通过无套利在广义HJM型框架中进行深度学习

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英文标题：
《Deep Learning in a Generalized HJM-type Framework Through Arbitrage-Free
  Regularization》
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作者：
Anastasis Kratsios and Cody B. Hyndman
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We introduce a regularization approach to arbitrage-free factor-model selection. The considered model selection problem seeks to learn the closest arbitrage-free HJM-type model to any prespecified factor-model. An asymptotic solution to this, a priori computationally intractable, problem is represented as the limit of a 1-parameter family of optimizers to computationally tractable model selection tasks. Each of these simplified model-selection tasks seeks to learn the most similar model, to the prescribed factor-model, subject to a penalty detecting when the reference measure is a local martingale-measure for the entire underlying financial market. A simple expression for the penalty terms is obtained in the bond market withing the affine-term structure setting, and it is used to formulate a deep-learning approach to arbitrage-free affine term-structure modelling. Numerical implementations are also performed to evaluate the performance in the bond market.
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中文摘要：
我们引入了一种正则化方法来选择无套利因子模型。所考虑的模型选择问题旨在学习与任何预先指定的因子模型最接近的无套利HJM类型模型。这是一个先验计算上难以处理的问题，其渐近解表示为一个单参数优化器族对计算上可处理的模型选择任务的限制。这些简化模型选择任务中的每一项都试图学习与规定的因子模型最相似的模型，当参考度量是整个基础金融市场的局部鞅度量时，会进行惩罚检测。在仿射期限结构设置下，得到了债券市场中惩罚条款的一个简单表达式，并利用该表达式建立了无套利仿射期限结构建模的深度学习方法。还进行了数值实现，以评估债券市场的表现。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Deep_Learning_in_a_Generalized_HJM-type_Framework_Through_Arbitrage-Free_Regular.pdf (339.35 KB)

2022-6-1 13:13:40 上传

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关键词：深度学习 无套利 HJM Mathematical Quantitative

在广义HJM型框架中通过无规则化进行深度学习Anastasis Kratsios*Cody Hyndman+12月5日摘要我们引入了一种正则化方法来选择无套利因子模型。考虑到的模型选择问题m寻求学习最接近任何预测因子模型的套利fre HJM类型模型。此问题的一个渐近解，即先验可计算可处理的概率m，表示为一个单参数优化器族对可计算可处理的模型选择任务的限制。这些简化模型选择中的每一个都要求学习与规定因子模型最相似的模型，并在参考度量是整个基础金融市场的局部鞅度量时进行惩罚检测。在债券市场中，在具有有效期限结构设置的情况下，获得了惩罚条款的简单表达式，并用于制定无套利有效期限结构建模的深入学习方法。此外，还形成了数字实施，以评估债券市场的表现。关键词：无套利正则化、一致HJM模型、Γ-收敛、债券定价、模型选择、深度学习。1简介零息票债券的价格已被建模为给定时间瞬时利率效应的函数；这种方法在[28，88，1]的有效和二次项结构设置中提供了许多有用的结果。然而，很难根据所有可用的利率期限结构数据对模型进行充分校准，导致[55]和后者[38、77、61]通过将零息票债券价格视为潜在变量（瞬时远期利率曲线）的函数来间接描述零息票债券价格的演变。

这条随机演化曲线描述了从当前时间来看的所有未来利率。*数学系，Eidgen¨ossische Technisch e Hochschule Z¨urich，HG G 32.3，R¨amistrasse 1018092 Z¨urich。电子邮件：anastasis。kratsios@math.ethz.ch+康科迪亚大学数学与统计系，加拿大魁北克省蒙特塞拉市Maisonneuve Ouest大道1455号，H3G 1M8。电子邮件：cody。hyndman@concordia.caThis这项研究得到了ETH Z¨urich基金会以及加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。作者感谢Alina S tancu进行了许多有益的讨论。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation 12月5日，远期利率曲线模型的有限维性质的不切实际性通常通过转换为因子模型方法来体现，例如，参见[81、89、76]。然而，从[35]中可以看出，大量的远期利率曲线因子模型允许债券市场出现波动。

