隐含波动率的切比雪夫方法

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英文标题：
《The Chebyshev method for the implied volatility》
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作者：
Kathrin Glau, Paul Herold, Dilip B. Madan, Christian P\\\"otz
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The implied volatility is a crucial element of any financial toolbox, since it is used for quoting and the hedging of options as well as for model calibration. In contrast to the Black-Scholes formula its inverse, the implied volatility, is not explicitly available and numerical approximation is required. We propose a bivariate interpolation of the implied volatility surface based on Chebyshev polynomials. This yields a closed-form approximation of the implied volatility, which is easy to implement and to maintain. We prove a subexponential error decay. This allows us to obtain an accuracy close to machine precision with polynomials of a low degree. We compare the performance of the method in terms of runtime and accuracy to the most common reference methods. In contrast to existing interpolation methods, the proposed method is able to compute the implied volatility for all relevant option data. In this context, numerical experiments confirm a considerable increase in efficiency, especially for large data sets.
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中文摘要：
隐含波动率是任何金融工具箱的关键元素，因为它用于期权报价和对冲以及模型校准。与布莱克-斯科尔斯公式相反，它的反比，即隐含波动率，并不明确可用，需要数值近似。我们提出了一种基于切比雪夫多项式的隐含波动率曲面的二元插值方法。这产生了隐含波动率的闭合形式近似值，易于实施和维护。我们证明了一个次指数误差衰减。这使我们能够使用低阶多项式获得接近机器精度的精度。我们将该方法在运行时间和准确性方面的性能与最常见的参考方法进行了比较。与现有的插值方法相比，该方法能够计算所有相关期权数据的隐含波动率。在这种情况下，数值实验证实了效率的显著提高，尤其是对于大型数据集。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> The_Chebyshev_method_for_the_implied_volatility.pdf (2.35 MB)

2022-6-1 11:47:55 上传

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关键词：切比雪夫 波动率 Quantitative Applications Computation

隐含挥发物的切比雪夫方法卡瑟林·格拉，保罗·赫罗德，迪利普·B·马丹，克里斯蒂安·P¨otz1，*德国慕尼黑技术大学，马里兰大学罗伯特·H·史密斯商学院2017年10月6日摘要隐含波动率是任何金融工具箱的关键元素，因为它用于期权报价和对冲以及模型校准。与BlackScholes公式相反，其逆项，即隐含波动率，并不明确可用，需要数值近似。我们提出了一种基于切比雪夫多项式的隐含波动率曲面的二元插值方法。这产生了隐含波动率的闭合近似值，易于实现和维护。我们证明了一个次指数误差衰减。这使我们能够使用低阶多项式获得接近机器精度的精度。我们比较了该方法在运行时和准确性方面与最常见的参考方法的性能。与现有的插值方法相比，该方法能够计算所有相关期权数据的隐含波动率。在这种情况下，数值实验大大提高了效率，尤其是对于大型数据集。关键词Black-Scholes隐含波动率、实时评估、切比雪夫多项式、多项式插值、拉普拉斯隐含波动率MSC 2010:91G60 90-08、65D051激励自Black-Scholes（1973）和Merton（1973）引入期权定价模型以来，Black-Scholes公式在金融业已无处不在。模型中无法使用市场数据观察到的一个参数是基础资产过程的波动性。

Black-Scholes看涨期权价格函数的波动率是严格单调递增的。因此，对于每个观察到的看涨期权价格，都有一个独特的波动性，从而得出的模型价格等于市场价格。这被称为隐含波动率，是金融中最重要的数量之一。隐含波动率可以被视为日常交易、对冲、模型校准和风险管理中的通用语言。通常，交易台*作者要感谢毕马威风险管理卓越中心对他们的支持。以隐含波动率而非绝对价格报价期权价格。这使得交易者可以比较股票、指数、货币或大宗商品等不同基础的期权价格。特别是对于高频交易，需要对大型数据集的隐含可用性进行非常准确的实时评估。正如Baumeister（2013）和Salazar Celis（2017）在实践中所述，大型数据提供商往往需要实时反转数百万期权价格。此外，最常见的衍生品对冲策略，即所谓的delta对冲策略，需要隐含波动率。它用于推断期权价格相对于基础现货价格的敏感性，即期权的delta。Onetakes在基础资产中与delta相反的位置作为对冲。自20世纪70年代以来，引入了各种各样的资产价格模型，对布莱克-斯科尔斯模型进行了推广和改进。通常，这些模型由符合观察期权价格的多个参数确定。在该模型校准的背景下，隐含挥发分进入目标函数。与其最小化模型和市场价格的差异（例如二次差异），不如使用相应隐含波动率的差异。

