网络上的中心度分布

以该事件为条件，对于k=2j，从代理i开始并链接到代理1的长度为k的路径数约为（n/2）j+o（nj），对于k=2j+1，长度为（j+1）（n/2）jlog n+o（njlog n）。对于k=2j，邻接矩阵为A（n）的加权网络中此类路径的数量为（n/4）j+o（nj），对于k=2j+1，（j+1）（n/4）jlog n+o（njlog n）。从代理i开始的路径数在很大程度上取决于1和i之间的潜在链接的实现。然后，简单的计算表明，我们可以限制| ci（A（n），φ（n））- ci（(R)A（n），φ（n））|以下是一个独立于n的常数，对于所有i，使得Aij（n）=1。因此存在 > 0使得对于n大kc（A（n），φ（n））- c（`A（n），φ（n））k>√nw的概率很高，因此违反了定理2。对于α<-.收敛速度：虽然我们所做的假设不足以保证特征向量和中心度测度的收敛速度，但我们的分析可以在更强的假设下给出收敛速度的结果。更精确地说，假设λ（n）p的速率有一个上界 日志（n）→ ∞.然后，通过定理1和定理2的证明，可以导出中心性测度收敛速度的上界。对于定理1，我们将其显式化。在定理的条件下，如果我们letf（n）=√ 记录n/λ（n），那么根据我们的证明可以得出kv（A（n））- v（(R)A（n））k<8（f（n）- f（n））2δ- δ<8f（n）δ，概率较高。例如，如果所有代理的度在n中都是线性的，那么这就为特征向量中心之间的距离提供了O（qlog nn）的上界。5嗜同性和不平等本节阐述了网络形成中的嗜同性和结果不平等之间的联系。

要做到这一点，我们需要一个网络模型，在该模型中，我们可以改变同源性的数量，因此我们考虑大型随机块网络（在第2节中定义）。因此，我们的目标是了解哪些代理是随机块模型的核心。第一步是应用前一节中的主要定理，这减少了分析链路概率矩阵“A”的计算中心。为了应用这些定理，我们现在对几个随机网络模型进行“A”的分析。因此，我们可以研究控制链接形成的参数与中心度分布之间的关系。我们首先根据洛伦兹优势度比较分布，洛伦兹优势度衡量相对质量。该分析解释了当政策改变时，影响网络结构将导致更平等的结果分配。然后，我们询问哪些群体从网络变化中受益最大，即哪些群体受政策变化的影响最大。5.1相对不平等我们考虑一系列随机区块模型，其中包含m个组，并确定所有相对组大小，因此每个组i的某些常数的大小sin为1，且与n无关。假设只有两种链接形成概率，那么所有i的链接形成概率为ps=piif，所有i的链接形成概率为pd=pij6=j，其中ps>pd。对于两个组，我们将假设s>sso组1是多数组。在引言中的教育示例语言中，本案例中的模型描述了一所有黑人和白人学生的学校。假设大多数学生是白人，同一种族的任何两个学生都是概率Ps的朋友，而种族间的友谊则是概率pd。

我们可以将本节中的结果解释为描述我们应该期望哪些学校在其社交网络的基础上取得更平等的教育成就。我们使用以下标准建立优势结果。定义6。给定两个分布x=（x，…，xn）和x≤ x个≤ ... ≤ x与y=（y，…，yn）带y≤ y≤ ... ≤ yn，我们说分布x Lorenz支配y ifPki=1xiPni=1xi≥Pki=1yiPni=1YI适用于所有1≤ k≤ n、 也就是说，分布x洛伦兹支配着分布y，如果对于每个k，分布x中最穷的k个人所占的总资源份额至少是分布y中最穷的k个人所占的份额，定义表明，分布x的洛伦兹曲线（描绘了最贫穷的k个人所拥有的资源份额）位于分布y的洛伦兹曲线之上。洛伦兹支配给出了分布的偏序，该分布嵌套了一系列广泛的不平等度量。最值得注意的是，如果分布x洛伦兹支配分布y，那么x的基尼系数也比y小。如果大小sin不是整数，我们可以通过给定总人口大小n的任何约定对组大小进行四舍五入。对于以下命题，让a（n）是组内概率ps、组概率pds和组大小s之间的链路形成概率矩阵， . . . , 序号：。类似地，设A（n）为群内概率、群概率Pd与多数群大小s之间的链路形成概率矩阵，序号：。在第（i）部分中，我们比较了中心度的分布，因为我们改变了分组大小的链接形成概率（si=si）。在第（二）部分中，我们在保持链路形成概率不变的情况下改变组大小（ps=ps，pd=pd）：命题1。

