隐含波动率的切比雪夫方法

变量x可以很容易地限制在某个区间x∈ [xmin，xmax]可转换为[-1，1]通过线性变换Д，Д：[xmin，xmax]→ [-1，1]带Д（x）：=1- 2·X最大值- XXX最大值- xmin。（3.1）相反，c的最大域依赖于x，因为x<0，上限由ex给出。直观的方法是选择ξ∈ [ξmin，ξmax]对于给定的moneynessx，c=ξex∈ [xmin，xmax]并将所得间隔[ξminex，ξmaxex]缩放至[-1，1]通过线性变换。如果ξminis未选择接近0，则该域上的二维切比雪夫插值可提供有希望的结果。对于第一个数值示例，我们计算xmin=-5，xmax=0，ξmin=0.05，ξmax=0.8。然后我们选择一个50×50切比雪夫网格（～xij，～cij）∈ [-1，1]并通过设置xij将点转换到域：=xmin+（~xij+1）（xmax- xmin）和cij：=ξminexij+（￠cij+1）（ξmaxexij-ξminexij）。在这些点上，我们使用J¨ackel（2015）的方法计算隐含波动率，并应用chebfun2算法。为了确定插值误差，我们定义了间隔[xmin，xmax]内100个点的等距网格。对于固定x，v中的区间界限定义为vmin（x）=vξminex，xandvmax（x）=vξmaxex，x. 对于固定等距网格中的每个x值，确定在[vmin（x），vmax（x）]中均匀分布的100个点。这导致（x，v）空间中的100×100点作为参考点，我们计算标准化买入价格c（x，v）。对于每种参考均价，我们使用双变量切比雪夫方法计算隐含波动率。图3.1显示了这种方法的性能非常好。

最大误差低于10级-7对于N=N=N=50，在N.0-1-2-3x-4-501v234#10-7100.20.40.80.6插值误差20 40 60 80 100 120 160 180 200插值误差10-1610-1410-1210-1010-810-610-410-2图3.1：插值误差（左）和指数误差衰减（右），使用x的线性变换∈[xmin，xmax]，c∈ [ξminex，ξmaxex]xmin=-5，xmax=0，ξmin=0.05，ξmax=0.8。与上述近似方法一样，我们预先确定了一个适用于该方法的域。当然，问题是哪个领域适合涵盖相关期权数据。3.1根据市场数据调查内插域为了找到合适的内插域，我们调查了来自汤森路透Eikon的DAX、EUROSTOXX 50、标准普尔500和VIX指数的期权数据。对于交易量非零的所有期权，我们计算远期货币性x和时间标度波动率σ√T然后我们检查得到的参数是否被Li域覆盖。图3.2显示了所有四个指数的选项参数。对于所有指数，我们观察到Li领域未涵盖期权的相关部分。我们观察到-1.5和2以及高达1的时间标度波动率。在不同的市场或不同的市场条件下，人们可以期望观察到更极端的期权参数。在金融危机期间，波动性变得相当高。这促使我们在一个大得多的领域建立隐含波动率的切比雪文插值，该领域涵盖了所有相关的期权数据。

为了以最有效的方式做到这一点，我们需要通过拆分域和定制的缩放函数来增强上述直观方法-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4moneyness x00.10.20.30.40.50.6<Li-1区域未涵盖的DAX选项-0.5 0 0.5 1 1.5 2 moneyness x00.20.40.60.81<Li-0.4区域未涵盖的EURO STOXX 50选项-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.2 moneyness x00.050.10.150.20.250.30.35<标准普尔500选项受Li-1.5-1-0.5 0 0.5 1货币面积未覆盖的Li期权面积覆盖x00.20.40.60.8<LIF面积未覆盖的Li期权面积覆盖的VIX期权图3.2：货币性x和时间标度波动率σ√四种不同指数的期权。我们只考虑交易量为正的情况。4域分割和缩放为了在足够大的域上得出隐含波动率的近似值，我们进一步检查了规范化的买入价格。隐含波动率在c（x）=0和c（x）=ex时不具有分析性。因此，最大可能区间需要限制为0<vmin（x）<vmax（x）<∞买入价格0<cmin<cmax<ex，不包括这些点。如果选择的最小值足够小，则此假设没有限制性。将域扩展到最大间隔会降低收敛速度。为了减少这种影响，我们利用了调用价格的极限行为。图4.1显示了固定货币x的标准化买入价格作为波动率的函数。我们观察到，买入价格在波动性非常低和非常高的情况下都会波动，并且在波动点附近几乎呈线性。

