网络上的中心度分布

对于尺寸为sl的组中的任何iin，我们有vi（\'a（n））vi（\'a（n））=1- λ-1sln（ps- pd）1- λ-1sln（ps- pd）。因此聚苯乙烯六（\'A（n））六（\'A（n））= -pd公司六（\'A（n））六（\'A（n））=λ-1（sl- sl）n（1- λ-1sln（ps- pd））。当且仅当sl>sl时，右侧为正。现在，我们可以订购代理1，n，使其组大小不断增大。对于任何i>i，增加pS和减少pD都将增加vi（\'A（n））vi（\'A（n））。因此，此更改将减少pki=1vi（\'A（n）），Pni=1vi（\'A（n））=nXi=1Pki=1vi（\'A（n））vi（\'A（n））-1.每个1≤ 这证明了洛伦兹优势结果。为了证明（ii），我们计算了当2×2矩阵的第一个特征向量有两组时的特征向量中心性单核苷酸多态性（1- s） NpdsNpd（1- s） Nps,它用一个代表性代理替换每个组。的第一个特征向量单核苷酸多态性（1- s） NpdsNpd（1- s） Nps等于(1-2s）ps+√(1-2s）ps+4s（1-s） pd（2-2s）pd,直到重新缩放。因此，A的第一个特征向量的第一个sN条目等于1，最后（1- s） N入口等于（1- 2s）ps+p（1- 2s）ps+4s（1- s） pd（2- 2s）pd，直至重新缩放。LetT（s）=序号+（1- 2s）ps+p（1- 2s）ps+4s（1- s） pd2pd·Nbe第一个特征向量的条目总数。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1人口份额00.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富份额图5:100个代理人和参数值ps=。5，pd=。05，s=。75, φ = .02为蓝色，ps=。4，pd=。1，s=。75,φ = .02红色。红色分布Lorenz支配蓝色分布。区别这表明Tsis非负当且仅当ifs≤+pdp2pd+2PPD。我们得出结论，对应于（s，ps，pd）Lorenz的第一个特征向量支配着对应于（s，ps，pd）ifs的第一个特征向量≤+pdp2pd+2PPD和s≤ s、 命题2的证明。

该证明遵循与命题1相同的论证。定义2现在给定SCi（\'A，φ）ci（\'A，φ）=1- sl（ps- pd）φn1- sl（ps- pd）φn。因此，我们计算弹性聚苯乙烯ci（\'A，φ）cj（\'A，φ）= -pd公司ci（\'A，φ）cj（\'A，φ）=（sl- sl）（ps- pd）φn（1- sl（ps- pd）φn）。正如特征向量中心性一样，这与sl具有相同的符号- sl.屋顶的其余部分相同。命题3的证明。我们想证明这一点psci（(R)A，φ）>当i在一个比i大的群中时，psci（(R)A，φ）。通过引理3，我们得到psci（(R)A，φ）=ps∞Xk=0φkXγk在if（γk）k下开始-1Yj=0pijij+1，其中内和是从代理i开始的长度为k的行走，f（γk）是从一个群到自身的γk的边数。我们声称xγk开始于if（γk）k-1Yj=0pijij+1>Xγk在if（γk）k下开始-1Yj=0pijij+1对于每个k。对于长度为1的行走，请注意，从i到另一组中的某个代理的行走次数与i的组无关，并且每个行走的f（γ）=0。从i到同一组中的一个代理的行走次数随着i的组的大小而增加，每个行走f（γ）=1。因此，我们可以从从从at开始的一组长度1行走到从i开始的一组长度1行走中选择一个注入φ，保持f（γ）和边权重，并将每个行走γ发送到行走φ（γ），这样φ（γ）结束的组至少与γ结束的组一样大。给定一个映射φk-1满足这些性质，我们可以构造满足相同性质的φk。我们将γkto发送到使用φk定义的行走-1如前一段所述，确定前k个代理，然后确定最后一个代理。这证明了这一说法。推论1的证明。根据命题3，ci（(R)A（n），φ（n））- ci（\'A（n），φ（n））>cj（\'A（n），φ（n））- cj（(R)A（n），φ（n））表示所有n。

