在附录中得到验证：权利要求1。对于ρ≤ 1，随机网络序列“A（n）”具有足够大的特征值。因此，定理2表明，对于k大，相应随机网络上的中心度是相近的。随着ρ的变化，各种代理的Katz-Bonacich中心度之间的排名也有所不同。举个例子，我们取k=20，设置φ=·λ-当ρ=时，位置（0，10）中的代理比位置（3，3）中的代理更中心。但对于ρ非常接近1的情况，位置（3，3）中的主体比位置（0，10）中的主体更为中心。第一个代理位于一个方向的边界上，而第二个代理位于两个方向的边界附近，距离中心代理更远（10，10）。

当ρ较大时，网格中附近的潜在邻居是最重要的，（3，3）有许多这样的邻居。随着ρ变小，在中间距离有许多连接变得更有价值。注意，在极限ρ→ 0所有代理都变得同等中心，因此中心性之间的差异（或比率）在ρ中是非单调的。当ρ非常小或很大时，位于网格对角线内部的代理（3，3）相对居中。但当ρ为中间值时，由于中间长度连接的数量较少，所以该代理会起作用，网格边缘中心的代理（0，10）更为中心。6.2多特征网络我们可以通过组合多个特征来构建更大类别的网络形成模型，我们称之为多特征随机网络。例如，我们可以通过将随机块模型与基于地理的模型相结合，对居住在不同社区的不同种族或性别的代理进行建模。当特征独立时，中心度以简单、可分离的方式取决于这两个特征。设A（1）和A（2）分别是大小为nand和n的网络的链路概率的两个矩阵。我们会让 表示Kronecker乘积。我们定义了多特征随机网络，通过乘以链接概率将两个网络结合起来。定义7。多特征随机网络“A=”A（1）具有层A（1）和层A（2）的A（2）具有由（i，i）索引的nAgent，以及由两层中相应链接概率的乘积A（1）ij（2）ij给出的（i，i）和（j，j）之间的链接概率。如果“A（1）”和“A（2）”对应于网络中的两个特征，则“A”是通过假设这两个特征独立分布而形成的网络，并且当它们在两个层中独立形成时，链接也会形成。

这些假设很强，但让我们获得多特征网络中中心度的清晰表达式。引理1。多特征随机网络“A”中主体（i，i）的特征向量中心性由V（i，i）（“A）=vi（\'A（1））vi（\'A（2））给出。引理说，特征向量中心可以在每一层中单独计算并相乘。请注意，我们可以将结果重新表述为v（\'A）=v（\'A（1）） v（(R)A（2））。这个标准事实可以用来表明，在实际的随机网络上，中心性的行为类似。提案6。假设“A（1）（n）”和“A（2）（n）”是随机网络序列，它们都具有不消失的谱间隙和足够大的特征值。设A（nn）为多特征随机网络的对应序列。对于任何 > 0，当n足够大kV（A（nn））时- v（A（1）（n）） v（A（2）（n）k<概率至少为1- .因此，对于每种药剂（i，i），v（i）（A）很可能接近vi（A（1））vi（A（2））。当链接概率是乘法时，中心度也是乘法。证明应用定理1和引理1。结果立即扩展到具有两个以上特征的网络。7结论我们给出了随机网络中agent的特征向量和Katz-Bonacich中心的渐近特征。理论上，这些结果简化了关于网络结构变化如何影响谁是中心的问题。我们提供了几个应用：（1）在随机块模型中，我们表明网络隔离和组大小差异之间的相互作用增加了不平等。（2） 当链接依赖于空间位置时，我们可以计算和比较代理在不同位置的网络中心度。

