隐含波动率的切比雪夫方法

对于这一步，我们使用J¨ackel（2015）中提供的看涨期权函数的实现，该函数具有非常高的精度。6.1算法结构我们的方法允许在线/在线分解：o在线阶段（制备）：在每个区域，我们计算切比雪夫点N×N网格上的隐含挥发度。然后，我们应用具有预先规定精度的chebfun2算法，并获得较低的rankapproximation在线阶段（实时评估）：在线阶段根据实时数据计算隐含波动率，包括买入价格的avector C∈ R和相应的行程K∈ Rn，现货价格S∈ Rn，到期日T∈ r和利率r∈ 注册护士-标准化：我们根据数据计算标准化买入价格c和远期货币X。x>0的期权价格需要转换为货币价格-x按公式（2.3）计算–拆分：对于每对（x，c），我们需要找到相应的区域。由于cmin（x）的计算需要最大的计算量，我们进行如下操作。首先，我们计算cmax（x）并检查c≤ cmax（x）。接下来，我们检查c是否<c（x），最终c是否<c（x）。只有在后一种情况下，我们才计算cmin（x）并检查c≥ cmin（x）–转换：我们通过各自的转换计算转换后的买入价格φi、x（c）和货币性φx（x）。-评估：我们在转换后的看涨期权价格和货币性下，评估theo峈ine阶段提供的二元切比雪夫插值，以获得时间尺度的隐含波动率。联机阶段的运行时间主要由拆分和评估阶段决定。

双变量插值的评估可以以不同的方式进行，并且可以根据所需的精度在很少的计算步骤中进行。为了在求值步骤中获得最佳效率，我们考虑函数f（x，y）的低秩形式的二元切比雪夫插值，N=Pkj=1djcj（y）rj（x），其中rj（x）和cj（y）是秩与N的单变量切比雪夫插值。更精确地说，rj（x）=N-1Xi=0aiTi（x）和cj（y）=N-1Xi=0biTi（y）切比雪夫多项式T，T。。。，田纳西州-1可以用不同的方法计算，例如Tk（x）=cos（k cos-1（x））或通过迭代公式T（x）=0，T（x）=1，Tk+1（x）=2xTk（x）- Tk公司-1（x）。结果表明，对于大数据集，切比雪夫多项式的迭代求值比余弦公式更有利，因为在求值cos和cos时只涉及简单的加法和乘法-1稍微慢一点。因此，我们在实现中使用这种方法。在设置切比雪夫方法以达到预先规定的精度后，我们获得了四个区域的低Rankaproximation。表6.1显示了三种特定精度的低秩插值运算符的秩k和网格大小N，no10-6（低精度），-9（中等精度）和10-12（高精度）。正如预期的那样，为了获得更高的精度，列组和网格大小更高。

此外，我们观察到，我们需要在区域I和区域I\'中使用更多插值节点，以获得与区域II和区域III相同的精度水平。区域低精度中精度高精度区域I k=10，N=25，N=36 k=16，N=46，N=79 k=22，N=67，N=122区域I’k=9，N=27，N=18 k=16，N=51，N=39 k=23，N=77，N=57区域II k=6，N=21，N=20 k=11，N=36，N=33 k=14，N=51，N=47区域III k=5，N=11，N=9 k=7，N=17，N=14 k=9，N=23，N=19表6.1：不同区域中的低阶切比雪夫插值的秩k和网格大小N，Nof，用于三个不同级别的预先规定精度。7数值结果我们将我们的近似方法与oJ¨ackel（2015）方法、oLi（2008）中给出的近似公式、oLi（2008）中给出的近似公式以及两个Newton Raphson迭代的拟议改进、oNewton Raphson算法以及Manaster和Koehler（1982）中给出的起点进行了比较。如果| vn，则算法终止- 越南-1| < 10-为了做到这一点，我们首先选择一个所有方法都可以应用的域，并比较产生的错误和运行时（第7.1节）。在完整域D上，我们将所提出的方法与J¨ackel（2015）方法和Newton-Raphson算法进行比较，这些方法是唯一可以应用于该集合的方法（第7.2节）。最后，我们包括实际市场数据（第7.3节）。所有代码都是在Matlab R2014a中编写的，实验是在一台配备Intel Xeon CPU、3.10 GHz、20 MB SmartCache的计算机上运行的。7.1域数据的比较所有方法都适用的域是Li（2008）的域，以vmin（x）为界，即D：=-0.5≤ x个≤ 0.5, 0 ≤ v≤ 1，最大值|x |，vmin(-|x |）≤ v关于Li（2008）域和切比雪夫方法域的比较，见图7.1。

