信用违约金融网络的计算复杂性

定义更新功能F：[0，1]N→ [0，1]NFi（r）：=1如果ai（r）≥ li（r）ai（r）li（r）如果ai（r）<li（r）。A回收率矢量器∈[0,1]如果它是更新函数的固定点，即ifFi（r）=riforall，则称为清除。我们也将清算恢复率向量称为清算问题的解决方案。2.2示例和视觉表示三个银行SN={A，B，C}，绘制为圆形，外部资产ofeA=0，eB=2，andeC=1，绘制为银行顶部的矩形。债务合同被画成蓝色箭头，从作者到持有人，并用概念C进行注释B、 空调B、 CcBA，CDefault成本参数α=β=0.5，除图片外。rArBrClB，ArlB，C（r）=1，andlA，C（r）=。付款为pB，A（r）=，pB，C=，和PA，C（r）=。这是该系统的唯一解决方案。2.3允许CDS的影响添加CDS会显著改变模型的数学特性。最重要的是，银行的资产现在包含formckj、i·rj·（1-rk）以及更新函数F。相反，如果只允许债务合同，资产总是线性和单调的，而金融机构则是分段线性和单调的，这就意味着这组银行违约。然后，我们更新违约银行的集合。通过单调性，这个集合只能随时间增长，我们在atmost | N |步之后终止于一个解。特别地，多项式长度的有理解总是存在的。但正如Rogers和Veraart（2013）所示，该算法仍然有效。因此，算法不一定会终止。事实上，我们在第5节中表明，很难找到一组正确的违约银行。在Schuldenzucker、Seuken和Battiston（2019）中，我们证明了非单调性和默认成本引入的不连续性的组合可以在不存在清算问题解决方案的情况下产生一种情况。

我们反例的想法是，如果一家银行自己持有一张CDS，那么这可能会导致一种情况，即该银行的违约意味着无违约，反之亦然。在网络中，可能会间接出现等效情况。这种不连续性确保了“中间地带”是不可忽视的。在下面的第3节中，我们给出了这类系统的一般构造。我们在之前的工作中考虑了两个重要的特殊情况。首先，如果没有默认成本（α=β=1），则恢复连续性，可以显示第二种特殊情况，即不允许裸CDS，并且保持单调性。在这种情况下，我们收到了一份建设性的存在证明，我们将在第6.2节中说明，它实际上构成了FPTA。2.4近似解如下。定义2（大致清除回收率向量）。LetX=（N，e，c，α，β）是一个金融系统，让ε≥一个称为ε-近似的恢复率向量，该函数仍然可以在集合{r | li（r）=0}的边界处包含不连续性。不过，这很容易规避。εXi∈ 满足条件：ri=1±ε和ai（r）≥ (1 - ε） li（r）ri=ai（r）li（r）±ε和ai（r）<（1+ε）li（r）注意定义F默认的“案例选择部分”和“输出部分”。但当资产与负债大致相等时，银行可以被视为某种容忍。因此，上述定义可能反映了监管机构的回收率空间。这就是为什么ε在产出回报率中用作相加误差，而在比较资产和负债时用作乘法误差的原因。解决方案概念是自然的。证明很简单，因此省略了。提案1。设X=（N，e，c，α，β）为金融系统。1、精确解与0-解相同。如果ε>ε≥0，则任何ε-解也是ε-解。如果F（r）=r±ε，则r是ε-解。3.

