银行间同业拆借平均场模型中的系统性风险

我们定义了默认的D级≤ 0，并假设银行i在时间T处于违约状态，如果其对数货币储备在时间T达到D级。我们注意到，在我们的模型中，即使i银行违约，即其货币储备达到负水平，它仍会继续参与向交易对手借款的银行间活动，直到再次达到正储备水平。换言之，货币储备水平采用R值。我们将在以下设置中工作：假设3.4（参数）。我们收集了与第i个货币储备过程i的动力学相关的参数∈ IMaspi：=（ai，σi，ci）∈ （R+×R+×R-).我们用δx表示以x为中心的Dirac delta度量，我们设置qm=MMXi=1δpi，νM=MMXi=1δXi。我们假设limM→∞qM=δp*, i、 e.pi→ p*:= （a，σ，c）为i→ ∞ 和limM→∞νM=δx，即Xi→ x作为i→ ∞.我们取传染病的指数衰减函数，j（t- s） =Mg（t-s） ：=Mαe-β（t-s） ，这是一个具有α，β的局部平方可积函数∈ R+。最后，假设所有参数都有一个常数Cp的界。我们在此指出，本文的结果也适用于更一般的分布，即limM→∞qM=q和limM→∞ИM=Д，但为简化结果，我们假设参数向量收敛为常数向量。将储量平均值定义为“Xt=MMXi=1Xit”，我们可以将SDE重写为平均场相互作用SDEdXit=ai（\'Xt- Xit）dt+σidWit+cidNit。（3.3）从（3.3）中，我们可以看到过程（Xit）以ai的速率均值回复到其集合平均值（(R)Xt）。引理3.5。对于（3.3）给出的SDEs系统，存在一个唯一的解（Xt，…，XMt），用于i∈ 感应电动机。证据该证明类似于池田和渡边的定理9.1【22】。定义为SDE（3.3）的无跳跃解。通过Cox等人【11】中的示例2，我们知道SDE具有唯一的强解（Yt，…，YMt）。

根据霍克斯过程的定义，我们有N。。。，NMnever同时跳跃：这意味着存在一个递增的跳跃时间序列（τn）n∈确认limn→∞τn=+∞. 然后我们可以定义（i，1）t：=Yit，0≤ t<τ，Yiτ-+ 1k=ici，t=τ，如果Nk中有跳跃。（3.4）根据引理2.2，我们知道存在一个独特的Hawkes过程（Nit）t≥0对于i∈ 因此，我们可以说X（i，1）是t的（3.3）的唯一解∈ [0, τ]. 然后我们确定X（i，2）吨t∈ [0, τ- τ] 与（3.4）类似，使用初始状态“Xi：=X（i，2）τ”和驱动因子“Wit：=Wit+τ”- Wiτ和'Nit：=Nit+τ- Niτ。然后我们设定退出：=Xi，1t，0≤ t<τ，X（i，2）t-ττ≤ t型≤ τ.所以Xit，t∈ [0，τ]是（3.3）的唯一解。通过迭代上述过程，我们可以在每个n的时间间隔[0，τn]上唯一地确定xitis∈ N、 3.2模拟为便于说明，请考虑以下SDEdXit=a（(R)Xt- Xit）dt+σdWit+cdNit，其中Wit：=ρWt+p1- ρWit，其中Wit，i=0。。。，M是独立的布朗运动和Wtrepresentscommon噪声（类似于Carmona等人[8]中的设置）。

我们保持恒定强度和激发函数gi的参数，j=αi，je-βit固定在ui=10/M，βi=2/M和αi，j=2/M，初始保留值设置为X=0。表3.1：实现（Xit，i=1，…，10）的各种场景对应的参数。方案aσcρ无贷款，独立BMs 0 1 0 0.2贷款，独立BMs 10 1 0无贷款，相关BMs 0 1 0 0.2贷款和相关BMs 10 1 0 0.2贷款，相关BMs和Poisson跳跃10 1 0.2 0.2贷款，相关BMs和Hawkes跳跃10 1 0.2 0.2图3.1：实现（Xit，i=1，…，10），t=1。。。100无借贷和独立布朗运动（左）、借贷和相关布朗运动（中）、借贷、相关布朗运动和霍克斯分布跳跃（跳跃时间显示为点）（右）。我们考虑了表3.1中所示的货币储备过程的几种情况。在图3.1中，我们看到，有借贷的相关布朗运动生成的轨迹比没有借贷的独立布朗运动生成的轨迹更分组。正如预期的那样，霍克斯冲击导致更多的轨迹达到默认水平，因为它是默认传播的另一个来源。考虑默认级别D=-0.7. 在图3.2中，我们显示了违约数量的分布，定义为PMPi=1最小0≤t型≤TXit公司≤ D= n, 对于独立布朗运动情形，依赖情形和包含泊松过程和霍克斯过程的情形。我们观察到，与密度函数以5个违约为中心时的无贷款情况相反，平均场银行同业拆借导致大多数概率质量设定为零违约。然而，借出组件还增加了所有节点同时违约的概率，这一概率非常小。