我们必须检查定理2是否适用。序列有足够大的特征值，因为λ（n）是O（n），并且 在n中是线性的。A（n）的非零特征值与矩阵的特征值成比例spsspd。SPDSSPS。spd。。。。。。。。。。。。smpdsmpd。开关电源,其中s，s。。。，smare每个组的人口份额。根据Perron-Frobenius理论，该矩阵的第一和第二特征值是不同的，因此序列具有非消失谱间隙。选择 足够小以至于Ci（(R)A（n），φ（n））- ci（(R)A（n），φ（n））- 2. > cj（(R)A（n），φ（n））- cj（(R)A（n），φ（n））+2.概率接近1为n→ ∞,ci（(R)A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））<对于其他三个中心性项也是如此。所以期望的不等式成立，概率接近1为n→ ∞.命题4的证明。（i） 设di（(R)A）表示试剂i的度数。单位为φ→ 0，KatzBonacich centralityci（\'A，φ）=1+φdi（\'A）+O（φ）等于φ的度中心度的正A ffne变换，加上φ的阶项。随着Pd的增加pddi（(R)A）等于代理总数nmin，即代理i组的大小。特别是，该衍生产品在集团规模上正在减少。（ii）假设i的群大于j的群。通过引理3，试剂i的Katz-Bonacich中心度的导数为pdci（(R)A，φ）=pd∞Xk=0φkXγk在if（γk）k下开始-1Yl=0pilil+1（5），其中总和超过从代理i开始的长度k的行走γ，指数i，i。。。，i是行走经过的组，f（γk）是γk开关组的次数。考虑马尔可夫链，其中状态对应于我们网络中的组，状态到状态的转移概率由pss/Pms=1pss决定。

给定初始状态时，马尔可夫链在时间k处处于状态s的概率等于在s处长度kends的初始状态对应的组中开始的随机游动的概率，其中每个游动的选择概率与qk成比例-1l=0桩+1。马尔可夫链收敛于平稳分布。因此为k→ ∞, 对于一些与初始状态无关的常数c，当k接近ck时，马尔可夫链切换状态的预期次数。因此，随着k的增大，Xγk:i在if（γk）k组中-1Yl=0桩+1→ cXγk:i在ik组-1Yl=0桩+1。因为i的群比j的群大，所以Pγk:i在iQk群中-1l=0菌毛+1Pγk:j在iQk组-1l=0 PILIL+1的下限为一个大于1的常数。当φ接近λ时-1，方程式5右侧的比率发散至∞.此外，我们在上一段中表明，在if（γk）Qk组中pγk:i-if（γk）Qk组中1l=0pilil+1Pγk:j-1l=0pilil+1对于所有k值（但不是很多k值）的下限为一个大于1的常数。这意味着对于所有k值（但不是很多k值），方程5中对应于长度k路径的项至少是该常数乘以起始剂i被j替换时的相同项。因此，对k求和，我们可以得出结论pdci（(R)A，φ）>φ足够大的pdcj（(R)A，φ）。推论2的证明。通过命题4，存在φ，使得ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- 当0<φ<φ且i的群大于j的群时，cj（A（n），φ（n））。A（n）的Katz-Bonacich中心度是矩阵KatzBonacich中心度的正A ffne变换spsspd。SPDSSPS。spd。。。。。。。。。。。。smpdsmpd。开关电源,其中SIA为各群体的人口份额。这是因为除了与长度为零的行走相对应的常数项外，中心度是成比例的。

相同的语句适用于具有相同重缩放的“A（n）”。结果是，比较中心性的不等式不依赖于n的选择。因此，对于φ（n）/λ（n）<φ/λ（n）的任何n，我们有ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- cj（A（n），φ（n））。第（i）部分证明的其余部分与推论1的证明一样进行，而逻辑论证显示了第（ii）部分。命题5的证明。假设我们有三组大小相等的K=n/3，使得p=1，p=p=δ，所有其他链路概率为0。我们将表明，对于φsu ficient large和δsu ficient small，pc（(R)A，φ）>pcn/3+1（(R)A，φ）。请注意，代理1位于组1中，而代理n/3+1位于组2中。要检查此身份，请注意（I- φP）-1.≈1.-φKφKδ1-φKφKδ1-φK1 00 0 1,其中，P是3×3矩阵，其条目Pij=kpij等于从组i中的agiven代理到组j中的任何代理的链接数。近似值为删除顺序δ项。条目（I- φA）-1等于条目（I）的大小- φP）-1对应于k和l的群。使用引理4，我们计算pc（(R)A，φ）≈φKδ1- φKandpcn/3+1（(R)A，φ）≈ φK.固定δ足够小，取φ→ 1/K（保持φ可行），我们发现对于φ足够大的所有表达式，第一个表达式都大于第二个表达式。推论3的证明。根据命题5，我们可以选择“A”和“A”，其中“A”和“A”中的每一个都使“A”中的pijis更大，并且其他链接概率一致，组i、j和k以及常数φ<λ使得ck（\'A，φ）- ck（\'A，φ）>ci（\'A，φ）- 每当φ<φ<λ时，ci（(R)A，φ）。通过让所有相对组大小和链接形成概率分别与“A”和“A”中的相同，定义随机块网络的序列。