（3） 当网络依赖于几个独立的特征时，可以通过分别处理每个特征来计算中心度。最后，我们提出了我们的技术在这些应用之外的几个后果：o可以在没有完整网络数据的应用环境中研究中心性：在大型网络中，我们可以仅使用不同组的链接形成概率很好地近似代理的中心性相反，当计量经济学家可以访问网络数据，但无法观察到潜在网络形成过程中的参数时，我们的定理证明了网络形成的结构模型。可以使用中心度或相关量作为矩来估计未观测到的参数产业组织中的大量文献将定价决策建模为一个二次博弈，每个企业都在网络中与其邻居竞争（Vives（2010），Vives（2017））。虽然本文献侧重于简单的网络结构，但我们的方法可用于求解随机网络上的预期价格，并研究网络结构如何影响价格。与本工作中开发的应用程序一样，每个应用程序都依赖于将随机图问题简化为确定性计算的基本方法。证明有时会将欧几里德范数和诱导矩阵范数称为k·k，省略下标2。定理1的证明。证明的概要如下：第一步是证明矩阵范数kA（n）-\'A（n）kis较小，概率较高。为了证明这意味着相应的特征向量中心度很接近，我们观察到v（A（n））是线性算子A（n）下单位球面上图像最大的向量。当光谱间隙不太小时，单位球体中在A（n）下图像几乎一样大的任何其他向量必须接近v（A（n））。

当kA（n）时-\'A（n）kis small我们可以证明\'A（n）的特征向量中心性在A（n）下具有较大的图像，因此必须接近A（n）的特征向量中心性。允许 > 0、回顾我们定义的 = maxiPnj=1'A（n）ij是节点的最大预期度数。我们有时会在证明的其余部分删除参数n，因此，例如A（n）将被称为A。我们在这里直接提出的特征向量微扰理论参数的另一种方法是求助于Davis-Kahan定理（如Avella-Medina、Parise、Schaub和Segarra（2017））根据Chung和Radcliffe（2011）定理1的证明，概率至少为1-|λ- λ| ≤p4页 对数（2n/). （2） 事实上，根据所引用定理的证明，概率至少为1- 灵魂-(R)Ak≤p4页 对数（2n/). （3） 注意，引用的定理使用了我们的假设，即A是对称的。我们将证明，当这些不等式成立时，kv（A（n））- v（(R)A（n））k<.因为序列有足够大的特征值，p4 对数（2n/) ≤ 对于某些序列f（n），f（n）λ（4）→ 所以我们有k’Av（A）k≥ kAv（A）k- 灵魂-由三角形不等式得出的Akkv（A）k≥ λ- f（n）λ通过方程3和4=λ- (λ- λ) - f（n）λ≥ λ(1 - 2f（n））通过方程式2。另一方面，我们可以写出v（A）=αv（\'A）+αw，其中w是与v（\'A）正交的单位向量，α+α=1（其中系数α和α随n变化）。因为v（\'A）的正交补码是\'A的其他特征向量的跨度，所以我们有k\'Awk≤ λ.由于序列具有非消失的谱隙，因此存在δ>0，使得|λ|<（1- δ)λ. Sok？Av（A）k≤q（αλ）+（αλ）≤ λqα+（1- δ)α.结合k'Av（A）k的上下界，我们得出以下结论：qα+（1- δ)α≥ (1 - 2f（n））。因为f（n）→ 0和α+α=1，这意味着α→ 0作为n→ 所以取nsu足够大，我们得出结论kV（A（n））- v（(R)A（n））k<概率至少为1-.定理2的证明。

证明的概要如下：我们在定理1的证明中证明了矩阵范数kA（n）-\'A（n）kis较小，概率较高。然后将c（A（n），φ（n））展开为邻接矩阵的幂和。使用绑定onkA（n）-我们证明了这些幂在矩阵范数中也很接近。我们有c（(R)A（n），φ（n））=∞Xk=0φ（n）k'A（n）kn，以及A（n）的类似公式。因为lim supnφ（n）λ（n）<1，所以存在K和n，使得∞Xk=Kφ（n）K'A（n）K≤∞Xk=K（φ（n）λ（n））K<无论何时n≥ N、 增加N和减少 如有必要，我们可以（通过定理1证明中的等式3和4）假设kφ（n）（(R)A（n）- A（n））k</（K） ，则，∞Xk=Kφ（n）K'A（n）K<  和∞Xk=Kφ（n）kA（n）K< 概率至少为1- 无论何时n≥ N、 我们对这一事件提出了条件。我们取N足够大，使得kφ（N）’A（N）k<1，并且（取 如有必要，则较小）它遵循kφ（n）（\'A（n）上的界限-A（n））k，kφ（n）A（n）k≤ 1、去掉参数n，kφk+1Ak+1- φk+1'Ak+1k=kφ（A-\'A）（φkAk）+φ\'A（φkAk- φk'Ak）k≤ kφ（A-\'A）kkφkAkk+kφ\'AkkφkAk- φk'Akk，其中第二条线由三角形不等式和矩阵范数的次乘法表示。因此，左侧最多增加/k每增加一次k。因此，通过k上的归纳，左侧小于/K表示所有K<K.Thenkc（A（n），φ（n））- c（(R)A（n），φ（n））k≤∞Xk=0φ（n）kkA（n）k-(R)A（n）kkk1nk=K-1Xk=0φ（n）kkA（n）k-\'\'A（n）kkk1nk+∞Xk=Kφ（n）kkA（n）K-(R)A（n）kkk1nk。第一学期少于k1nk，因为每个总和小于/K、 第二项小于2k1nk的边界P∞k=kφ（n）k'A（n）k和P∞k=kφ（n）kA（n）k. 因此，卡茨-博纳西奇中心度的差异小于3k1nk=3√n、 引理2。假设A（n）是由随机块模型（具有m组和固定的正链接概率）生成的随机网络序列，具有非消失的谱隙。允许 > 0

