银行间同业拆借平均场模型中的系统性风险

使用Ethier和Kurtz【16】第3章中的弱收敛标准分析，weakconvergenceνM→ ν为M→ ∞ 引理4.7和引理A.2、A.3以及极限点的唯一性。换句话说，如果我们定义QM：=P（νM∈ B（DS[0，∞))), 我们发现qm收敛于（4.15）中由A生成的鞅问题的解q。接下来，我们证明了Q=Δν，即极限测度值过程ν确实可以表示为（4.17）。我们有f∈ C∞（O） 使用（4.6）中的定义，即νt（f）=E[f（Xt（p））]。（4.21）另一方面，从（4.18）并使用它的^o引理，我们得到f（Xt（p））=f（x）+Ztfx（Xs（p））（aQ（s）- aXs（p）+c'λs）ds+σZtfx（Xs（p））ds+σZtfx（Xs（p））dWs。然后回顾运营商L的定义*（4.20）中的等式Q（t）=νt（I）tE[f（Xt（p））]=Eσxxf（Xt（p））+ Q（t）E[答xf（Xt（p））]+E[c'λtxf（Xt（p））]- E[轴（p）xf（Xt（p））]=E[Lf（Xt（p））]+νt（I）E[Lf（Xt（p））]+E[Lf（Xt（p））]- E[Lf（Xt（p））]。因此，使用（4.21）我们发现Φ（νt）dt=NXn=1φxn（νt（f））dνt（fn）dt=NXn=1φxn公司νt（Lf）+νt（Lf）νt（I）+νt（Lf）- νt（左前）= AΦ（νt）。所以对于形式（4.9）的所有函数Φ（·），我们有Φ（νt）=Φ（νs）+ZtsAΦ（νu）du，0≤ s<t<∞,因此，Δν满足了由A生成的鞅问题。换句话说，定理4.8的混沌传播结果告诉我们，经验平均值νmconverge到一个度量ν，其基本过程Xt（p）通过依赖于时间的漂移反映了霍克斯过程。4.3模型的扩展在本节中，我们简要介绍了第4节中给出的几种可能的扩展结果。特别是，当在（3.3）中考虑的货币储备模型中包含复合霍克斯过程时，我们推导出了极限经验分布；系统风险因素，其推导基于Giesecke等人的结果。

[18]; 并进一步证明了基于Spiliopoulos等人[28]的中心极限定理，该定理量化了大系统极限周围经验分布的波动。4.3.1复合霍克斯过程如果我们在初始对数货币储备SDE中包括复合霍克斯过程，即dXit=aiMMXk=1（Xkt- Xit）dt+σidWit+cidSit，其中sit=NitXj=1Zij，其中Z是具有分布函数F的i.i.d.随机变量，与Nitand Wit无关，因此limm→∞MMPi=1δZi·=y。然后极限过程由xt（p）=x+Zt给出a（Q（s）- Xs（p））+cy'λsds+σZtdWs，t≥ 0.4.3.2系统风险因素暴露与Giesecke等人【18】的分析类似，我们可以表明，考虑到系统中所有节点共有的非消失系统风险因素，我们获得了非确定性限制行为。LetVt=σ（Vs，0≤ s≤ t） Ft=σ（（Vs，Nis，Wis），0≤ s≤ t、 我∈ N） 。对于对数货币储备XIT=ai（(R)Xt），请考虑以下模型- Xit）dt+σidWit+cidNit+βidYt，dYt=b（Yt）dt+σ（Yt）dVt，Y=Y，其中vt是独立于wit和Nit的标准布朗运动。换言之，wit代表特定名称特有的风险源，而Ytis是由布朗运动驱动的系统风险因素，布朗运动对网络中的所有节点都是通用的，参数βi表示节点i对Y的敏感性。系统性风险因素会导致货币储备过程中的相关变化，从而成为集群的另一个来源。通常假设pi:=（ai，σi，ci，βi）→ p*:= （a，σ，c，β）。根据Giesecke等人的推导。

