关于Kelly赌博：一些限制

我们声称基于泰勒的近似模式不能满足这个条件。为了证明这一说法，有必要证明dKTaylor/dγ可以与（0，1）中的ktaylor（γ）呈负相关。实际上，我们计算了kTaylordγ=-ppγ+2（p- 1） γ+p- 1（pγ- p+1），注意分母不能消失。因此，对于γ>γ，wesee dKTaylor/dγ<0*（p） =1.- p+√1.- Pp，对应于分子的零交叉。在图5中，给出了p=0.8时的KTayloris曲线图。很明显，所声称的效率在参数范围γ>γ之间*(0.8) ≈ 0.809.K-4-2K0.010.030.02增长率κGBMκTaylorK*图4：两种股票的约束违反示例γ0 1 2 3 4 50.10.20.30.40.50.60.7图。5： p=0.8III的K泰勒（γ）图。如【10】和【16】所述，与提款相关的负面影响。控制提款，即控制财富从峰值下降到随后的低点，是风险管理人员最关心的问题之一。在本节中，我们首先演示Kelly下注经常导致非常糟糕的提款表现。然后，我们讨论了在该框架内缓解缩编问题的一些方法。

沿任何样本路径V（k），最大百分比下降被定义为asD（k）。=最大值0≤l≤k≤NV（l）-V（k）V（l）。在续集中，我们经常去掉“百分比”这个词来表示简单性。如第1节所述，使用方钻杆分数可能会导致显著的下降，因为其过于激进。为了量化提款可能有多糟，考虑下注N次单币抛投赌博，其中X=1，概率p和X=-1，概率为1-p、 那么很容易证明最大降深的概率大于或等于任意分数K∈ （0，1）由p（D（K）给出≥ K） =1- 请注意。现在，如果我们取N=252，p=0.99，使用最佳Kelly投资分数K*= 2p级- 1=0.9 8，因此最大水位下降超过98%的可能性为92%。也就是说，发生大幅度下降的可能性非常高。使用马尔可夫质量（Markovinequality）进行的类似分析也得出了相同的结论。A、 控制水位下降为了控制水位下降，一种可能的选择是增加概率约束以优化原木生长；i、 e.给定0<ε<1和0<δ<1，考虑约束tp（D（K）≤ ε) ≥ 1.- δ.或者，我们可以使用预期的最大水位降，而不是使用概率约束；i、 e.给定0<ε<1，考虑水位下降约束asE[D（K）]≤ ε.现在，我们重新讨论第2节中使用的示例，n=1，X=0.15，概率p=0.95，X=-0.95，概率p=0.05。K0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8图。6： 与使用最佳分数K相比，预计最大百分比下降*= 0.6667，从图6可以清楚地看到，相应的预期最大水位降为e[D（K*)] = E【D（0.6667）】≈ 0.903 ;E[D（KTaylor）]=E[D（KGBM）]=E[D（1）]≈ 1.0 .这表明近似解会导致几乎确定的破产。现在，反对赌徒addsconstraint E[D（K）]≤ 0.2.

n，基于图6，可以清楚地看到，最佳投资分数K降低到K=K*≈ 0.1.四、 涉及水位下降的研究方向进一步讨论上述水位下降，如果分配向量K是多维的，则可以有一个凸的水位下降约束t，以便将对数增长优化问题视为凹规划，并可以非常有效地解决。为此，在本节中，我们提供了两个涉及最大水位下降的广义凸性的猜想。考虑到动机，考虑单枚硬币的浮动示例，从图6中的单调性可以清楚地看出，期望的ddrawdown是K中的递增函数。因此，对于0<ε<1，E[D（K）]≤ ε导致K的n区间约束是凸的。对于Xi=1且概率p=0.9且Xi=-1，概率为1- p对于i=1，2，蒙特卡罗模拟表明，预期最大降深的约束集定义为凸集；e、 g.，见图7。这导致了以下猜测。K0 0.1 0.2 0.3 0.40.050.10.150.20.250.30.35{K:E[D（K）]≤ 0.2}图7：预期最大降深约束的示例约束1：给定0<ε<1，预期最大降深{K∈ K:E【D（K）】≤ ε} 是凸面的。我们可以考虑最大水位降保持在某一水平ε>0以下的概率集，而不是限制预期的最大水位降。对于同一个二元硬币的flip ping示例，图8显示dr awdown约束集仍然是凸的。这导致了以下猜测。K0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120.020.040.060.080.10.12{K:P（D（K）≤ 0.2) ≥ 0.8}图。