这是一种方便的标准化，因为从资金深处到资金之外的选项都被转换为相同的规模。出于校准目的，隐含波动率需要快速可用，尤其是考虑到日常处理的日内重新校准。根据所采用的定价程序，准确性需要达到中等或高。此外，隐含波动率函数的闭合形式是有利的，因为它允许实现基于梯度的优化例程。不幸的是，这个反问题的解没有明确的形式，因此需要一种数值近似方法。由于隐含波动率函数是任何金融工具箱的关键元素，因此需要特别小心。该方法必须允许计算所有不同市场中期权的隐含波动率。因此，必须包括波动性很低或很高的期权，以及资金从远远超出资金范围到深入资金范围不等的期权。因此，该方法必须覆盖大量的输入变量。为了满足不同应用的需要，该方法应能满足给定精度要求。即使对于非常大的数据集，该方法也必须能够对隐含波动率进行准确的实时评估。鉴于隐含波动率是优化程序的一个组成部分，应使用可访问的衍生工具以闭合形式给出近似值。最后，该方法应易于实现和维护。

关于这个问题的论文有一长串。确定隐含波动率的第一类方法是迭代寻根法，如牛顿·拉斐逊、Matlabs隐含波动率函数blsimpv、J¨ackel（2006）和J¨ackel（2015）的迭代法。第一种方法可以追溯到Manaster和Koehler（1982年），他们证明可以应用NewtonRaphson算法计算隐含波动率。blsimpv函数是Matlab财务工具箱的一部分，使用基于Brent Dekker的迭代方案。对于较大的数据集，blsimpv函数变得非常慢，牛顿-拉斐逊算法高度依赖于迭代的起始值。对于许多标准参数，itoften收敛速度很快，但对于更极端的参数，迭代步骤的数量会显著增加，见第7节。为了克服这个问题，J¨ackel（2006）利用了标准化callprice的极限行为来提供更好的初始猜测，从而减少了修改后的Newtonmethod中的迭代步骤。在J¨ackel（2015）中，通过对初始猜测的有理近似和对迭代的Householder方法，进一步改进了该方法。这进一步减少了迭代步骤的数量。该方法的一个缺点是，它带来了相对复杂的实现负担，因此维护成本很高。初始猜测的生成已经依赖于Delbourgo和Gregory（1985）的有理三次插值和转换信息，这对误差函数的精度和正态分布的反演非常敏感。计算隐含波动率的第二类方法是非迭代近似方法。

这些方法很受欢迎，因为它们提供了o隐含波动率的快速计算、o易于实现和维护、o封闭式表达式、o公式的简单解释。首先，已经开发了at-the-money和后来的近金钱选项的分析近似值。通常，这些方法依赖于货币上的买入价格的一系列扩展。Brenner和Subrahmanyan（1988）、Chance（1996）、Corrado和Miller（1996）、Chambers和Nawalkha（2001）以及Loriget al.（2014）的近似公式就是一个突出的例子。通常，这些方法都会因缺钱选项的性能不佳而受到影响。最近，Li（2008）、Pistorius和Stolte（2012）以及Salazar Celis（2017）开发了隐含波动率的理性近似。不幸的是，后者为其设置插值的领域非常有限，并且排除了实际中发生的期权价格。特别是，波动性相对较高或较低的期权无法处理。例如，图1.1显示了2017年6月20日交易的DAX指数期权的货币性和隐含的时间标度波动性（来源：汤森路透Eikon）。在本例中，仅涵盖85%的看跌期权和92%的看涨期权。虽然该领域是为股票期权设计的，但即使在这种情况下，该公式也不能应用于所有相关合同。

此外，对于Li（2008）和Salazar Celis（2017）的方法，还需要额外的迭代牛顿步骤来实现高精度的旋流器加工精度。moneyness x-0.5 0.5 1 1.5<pT00.10.20.30.40.50.6 Limoneyness x-0.5 0.5 1<pT00.10.20.30.40.5 Limoneyness x-0.5 0 0.5 1<pT00.10.20.40.5 Limoneyness x区域未涵盖的DAXoptions上的看涨期权图1.1：moneyness x和时间标度波动率σ√2017年6月20日DAX期权的T。我们只考虑交易量为正的情况。本文采用切比雪夫插值方法，对隐含波动率曲面进行多项式逼近。因此，隐含波动率的近似继承了切比雪夫插值的吸引人的特性，即近似是高效、稳定和易于实现的。这有助于反转标准化的买入价格，从而得出二元切比雪夫插值近似值的维数。为此，我们使用MATLAB软件包chebfun（www.chebfun.org）中提供的算法，该算法利用了问题的低阶结构。因此，该方法能够以高精度快速计算隐含挥发分。为了涵盖所有相关期权，必须进一步研究看涨期权价格面的形状。我们观察到买入价格几乎呈线性的区域，以及买入价格波动剧烈的区域。为了优化不同区域的处理，我们引入了域分裂。在flat区域，我们通过引入适当的变换来探索极限行为。我们证明了插值的误差以次指数级的速度衰减，并给出了一个明确的误差界。

