关于Kelly赌博：一些限制

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英文标题：
《On Kelly Betting: Some Limitations》
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作者：
Chung-Han Hsieh and B. Ross Barmish
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The focal point of this paper is the so-called Kelly Criterion, a prescription for optimal resource allocation among a set of gambles which are repeated over time. The criterion calls for maximization of the expected value of the logarithmic growth of wealth. While significant literature exists providing the rationale for such an optimization, this paper concentrates on the limitations of the Kelly-based theory. To this end, we fill a void in published results by providing specific examples quantifying what difficulties are encountered when Taylor-style approximations are used and when wealth drawdowns are considered. For the case of drawdown, we describe some research directions which we feel are promising for improvement of the theory.
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中文摘要：
本文的重点是所谓的Kelly准则，这是一种在一系列不断重复的赌博中进行最优资源分配的方法。该标准要求财富对数增长的预期值最大化。虽然有大量文献为这种优化提供了理论基础，但本文集中讨论了基于Kelly的理论的局限性。为此，我们通过提供具体示例，量化使用泰勒式近似和考虑财富减少时遇到的困难，填补了已发布结果中的空白。对于下降的情况，我们描述了一些我们认为有希望改进理论的研究方向。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
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2022-6-1 11:44:55 上传

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关键词：Kelly Optimization Quantitative Prescription Applications

关于Kelly赌博：一些限制Schung Han Hsiehand B.Ross Barmish摘要-本文的重点是所谓的Kelly准则，这是一种在一组不断重复的赌博中进行最优资源分配的处方。该标准要求财富的合理增长的预期价值最大化。大量文献提供了此类优化的基本原理。本文首先描述了现有文献中基于Kelly的理论的一些局限性。为此，我们通过提供具体示例，量化使用泰勒式近似和考虑财富减少时可能出现的错误，填补了已公布结果的空白。对于拉下的情况，我们描述了一些我们认为有希望改进理论的研究方向。一、 导言本文的重点是开创性论文[1]中提出的所谓Kelly准则。给定n次赌博，返回g由某个随机向量X覆盖∈ Rn，Kelly的理论指出了一个人在第i次下注时的账户价值。假设K是含有Ki分量的列向量，这个问题的经典公式需要Ki≥ 0表示i=1，2。。。，n和K+K+···Kn≤ 问题公式还包括一个立场假设，即这场赌博是针对X的一次又一次的独立和同分布（i.i.d.）试验，而K是保证生存的。

这个概念将在续集中变得更加精确。注意，帐户值从某个初始级别V（0）>0开始，并让X（k）成为X的第k个结果，通过递归V（k+1）=（1+KTX（k））V（k）顺序描述到终端状态V（N）的演化。出租X Rn表示我们假设为闭合的X的支撑，为了确保满足生存性要求，可容许K必须满足条件Minx∈XKTX公司≥ -此后，为了表示上述约束的总和，我们写下K∈ 注意K是凸的。综上所述，值得注意的是，有许多可能的变化Schung Han Hsieh是威斯康辛大学麦迪逊分校电气与计算机工程系的一名研究生，正在攻读博士学位，邮编53706。电子邮件：hsieh23@wisc.edu.B.Ross Barmish是威斯康星州麦迪逊市威斯康星大学电气与计算机工程系的教员，邮编53706。电子邮件：barmish@engr.wisc.edu.and该问题公式在文献中的扩展。例如，在e上，可以允许Ki>1包含杠杆因素，允许Ki<0建模卖空。最后，我们提到一个最重要的应用是他们的想法：金融市场中的交易和投资组合平衡问题。根据文献[1]中的结果，我们看到了随后几十年来有关该理论各种应用、推广和改进的文献；e、 g.，见【5】、【6】、【10】和【13】。A.

经典的Kelly问题是选择K∈ 使对数增长（K）的期望值最大化=氖日志V（N）V（0）.使用上述V（k）的递归，对数函数的可加性，X（k）处的事实th是i.i.d.，很容易表明预期的对数增长函数减少到t g（k）=E[对数（1+KTX）]=ZXlog（1+KTX）fX（X）dx，其中fX（X）表示概率密度函数f或X。随后，当约束k∈ 包括K，很容易证明最佳的生长*.= 最大值（maxK）∈Kg（K）是K中的凹形程序。为了为上述所有内容提供一个最简单的说明，[1]中的文献考虑了在概率p>1/2和X（K）=-1，概率为1- p、 在这种情况下，fX（x）由Dirac D e lta函数的一组描述，通过直接微分g（K）可以很容易地看出，最优函数K=K*, 由K给出*= 2p级-1.B.为什么使用对数增长？使用Kelly准则比使用termina lwealth E[V（N）]的摩尔经典经验值有许多优点。为了说明为什么会这样，对于n=1，如果E[X（k）]只是“稍微”正的，很容易看出，通过使k为大的Aspermited来获得最佳值；e、 例如，对于赢概率p=0.5+ε的偶数货币赌注，无论优势ε>0多小，最大化e[V（N）]决定使用g K=1。这样的策略可以说是过于激进，无法用于一场在aga之上的游戏。当N较大时，几乎可以肯定V（k）将下降到零；i、 赌徒的毁灭将会发生。与上述E[V（N）]的使用相反，KellyCriterion在使用E[log（V（N）]时，会自动将一定程度的风险因素纳入分析。