尽管一些作者（如[15]）对绕过该问题的广泛使用的特定模型产生了干扰，但通常认为远期利率曲线的（有限）因子模型无法提供理论上令人满意的债券市场观点。本文的目的是介绍一个通用框架，用于优化解决将最相似的无套利因子模型学习为预先指定的因子模型的问题。该方法与传统金融类似，在传统金融中，给定一个完整的金融市场，金融资产的风险中性价格是通过使用多重鞅因子扰动其价格过程，直到其成为参考度量的局部鞅来发现的。同样，本文介绍的方法扰动了远期利率曲线的给定因子模型，直到在参考概率测度下，实际债券价格同时成为局部鞅。在我们的设置中，通过搜索远期利率曲线最相似的因子模型的特定假设类替代模型，可以实现远期利率曲线因子模型的扰动，其中所有债券价格过程在参考概率测度下都成为局部鞅。该搜索通过最小化损失函数来形式化，该损失函数测量替代模型到原始正向曲线模型的距离，并附加约束，即产生的债券过程定义了局部鞅。本文的第二个创新之处在于对该优化问题进行了一种计算上易于处理的松弛，其中显示了一些优化器渐近收敛于先前描述的问题的优化器。

[59、19、58]中建立的深度前馈神经网络的灵活性使其成为远期利率曲线替代因子模型的理想计算可处理假设类别。本文还考虑了用深度前馈神经网络实现无套利正则化理论。正如【55】的建模框架不局限于债券市场，并且自那时起，已经扩展到了【30、84、12、63、68】中的各种资产类别，我们的方法不是债券专用的，并且在本文中对该问题进行了全面的普适性处理。1.1背景在形式化和解决无套利正则化问题之前，简要讨论了一些相关背景。这些主题包括【31】中介绍的和【46】中开发的功能It^o计算的相关方面，以及根据新的随机微分几何考虑；如【33】所述。对套利理论中的一些要素也进行了简要的讨论。本文中描述的所有随机过程都是在公共随机基础上定义的(Ohm, F、 {Ft}t，P）。1.1.1函数It^o C alculus【31】和【46】中的函数It^o alculus在数学金融中有许多应用。应用范围包括但不限于帕塔希腊人的计算方法。Kratsios，C.Hyndman Deep AF正则化[62]中的依赖期权到[82]中的投资组合理论。基本概念依赖于时间和空间导数算子的非预期和路径依赖扩展。简而言之，这两种延伸都是通过延长任何合适的c’adl’ag路径，特别是通过垂直或水平延伸其端点来构建的。

与经典微积分类似，原始路径的差异与其人工扩展的时间长度之间的极限比接近0。在选择路径的垂直扩展的情况下，可以找到扩展经典导数的导数的概念，恰当地称为空间导数，表示为. 同样，在考虑h水平扩展的情况下，获得时间参数导数的路径依赖扩展；它被称为时间导数，用D表示。使用时间和空间导数，在ac'adl'ag路径的泛函上定义了一个二阶微积分，并在[31]中扩展了[43]中的确定论It^o微积分。然而，与经典It^o演算不同的是，经典It^o演算是针对C1,2（I×Rd）-函数定义的，它在[46]中表明，路径依赖的ent泛函仅允许一个连续的时间导数和两个连续的空间导数是不够的；w此处I，[0，∞) 连续性根据以下度量（xt，ys），supu定义∈[0，s]kxt，s-t（u）- yuk+| s- t |；其中t≤ s和xt，s-t（u）是路径的延伸，该路径与时间t的xtup一致，然后保持恒定值xtuntil时间s，在时间u计算∈ [0，s]。对于这种演算，它还要求路径的泛函有界于在Rd的任何非空紧集中取值的路径的段上。与经典演算类似，满足这些要求的所有非预期路径依赖泛函的集合用C1,2b表示，并且严格包含C1,2（R）作为子集。因此，集合C1,2b描述了所有路径依赖泛函，二阶路径依赖演算在此基础上得到了很好的定义。