在Dwe上，计算1000×1000网格上的标准化买入价格，其中点的分布如第3节的数值示例所示。我们比较了时间标度波动率中的运行时间和错误v：=| v-vimp |和重新定价错误c：=| c（x，v）-c（x，vimp）|的方法。图7.2显示了错误参考方法之五。图7.3显示了切比雪夫方法在三种不同的预先规定精度下的误差-6-5-4-3-2-1单一性X01234567时间标度波动率极化区域D2D1切比雪夫方法域提升图7.1：切比雪夫插值域（红色）、Li域（黄色）和两者的域作为区间。J¨ackel（2015）方法为所有输入参数提供了接近机器精度的解决方案，因此可以作为我们在切比雪娃近似法oêine阶段的参考方法。牛顿-拉斐逊算法也达到了很高的精度。然而，Li（2008）的近似值无法达到相同的精度范围。如表7.1所示，σ的平均误差甚至比J¨ackel近似值高出10倍。建议使用两个额外的牛顿-拉斐逊步骤对Li（2008）进行修改，以减少误差。然而，对于低挥发性，影响相当小，最大误差仍在10范围内-5，见表7.1。图7.3显示了切比雪夫方法在三种不同的预定精度下的插值误差。

整个插值域的误差是相同的，这表明在相同的复杂度下，所有输入参数都可以达到预先规定的精度。图7.2：错误v：=| v- 参考方法vimp图7.3：错误v：=| v- 切比雪夫方法的vimp，具有三种不同的预先规定精度。表7.1显示了时间标度波动率和标准化看涨期权价格方面的最大和平均误差，以及运行时间与Newton Raphson方法运行时间的比例，即1.45s。对于切比雪夫方法，运行时测量在线阶段的时间。在比较运行时时时，Li方法是最快的。然而，它的精度最低，σ的最大误差为3.26·10-3、对于10范围内的更高精度-结果表明，低精度的切比雪夫方法比改进的李方法更快。比较平均值，切比雪夫方法同样适用于中等精度。对于非常高的精度，具有高精度的切比雪夫方法比牛顿-拉斐逊方法更快。

与J¨ackel方法相比，切比雪夫方法速度快两倍，但最大误差为10-11而不是10-14、方法最大值|σ|平均值|σ|最大值|c |平均值|c | runtimeJ–ackel 2.80·10-144.57 · 10-161.67 · 10-159.99 · 10-171.39Li 3.26·10-33.42 · 10-42.15 · 10-49.43 · 10-50.12Li，牛顿-拉斐逊2.02·10步-56.12 · 10-91.10 · 10-63.89 · 10-100.63Newton-Raphson 2.05·10-106.32 · 10-142.91 · 10-111.00 · 10-14切比雪夫法（低精度）1.52·10-51.40 · 10-64.91 · 10-63.94 · 10-70.40切比雪夫法（中等精度）3.20·10-82.17 · 10-93.52 · 10-95.92 · 10-100.55切比雪夫法（高精度）4.88·10-114.78 · 10-121.51 · 10-111.41 · 10-120.67表7.1：域D上的插值误差和运行时。7.2域DW上的比较我们将大域DT上的切比雪夫方法与牛顿-拉斐逊方法和J¨阿克尔算法进行比较。计算了第7.1节规定的1000×1000网格上的误差和运行时。图7.4和7.5说明了参考方法和切比雪夫方法产生的误差。

较大域上的误差行为观察值与较小域D上的误差行为观察值一致，见图7.2和图7.3。图7.4：错误v：=| v- 参考方法vimp图7.5：错误v：=| v- 参考methodsTable 7.2的vimp |显示了最大和平均误差，以及7.1中缩放的运行时。这里，牛顿-拉斐逊方法需要4.29秒。方法最大值|σ|平均值|σ|最大值|c |平均值|c | runtimeJ–ackel 5.30·10-135.35 · 10-152.55 · 10-157.10 · 10-170.52Newton-Raphson 8.34·10-86.64 · 10-121.94 · 10-111.28 · 10-15切比雪夫法（低精度）2.55·10-51.85 · 10-64.63 · 10-61.42 · 10-70.14切比雪夫法（中等精度）4.42·10-82.38 · 10-94.02 · 10-91.36 · 10-100.16切比雪夫法（高精度）1.66·10-101.32 · 10-111.52 · 10-114.83 · 10-130.20表7.2：域D上的插值误差和运行时，在最大误差范围10内达到中等精度-切比雪夫方法比牛顿-拉斐逊方法快六倍多。此外，切比雪夫方法能够达到更高的精度10-而且仍然只需要牛顿·拉斐逊时间的20%。阿克尔的方法达到了非常高的精度，比牛顿-拉斐逊的方法更快。与J¨ackel方法相比，切比雪夫方法允许我们预先指定精度并显著减少运行时。例如，如果精度在10范围内-切比雪夫方法效率很高，比J¨ackel方法快三倍多。7.3市场数据比较在第3.1节中，我们调查了期权的市场数据，并得出结论，很大一部分期权不在Li（2008）的范围内。这就是为什么要为切比雪夫方法考虑更大的插值域。