对于n个足够大的，概率至少为1-  我们有vi（A（n））vi（\'A（n））∈ [1 - , 1 + ] andci（A（n））ci（\'A（n））∈ [1 - , 1 + ]对于所有i.Proof。我们首先考虑特征向量中心性。因为链接概率不依赖于矩阵的大小、特征值λ和最大期望度 是O（n），所以序列有足够大的特征值。根据定理1，kv（A（n））- v（(R)A（n））k<概率为1- /每n个足够大的2个。通过范数k·k和k·k之比的标准界，我们得到了kv（a（n））- v（(R)A（n））k<√n、 对于每个i，vi（A（n））=λ-1Xj∈Nivj（A（n））和vi（(R)A（n））=λ-1Xj'A（n）ijvj（'A（n））。在kv（A（n））上应用界限- v（(R)A（n））k，| vi（A（n））- λ-1Xj∈Nivj（(R)A（n））|=|λ-1Xj∈Nivj（A（n））- λ-1Xj∈Nivj（(R)A（n））|<λ-1.√n、 现在，我们将使用切比雪夫定理来统一地将i中每个群的连接数限制在一起∈Ni，群kA（n）给定群k中与i相邻的ijofagents在 k’A（n）ij组中的预期值pj。根据切比雪夫定理，埃克瓦尼数的补码以指数速率的概率。

因此，对于n足够大，我们可以假设Eikholdsf对于所有i和k的概率至少为1- /2、当事件发生时，我们有| Xj∈Nivj（(R)A（n））-Xj'Aijvj（'A（n））|<C√对于某些常量C≥√n maxj'Aijvj（'A（n）），与n无关。因此，对于n大，概率至少为1- , 我们有| vi（A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|<λ-1(√n+C√n） 将其与|λ上的界相结合- λ|根据定理1的证明，我们有| vi（A（n））- 六、（A（n））|≤ |vi（A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|+|λ-1Xj'Aijvj（'A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|=| vi（A（n））- λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|+|λ- λ| · λ-1· |λ-1Xj'Aijvj（'A（n））|=λ-1(√n+C√n） +六、（A（n））。因为λ-当vi（(R)a（n））为O（n）时，1以线性速率移动-1/2），所需界限如下。Katz-Bonacich中心性的证明遵循相同的论点，直至标准化的差异。我们现在使用表达式sci（A（n），φ（n））=1+φ（n）Xj∈Nicj（A（n），φ（n））0.2 0.4 0.6 0.8 1人口份额00.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富份额图4:ps=。5，pd=。05，s=。蓝色75，ps=。4，pd=。1，s=。75英寸红色。红色分布Lorenz支配蓝色分布。定义2中的andci（\'A（n），φ（n））=1+φ（n）Xj\'A（n）ijcj（\'A（n），φ（n）），而不是特征向量中心性的递归表达式。命题1的证明。引理2告诉我们，对于人口规模为Ni的命题陈述中生成的随机矩阵序列，每个矩阵a的第一个特征向量的每个条目都接近于概率接近1的第一个特征向量的对应条目。我们第一次展示（i）。通过定义，特征向量中心度满足yvi（(R)A（n））=λ-1（sln（ps- pd）vi（\'A（n））+pdnXj=1vj（\'A（n）），其中Sli是包含i的组的大小。