有关函数It^o演算的更多详细信息，请参阅[46，5，16]。接下来，将简要讨论随机微分几何的一些相关概念。1.1.2随机微分几何学者，如[8、9、56、34、50、71]，在数学金融中开发了几何建模方法，其应用范围从波动率曲面建模到感兴趣的术语结构。为了使本文发展的理论与这些方法兼容，考虑了随机微分几何建模方法。该理论的一些关键方面，如【33】所述，将总结为fix符号。给定一个具有（潜在时变）黎曼度量gt的d维黎曼m an if old（m，gt）和一个定义为SDEbt=b+Ztu（s，bs）ds+Ztσ（s，bs）dWs的唯一强解的Rd值微分过程，（1）可以以唯一的方式构造一个与gt描述的几何体兼容的m值半鞅；b在哪里∈ Rd.这通常被解释为滚动b强解的存在和唯一性的条件在本文的主体部分进行了讨论。A、 Kratsios，C.Hyndman深度AF正则化12月5日沿M切向，无任何突然移动。通过首先将每个bt（ω）连续关联到与Mand相切的正交基Ut（ω），然后将Ut（ω）投影到M上，可以实现该滚动过程。这一过程取决于更大的流形O（M），该流形是通过与M上每个点相切的所有可能的正交基的粘合而获得的。文献[33]（和文献[51]中针对时间相关的情况）表明，在给定Uand和b的初始选择的情况下，只有一种方法可以将切向过程Utdown投影到M，从而使得到的M值过程与gt描述的几何体兼容。

由此产生的过程，将用βt表示，称为沿M（带初始帧U）的gt水平随机发展。该术语来源于【32】中开发的微分几何方法。[33，51]表明，βt有一个定义良好的二阶微积分，它扩展了Rd上传统的It^o-微积分。此外，对于时间上可一次微分且空间变量上可二次微分的R值函数φ，以下It^o-公式成立，用局部坐标φ（t，βt）=Zt表示φt（s，βs）ds+ZtdXi=1φβi（s，βs）dbis+ZtdXi，j=1φβiβj（s，βs）-dXk=1Γki，j（t）kφβk（s，βs）！d[b]i，jsds，（2）其中Γki，jare表示时间t时（M，gt）的克里斯托夫符号；符号Γki，j将（M，gt）的局部曲率与欧几里德空间的局部曲率进行比较。例如，wh en（M，gt）本身就是欧几里德空间，然后Γki，j（t）=0，因此（2）简化为通常的It^o公式。在这种情况下，可以从（2）中推断出βt=bt（取决于初始数据的选择）。接下来讨论了大型金融市场套利理论的一些背景。1.1.3套利理论【3】中引入的有效市场假说指出，典型的市场参与者无法获得风险更低的利润。有效市场假说已经找到了几个数学公式，如【44，45】所总结。最常用的形式是不带消失风险的免费午餐（NFLVR），如文献[24、23、86]中所述，这是基于[53]的观点。

本质上，在局部有界过程的情况下，NFLVR将套利策略的不存在表示为等价局部鞅测度（ELMM）的存在；也就是说，p概率测度与参考概率测度等价，同时使每个市场资产的价格过程成为局部鞅。然而，从数学上讲，债券市场不同于传统的金融市场，因为它们由无数资产组成，每个潜在到期日对应一个；因此，[24，23]的结果不再适用于其公式要求只有有限数量的资产可交易的情况。相反，在这样一个大型金融市场的背景下，通过考虑策略，在[66，18]中获得了一个令人满意的、具有经济意义的无套利条件，这些策略可以用基于有限市场资产的经典策略的限制来描述。如【18】所示，当市场中的每项资产都是局部有界的，如【24，67】所示，那么theA。Kratsios，C.Hyndman Deep AF正则化[18]中导出的无套利条件归结为等价局部鞅测度的存在性。然而，如果放弃局部有界性假设，则非等价局部鞅测度的存在对于排除无套利仍然有效，但不再必要。最后一点在整个分析过程中都很重要。本文的中心问题焦点现在已确定。1.2无套利正则化问题本文关注的是大型金融市场{Xt（u）}u的建模∈U、 由非空Borel子集U索引 RD；WARE D是一个正整数。

就债券市场而言，在[79，6，36，41]之后，U=[0，∞) 表示所有可能的到期时间的集合，XT（u）r表示到期时间为t，u+t的零息票债券的时间t价格。正如在[79]中观察到的那样，选择与到期时间相关的参数化消除了对时间u的依赖。对于每个u∈ U、 过程Xt（U）将由不可观测的潜在因子过程驱动；就债券市场而言，这一潜在过程将是远期利率曲线。Xt（u）和潜在过程之间的关系将用Xt（u），St（φut，[φu]T；u）φut，φ（T，βT，u）表示；（3） 其中{St（·，·；u）}u∈Ui是一系列将潜在过程编码为资产价格Xt（u）的路径依赖函数，φUt是潜在过程的因子模型，βTar是驱动潜在过程的M值