[18] 定义Φ（y，ν）=Д（y）Д（ν（f）），并将其应用于原始模型的推导中，我们获得了0≤ t<uΦ（Yu，νMu）=Φ（Yt，νMt）+Zut（Д（Ys）CMs+Д（Ys）DMs+Д（Ys）JMs+BM，1s）ds+ZutBM，2dVs+Mu- Mt，其中我们定义了bm，1t：=Д（Yt）NXn=1ν（νMt（f））fnνMt（LYtfn）+ν（ν（f））b（Yt）yИ（Yt）+σ（Yt）yy^1（Yt）+ yИ（Yt）NXn=1ν（ν（f））fnσ（y）νMt（LYtfn）BM，2t：=Д（Yt）NXn=1ν（νMt（f））fnνMt（LYtfn）+σ（Yt）yИ（Yt）Д（ν（f）），其中Lyf（p，x）：=βib（y）xf（p，x）+（βi）σ（y）xf（p，x）和Lyf（p，x）：=βiσ（y）xf（p，x）。以M为上限→ ∞, 使用第4.1节中导出的极限和极限中鞅的消失（另请参见[18]中的引理7.2），定义νt（f）=E[f（Xt（p）| Vt]，其中Xt（p）=x+Zta（νt（I）- Xs（p））+c'λsds＋σZtdWs＋βZtdYs，对于极限过程νt，我们得到如下spddνt（f（Xt））=νt（Lf（Xt））νt（I）- νt（Lf（Xt））+νt（Lf（Xt））+νt（Lf（Xt））+νt（LYtf（Xt））dt+νt（LYtf（Xt））dVt，其中我们使用Giesecke等人[18]中的引理B.1和B.2来表明EhRtXsdVs | Vti=RtE[Xs | Vs]dVs。因此，系统风险因素不会在极限内消失，并导致经验度量极限过程的随机偏微分方程，而不是原始模型中的确定性行为。4.3.3中心极限定理再次考虑（3.3）中定义的模型。为了改进（4.17）中给出的νmt的一阶近似值，我们可以分析νmar在其大系统极限ν附近的波动。继Spiliopoulos等人【28】定义=√M（νMt- νt）。有符号测度值过程在适当的空间中弱收敛到函数极限（特别是在加权Sobolev空间中考虑收敛，其中序列M，M∈ NCA可以显示为相对紧凑；关于该空间以及极限点的存在性和唯一性的讨论，我们参考Spiliopoulos等人的第7、8和9节。

[28]). 我们首先导出ΞMt的表达式。该表达式中的某些项将在M的极限内消失→ ∞, 利用过程的紧密性（见Spiliopoulos等人[28]第8节）和表达式中运算符的连续性，我们可以传递到极限，并找到极限流动过程满足的表达式。从νMtwe findΞMt（f）中减去νtf=νMt（Lf）ΞMt（I）+νt（I）ΞMt（Lf）- ΞMt（Lf）+ΞMt（Lf）+ΞMt（Lf）dt+dMMt（f）+√MMMXi=1（f（Xit+ci）- f（Xit））dNt-√MMMXi=1cifxNit+√MMMXi=1（f（Xit+ci）- f（Xit））λit- νMt（Lf）！dt，其中鞅项定义为asMMt（f）=√MMMXi=1ZtσixfdWis+ZtMMXi=1cifxd▄Nis！。使用霍克斯跳跃项的极限表达式和第4.1节中的泰勒近似，我们得到√MMMXi=1（f（Xit+ci）- f（Xit））-MMXi=1cifx个≤公里数√Mfx个. （4.22）因此，可以通过取极限M来表示→ ∞, 使用（4.22）和假设3.4，序列{Mt，t∈ [0，T]}M∈n分布收敛到极限点{t∈ [0，T]}满足ΞT（f）=Ξ（f）+ZtνMs（Lf）Ξs（I）+νs（I）Ξs（Lf）- Ξs（Lf）+Ξs（Lf）+Ξs（Lf）ds+Mt（f），其中{Mt，t∈ [0，T]}是具有确定性二次变差的分布值连续平方可积鞅，序列{MMt，T∈ [0，T]}M∈nConverge在分布上（注：与LLN情况不同，在CLT缩放情况下鞅项不会消失）。根据鞅CLT（见Ethier和Kurtz[16]中的7.1.4），M是高斯的。这意味着以下二阶近似νMtd≈ νt+√MΞt，为有限银行系统提供更精确的近似值。5大型网络中的系统性风险在本节中，我们介绍了几个系统性风险指标，以量化网络中的风险，并显示风险对基础参数的特殊依赖性。