8： 最大降深约束概率示例约束2：给定0<ε<1和0<δ<1，最大降深概率集{K∈ K:P（D（K）≤ ε) ≥ 1.- δ} 是凸面的。虽然我们已经进行了几个蒙特卡罗模拟来支持这些猜测，但鉴于涉及两枚硬币的事实，凸性问题仍然是这些猜测，这些猜测可能对一般情况不成立，我们现在引入一个预期下降的替代物。A、 预期下降的替代项首先注意d（K）=最大值0≤l≤k≤NV（l）- V（k）V（l）=1-\'D（K），其中\'D（K）。=最小0≤l≤k≤NV（k）V（l），确定互补m最大水位降。我们认为这一全面的缩减是一种替代，并使用了URROGRATE constraintlog\'D（K）≥ 日志（1- ε） 因此，下面的引理表明，在这种完全下降约束下，定义了一个凸集。引理4。1： 给定0<<1K∈ K:E[对数（K）]≥ 日志（1- ε)是凸面的。证明：给定0<ε<1，我们得到E[对数D（K）]=E日志最小0≤l≤k≤NV（k）V（l）= E最小0≤l≤k≤NlogV（k）V（l）= E“最小0≤l≤k≤Nk公司-1Xi=llog1+KTX（一）#=ZXmin0≤l≤k≤Nk公司-1Xi=llog1+KTxfX（x）dx。请注意，函数k-1Pi=llog1+KTx在K中是凹的，利用凹函数索引集合上的最小值是凹的这一事实，可以得出E[log'D（K）]是凹函数。因此，集合{K∈ K:E[对数D（K））]≥ 日志（1- ε） }是凸的。备注：由于对数函数是连续的，使用Jensen\'sinequality，我们得到了[log'D（K）]≤ 日志E[(R)D（K）]。现在将两边的指数化，我们得到[(R)D（K）]≥ ex p（E[对数D（K）]）。为了考虑这一界限的紧密性，我们再次以概率p=0.9和N=252的方式重新讨论了单币浮动策略。图9提供了使用蒙特卡罗模拟得到的E[\'D（K）]和exp（E[log\'D（K）]之间的比较。对于这个简单的情况，可以清楚地看到，E[\'D（K）]非常接近exp（E[log\'D（K）]）。

换言之，替代补充缩编可以是一个缩编候选人。五、 结论在本文中，重点是与应用Kellycritrion相关的一些模拟。通过进一步研究，除第3节所述的提款问题外，其他可能性包括修改投资的反馈控制方案Ii（k）=KiV（k）。也许在“控制器”中使用其他变量（如撤销本身）会提高性能。更一般地说，在计划中，将凯利理论与其他风险指标，如夏普比率（见[20]）相结合是必要的。未来研究的一个重要方向是将现有结果扩展到涉及未知外汇（x）的ms问题。例如，当该理论应用于股票交易环境而不是假设已知外汇（x）时，考虑使用anK0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.20.40.60.8E[(R)D（K）]exp（E[log'D（K）]）图9：预期的补充提取及其替代自适应方案以获得时变的K向量是有意义的；i、 例如，随着市场动态性质的变化，投资功能也相应调整。为了简单说明这种适应性模式如何工作，我们考虑了第1节中描述的投币游戏，初始账户值V（0）=1，未知潜在概率p=0.6。现在，不知道p的下注者观察结果X（k），并构建了p的相对频率估计值^p（k），其大小为M<N。前M个步骤构成了不下注的培训期，然后是k≥ M，估计量由^p（k）给出=Mk公司-1Xi=k-Mmax{符号（X（k）），0}。请注意，上面的估计数用于表示中奖赌注的数量。

现在，使用估计值r，我们可以得到投资分数^K（K）=2^p（K）-图10总结了结果。参考文献【1】J.L.Kelly，“信息率的新解释”，《贝尔系统技术期刊》，第917-9261956页。[2] N.H.Hakanson，“关于有无序列相关性的最佳近视投资组合政策”，《商业杂志》，第44卷，第324-3341972页。[3] T.M.Cover，“最大化预期对数投资回报的算法”，《IEEE信息论交易》，第30卷，第369-3731984页。[4] T.M.Cover和J.A.Thomas，《信息论要素》，Wiley，2012年。[5] L.M.Rotando和E.O.Thorp，“凯利标准和股票市场”，《美国数学月刊》，第99卷，第922-9311992页。[6] E.O.Thorp，“21点体育博彩和股票市场中的凯利标准”，《资产和负债管理手册：理论和方法》，第1卷，385-428页。Elsevier Science，2006年。下注编号，k50 100 150 200 250下注编号，k50 100 150 200 2500.20.40.6自适应KellyFixed KellyFig。10： M=50训练赌注的适应性Kelly策略[7]P.Samuelson，“长序列投资或赌博中几何平均值最大化的“谬论”，《国家科学院学报》，第68卷，第2493-24961971页。[8] S.Maslov和Y.C.Zhang，“风险资产的最优投资策略”，《国际理论与应用金融杂志》，第1卷，377-3871998页。[9] L.C.Maclean和W.T.Ziemba《动态投资分析中的增长与安全权衡》，《运筹学年鉴》，第85卷，第193-227页，1999年。[10] L.C.Maclean、R.Sanegre、Y.Zhao和W.T.Ziemba“安全的资本增长”，《经济动力与控制杂志》，第28卷，第937-9542004页。[11] L.C.Maclean、E.O.Thorp和W.T。

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