概率接近1为n→ ∞:（i） 如果A（n）具有更高的组内链路形成概率（ps），则特征向量中心v（A（n））Lorenz支配特征向量中心v（A（n≥ ps）和较低的组间链路形成概率（pd≤ pd）大于A（n）。（ii）对于两个群，如果A（n）具有更大的多数群，则特征向量中心v（A（n））Lorenz支配特征向量中心v（A（n））≤ s） 和组大小，s≤s表示常数s∈ （，1）仅取决于PSA和pd。PSA的增加和PDA的减少都对应着嗜同性的增加。所以第（i）部分说，更多的隔离网络会导致更不平等的结果。特殊情况包括选择其中一个参数psor pd，以及改变这两个参数，使链接总数保持不变，而组内链接比例增加。我们使用第3.2节中的特征向量中心性和动态更新过程之间的形式联系来直观地给出这个结果。回想一下，对于任何非零w（0），对于t large，Atw（0）与v（A）近似成比例。因此，我们可以考虑从wi（t- 1） 至cwi（t）+Pj∈Niwi（t）。团队中的链接越多，资源就会流向更大的团队。群体之间的联系越多，资源流动就越平等。第（二）部分说，当有两个群体，且两个群体都不太大时，一个德国占多数的群体意味着更多的不平等。这里有两个影响。第一，随着少数群体的规模越来越小，其成员的表现也越来越差。但第二个影响是，随着少数群体的缩小，更好的群体中有更多的人。

当群体规模在（，s）范围内时，第一个影响更为重要。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1人口份额00.10.20.30.40.50.60.70.80.91财富份额图1：两组特征向量中心的洛伦兹曲线，ps=。5，pd=。1，s=。蓝色65，s=。红色8。请注意，两种分布都不受洛伦兹支配。然而，当一个多数群体比相应的少数群体大得多时，我们可以得到两个无法用洛伦兹优势进行比较的分布。smallerminority组做得更差，但也更小，因此我们无法确定哪个分布更不相等（如果不使用比theLorenz更完整的分布排序）。图5显示了一个示例，其中链接参数ps=。5和pd=。1和majoritygroup人口份额s=。蓝色65，s=。红色8。利用定理1，将证明简化为比较“A（n）”和“A（n）”的特征向量中心。为此，我们使用特征向量中心性的递归定义来计算弹性聚苯乙烯六（\'A（n））六（\'A（n））= -pd公司六（\'A（n））六（\'A（n））=λ-1（sl- sl）n（1- λ-1sln（ps- pd），这里俚语分别表示包含i和i的群的人口份额。该公式表明，较大基团的一个成员的中心度与较小基团的一个成员的中心度之间的比率在PSA中增大，在pd中减小。我们表明，当我们减少psor增加pd时，这意味着洛伦兹优势。最后，命题的第（i）部分应用特征向量中心性替换为KatzBonacich中心性。我们现在确定集团规模。提案2。

选择φ（n）序列，使lim supnφ（n）λ（n）<1和lim supnφ（n）λ（n）<1。概率接近1为n→ ∞, 如果A（n）具有更高的群内链接形成概率（ps），则Katz-Bonacich中心度c（A（n），φ）Lorenz支配Katz-Bonacich中心度c（A（n），φ≥ ps）和更低的组间链路形成概率（pd≤ pd）大于A（n）。证明和直觉与命题1相似。相关弹性现在为聚苯乙烯ci（\'A，φ）cj（\'A，φ）= -pd公司ci（\'A，φ）cj（\'A，φ）=（sl- sl）（ps- pd）φn（1- sl（ps- pd）φn），其中sland表示包含i和i的组的人口份额。关于组大小的基本原理也相似，但没有明确的结果，因为截面积的类比取决于n和常数φ（n）的选择。5.2比较静态之间的比较我们现在关注卡茨-博纳希奇中心性的比较静态，并询问哪些群体从链接参数的变化中获得的绝对利益更大。即使只有组内和组间链接概率，链接参数的变化也会对中心性水平产生更复杂的影响。我们发现，添加组内链接仍然有利于更大的组，但添加组间链接可能会产生不明确的影响。然后，我们给出了一个示例，表明在不限制两个链接概率的情况下，组1和组2之间的额外链接可以比组1更有益于其他连接良好的组。在附录C中，我们提供了两个计算Katz Bonacichcentrality的比较静态的公式，作为一些链接概率pijchanges。第一个表示ci（A，φ）的导数，已推导出第一个特征向量的比较静力学相关结果，例如Magnus（1985）和Conlisk（1985）。

由于归一化，需要更强的条件来确定特征向量中心性导数的符号。作为从代理i开始的行走次数的适当加权计数。第二个是更明确的表达式，取决于链接概率pij，并且易于计算无样本数。该结果将每个组替换为一个代表性代理，然后计算代表性代理网络中的行走次数。这些公式用于证明本节中的命题，在其他情况下也可能是有用的工具。我们再次考虑m组的随机块体模型，相对组大小为sin。接下来的两个命题保持了这样的假设：根据相关节点是在同一组中还是在不同组中，存在两个链路概率psa和pd。为了便于对结果进行简单陈述，首先给出了具有非整数权重的确定性网络A的所有比较静力学。随机网络序列的相应结果如下所示。允许psc（\'A，φ）表示Katz-Bonacich中心性的导数，因为与组内链接相对应的\'A条目不同。提案3。假设φ<λ-1、那么psci（(R)A，φ）>pscj（(R)A，φ）。只要i的群大于j的群。当组内添加更多链接时，较大组中的代理比较小组中的代理受益更多。因为在此设置中，ci（(R)A，φ）在i的组大小中增加，这意味着在组内添加连接会增加不平等（以绝对值表示）。有两种影响促成了这一结果。首先，增加PSI会使较大群体中的代理程度增加，而不是使较小群体中的代理程度增加。其次，由于大群体中的代理已经更加集中，这些代理能够更好地从网络其他领域的额外链接中获益。