我们首先评论了具有霍克斯过程和具有独立泊松过程的货币储备之间的差异：评论5.9（独立泊松过程与霍克斯过程）。考虑强度为u的独立泊松过程。很容易看出|λt：=u+Ztαe-β（t-s） (R)λsds≥ u，因为我们假设α，β≥ 因此，对于c<0，我们有Q（t）≤Q（t），其中qan和qq分别是强度为λ的泊松跳跃和强度为u的跳跃的平均值。因此，在limitM→ ∞, 使用νM（I）→ Q（t），正如我们所料，霍克斯过程会增加网络中的违约风险。5.1风险指标在这里，我们展示了如何使用极限动力学Xt（p）来衡量大型网络中的系统性风险。我们建议根据从正常状态过渡到违约状态的银行比例，在平均场模型中计算系统性风险。我们将风险指标定义为在整个时间内∈ [0，T]已降至默认级别D以下，SRM：=MMXi=1最小0≤t型≤TXit公司≤D.注意，根据定理4.8，我们得到了limM→∞对于Xit的连续函数f，νMt=νt。对于t上的指示器功能∈ [0，T]我们考虑与holdlim的近似关系→∞SRM公司≈ E“最小0≤t型≤TXt（p）≤D#,其中，M货币储备过程指标函数的平均值因此被限制过程的指标所取代。此外，与Bo和Capponi[4]类似，我们可以确定违约平均距离asADDM（t）：=E“MMXi=1Xit#。请注意（νMt；M∈ R） 一致可积，即对于每个t≥ 0supM∈内赫νMt（I）i<∞,其证明类似于附录A中引理A.1和Bo和Capponi中引理B.2的证明[4]。然后，对于到默认指示器的平均距离，我们使用以下限制结果imm→∞ADDM（t）=Q（t），Q（t）如（4.20）所示。

注意，在强度为λ的独立泊松跳跃的情况下，ADD指示器的极限由limM给出→∞ADDM（t）=x+cλt。这与霍克斯跳跃的情况相反，我们有limM→∞ADDM（t）=x+cRt'λsds。5.2数值结果我们设定M=300，即足够大，并分析我们的各种系统性风险指标的近似公式与相应的蒙特卡罗估计值的比较。后者是通过模拟m个相互作用过程Xit，i∈ i使用（3.3）的Euler近似。备注5.10（“λt”的计算）。将[0，T]的划分定义为0=T<T<…<tK=T，带t：=ti- ti公司-然后，我们将（4.11）中的积分近似为|λti+1≈\'\'λti+甘油三酯(t） ？λti和？λ：=u。使用近似的λtwe计算Q（t）asQ（ti+1）≈ Q（ti）+tc？λti，其中Q（0）=x。表5.1：蒙特卡罗估计值与系统风险指标的LLN近似值，u=0.01，α=1，β=1.2，a=0.5，σ=0.5，^c=-0.2，D=0。蒙特卡罗近似XSR ADD（T）SR ADD（T）0.002 0.945 0.007 0.949 0.0070.1 0.821 0.096 0.816 0.0960.2 0.658 0.197 0.652 0.1970.5 0.252 0.497 0.261 0.4970.8 0.057 0.797 0.058 0.7971 0.016 0.998 0.017 0.997表5.2：蒙特卡罗估计值与u=0.05，α=1的系统风险指标LLN近似值的比较β=1.2，a=0.5，σ=0.5，^c=-0.2，D=0。蒙特卡罗近似XSR ADD（T）SR ADD（T）0.01 0.947-0.005 0.946-0.0070.1 0.826 0.085 0.830 0.0830.2 0.669 0.186 0.653 0.1830.5 0.262 0.486 0.269 0.4830.8 0.061 0.785 0.061 0.7831 0.017 0.985 0.016 0.983在表5.1和5.2中，我们给出了5000次模拟的近似结果和蒙特卡罗估计100个时间步，T=1，M=300。正如预期的那样，由SR和ADD量化的网络系统性风险随着初始货币储备价值的增加而减少。

此外，平均跳跃强度u越高，网络稳定性越差。在图5.2中，我们显示了霍克斯和泊松过程对系统风险和平均违约距离的LLN估计，初始准备金x的不同值。我们对霍克斯过程在模型中增加额外违约风险的主张也在这些数字结果中得到了验证，因为霍克斯过程的系统风险指标更大，而平均货币储备始终低于独立泊松过程。因此，通过霍克斯过程建模的自激和交叉激振是网络中的另一种接触形式，导致网络更容易发生系统性风险事件。图5.1:T=1时系统风险的LLN估计值（L）和平均违约距离（R）的LLN估计值，u=0.2，α=1.2，β=1.2，a=0.5，σ=0.5，c=-独立泊松过程为1，D=0，x为Hawkes过程∈ [0，1]5.2.1模型校准（3.3）中考虑的具有异质系数的模型校准是一项复杂的任务，尤其是对于大型银行系统。在Ait-Sahalia等人[1]中，作者考虑了用于资产回报建模的霍克斯扩散模型的校准，并开发了模型参数的矩估计方法。即使简化了强度假设，该模型也仅适用于成对资产。因此，使用霍克斯跳跃对大量银行的平均场SDE进行校准超出了本文的范围，有待进一步研究。然而，第4.2节中导出的极限表达式可用于导出校准模型的简单有效方法。

