信用违约金融网络的计算复杂性

门Cζ、C×ζ和C>ζ采用附加参数ζ∈ [0, 1].g=Cζ=> x【v】=ζ±εg=C+=> x[v]=[x[a]+x[a]]±εg=C-=> x【v】=【x【a】- x[b]]±εg=C×ζ=> x【v】=ζ·x【a】±εg=C>ζ=> x【a】<ζ- ε => x【v】=0±εx【a】>ζ+ε=> x【v】=1±ε详细比较）。定义5（广义电路和近似解）。广义电路Cζ（常数，无输入），C×ζ（缩放，一输入），C+orC-（加减法，C>ζCζC×ζ，C>ζ，数值参数ζ∈除输入外，还规定了描述电路所需的[0,1]，包括节点、从节点到门的输入和输出的映射，以及涉及的数字参数ζ。ε ≥εxvxv∈,具有输入a和b（如果有）以及输出v的g型门。我们从之前的工作中知道，很难找到ε-解：定理。ε-εg电路广义电路，找到ε-解。4.2将通用电路简化为金融系统我们现在展示如何通过对应于五种门类型的金融系统小工具将通用电路编码为金融系统。任何ε-财务ε第3节的解决方案，我们的小工具都需要更精确，因为我们不仅需要映射∪/,图7恒定小工具vtζ图8逆变器小工具vta，本节中没有默认成本将帮助我们实现更高的精度。在ourgadgets中，除源银行和汇银行外，所有银行的负债将保持不变。

因此，在任何ε-解中，ri=Fi（r）±ε=[ai（r）]±ε。我们最简单的小工具在输出库中建立了一个恒定的恢复率：引理6。ζ ∈,没有实现属性rv=ζ±（ε）的输入组的αβ系统小工具。证据avrζ±εζ±εrv[av（r）]±εζ±2ε。“反转”银行的回收率。Lemma 7（逆变器小工具）。如果α=β=1，则有一个金融系统小工具，带有一个实现属性rv=1的输入银行- ra±Θ（ε）。证据avr±ε- ra公司- ra±εrv【av（r）】±ε=【1】- ra]±2ε=1- ra±2ε。请注意，在第3节中，我们不能将逆变器小工具用作布尔not小工具，因为i）它依赖于假设α=β=1，并且ii）它累积了误差，即一行中有2个逆变器的yieldra±（nε），notra±ε。我们继续使用加法和减法小工具，它们是彼此的微小变体。引理8（求和小工具）。如果α=β=1，则有一个具有两个输入银行的金融系统小工具，实现了属性rv=[ra+rb]±Θ（ε）。图9分别为“a”Bab。s vt'a'B车顶。分别为ab'a和'b。现在应用图9中的小工具。然后：rv=[（1±ε）（1- r'a）+（1±ε）（1- r'b）]±ε=[ra+rb]±3ε注意图9与图4的相似性，图4用于第3节中NAND小工具的构造。的确如果a和b=-a，则执行类似的操作∨¨带相加有点类似于布尔运算”∨”. 请注意，这两种构造需要处理不同的挑战：NAND小工具需要处理默认成本，sum小工具需要在所有输入值上提供正确的求和，而不仅仅是近似的布尔值。引理9。实施不动产rv的两个投入银行的成本=【ra】- rb]±Θ（ε）。证据将反相器小工具（引理7）应用于并调用输出组“a”。将图9中的小工具应用于“a”和“b”：=带式调用输出组“U”。

根据前面引理的证明，我们知道ru=[1- ra+rb]±（ε）。现在将一个反相器应用于u，并调用输出组v。其结果为RV=1- [1 - ra+rb]±Θ（ε）=[ra- rb]±Θ（ε），其中最后一个等式后跟大小写区分。注意，由两个逆变器组成的链大致复制输入。然后我们调整其中一个小工具中的概念。这恰好是一个退化的电脑小工具。引理10。ζ ∈,实现特性rv=ζra±Θ（ε）的αβ系统小工具。证据我们使用第3节图3中的财务系统，γ=1，δ=ζ。我们有RU=1- ra±（ε）类似于逆变器小工具，thusav（r）=ζ（1±ε）（1-(1-ra±（ε））=ζ（1±ε）（ra±（ε））=ζra±（ε）。Andrv=[av（r）]±ε=ζra±（ε）。这里我们使用ζ，ra≤ 1来绑定错误。对于比较门，cuto off gadget（引理3）几乎满足了我们的需要。然而，比较门要求低脆性（ε级）ε恰好是切割工具的另一个化身），以补偿输出误差。引理11。ζ ∈,αβ金融系统小工具，具有一个实现以下属性的输入银行：ra≤ ζ - Θ (ε) => rv=0±Θ（ε）ra≥ ζ + Θ (ε) => rv=1±Θ（ε）验证。C>CεL-KCcCcε<ζ<- cε。如果不是这种情况，我们可以简单地给出恢复速率常数0或1。现在应用一个K=ζ的cuto ff gadget（引理3）-cε和L=ζ+cε，并调用输出gateu。然后应用重置小工具（推论1）Tou并调用outputv。ra公司≤ K-εζ -εru±CεL-K±Cε2cε±/rv±εra≥ ζ + Θ(ε).有了所有的小工具，我们可以连接小工具来表示一个通用电路，并证明PPAD的硬度。定理2的证明，硬度。Θ（ε）-G电路的简化。让我们用g来标识gadget的输出库。