如果α=β=1，则F（r）=r±ε当且仅当r是ε-解。如果r是ε-解，那么我们有：ai（r）≥ （1+ε）li（r）=> ri=1±εai（r）<（1- ε） li（右）=> ri=ai（r）li（r）±ε5。如果r是ε-解且li（r）>0，则ri≤ai（r）li（r）+ε。6、rεri<- εri≤ 最大α，βεei=0，然后ri≤ β + ε.在本文中，我们将提出以下附加技术假设。定义3（非退化金融体系）。A财务系统X=（N、e、c、α、β）合同。那就是，尽管我∈ N，ifPj，k∈Ncki，j>0，然后pj∈北卡罗来纳州i、 j>0。需求是每家银行都有一些固定负债，例如对其客户的负债。在非退化金融系统中，我们可以舍入任何精确解，得到多项式长度的ε-解。引理1。设ε>0，并设为非退化金融系统。如果X有一个精确解，那么X有一个大小为ε和X的多项式的ε-解。一些银行，而不是其他银行，通过非退化性和oursenity假设来依赖其回收率。因此，我们可以简单地将其恢复率设置为1。请注意，函数sailiandairiare多项式连续inX，即具有Lipschitz常数的continuous多边形（尺寸（X））. 这是因为EAI、ai和IArelipjci、 j>ai（r）li（r）ai（r）li（r）rMbe这些函数的Lipschitz常数的最大值和1。假设为精确解，假设为δ的倍数：=ε/（M+1），rr±δrr为ε-解，我们对每个i进行区分：o如果ri=1，则定义2中的第一种情况为rsatis。我们有ri=ri±δ=1±ε。里艾（右）里（右）≥Mrai（r）li（r）ai（r）li（r）±Mδ≥ 1.- ε、 因此ai（r）≥ (1 - ε） li（右）。ori<rriri±δai（r）li（r）±δai（r）li（r）±Mδai（r）li（r）±εri<ai（r）li（r）<ai（r）li（r）=ai（r）li（r）±ε<1+ε，即ai（r）<（1+ε）li（r）。Fεfusaly continuous，我们不一定会得到近似的四舍五入固定点。

进一步注意，引理并不意味着所有ε-解都是近似解概念。XδεεXδrrifiririririririri=ai（r）/li（r）=ai（r）/ai（r）。然而，在这种情况下，ε依赖于xin，而本文考虑的是常数ε。对于常数ε，精确解和近似解近似纳什均衡在NP中是偶数，很容易构造例子。3决定解的存在性的复杂性ε解。定理1。对于α<1或β<1的任何固定α和β，以及对于ε有效的αβε-清除α、βXN、e、c、α、β…o如果X有精确解，请返回Yes。o如果X没有ε-解，则返回no。如果两个条件都不满足，则允许任何行为，包括非终止。NP中的成员资格来自引理1，因为它足以决定ε，因此更自然地考虑问题“GivenX，returnYesεNo≤ ε εε随着ε的增加，ε-清除α，β变得（弱）容易，而对于上述非承诺变量，这一点尚不清楚。将问题定义为承诺问题可以避免这些问题。ε-hascleaningα，β问题。我们的降低是因为电路的可满足性。我们将通过集合[0，/4]中包含的恢复率来表示布尔值∪[3/，1]，该集合的低位代表False，高位代表True。然后，我们使用金融系统小工具对输入和门进行编码，并通过添加另一个特殊的金融子系统来强制输出。我们在Daskalakis、Goldberg和Papadimitriou（2009）预防了Gadget。3.1金融系统小工具首先介绍一些用于本节和第4节证明的技术机制。我们将金融系统小工具定义为一个小型金融系统，其中输出银行的回收率以某种方式取决于输入银行的集合。我们可以εε- εε≤ ε<ε问题，我们需要根据x的长度从上方确定{ε|存在ε-解}。