实证调查证实，图3.2所示的所有选项都在我们的领域内。接下来，我们将这个市场数据上的切比雪夫方法与牛顿-拉斐逊方法和J¨ackel算法进行比较。误差和运行时间是针对2017年7月17日交易的标准普尔500指数期权计算的（来源：汤森路透Eikon）。我们使用与图3.2相同的选项。为了获得更可靠的运行时比较结果，我们计算了5000次选项的隐含波动率。表7.3显示了最大和平均误差以及第7.1节中规定的运行时。这里，牛顿-拉斐逊法需要5.72秒。方法最大值|σ|平均值|σ|最大值|c |平均值|c | runtimeJ–ackel 8.05·10-161.40 · 10-162.11 · 10-152.43 · 10-160.89牛顿-拉斐逊1.78·10-102.91 · 10-127.72 · 10-122.22 · 10-13切比雪夫法（低精度）1.57·10-52.95 · 10-64.44 · 10-64.78 · 10-70.37切比雪夫法（中等精度）4.19·10-83.87 · 10-93.45 · 10-93.98 · 10-100.48切比雪夫法（高精度）1.73·10-112.21 · 10-122.70 · 10-122.91 · 10-130.58表7.3：标准普尔500指数市场数据的插值误差和运行时。结果与第7.2节的结果相似。切比雪夫方法是三种方法中速度最快的，达到了目标精度。对于类似的精度，该方法的速度大约是Newton-Raphson方法的两倍。同样，J¨ackel的方法达到了非常高的精度，但它比切比雪夫方法慢得多。除了观察到的效率增益外，切比雪夫方法还具有概念上的优势。它在一个简单的多项式结构中提供了一个闭式近似。该代码易于实现和维护。此外，该方法还可以应用于类似结构的其他问题。

以下部分说明了这种灵活性。8拉普拉斯隐含波动率除了Black-Scholes隐含波动率之外，还有其他几种具有隐含波动率的模型。为了克服Black-Scholes模型中的细尾问题，Madan（2016）提出将正态分布的密度替换为拉普拉斯密度。这导致了一个尾巴更肥的模型，而无需添加额外的参数。该模型中的股价过程由t=Sexp定义（r）- q） t+Xt+日志1.-σt,（8.1）式中，Xt根据随时间变化的拉普拉斯密度g（x，t）=σ分布√2te-√2 | x |σ√t、 x个∈ R、 （8.2）模型中的买入价由C（S、K、R、q、t）给出=e-qtSe公司-(√2.-σ√t） | d|1+σpt/2- e-rtKe公司-√2 | d |，d>0Ke-rT公司e-√2 | d|- 1.- 硒-qte-(√2+σ√t） | d|1.- σpt/2- 1., d<0，d=对数（K/S）σ√t型-（r）- q）√tσ-日志（1-σt）σ√t、 Madan（2016）表明，该模型可用于对冲目的，优于Black-Scholes模型中的classicaldelta对冲。Madan和Wang（2016）考虑了该模型在风险管理中的应用。无论是套期保值还是风险管理，都需要有一个快速准确的拉普拉斯隐含波动率公式。为此，我们将二元切比雪夫方法应用于基于拉普拉斯密度的隐含波动率。与前一种情况一样，我们通过设置v=σ来规范化买入价格√T，x=对数（Se（r-q） T/K）和C（S、K、r、q、T）=pSe-（r+q）TKc（x，v）toc（x，v）=e-(√2.-v） | d |+x/2（1+v/√2) -e√2 | d|-x/2，d>0e-x/2e-√2 | d|- 1.- ex/2e-(√2+v）| d|1.- 五/√- 1., d<0（8.3），其中d=-十五-日志（1-v） v.与第2.1节类似，我们因此将近似问题简化为二元插值。对于域0.25≤ v≤ 1.-0.4≤ x个≤ 0，我们对拉普拉斯隐含波动率进行了二元切比雪文插值。在插值节点处，使用Brent-Dekkeralgorithm计算隐含波动率。

图8.1显示了N×N-Chebyshev网格上插值的指数误差衰减。插值已在10的区域内-11对于N=50。这显示了拉普拉斯模型中该方法的高潜力，与第3节中的数值示例相当。为了在更大的领域获得更高的效率，可以通过利用拉普拉斯调用价格的极限行为，建立具有适当标度函数的拆分程序，按照第4.0-0.1-0.2x-0.3-0.40.20.4v0.60.8节的精神，10-1101.50.511插值误差10 20 30 40 50 60 70 80 90 100插值误差10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2图8.1：N切比雪夫网格上拉普拉斯隐含波动率双变量插值的指数误差衰减0.25≤ v≤ 1.-0.4≤ x个≤ 0。对于N=50，误差已经在10范围内-11.9结论我们引入了一种新的近似方法来计算隐含波动率。该方法的核心是二元切比雪夫插值。我们建立了一个interpolationdomain，它能够根据观察到的市场数据涵盖所有相关选项。为了获得最高的效率，我们使用适当的缩放函数将域分割为不同的插值区域。理论误差分析表明，次指数收敛和低秩技术的结合允许我们提高观测效率。与其他非迭代近似方法相比，切比雪夫方法能够覆盖所有相关的期权数据，包括深入和远离货币期权以及低波动率和高波动率，见图3.2和图7.1。此外，数值实验表明，切比雪夫方法在公共域D上获得了相当高的精度。