最后，如果一个节点是GATEG的输出，则获取一个ζ=1的缩放小工具的副本（这与连接的两个逆变器相同），并用v标识小工具的输入和输出。在小工具的语言中，此操作可以解释为将构建的财务X×Xvextension应用于除输入外的所有银行的XAT all banks but和缩放小工具的VAND。备注2：。，这意味着所有小工具仍按预期运行。特别是，我们在任何ε-解中都有rv=rg±（ε）。ε rεxvrvε发现这对ε来说很难 1.5确定默认值的复杂性降速计算复杂性的“起源”。对于一个决策和搜索问题如此难以解决的金融系统来说，CDSS到底做了什么？在本节和下一节中，我们将探讨这个问题。为了理解计算复杂性的来源，我们寻找一些方法，例如，这可能已经非常有用了。在某种（近似）解决方案中（近似）违约的银行的最低详细程度。因此，默认集合提供了清算问题解决方案的一种“粗略表示”。定义6。XN，e，c，α，βε≥D 如果有一个ε-解决方案rforxsuch，则所有i∈ N： 我/∈ D=> ai（r）≥ (1 - ε） li（r）i∈ D=> ai（r）<（1+ε）li（r）。在这种情况下，我们称r和Dε相容。我们以与定义ε原因相同的方式放宽了违约的概念，即因为“刀口”违约，资产或负债中的一个小错误可能会决定银行是否违约，从而导致较大的/∈ Dimplyri=1±ε。也可能是那样的AI（r）∈[(1-ε） li（r），（1+ε）li（r））andri=ai（r）li（r）。也就是说，D和r中关于违约的决定不需要一致。在本节的其余部分中，我们将说明计算复杂性不会降低。

相反，计算问题在默认集级别上已经很难解决。我们研究一个决策和一个搜索变量。5.1确定某一银行的违约“是”，即我们应考虑最坏的情况。我们可以考虑任何默认成本参数值的决策问题。如果首先有任何解决方案。由于这不是我们在ε-HasClearingα所感兴趣的，β资产与负债相比要么非常小，要么非常大，因此违约从来都是不明确的。定理3。对于任何固定的α、β∈[0,1]和任意ε1，以下承诺问题是NP完全的：给定一个非退化金融系统x=（N，e，c，α，β），abank i∈ N……oXDi公司∈ D返回是。oXεDi∈ Dreturn无证据。隶属度：通过引理1的证明，如果它是一个精确解和精确可比解，我们得到了一个多项式长度的ε-解，该解通过舍入与ε-相容。因此，检查某个多项式rεi的所有ε-解就足够了∈ Dε默认设置D i ffai（r）<（1+ε）li（r）。C、 考虑推论2中的财务布尔电路系统X和输出VIVCRDAVR<lirv∈ DCεrεDεvTruehave av（r）≥ 1+ε，so v/∈ D、 该定理立即暗示以下问题是NP难问题：给定aa banki，确定ifi∈ D对于某些ε-默认设置。在定理1之后，该问题可能不在NPε讨论中。

特别注意，不清楚如何检查agiven D N是ε-默认集。“∈ D“按”/∈ 如果我们替换DD5.2，找到没有默认成本的默认集ε-解，计算一个与之兼容的默认集，而反之则不太清楚，那么它就是完整的。因此，查找ε-默认集可能比查找ε-解本身更容易。我们将证明事实并非如此。定理4。ε 退化金融系统X=（N，e，c，α=1，α=1），计算ε-默认集。在某些领域中，类似这样的陈述遵循了各自概率的简单硬度）可以被视为纳什均衡的“粗略表示”，类似于完全的纳什均衡，因为纳什均衡可以从其支撑ε重建为一种重建相应ε-解的简单方法，因为资产可能已经包含类似于j（1）的术语- rk），这是第4节中的非线性、非凸/凹。此处，相关银行的资产包含格式条款（1- ra）srs∈- ε、 rsεrs- εrsεrsAs系统中的概念可以是1/ε的数量级，这反过来可能意味着其他银行的回收率会发生较大变化（ε不变）。