这促使我们将域分为三部分。v0 5 10c00.020.040.060.080.1IIIIIIIC0 0.05 0.1v0246810III III图4.1：根据时间标度波动率（v）及其x=-5分为三部分。D： =[cmin（x），c（x）]，D：=[c（x），c（x）]，D：=[c（x），cmax（x）]（4.1），相应的挥发度为0<vmin（x）<v（x）<v（x）<vmax（x）<1。分割领域的想法是基于J¨ackel（2015）的方法。对于每个域，我们将定制一个二元切比雪夫插值。如果看涨期权价格下跌，那么它的价格就会变得非常高。因此，直接多项式插值不太合适。幸运的是，通过利用看涨期权价格函数的渐近行为，我们解决了这个问题。在每个区间，我们定义一个标度函数φi，x:Di→ [-1，1]对于i∈ {1，2，3}将认购价格转换为[-每x 1，1]∈ [xmin，xmax]。对于结果函数▄v：[-1, 1]→ R、 （▄c，▄x）7→ v（c，x），x=Д-1（￠x）和c=φ-1i，x（℃）表示i∈ {1，2，3}式中，ν是（3.1）的线性标度。对于给定的买入价c和货币x≤ 0然后，隐含挥发度可近似为V（c，x）≈ INi，Nii（φi，x（c），Д（x）），其中i满足c∈ Di。4.1缩放函数在下面，我们为每个区域介绍适当的缩放函数。4.1.1介质挥发度首先考虑函数的中间部分。如前所述，对于v，在反射点附近，隐含波动率表面几乎是线性的。因此，线性标度系数φ2，x：[c（x），c（x）]→ [-1,1]，C7→ 2c- c（x）c（x）- c（x）- 很明显，φ是解析的，逆式由φ给出-12，x[-1, 1] → [c（x），c（x）]，~c 7→ c（x）+（~c+1）（c（x）- c（x））。4.1.2低波动率对于低波动率，买入价格函数非常灵活，因此隐含波动率函数的倒数很陡峭。

因此，在多项式插值之前，线性缩放不会提供适当的变换。相反，我们提出了一个合适的标度函数，该函数可以降低逆的陡度，使其几乎成线性。与线性缩放相比，这将大大提高最终近似值的效率。为了做到这一点，我们探索了标准化买入价格的极限行为。对于v→ 0我们通过J¨ackel（2006）的方程式（2.8）得出C（x，v）≈ φ十五vx公司,式中，ν是标准正态分布的密度。通过反转函数c（v）=Д十五, 这对极限有主要影响，我们得到了形式v=c的逆(-（c+2*日志（c）/x）-1/2常数c、c与我们无关。这导致以下变换|φ1，x：[0，c（x）]→ [-1，1]c 7→-（十）-δ） 对数（c）+（x-δ） 对数（c（x））+1-- 如果c>0，则为1-1其他。参数δ>0确保了x=0的井度，剩余项需要将区间[0，c（x）]映射到[-1, 1]. 变换|φ1，xis解析与逆|φ-11，x：[-1, 1] → [0，c（x）]：~c 7→c（x）e-2（x-δ） （c+1）+（x）-δ） 如果▄c>-10其他。使用此变换，函数v（|φ-如前所述，为了保证分析性，我们将0<cmin（x）<c（x）<ex的区间限制为[cmin（x），c（x）]。因此，我们定义了低挥发度φ1，x的标度函数：[cmin（x），c（x）]→ [-1，1]asφ1，x（c）：=l（|φ1，x（c）），其中l是线性变换l:[|φ1，x（cmin（x）），1]→ [-1，1）]：c 7→ 2·c-φ1，x（cmin（x））1-φ1，x（cmin（x））- 1、功能c 7→ φ1，x（c）在区间[cmin（x），c（x）]内是解析的，因为它是两个解析函数的组合。

φ1的逆，xis由φ给出-11，x（℃）=φ-11，xl-1（℃）.4.1.3高波动性正如低波动性一样，高波动性的买入价格函数非常灵活，因此其逆函数变得陡峭。作为limc→exv（c，x）=∞ 隐含波动率函数不是均匀有界的。作为第一步，波动率由一些Vmax限制，以保证斜率不会任意高。同样，线性变换不是最佳选择，我们建议根据买入价格的行为进行不同的缩放。根据J¨ackel（2006）方程（2.7），我们获得了v→ ∞c（x，v）≈ 前任-v^1v.与低波动性的情况类似的转变需要改进。假设cmax（x）=x，并定义φ3，x：[c（x），ex]→ [0, ∞] : c 7→-8原木前任-cex公司-c（x）如果c<ex∞ elsewith inverse▄φ-13，x：[0，∞] → [c（x），ex]：~c 7→前任-ex/2- c（x）e-到岸价▄c<∞埃克塞尔斯。利用看涨期权价格的极限行为，我们可以证明，对于足够大的v，c=～φ3，x（c（x，v））≈ -v、 因此v=v（|φ-13，x（℃），x）≈ -对于cmax（x）<ext，变换是到有界域的双射，可以归一化为[-1，1]通过与前一种情况相同的线性变换l：[0，|φ3，x（cmax（x））]→ [-1，1）]：c 7→2cφ3，x（cmax（x））- 因此φ3，x（c）：=l（|φ3，x（x））和φ-13，x（℃）=φ-13，xl-1（℃）取决于cmax的选择。4.2分割边界的明确选择取决于特定应用。在下文中，我们希望以这样一种方式设置边界，即覆盖一组非常大的参数，并且所有区域的收敛速度大致相同。最大波动率vmax：我们选择时间标度波动率vmax=6的上界。这使我们能够将高度波动的市场和长期债券纳入其中。