我们留给未来的工作来探索这在多大程度上是可能的。通过简单地识别输入银行和其他银行，将一个小工具“插入”到另一个金融系统中。我们将以此来逐步建立金融体系。定义4（金融系统扩展和小工具）。金融系统x=（N，e，c，α，β）的扩展是指金融系统x=（N，e，c，α，β），因此N 镍∈ NXXeiei公司我∈ Nc0ki，j>i，j/∈ Ni，j∈ Nk公司∈ N∪{}, andc0ki，j=cki，j。我们称之为xnon的xan扩张 如果这适用于foralli，j∈ N、 我们呼叫∈[0,1]Nanε-如果定义2的条件适用于所有i∈ N、 GN，e，c，α，βA{A，…，am} Neaickai，jckj，所有，mj公司∈ Nk公司∈ N∪ {}rA公司∈,ArN\\A∈,N\\ArA∪ rN\\AN\\AGP，N→ {真，假}εεrGonN\\A，P（r）成立。如果XIS是一个金融系统，阿马尔银行在每个银行都写了一份债务合同，然后应用Toxanda，amis a NEWXXGAIAI对于i=1，m、 注意，Xis是N\\A上X的扩展和G的扩展。备注2（应用多个小工具）。Gadgets与fx的修改兼容，fx是xonnandris的ε-解forX的扩展，而restrictionr是xonn的ε-解。现在假设一个gadgetG=（N，e，c，α，β），其中apxgn\\AXGarbitrary其他gadget在顶部。Letε1的ε-解。然后，通过推广，r |是G在N\\A上的ε-解，因此P（r | N）成立。我们的金融系统小工具将有零到两个输入银行，它们将实现使输出银行的恢复率等于输入银行的恢复率的某个函数的属性，直至错误。通过CDS参考建立WeststlRiris。

我们是setcs、 t=1，以确保非简并性和wees≥圆周率∈N、 k级∈N∪{}cks、isrs、rt±εε输入银行，通过图中的虚线轮廓。图2图3）。suvtδ3.2将布尔电路简化为金融系统我们从一个金融系统小工具开始，其中输出银行的回收率大约为0或1。我们将使用它来编码变量。引理2（零一小工具）。对于所有α、β∈[0,1]有一个没有输入银行的金融系统小工具，因此以下情况成立：o存在一个精确解，其中rv=0，其中rv=1rv±εrv±ε验证。考虑图2中的财务系统。我们区分β<1和β=1的情况。β <δ1-βru，rv∈ {（0，1），（1，0）}解。我们证明了在任何ε-解中，rwe haverv=1±ε或rrv=0±ε。要看到这个，letrv<-ε. Thenrv公司≤ 命题1的β+ε和thusau（r）=δrs（1-rv）≥δ(1-ε)(1-β -ε) = 2(1-ε)(1-ε1-β)≥1+ε=（1+ε）lu（r），其中ε的最后一个不等式成立 1.- β. 因此，ru=1±ε，因此av（r）≤ ε、 so rv≤av（r）lv（r）+ε=2ε。如果β=1，则δ=2。很容易再次看到（ru，rv）∈ {（0，1），（1，0）}是精确的εiu，vairairR从定义AIB开始，因为β=1，I=0。与命题1第3部分一样，这意味着ri=Fi（r）±ε=[ai（r）]±ε。即：rv=[（1±ε）（1- ru）]±ε=1- ru±2εru=[2（1±ε）（1- rv）]±ε=[2（1- rv）±3ε，这意味着：rv=1- [2(1 - rv）]±5ε=[1- 2(1 - rv）±5ε=[2rv- 1] ± 5ε (*)我们现在对rv进行案例区分如果rv≥ 1/2，然后[2rv- 1] =2rv- 1，因此(*), rv=1±5ε如果rv<1/2，则[2rv- 1] =0，因此(*), rv=0±5ε。图3将某些阈值以下的小工具utγavδ削减至约0或1。我们将在本节和第4节中使用此cuto off gadget。引理3。<K<L<具有一个输入银行的小工具，该输入银行为所有α、β实现以下属性∈[0,1]：ra≤ K- Θ (ε) => rv=0±ΘεL- Kra公司≥ L+Θ（ε）=> rv=1±ΘεL- K.证据