不可能存在具有这种回收率的ε-溶液。不是从默认的ε-GCircuitε-default集合重建金融系统的ε-解决方案，而是产生离散的Θ（ε）-GCircuit问题的解决方案。ε必须是多项式，而不是常数，在这个特定示例中，在游戏的大小中。比较工具（引理11）引入了1/ε阶的概念。图10需要在每个闸门处保持的约束（ε-adabany的解决方案）和v g.g=C的输出+=> dg公司∈ {L，M}=> x【a】+x【b】≤ 1 + ε ∧ x【v】=x【a】+x【b】±εdg=H=> x【a】+x【b】≥ 1.- ε ∧ x【v】=1±εg=C-=> dg=L=> x【a】- x【b】≤ ε ∧ x【v】=0±εdg∈ {M，H}=> x【a】- x【b】≥ -ε ∧ x【v】=x【a】- x[b]±εg=C>ζ=> dg=L=> x【a】≤ ζ + ε ∧ x【v】=0±εdg=M=> x【a】=ζ±εdg=H=> x【a】≥ ζ - ε ∧ x[v]=1±ε5.3离散ε-gc电路问题ε-gc电路+，，∞两步：首先，解决PPAD完全问题以确定平衡的组合结构。其次，精确的数字是在多项式ε集中计算的，当我们接近各自的“决策点”时，允许出现歧义，这就给我们留下了三种门类型。Cζ和C×ζ门具有线性约束，因此不需要任何特定的“决策”。定义7。Cε≥εCassigns至各门GOFCA值dg∈ {H，M，L}存在ε-解xforc，图10中的约束适用于每个具有输入SAandB和输出v的网关。在这种情况下，我们称x和dε兼容。εdε>εdε近似解概念，我们认为这表明我们的自洽ε-解概念是自然的。我们将在下面的证明中利用单调性。备注3。如果C是ε-解，我们可以定义一个离散ε-解，如下所示。这种放松对于我们接下来从ε-默认集进行的缩减至关重要。

这不仅仅是因为这里的ε-ε-ε松弛如果g=C+，如果x[a]+x[b]，则设dg=H≥ 1和dg=M，否则如果g=C-, 设dg=L，如果x【a】- x【b】≤ 0，dg=M，否则如果g=C>ζ，出租=L如果x【a】<ζ- 如果x[a]>ζ+ε，则εM=ζ±εH。因此，d是与x相容的离散ε-解。定理5。ε 称为离散ε-gcirciuitProblem，PPAD是否完成：给定一个广义电路，找到一个离散ε-解。证据通过对（连续的）ε-GCircuitproblem的简化，成员资格是明显的。CdεCxvvCconstraints：1。对于每个v，添加约束0≤ x【v】≤ 1.2.gC+C-C> ζ对应于dg的值。3、对于C型ζ或C型ζ的每个闸门，将图6中对应于g型的约束添加到LFP中。LFP是与D兼容的ε-解ε。通过假设，我们可以通过LFP在多项式时间内找到这样的ANX。多项式长度的解。Etessami和Yannakis（2010）在他们对FIXP复杂性类的研究中指出了这一点。为了从我们的证明中看出这一点，让精确解的默认集（由Kakutani的固定点定理存在）并求解ε=0.5.4ε-默认集的LFP通知相应门类型的离散ε-解ε-解，该解将与小工具的任何ε-解兼容。备注4（通过默认集限定恢复率）。