设φ（n）=每个n的nnφ。然后在推论2的证明中进行论证，我们发现ck（\'A（n），φ（n））- ck（\'A（n），φ（n））>ci（\'A（n），φ（n））- ci（(R)A（n），φ（n））。证明结论与推论1的证明结论相同。权利要求1的证明。通过等式（1），我们必须检查（mini，j’A（n）ij）XiXj’A（n）ij≥  对数n，其中n=（k+1）。我们首先注意到 = maxiXj？A（n）ij≤ 4 miniXj’A（n）ij。这是因为最大值是在栅格中心的节点处获得的，而最小值是在角节点处获得的。将网格垂直和水平划分为四个象限，从角节点到最近象限的预期链接数等于从中心节点到任何象限的预期链接数。自mini以来，j’A（n）ij≥ (√2k）-ρ、 我们得出结论，Mini，j’A（n）ijXiXj’A（n）ij≥ (√2k）-ρ· (4n） 。右侧的增长速度比 引理1的证明。例如，参见Laub（2005）的定理13.12。命题6的证明。根据定理1，我们有kv（A（i）（ni））- v（(R)A（i）（ni））k</2对于nisu足够大且i=1，2。通过三角形不等式kV（(R)A（1）（n）） v（(R)A（2）（n））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））kis小于或等于tokv（(R)A（1）（n）） v（A（2）（n））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））k+kv（(R)A（1）（n）） v（(R)A（2）（n））- v（(R)A（1）（n）） v（A（2）（n））k。因为v被归一化为欧几里德范数1，这两项中的每一项都小于/2、因为λ， 和log（n）在Kronecker积中都是乘法的，\'A（nn）具有不消失的光谱间隙和足够大的特征值。根据定理1，kv（A（nn））- v（(R)A（nn））k<对于非常大的。所以我们有kV（A（nn））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））k≤ kv（(R)A（nn））- v（(R)A（1）（n）） v（\'A（2）（n））k+kv（\'A（1）（n）） v（(R)A（2）（n））- v（A（1）（n）） v（A（2）（n））k+kv（(R)A（nn））- v（A（nn））k。引理1的第一项为零。

第二学期和第三学期最多各一学期 通过后退的段落。B扩展B。1加权边缘在本小节中，我们放宽了以下假设：∈ {0，1}允许非整数边权重Aij≥ 中心度指标v（A）和c（A）与之前一样定义。假设对于每对组i和j，组i和组j中的代理之间的边权重是某个区间上的独立均匀随机变量[lij（n），uij（n）]。然后，定理1和定理2与之前一样成立，即“A（n）=E[A（n）]。证据首先注意，我们可以通过i.i.d.Bernoulli随机变量与正系数的线性组合，在一些非负区间[l，u]上近似均匀随机变量。我们讨论了l=0和u=1的情况，并且参数很容易扩展。考虑系数为2的加权和-k对于k=1。。。，i.i.d.伯努利随机变量的m等于1，概率为。作为m→ ∞, 这个和在概率上收敛于[0，1]上的均匀随机变量。在Chung和Radcliffe（2011）定理1的证明中，作者将A表示为独立随机矩阵Xij的asum，其中Xijis是伯努利随机变量的乘积，其等于1，概率为Pijan，矩阵的条目（i，j）和（j，i）等于1，所有其他条目为零。相反，我们将A表示为独立变量xij的和，k对应于上一段中的和中的项。因为所有相关量都是连续的，并且我们之前的参数不依赖于随机变量的数量，所以当我们取m足够大时，我们的证明仍会继续进行。B、 2聚类当边具有附录B.1中所示的非整数权重时，可以直接在网络中允许聚类。我们提出了我们模型的一个变体，其中当两个代理都连接到其他代理k时，i和j之间的权重可能更高。

这种趋势是由除了成对连接之外，还允许形成三角形而产生的。如前所述，对于组i中的每一对代理k和组j中的每一对代理l，我们绘制一个独立的伯努利随机变量，该随机变量等于一个概率为pij的随机变量。此外，对于试剂k、k和k群i、i和i的每一个三元组，我们都会绘制一个独立的伯努利随机变量，该随机变量等于一个概率为piii的随机变量。输入Aijis等于对i、j和所有三元组（包括i和j）上的这些随机变量之和。因此，如果i和j之间没有形成直接联系，Aijis等于形成的包含i和j的三元组的数量。如果i和j之间确实存在直接联系，那么Aijis等于toone加上包含形成i和j的三联体的数量。那么，定理1和定理2仍然成立，即“A（n）=E[A（n）]。该证明是对B.1节中证明的直接修改。或者，我们可以允许每个链接和每个三元组上的权重是均匀的随机变量。假设对于组i中的每一对代理k和组j中的每一对代理l，我们在[lij（n），uij（n）]上绘制一个uniformrandom变量。此外，对于每三组试剂k、k、k、k、i和i，我们在[liii（n）、uiii（n）]上绘制一个统一的随机变量。如果条目aijis再次等于对i、j和包括i和j在内的所有三元组上的这些随机变量之和，则定理1和2继续成立。最后，上面的讨论只包括直接链接和三角形。结果同样扩展到允许其他子图，例如具有三个以上代理的派系。C Katz-Bonacich中心度的比较静力学我们给出了随机块体模型中Katz-Bonacich中心度导数的两个公式。我们的第一个公式将cl（A，φ）的导数表示为从代理l开始的行走次数的加权计数。