特别是，我们可以将（4.19）中Q（t）给出的平均违约距离调整为大量资产的平均值，从而得到校准参数x、c、u、α和β。特别是，考虑将资产价格作为货币储备过程的代表，并考虑2008-07-14至2008-10-21期间标普500指数各组成部分的平均值。将Q（t）的确定性表达式校准为默认的实际平均距离，我们获得以下参数集：u=0.3，x=1300，α=0.07，β=0.11和c=-1.6. 可以争辩的是，极限中参数的规律性假设（见假设3.4）太强，无法校准到实际激励。尽管如此，使用这种简单有效的模型校准方法，我们从图5.2的左侧可以看到，传染病得到了充分的捕捉；特别注意，从图5.2的右侧可以看出，泊松过程无法模拟必要的传染，虽然采用霍克斯过程的SDE提供了一个更好的函数。图5.2：标准普尔500指数数据的Qon校准模型显示了激励效应（L）和5000条Xt（p）（R）6模拟SDE路径的平均值。结论在本文中，我们研究了考虑额外自激和集群冲击的影响，该冲击会影响货币储备或节点的资产价值银行间系统。假设节点通过漂移相互作用，并且另外受到霍克斯分布冲击。这样一来，跳跃活动会随着时间的推移而变化，导致跳跃聚集，冲击会通过网络以传染方式传播。这使我们能够对银行间贷款导致的违约传播以及关联资产负债表和金融加速导致的传播进行建模。

我们从银行间模型的数值分析开始，在该分析中，我们表明霍克斯跳跃导致了同时发生多重违约的不可忽视的尾部概率。然后，我们在货币储备过程的平均场相互作用模型中考虑了霍克斯过程的影响，并得出了经验平均值的弱收敛性，其基础过程通过时间相关漂移项反映了霍克斯过程。最后，我们确定了几个风险指标及其LLN近似值，可用于量化大型系统中的风险，并表明LLN估计值与蒙特卡罗模拟值相比表现准确。我们的结论是，聚类霍克斯跳导致网络中额外的重要故障传播源，不应忽视。致谢本研究得到欧盟在2020年欧盟玛丽·居里初始培训网络项目WAKEUPCALL背景下的支持。证明了下一个引理是对数货币储备过程矩估计的有界结果。引理A.1。对于n=1、2和T≥ 0我们有SUP0≤t型≤T、 M级∈NMMXi=1Eh退出镍<+∞.证据让n∈ {1, 2}. 回想假设3.4中参数（pi，Xi）的常数Cpbounding。

从It^o公式中我们得到|Xit | n=E|Xi | n+ aiE公司Ztn | Xis | n-1（(R)x- Xis）ds+（σi）EZtn（n- 1） | Xis | n-2.+ σiEZtn | Xis | n-1个WIS+ EZt公司|Xis+ci | n- |Xis | ndNis公司.利用杨氏不等式，我们得到了-1英寸Xt- ain | Xit | n-1退出≤ ainMMXk=1 | Xit | n-1 | Xkt |- ain | Xit | n≤ CpMMXk=1 | Xkt | n+（2n- 1） Cp | Xit | n.两次应用杨氏不等式yieldsn（n- 1） （σi）2 | Xit | n-2.≤n（n- 1)n- 2n个- 1 | Xit | n-1+n- 1（σi）2n≤n（n- 1)n- 2n | Xit | n+n+n- 1立方厘米.最后，利用Young不等式和命题2.3，存在一个与M无关的常数Cn，使得EZt公司|Xis+ci | n- |Xis | ndNis公司= EZt公司|Xis+ci | n- |Xis | nλisds≤EZt | ciXis | 2（n-1） +| ci | 2nds+EZt（λis）ds≤ Cn（1+E）Zt | Xis | nds.然后，应用Gronwall引理和极限常数与M无关的事实得出了该陈述。为了得出经验测度νMttoνtwe的弱收敛性，我们需要确定限制鞅问题（如第4.1节所述），证明极限点的唯一性及其存在性（即测度值过程序列的紧密性）。我们在这里为后者提供了一个简单的证明。我们必须证明测度值过程序列{νM}M∈当被视为Skorokhod空间DS上的一系列随机过程时，（4.5）定义的Nde相对紧凑（[0，∞]), 从[0]收集c\'adl\'ag函数，∞) 对于S.这是必要的，以确保νmH定律至少有一个极限点（另见Ethier和Kurtz[16]第2章和第3章）。使用aHawkes过程产生的复杂性是强度中的反馈回路，然而，根据定理4.6，我们知道强度是有界的，因此系统不会爆炸。相对紧性将由以下两个引理暗示：关于紧包容的引理A.2和关于νM’s.Lemma A.2正则性的引理A.3。