相比之下，当PDC发生变化时，我们会看到这两种效应在相反的方向上起作用。接下来我们考虑一系列随机网络。设A（n）是由这些组大小、组内链路概率Ps和组间链路概率pd产生的链路概率矩阵。定义A（n）类似地，概率Ps和pd。我们再次根据任何约定对群体规模进行四舍五入，给出适当的总人口。推论1。假设ps>psand pd=pd。固定一个φ（n）序列，该序列以λ（n）和λ（n）为界。然后概率接近1为n→ ∞,ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- 当i的群大于j的群时，cj（A（n），φ（n））。利用定理2，我们可以将随机网络简化为确定性加权网络。那么结果就是命题3的简单应用。当我们改变组间链接的概率pdof时，结果更加模糊。允许pdc（\'A，φ）表示Katz-Bonacich中心性的导数，因为组链接之间对应的\'A条目不同。提案4。存在常数0<φ<φ<λ-1如下：（i）对于0<φ<φ，pdci（(R)A，φ）>pdcj（(R)A，φ）。每当我的群小于j的群时。（ii）对于φ<φ<λ-1.pdci（(R)A，φ）>pdcj（(R)A，φ）。只要i的群大于j的群。现在有两种相反的影响，所以团体之间的额外联系可以帮助更小的团体更多或更大的团体更多。首先，增加pdnow会使小群体的程度增加，而不是使大群体的程度增加。但第二，更大群体中的代理仍然能够更好地利用远距离的额外链接。当φ很小时，Katz-Bonacich中心性主要计算较短的行走。因此，第一个效应会胜出，而较小的效应会带来更多的好处。当φ足够接近λ时-1、KatzBonacich的中心地位由很长的步道所主导。

然后，第一个影响很小，而第二个影响很大。因此，与弱势群体相比，中间多数群体中的代理人实际上从群体之间的额外联系中获益更多。第一个结果是度中心性和Katz-Bonacich中心性之间关系的直接结果，φ很小。当φ很小时，Katz-Bonacich中心度近似等于度中心度的a ffne变换，而comparativestatic则容易获得度中心度。对于第二个结果，Katz-Bonacich中心度等于每组开始行走次数的适当加权计数。我们可以通过添加非常少量的额外链接并计算通过这些新链接的行走次数来计算KatzBonacich中心性的导数（见附录C）。当φ较大时，这些计数主要由很长的行走控制，我们声称，对于很长的行走，起始组对行走通过的组几乎没有影响。为了形式化地证明该主张，我们将随机游动表示为一个马尔可夫链，其状态对应于每个代理，转移概率与链接概率成比例，然后研究该马尔可夫链的平稳分布。一旦声明被显示出来，我们就可以通过计算从给定代理开始的总行走次数来计算出感兴趣的比较静态，对于较大组的成员，这个数字更高。对于以下推论，我们将“A（n）”和“A（n）”定义为推论1。推论2。假设ps=psand pd>pd。固定从λ（n）到λ（n）有界的φ（n）序列。

然后存在常数C，C∈ （0，1）使得概率接近1为n→ ∞,（i） 如果φ（n）<C·λ（n）-1对于所有n，则Ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- 当i的群小于j的群时，cj（A（n），φ（n））。（ii）如果φ（n）>C·λ（n）-1对于所有n，ci（A（n），φ（n））- ci（A（n），φ（n））>cj（A（n），φ（n））- 当i的群大于j的群时，cj（A（n），φ（n））。前面的结果依赖于这样一个假设，即只有两个链路概率psa和pd，这取决于一对代理是在同一组中还是在不同的组中。有了更多的链接概率，就有可能实现更广泛的比较静态。我们现在给出一个有趣的例子。图2：具有链接概率的随机网络的图示，如命题5的证明所示。允许pijc（\'A，φ）是Katz-Bonacich中心性的导数，因为与组i和组j之间的联系相对应的\'A的条目各不相同。提案5。存在常数φ<λ，链路形成概率'a和组i、j和k，因此pijck（(R)A，φ）>所有φ<φ<λ的pijci（(R)A，φ）。在i组和j组之间添加链接会使k组中代理的Katz-Bonacich中心性比i组中的更高。这表明了中心网络位置的力量：k组的连接非常紧密，其成员比i组中实际形成这些链接的代理更容易利用新链接。为了证明这个命题，我们给出了一个三组的例子，其中组1内的连接非常密集，组1和组2之间的连接有些稀疏，所有其他连接都非常稀疏（见图2）。然后，如果在组2和组3之间添加额外的链接，则组2添加的短连接比组1多。但第一组增加了更长的步行时间。