考虑图3中的小工具，其中我们设置：γ：=1- Kδ：=1- 吉隆坡- Kεra≤ K-εaurγrs- ra公司≥γ- ε- Kε- ε3ε1-K≥- εεε -ε≥εε 因此，ru=1±ε。Nowav（r）=δrs（1-ru）≤ δε ≤2εL-K、 Andrv≤av（r）lv（r）+ε=av（r）+ε≤ av（r）+3εL-K、 ra公司≥ Lεaur≤ γ- L-ε1-L1级-K-4ε1-克鲁≤1.-L1级-K-4ε1-K+ε。Nowav（右）≥ δ(1-ε)1.-1.-L1级-K+4ε1-K- ε= (1-ε)1+（3+K）εL-K≥(1 - ε)(1 + 3ε) = 1 + 2ε - 3ε≥ ε为1+ε 因此，rv=1±ε。ra公司∈（K）-Θ（ε），L+Θ（ε））K、 请注意，该小工具违反了我们的健全性假设，因为输入银行是一个CDS引用，特别是当该小工具应用于其他系统时，健全性假设将成立。图4 NAND小工具vtabon错误项多于输入项。这让人想起第4节中如何规避这种贸易效应的脆弱比较。在本节中，我们使用下面的一个大图。推论1。为所有α、β实现以下属性的银行∈ [0，1]：ra≤ 1/4 => rv=0±Θ（ε）ra≥ 3/4 => rv=1±Θ（ε）。证据K/L/ε1/4 ≤ K- Θ（ε）和3/4≥ L+Θ（ε）和L- K=1/5是一个常数。操作x与y=，（x∧ y） 。引理4。对所有α、β实现以下属性的银行∈ [0，1]：ra≤ 1/4或rb≤ 1/4 => rv=1±Θ（ε）ra≥ 3/4和rb≥ 3/4 => rv=0±Θ（ε）验证。相反地。然后应用图4中的小工具。ra公司≤/rb型≤/ra，rb±εav（r）≥2(1-ε)(1-Θ(ε))≥1+εifε因此，rv=1±ε。假设下一个thatra≥/andrb≥/4、Thenra，rb=1±（ε）和thusrv≤ av（r）+ε≤4Θ(ε)+ε= Θ(ε).rv±ε=> rv≥/ε 因此，如果NAND小工具链的输入在[0，/4]中，则NAND小工具链将产生适当的输出∪[3/,1]. 这就是我们使用重置小工具的原因。我们可以将零一和NAND小工具的集合结合起来表示布尔电路。推论2。CmForχ∈ {0，1}mwriteC（χ）∈ {0，1}表示给定值χα，β的输出值∈,εXN，e，c，α，βmV{a，…，am，v}如下所示：1。χ ∈ {，}mrrai=χifor i=1，m、 2。

如果r是ε-解，则对于所有i，ri=0±Θ（ε）或ri=1±Θ（ε）∈ 五、3、rεi∈ Vχiri≤/χiri≥/然后χv=C（χa，…，χam）。证据Cnodes与待建金融系统中的某些银行合作。我们开始多次应用零一小工具（引理2）并识别这些小工具的输出组将NAND小工具（引理4）应用于输入，并使用门的输出节点识别输出组。属性1满足于零1小工具，属性2满足于i=a，是IVNAND小工具。3.3在我们之前的构造中，降低了布尔电路的解ε赋值存在的可满足性，只留下与满足赋值（如果有）相对应的解ε赋值。请注意，这不能使用其他完全相同的方法来完成。引理5。α、 βα<β<GN，e，c，α，βa∈ 确保以下各项保持不变：1。rv≥/rN \\{a}∈,不适用∪ rN{a}N{a}上的精确解。图5β<方框表示带输出组的小工具。带有空心箭头的虚线将银行连接到作为输入银行的小工具。选择Cuto ffe gadget的参数时，应确保β<K<β+1<L<1均匀分布。sBt2断路器。对于ε 1，在N{a}上没有ε-解r，其中ra≤ 1/4.证据我们区分β<1和α<β=1的情况。如果β<1，执行图5中概述的构造：假设我们像往常一样有一个源库和一个汇库。添加新的bankBand leteB=0和CB、 t=1。均匀间隔施加aBK3β+1Lβ+3β<K<β+1<L<，切割工具的输出误差为Θ（εL-K） =Θ（ε1-β). 调用cuto off gadgetu的输出库，将OR gadget应用到ANDU，并调用输出A。最后，添加CD CA，B=2。朝向物业1，ifra≥/4，然后通过OR小工具（这是通过NAND小工具），我们可以将RA=1设置为与RU无关。