布朗运动之间的相关性对损失分布的影响很小。正如预期的那样，添加自激和集群Hawkes过程会进一步增加尾部风险，从而使所有节点达到默认状态的概率显著增加。图3.2：如表3.1所示，在几种不同情况下，定义数量的分布。基于离散化Euler-Maruyama格式的蒙特卡罗模拟中的参数为M=10、T=1、10000次模拟和100个时间步。3.3依赖性正如我们在图3.2中已经看到的那样，霍克斯过程比独立的泊松过程更能同时增加多重违约的概率。因此，更详细地研究节点之间的依赖结构很有意义。正如多变量统计中的标准，见Poon等人【25】，评估变量之间（不一定是线性）依赖关系的工具是由p（q）=p给出的测量值p（q）Xi>F-1Xi（q）| Xj>F-1Xj（q）, i、 j∈ IM，其中一个变量xi位于其边缘分布的第qth分位数以上的概率FXiconditional，另一个变量xjb位于其第qth分位数以上的概率。为了消除边际方面的影响，通常将数据转换为共同的边际分布，例如转换为单位Fr'echet边际（有关详细信息，请参阅Poon等人[25]中的方法）。在我们的模型中，如果两个节点之间存在依赖关系，则一个固定条件的违约概率将非常大。在计算互联金融网络中存在的系统性风险时，量化这种依赖性显然至关重要。

请注意，在我们的模型中，我们存在两个关键依赖项：o通过漂移项的依赖性：由于银行间贷款，高XT会导致XS和XS的变化，因为s>t通过霍克斯过程的依赖性：如果Xt<<0表示在时间t发生跳跃，然后Xs<<0和对于s>t，Xs<<0增加。我们注意到，由于平均回复激励函数gi，ji，j，看到冲击的可能性随着s的增大而减小∈ {1, 2}.图3.3显示了独立泊松跳和霍克斯跳的散点图。在这里，我们已经看到霍克斯跳跃似乎反映了对尾巴更强烈的依赖。在图3.4中，我们绘制了测量值p（q）（对于左尾）与1- 表示独立性的q函数，用于几个不同的参数集。我们发现，与泊松过程相比，霍克斯过程显示所有分位数的两个节点之间的依赖性明显更大。特别是，我们注意到，在货币储备过程中只有跳跃项会导致显著的尾部概率，其中霍克斯过程的尾部概率远远高于泊松过程的尾部概率。这是意料之中的，因为跳跃的自激性质会导致一个节点中的极端事件影响另一个节点中的极端事件。

此外，加入独立布朗运动似乎可以将尾部风险降低到几乎为零，而由于违约传播的额外来源，加入银行间贷款又会导致尾部风险略有增加。图3.3:Xt和Xt（M=2）的散点图显示了存在泊松跳（左）和霍克斯跳（右）时节点之间的依赖结构。图3.4：在没有布朗运动、没有银行同业拆借但只有跳跃（左，σ=0，a=0和C=-1） ，布朗运动，无借贷和跳跃（中心，σ=0.1，a=0，c=-1） 布朗运动、借贷和跳跃（右，σ=0.1，a=0.5，c=-1). 基于Euler-Maruyama方案的蒙特卡罗模拟中的其他参数为T=1500个模拟，100个时间步，Xi=0，ρ=0，ui=0.1，βi=1.2，αi，j=1.2.4平均场限值我们推导了具有霍克斯跳跃项的货币储备过程的理论平均场限值，以显示在节点数量趋于完整的情况下，考虑这种额外类型的传染对网络总损失的影响。我们的推导基于Carmona等人【8】和Bo和Capponi【4】。换句话说，我们想了解进程分布的行为Xt=（Xit），i∈ 当M时，IMas in（3.3）→ ∞. 让向量（pi，Xit）取空间O中的值：=（R+×R+×R-) ×R.将经验测量序列定义为νMt：=MMXi=1δ（pi，Xit），t≥ 0，（4.5）在Borel空间B（O）上。换句话说，我们跟踪所有节点的类型、强度和货币储备的经验分布。设S=P（O）；O.Then（νMt）t上Borel概率测度的集合≥0是Skorokhod空间DS的元素[0，∞), 即