与αβ更详细的情况相反，如果r是与D相容的ε-解ε，那么：/∈ D=> ri=1±2εi∈ D=> ri=ai（r）li（r）±2ε这通过使用ε-解和ε-近似固定点F之间的等效性进行区分。IfGis一个带输入银行的小工具a和P:2N×[0,1]N→ {True，False}是一个属性，我们说gimplementspon default为ε设置if1，任意ε-溶液N\\A和任意D Nε-与r兼容，P（D，r）保持不变。引理12。αβ（引理8）在默认集上实现以下属性：v/∈ D=> ra+rb≥ 1.- Θ(ε) ∧ rv=1±Θ（ε）v∈ D=> ra+rb<1+Θ（ε）∧ rv=ra+rb±Θ（ε）验证。avrrarb±εLVR来自备注4，且事实上rv=[ra+rb]±Θ（ε）。要了解这一点，请回想一下，此组是变频器小工具的输出。在逆变器中∈ D改为考虑逆变器小工具的输入组。引理13（差异小工具的默认集）。让α=β=1，考虑差异小工具（引理9）。让我们用那个小玩意来润滑中间气缸组。然后，gadget在默认集上实现以下属性：u/∈ D=> ra公司- rb型≤ Θ(ε) ∧rv=0±Θ（ε）u∈ D=> ra公司- rb>-Θ(ε) ∧ rv=ra- rb±Θ（ε）证明。aur公司- rarb±εrv- ru±ε语句现在跟引理12一样。对于比较小工具，我们以类似的方式进行，并考虑小工具的默认可能状态。与其他两个小工具相比，我们需要更详细地考虑构造的细节。引理14。默认集上的αβuvfollowing属性：u/∈ D∧ v∈ D=> ra公司≤ ζ + Θ(ε) ∧ rv=0±Θ（ε）u∈ D∧ 五/∈ D=> ra公司≥ ζ - Θ(ε) ∧ rv=1±Θ（ε）u∈ D∧ v∈ D=> ra=ζ±（ε）u/∈ D∧ 五/∈ D是不可能的。证据回想引理11的证明，第一个cuto ff gadget具有参数skζ-cεLζcεc>切割工具（引理3）的定义，这意味着图3中的概念γ=1- K=1- ζ+cεδ=1- 吉隆坡- K=1- ζ+cε2cε=1- ζ2cε+。首先假设U/∈ D

通过定义ε-默认集和lu（r）=1，我们得到-ε ≤ au（r）=γ（1-ra）。重新排列yieldsra≤ ζ -cε+ε（1-ζ+cε）≤ ζ -（c）-2)εε  cru公司≥-εrv≤ avrε≤ δ ·εε- ζ/cε≤/ε v∈ Dvgadget，输出v，rv=0±Θ（ε）。u∈ 德劳尔±εγ- ra±（γ+2）ε。如果现在u∈ D∧ 五/∈ D、 然后1- ε ≤ av（r）≤ δ(1 - ru）≤ δ(1 - (γ(1 - ra）- (γ + 2)ε))= δ - Δγ+Δγra+（Δγ+2δ）ε。重新排列收益率：ra≥δγ-γ+ 1-1 +γ+δγε ≥ L-ε=ζ+（c-4） ε，其中ΔγL- Kγ- Kcourse，rv=1±2ε，因为v/∈ D，因此rv=1±ε。如果u∈ D∧ v∈ D、 然后1+ε≥ av（r）≥ δ(1 - ε)(1 - ru）≥ δ(1 - (γ(1 - ra）+（γ+2）ε）- δε= δ - Δγ+Δγra- (δγ + 3δ)ε.ra公司≤ LεζcεRa以上。要从下面看边界，请注意∈ D、 我们有1+ε>au（r）≥γ(1-ε)(1-ra）。这意味着≥-γ·1+ε1-ε≥-γ(1 + 3ε)≥ K-ε ≥ ζ -（c）-2） ε，其中第二个不等式适用于ε 注意，上述引理中Θ（ε）表达式中的隐式常数并不相同。这就是为什么前面引理中的不同情况会重叠。规定的边界。例如，在caseu中/∈ D∧v∈ D、 我们从thera收到≤ ζ -c-εζ -εra≥ ζε随着离散ε-解的定义，较弱版本的条件ε在以下证明中利用了这一点。利用上述三个引理，我们可以定义一个给定ε-默认集的广义电路的离散ε-解。这证明了我们的定理：定理4的证明。LetCbe为广义电路，letXbe为金融系统cεDεXεD混凝土ε-溶液DOFC。这证明了该定理，因为对于ε来说，很难找到后者 1、我们定义了以下引理。对于C的每个闸门ggC+dgHv∈ 如果v，Ddg=M/∈ D、 oIfg=C-,考虑相应的差异gadget和Ledg=Lifu/∈ Dand dg=M如果u∈ D、 o如果g=C>，考虑相应的比较小工具和Ledg=L如果u/∈ D∧ v∈ DH如果u∈ D∧ 五/∈ DM如果u∈ D∧ v∈ D、 设xε与ε相容的ε-解，并设ε=Θ（ε）为ε本身的最大值。