然后，我们可以通过rb=0将dr扩展到其他银行，并相应地设置gadgets中间节点的恢复率。ra公司≤/rε-N{a}上的解。我们在rB上进行案例区分IfrB≥-ε、 然后特别是RRB≥ L+Θ（ε1-β） 如果ε-β.因此，通过CUTO OFF gadget和OR gadget，rA=1±（ε）。但是thenrB≤ aB（r）+ε≤2Θ(ε) + ε < 1 - ε表示ε 1、矛盾orB型<- εrB≤ βε ≤ K-ε1-βε - βru±εrv≤/ra±ε- β.- β回想一下，我们没有假设ε=Θ（1- β） 如果ε 1.- β.aBr公司≥- ε-ε≥εε rB型≥- ε矛盾。α<βeBcAs，B/K3α+1Lα+3α<K<α+1<L<ε1-α同上。我们表明，属性2的遵循方式与上述类似。假设thatra≤ 1/4.orB型≥- εrB≥ Lεε- αrA±ε和thusrB≤ aB（r）+ε≤/5 + 4/·Θ(ε) +ε <-ε表示ε1、矛盾oIfrB<- ε、 我们必须有aB（r）<1+ε和rb=aB（r）±ε≤ aB（r）-(1-αeBε<-- αeBεaBcaseβ=1。我们进一步收到1- (1 - α） eB+2ε=1-(1 - α) + 2ε=3α + 1-(1 - α) - 2ε=K-(1 - α) - 2ε ≤ K- Θε1 - αε - αrA±εaB（r）≥/5 + 4/5(1-ε)(1-Θ(ε))≥ε为1+ε1这意味着RB≥-ε.矛盾布尔电路。定理1的证明，硬度。布尔电路C，应用推论2构建金融系统X，输出银行V对应toC。

应用引理5 toXandv中的系统（这里的“应用”与gadgets的意思相同）来构建扩展的systemX。Letε 1，并为X.Cχrv求解ε-HasClearingα，β≥/xc满足赋值，则任何解toxsatifi esrv=0±（ε），因此εXε-HasClearingα，β必须在此实例中终止，并返回yesif满足，否则不返回。4无违约成本搜索问题的复杂性αβ在这些系统中，我们知道始终存在一个解：定理（Schuldenzucker、Seuken和Battiston，2019，定理2）。任何金融系统（N，e，c，α=1，β=1）都有精确解。计算ε-解的相关近似问题。定理2。ε ε-FindClearing如下，PPAD是否完整：给定一个非退化金融系统x=（N，e，c，α=1，β=1），计算ε-解。该定理立即暗示，除非P=PPAD，否则不存在多项式时间近似方案（PTAS）。ε命题1：对于α=β=1，ε解与更新函数的ε近似执行点相同，即anr∈[0,1]Nsuch thatF（r）=r±ε。进一步注意，由于α=β=1，并且我们假设非简并，F简化为：Fi（r）=1如果cki，j=0j∈ N、 k级∈ N∪ {}海（右）里（右）倒是。现在很容易成为PPAD的成员。定理2的证明，成员。以上考虑，Fis多项式连续。在PPAD中找到多项式连续函数的（Brouwer）执行点（Papadimitriou，1994）。本节其余部分将通过通用电路的还原来显示PPAD硬度。4.1广义电路广义电路（Chen、Deng和Teng，2009）由节点值连接成非平凡定点问题的节点组成。Rubinstein（2018）介绍了图6称为v的广义GAB的ε-解决方案X的网关应具备的条件。