它可以看作是一个S值右连续、左有限的随机过程。对于任意光滑函数f（p，x）∈ C∞（O） 定义为（p，x）∈ O通过ν（f）定义积分w.r.t.测量值ν：=ZOf（p，x）ν（dp×dx），（4.6），使得νMt（f）=MMXi=1f（pi，Xit），t≥ 0。（4.7）那么我们有'Xt=νMt（I），其中I（x）=x。我们想了解大M的νMt动力学。在推导过程νMtforM的极限时→ ∞ 我们使用了类似于Bo和Capponi【4】和Giesecke等人【17】的论点。特别是，Focusher利用Delattre等人[14]关于大型系统中HawkesProcess行为的结果来识别极限动力学。在第4.1节中，我们通过极限鞅问题的生成器来确定极限，随后在第4.2节中，我们确定了极限过程。4.1弱收敛我们想用鞅问题证明νmt收敛到极限过程。为了方便起见，我们将编写f（Xit）：=f（pi，Xit）。根据霍克斯过程的定义，我们得到了alli 6=j，（Nit）t≥0和（Njt）t≥0从不同时跳转，并且其中一个进程中的跳转dNitresults inoonly xit具有大小为ci的跳转。

因此，应用It^o公式得出SDF（Xit）=aixf（Xit）[νMt（I）- Xit]dt+（σi）xxf（Xit）dt+σixf（Xit）dWit+（f（Xit-+ ci）- f（Xit-))dNit，那么我们有，使用νMtin（4.7）的定义，νMt（f）=νM（f）+ZtνMs（Lf）νMs（I）ds-ZtνMs（Lf）ds+MMXi=1Ztσixf（Xis）dWis（4.8）+ZtνMs（Lf）ds+MMXi=1Ztf（Xit-+ ci）- f（Xit-)dNis，我们定义了操作员L*作用于f（pi，Xit）asLf（p，x）：=axf（p，x），Lf（p，x）：=axxf（p，x），Lf（p，x）=σxxf（p，x），因此νMt（Lf）=MMXi=1aixf（pi，Xit），νMt（Lf）=MMXi=1aiXitxf（pi，Xit），νMt（Lf）=MMXi=1（σi）xxf（pi，Xit）。定义任何平滑函数∈ C∞（RN）带N∈ N和Borel度量ν∈ SΦ（ν）=ν（ν（f）），（4.9），f=（f，…，fN）表示fN∈ C∞（O） ，n=1。。。，N和ν（f）：=（ν（f）。。。，ν（fN））∈ 注册护士。设S是S上有界可测函数Φ的集合。然后S分离S，从而证明了这些函数鞅问题的收敛性。然后，通过将It^o公式应用于ν（νMt（f）），并使用d▄Nit：=dNit这一事实- λitdt和dWitare鞅及Xt-和λt-可预测，我们发现0≤ t<uΦ（νMu）=Φ（νMt）+ZutCMs+DMs+JMsds+Mu- Mt，其中（Mt）t≥0是初始平均零鞅，Cmt：=NXn=1ν（νMt（f））fn公司νMt（Lfn）νMt（I）- νMt（Lfn）+νMt（Lfn）,DMt：=2MNXn，l=1ν（νMt（f））fn公司flMXi=1（σi）fn（Xit）x个fl（Xit）x个JMt：=MXi=1hν（νMt（f）+JM，it（f））- ν（νMt（f））iλit，其中JM，it（f）=（JM，it（f）。。。，JM，it（fN））和JM，it（f）：=M（f（Xis-+ ci）- f（Xis））。我们需要Delattre等人[14]中定理8给出的以下结果：定理4.6（Hawkes过程的混沌传播结果）。考虑（2.2）中的霍克斯过程。每M≥ 1考虑具有节点IM的完整图。设g:[0，∞) → R是局部lysquare可积函数，集gi，j=M-1g代表所有i，j∈ 感应电动机。