将该方法调整到任何预设精度，以获得最佳效率，这是向前迈进的。此外，隐含波动率函数由多项式表示，因此非常容易处理。让我们强调一下，这个过程更一般，也可以应用于类似的问题。为了说明这一点，我们基于拉普拉斯密度函数而非Madan（2016）引入的正态分布来近似市场模型中的隐含波动率。本文的其余部分如下。在第2节中，我们回顾了我们的方法所依赖的规范化调用价格和切比雪夫函数。在第3节中，我们介绍了一种基于切比雪夫诺低阶插值的隐含波动率的简单双变量插值。我们强调了该方法的潜力，并表明我们可以在较少的插值点数量下达到接近机器精度的最大误差。在第4节中，我们介绍了一个更大的域上的二元插值，该域包括非常低和非常高的波动率，以及深入的货币期权和远离货币期权。在第7节中，我们展示了该方法的快速性和准确性，并将其与Newton Raphson、Li（2008）和J¨ackel（2015）的方法进行了比较。我们在最后一节讨论拉普拉斯市场模型中隐含波动率的近似值。2准备工作2.1规范化的Black-Scholes价格如上所述，隐含波动率取决于参数S、K、T、r和期权溢价。

根据五个变量插值函数的计算效果很有挑战性。幸运的是，我们可以使用给定asc（x，v）=exΦ的标准化买入价格，降低J¨ackel（2015）中所述的维数十五+五- e-xΦ十五-v（2.1）x=对数（SerT/K）=rT+对数（S/K）v=σ√T在这种情况下，x衡量货币性（如果x<0，则选项不在货币范围内，如果x，则选项在货币范围内≈ 0，在货币中，如果x>0），v对应于时间标度波动率。我们有C（x，v）=C（S，K，T，r，σ）pSe-rTK（2.2）此外，货币内期权的买入价格可以用货币外期权的买入价格来表示，即(-x、 v）=c（x，v）+e-x个- 例如（2.3），因此域可以减少到x≤ 因此，买入价格被标准化为[0，1]中的值。因此，为了计算买入价C的隐含波动率σ，可以使用标准化买入价C.2.2切比雪夫插值函数f的多项式插值来求解v的方程（2.1）[-切比雪夫点中的1，1]xk=cos（kπ/N）由f（x）给出≈ IN（x）：=NXj=0ajTj（x），aj=0<j<NNNXk=0f（xk）Tj（xk），（2.4），其中Tj（x）=cos（j cos-12（x））和P表示第一个和最后一个总和减半。如果函数具有Bernstein椭圆Eρ的解析扩展，则误差呈指数衰减，参见Trefethen（2013）的定理8.2。在实践中，这通常会产生接近机器精度的近似值，且插值阶数较低。

再加上稳定的实现，参见Higham（2004），这些是我们将利用的切比雪夫插值的关键优势。单变量切比雪夫插值允许基于张量的二维扩展。A函数f：[-1, 1]→ R可以用插值f（x，y）来近似≈ IN，N（x，y）：=N-1Xi=0N-1Xj=0aijTi（x）Tj（y）。（2.5）二维系数由aij=0<i<NN0<j<NNNXk=0NXk=0f（xk，yk）Ti（xk）Tj（yk）给出。同样，如果函数在二维Bernstein椭圆上具有解析扩展，我们会得到次指数误差衰减，请参见Sauter和Schwab（2010）。（2.5）的张量方法支持维度诅咒：为了以与单变量情况相同的比例减少误差，求和数的数量和复杂性呈二次增长。因此，开发了更有效的二元切比雪夫插值。特别是，在chebfun2中实现的Townsend和Trefethen（2013）算法协调了二元函数的高精度和高效率的对立目标。它依赖于具有完全旋转的高斯极限来找到最佳低秩k近似值。这导致tof（x，y）≈ fk（x，y）：=kXj=1djcj（y）rj（x），其中cj和rj是阶数和N的一维切比雪夫插值。这可以实现结果插值的矩阵表示。3近似方法简介我们介绍了使用切比雪夫节点对隐含波动率函数进行直接插值。二维切比雪夫插值需要在矩形上定义函数[-1, 1] × [-1, 1]. 对于隐含波动率v（x，c），这不是先验的。