对于上述情况，当SMALLε>0时，最佳值为K=2ε，因此更有可能避免赌徒欺诈。考虑到财富的指数增长率，并通过周期优化实现短视期，从而实现最佳对数增长，从而使许多理想的资产成为有力的金融工具；参见【11】，其中给出了理想和不理想属性的良好总结。在这方面，最重要的是：当最佳方钻杆分数Ki增加时，各种风险度量变得大得令人无法接受。因此，文献中还包括许多与“分数策略”相关的论文从本质上讲，这一数量减少了Ki，通常是以特别的方式；e、 g.，见【9】。最后，为了为后面的章节提供进一步的背景，我们提到了文献中的其他相关论文，参见[2]-[8]、[10]、[12]-[14]，并挑出[15]，其具有下面描述的相同控制理论观点。C、 反馈控制系统观点上述问题的表述很容易用经典的feedba C k控制理论来解释。也就是说，我们将V（k）视为一个系统的状态，该系统具有线性费用dback，n个输入对应于赌博的投资水平Ii（k）。也就是说，控制信号的第i个输入由ii（k）=KiV（k）和Ki给出≥ 0被视为费用回收收益。随后，该随机系统的状态通过方程V（k+1）=V（k）+nXi=1Ii（k）Xi（k）V（k）=（1+KTX（k））V（k）更新。这种类型的反馈控制配置如图1所示；参见【17】其中对这种范式的追求更为详细。D

计划后续章节尽管现有文献中提到了基于Kelly理论的局限性，但缺乏具体的例子来说明薄型gscan“运行”的程度为此，第2节集中介绍了文献中用于优化分配向量K的近似方法，如图所示。1： 反馈控制等效于Kelly Bettingsequel，泰勒级数用于逼近对数增长函数，我们发现得到的解可能不可行，或者性能明显低于真正的最优解。此外，我们还表明，近似解可能具有某种“无效属性”，这是不可取的。虽然我们接下来的例子提供了可能发生的“不良”的具体认识，但也应该注意的是，“补救措施”是现成的。也就是说，一些论文，例如，见[3]和[10]，认识到对数增长问题是一个凹规划。因此，不需要近似方法是有争议的，因为有现成的商业代码可以有效地解决手头的问题；参见【18】和【19】。在撰写一些早期论文时，这些代码并不容易获得，作者要么采用近似法，要么开发出自己的算法；见【4】。在第3节中，讨论了一个比近似更严重的问题——财富下降问题。可以说，文献已经认识到，凯利·盖恩斯的结果虽然是对数增长最优的，但在短期内可能过于激进；i、 例如，财富水平V（k）可能下降到令人无法接受的低水平。由于这个原因，如前所述，一些作者通过缩小Ki来求助于所谓的“分数”优化模式；e、 g.，见【9】和【11】。

另一些作者则通过引入约束来减少撤资效应；e、 g.，见【10】。在量化了有关削减的一些负面因素后，在第4节中，我们描述了一些我们认为有希望形成削减问题的研究方向。最后，在第5节中，给出了一些结论，并指出了其他研究方向。二、与近似值相关的负值，以获得最佳对数mic增长率g*如上所述，文献中的一种方法涉及逼近——要么使用对数增长函数的多变量泰勒展开，要么将X（k）视为几何布朗运动并使用低阶展开项；e、 参见[6]、[12]、[13]和[14]。本节的主要目的是指出与近似解相关的一些“陷阱”。虽然基于近似的最优K的封闭式解决方案提供了对风险回报权衡的一定程度的洞察，但文献中并未出现具体示例，这些示例说明了近似方法导致错误结果的情况。可以这样说，当X（k）的变化范围很大时，真正的最佳时间k=k*和相关的对数增长g（K*) 可能与其近似值相差很大。A、 涉及近似的例子我们考虑一个有吸引力的赌博，其中n=1，X=0.15，概率p=0。95和X=-0.95，概率p=0.05。我们把这种赌注称为中央极限意义上的“有吸引力”；i、 e.，由于e[X]=0.095，重复的i.i.d.试验几乎肯定会导致成功。