让γkdenote走k长的路，让i，i。。。，我是行走经过的组，让f（γk）是组i和i之间γkpasses的次数。引理3。试剂l的Katz-Bonacich中心度的导数为piicl（A，φ）=pii∞Xk=0φkXγk在lf（γk）k处开始-1Yj=0pijij+1。这等于每次步行的次数，每次步行的次数由步行形成的概率乘以步行在i组和i组之间通过的次数得出，每次步行的次数由步行长度进行折现。引理3的证明。我们有Cl（A，φ）=∞Xk=0φkXγk在lk处开始-1Yj=0pijij+1！。通过计算导数得出结果。我们的第二个公式用链接概率pij显式表示ck（A，φ）的导数。用sin表示每组i中的代理数。设P为m×m矩阵，其条目Pij=sjnpij，P可以被认为是网络的邻接矩阵，其中每个组都被一个代表性代理所取代。引理4。群l中试剂k的Katz-Bonacich中心度的导数pijck（A，φ）=φnmXl=1sj（I- φP）-1li（I- φP）-1jl+si（I- φP）-1lj（I- φP）-1il！。引理4的证明。我们有pijck（A，φ）=∞Xt=0（φtAt1）kpij公司=∞Xt=0∞Xt=0（（φA）t（φA）pij（φA）t1）k.对于任何l和l，（I- φP）llis等于从l组中的某个固定代理开始，到l组中的任何代理结束的折扣步行次数。另一方面，P的入口∞t=0（φA）t对应于从l组某个固定代理开始到l组某个固定代理结束的折扣步行次数。衍生工具（φA）当一个索引对应于组i中的一个代理，另一个对应于组j中的管理，且所有其他条目为零时，组i和j之间的链接概率变化为φ。所以我们计算出上面的二次求和等于φnmXl=1sj（I- φP）-1li（I- φP）-1jl+si（I- φP）-1lj（I- φP）-1il！，根据需要。

这两个术语对应于穿过从i组到j组的边的步行和沿相反方向通过的步行。参考SAVELLA Medina、M.、F.Parise、M.T.Schaub和S.Segarra（2017）：“graphons的Centralitymeasures”，arXiv预印本arXiv:1707.09350。Ballester，C.、A.Calv\'o Armengol和Y.Zenou（2006）：“网络中的名人录。通缉：关键人物”，《计量经济学》，第741403-1417页。Bloch，F.、M.Jackson和P.Tebaldi（2017）：“网络中的中心性度量”，工作文件。Bonacich，P.（1987）：“权力与中心：一系列衡量标准”，《美国社会学杂志》，921170-1182。Bramoull\'e，Y.、R.Kranton和M.D\'amours（2014）：“战略互动与网络”，《美国经济评论》，104898-930。Breza，E.、A.G.Chandrasekhar、T.H.McCormick和M.Pan（2017）：“使用聚合关系数据来可行地识别没有网络数据的网络结构”，工作文件。Calv\'o-Armengol，A.和M.Jackson（2004）：“社交网络对就业和不平等的影响”，《美国经济评论》，94426-454（2007）：“劳动力市场网络：工资和就业动态与不平等”，《经济理论杂志》，132，27–46。Calv\'o-Armengol，A.、E.Patacchini和Y.Zenou（2009）：“教育中的同伴效应和社会网络”，《经济研究评论》，第761239-1267页。Chaney，T.（2014）：“国际贸易的网络结构”，《美国经济评论》，1043600–3634。Chung，F.和M.Radcliffe（2011）：“关于一般随机图的谱”，组合学电子杂志，18，P215。Conlisk，J.（1985）：“马尔可夫链的比较静力学”，《经济动力学与控制杂志》，9139-151。DeMarzo，P.M.、D.Vayanos和J.Zwiebel（2003）：“说服偏见、社会影响和一维观点”，《经济学季刊》，第118909–968页。Dequiedt，V.和Y。