确定极限方程“Nt=ZtZ”∞{z≤（ut+Rsg（t-s） dE[(R)Ns]}π（ds，dz），（4.10），其中π（ds，dz）是[0]上的泊松测度，∞)×[0, ∞) 使用强度测量dsdz。那么我们有dE[(R)Nt]=(R)λtdt和∧t：=u+Ztg（t-s） dE[(R)Ns]。（4.11）换句话说，N=（\'Nt）t≥0是一个强度为λt的非齐次泊松过程。对于i∈ 感应电动机。定义iM（t）=Rt | d（(R)牛-Niu）|和δM（t）=E[iM（t）]。注意，由于‘Nit’和‘Nit’的互换性，δM（t）不依赖于i。那么，δM（t）=中兴通讯？λt- λitds和t∈ [0，T]我们有Limm→∞δM（t）=0。换言之，当所有节点以相同的方式相互作用时，在节点数量限制下，Hawkes过程将简化为非齐次泊松过程，并且对于任何∈ 以下限制→∞EZut |λ为-\'\'λs | ds= 0。（4.12）现在的任务是找到极限鞅问题的生成器，我们将使用该生成器来确定控制极限内货币储备动态的过程，参见定理8.2第4章Ofether和Kurtz【16】。为此，我们将使用（4.12）并定义一个基于泰勒的JMTA简化JMt：=NXn=1ν（νMt（f））xn“MMXi=1’λtfn（Xit）xci#。利用我们得到的三角形不等式Zut | JMs-JMs | ds≤ E“ZutMXi=1ν（νMs（f）+JM，is（f））- ν（νMt（f））λ为-MXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λisds#+E“ZutMXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λis-MXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λisds#+E“ZutMXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xnJM，is（f）#λis-MXi=1“NXn=1ν（νMs（f））xn￠JM，is（f）#λsds#。对f应用泰勒展开∈ C∞（O） 利用其导数的有界性和定义i=^ci/M，我们发现JM，it（f）’JM，it（f），（4.13），其中aM’bm表示limM→∞|是- bM |=0和▄JM，it（f）：=Mf（Xit）xci。类似地，使用И的泰勒展开式∈ C∞（RN）我们有ν（νMt（f）+JM，it（f））- ν（νMt（f））\'NXn=1ν（νMt（f））xnJM，it（f）。

（4.14）利用命题2.3、方程（4.14）和（4.13）中λIt的完整性，f的导数的有界性∈ C∞（O） 按其上确界，即| | f | |=sup（p，x）∈O | f（p，x）|和（4.12）中给出的强度边界，我们有thatlimM→∞EZut | JMs-JMs | ds= 0.同样，我们有LIMM→∞EZut | DMs | ds= 定义作用于（4.9）中定义的函数Φ（ν）的运算符A，asAΦ（ν）：=NXn=1ν（νMt（f））fn公司νMt（Lfn）νMt（I）- νMt（Lfn）+νMt（Lfn）+νMt（Lfn）, （4.15）式中，L：=c？λtx、 然后我们得到以下结果：引理4.7（极限鞅问题）。对于任何Φ∈ S和0≤ t型≤ ... ≤ tm+1≤ ∞, 带m∈ N和ψj∈ L∞（S） 我们知道A是极限鞅问题的生成元，即limM→∞EΦ（νMtm+1）- Φ（νMtm）-Ztm+1mAΦ（νMu）dumYj=1ψj（νMtj）= 0.（4.16）4.2极限过程给定极限鞅问题（4.16），并假设极限点的存在唯一性，我们想要找到满足方程（4.16）的极限过程νt。设p=（p*, x） 。通过νt（A）定义以下度量值过程：=P（Xt（P）∈ A） ，（4.17），其中∈ B（R）和基本极限状态过程X（p）=（Xt（p））t≥0是由xt（p）=x+Zt给出的随时间变化系数的差值a（Q（s）- Xs（p））+c'λsds+σZtdWs，t≥ 0，（4.18），其中“λ”定义在（4.11）中，Q（t）=x+cZt“λsds。（4.19）请注意，Q（t）满足积分方程Q（t）=e-在x+Z区域aQ（s）+c'λsds公司.利用（4.17）中ν的定义，我们得到了νt（I）=ZOxνt（dx）=E[Xt（p）]，其中基本状态过程Xt（p）由（4.18）给出。请注意，e[Xt（p）]=e-在x+Zteas（aQ（s）+c'λs）ds，由此得出q（t）=νt（I），（4.20），其中I（x）=x。我们现在证明，Δν确实满足引理4.7中的鞅问题：定理4.8（极限过程）。经验测度值过程νMadmits弱收敛νM→ ν、 作为M→ ∞, 其中，ν的定义如（4.17）所示。此外，νM（I）→ Q、 证明。