现在，根据【13】，使用近似值【log（1+KX）】≈ KE[X]-很容易看出，相关的最优投资框架K，称之为κTaylor，由κTaylor=E[X]E[X]=1.4286给出。请注意，此解决方案不可行，因为K∈ 假设为[0，1]。因此，为了保证可行性，为上述approximate解决方案引入了饱和函数。因此，具有饱和度的最佳近似肟溶液callit KTaylor和相关的预期对数增长为followsktaylor=SAT[κTaylor]=1；g（克泰勒）≈ -0.017，其中SAT【x】是饱和函数；i、 e.，f或x<0，SAT[x]=0；对于0≤ x个≤ 1，SAT[x]=x，对于x>1，我们得到SAT[x]=1。另一种方法，例如，参见[6]和[12]，其中X（k）被视为漂移u=E[X]，方差σ=V AR（X）的几何布朗运动。a序列t Taylor近似导致近似解，即k GBM=E[X]V AR[X]=1.6529。类似地，它在限制K下是不可行的∈ [0，1]因此需要饱和。这里，相关的最优近似解称为KGBM，相应的预期对数增长由KGBM=SAT[κGBM]=1给出；克（KGBM）≈ -0.017.与上述两种近似溶液相比，如第1节所述，通过最大化预期对数增长g（K）=0.95 log（1+0.15K）+0.05 log（1），可获得真正的最佳值- 0.95K），通过直接的微分，得到了[0，1]中的可行解和由K给出的最优增长*≈ 0.6667; g（K*) ≈ 0.0404.图2总结了所有三种解决方案。具有讽刺意味的是，基于近似的结果产生了g（K）r a的最小增长，而不是期望的d最大值。可以说，由于违反约束而导致的近似和饱和的结合可能会导致严重的错误。K0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.02-0.010.010.020.030.04KTaylorKGBMK*图。

2： 预期对数增长率为了进一步量化，我们使用r（K）将预期对数增长转化为年化收益率=t（eg（K）- 1).假设每天进行一次，其中t是两次打赌之间的时间，我们取t=1/252，然后，相应的预期年化回报率计算为ber（K*) ≈ 10.384;r（KTaylor）=r（KGBM）≈ -3.443.换言之，近似方案与可能方案进行了性能比较。B、 更现实的例子——以实际库存数据为例——在本例中，我们通过使用一个涉及两种库存的实际数据的例子，进一步考虑与近似值相关的问题：特斯拉汽车公司和IBM在2013年1月2日至2013年5月13日的第九十天期间。我们使用调整后的每日收盘价（见图3）来估计联合概率质量函数，并根据约束K+K对g（K）进行样本约束最大化≤ 1、我们获得*= 1.K*= 也就是说，最佳的原木增长解决方案涉及特斯拉的所有资金，而不涉及IBM的任何投资。现在，假设我们计算基于泰勒的解；i、 e.，κ泰勒=∑-1（X）E[X]=[5.321 2.725]T；κGBM=“”∑-1（X）E[X]=[5.59 9 2.681]t其中∑（X）是X的二阶矩矩阵，‘∑（X）是X的协方差矩阵。注意，由于违反约束，近似解κTaylorandκGBMare不可行。

图4中的真实最优解和近似解与κTaylorandκGBMareseen沿w。考虑到泰勒和GBM解决方案的约束冲突K+K>1，一种标准方法是将这些解决方案投影到约束满足集。也就是说，我们取kTaylor=P roj（κTaylor）≈ [0.661 0.339]T；KGBM=P roj（κGBM）≈ [0.661 0.339]这里P roj（·）是P roj（K，K）给出的投影函数=KK+KKK+Kt对于所有非负K，K，K不同时为K，K=0。然而，应该注意的是，尽管投影过程提供了一种产生可行解的方法，但投影解可能不是最优的。C、 近似解的不足在这一小节中，我们指出了与使用近似解相关的另一个危险。起飞点是金融中广泛使用的以下原则：如果两项投资具有相同的风险，则将放弃价值较小的投资，并被视为“无效”我们声称，使用近似值Ktaylor或Kgbm可能是不够的。我们现在使用ktaylora提供了这样一个示例，并注意到同样的示例也可以用于kgbm。实际上，我们考虑如下描述的随机变量X：给定γ>0，我们有X=γ，概率p>0，X=-1，概率为1- p、 第20 20 40 60 80天时间第20 20 40 60 80天时间图。3： 两种股票价格：TSLA和IBMUsing泰勒近似，作为报酬水平γ的函数，直接计算yieldsKTaylor（γ）=SATpγ+p- 1pγ- p+1.从经济风险角度来看，为了使KTaylor（γ）有效，它应该具有以下特性：当γ≥ γ≥ 0，我们需要K（γ）≥ K（γ）。也就是说，如果与γ相关的赌注提供了与f或γ相同的成功和失败概率的更多回报，那么民族赌徒应该在γbeta上投资至少与γ赌注相同的金额。