同时，该方法可以达到接近机床精度的精度。最小波动率vmin：我们定义了vmin（x）=0.001的下限- 0.03倍。对于这种选择，可以使用标准机器精度计算相应的价格cmin（x）。它包括极低的挥发性。例如，在x=log（erTS/K）=0时，此选项甚至允许到期时间为一天（T=1/365）且Black-Scholes波动率为σ的看涨期权≈ 2%. 如果选择更高的vminis，则可以进一步提高收敛速度。拆分波动率vand v：我们根据买入价函数的性质选择vand v。调用价格函数对vc（x）=p2 | x |有一个唯一的反映点，其中斜率最大。J¨ackel（2015）提出了下限vas，即该点切线的零点。上限vis设置为线路达到最大买入价格的点，具体取决于x。见图4.2。切线为asf（v）=vc（x，vc）（v- vc（x））+c（x，vc）。因此，v（x）=vc（x）-c（x，vc）vc（x，vc）~v（x）=vc（x）+ex- c（x，vc）vc（x，vc）~ v1vc ~ V2时间标度波动率v0ex=2标准化看涨期权价格cSplitting aroun d the point of in。切面切向图4.2：通过切面vc点处切线的零点来定义▄vand▄vb处的分裂。然而，这种边界选择有两个严重的缺点。首先，边界vt终止于零，因此对于较小的x值，我们得到▄v（x）<vmin（x）。其次，计算▄v（x）和▄v（x）需要计算c（x，vc）和vc（x，vc）表示每个x。对于大型数据集上的实时计算，这将成为计算负担。我们通过用线性近似代替▄vand▄vw来解决这个问题。我们建议边界V（x）=0.25- 0.4x和v（x）=2- 0.4倍。低波动率区域的分割对于低波动率，我们通过在x中引入进一步的分割来改进插值。

函数的行为在反射点发生变化。如前所示，我们需要设置v（0）>vmin（0）>0。因此，在某个点，插值边界V将穿过这种行为变化。这可以通过在点x处的拆分来预测，其中vc（x）=v（x）。对于拟议的线性拆分，这些点由下式给出-11.2152和-0.0348. 第一个点位于域外[-对于x，我们只考虑第二点。我们将低挥发性区域划分为I区域和x区域∈ [-5.-0.0348]和一个面积I’代表x∈ [-0.0348，0]，见图6.1。实证结果表明，这种额外的分裂进一步提高了收敛速度。5误差分析以下定理是近似法高效的理论基础。由于Black-Scholes调用价格和标度函数的分析性，我们得出收敛在节点数上是次指数的。定理5.1。Letφ-1i（~c，~x）可以解析地连续到周围的某个开放区域[-1，1]，设0<φ-1i([-1，1]，x）<每个x的Ex∈ [-1, 1]. 然后存在常数ρ，ρ>1，V>0，使得对于▄V（▄c，▄x）：=V（φ-1i（℃，℃），φ-1x（~x））及其二元Chebshev插值，Nii（~c，~x）：=PNi-1j=0PNi-1k=0ajkTj（▄c）Tk（▄x）最大（▄c，▄x）∈[-1,1]|v（c，x）- INi，Nii（~c，~x）|≤ 4Vρ-2（N-1)+ ρ-2（N-1)(1 - ρ-2)(1 - ρ-2)!.证据根据Sauter和Schwab（2010）的引理7.3.3，我们需要证明▄v（▄c，▄x）：=v（φ-1i（℃），φ-1x（≈x））是解析连续的，并且有界于Eρ×Eρ，其中Eρ和Eρ是Bernstein椭圆。Gass等人（2015）表明，买入价格是分析性的。对于固定的x，隐含的可用性函数v在c中是全纯的∈ [-1，1]因为双射全纯函数的逆也是全纯的。接下来，我们需要证明x中的分析性∈ [-1, 1]. 让▄c∈ [-1, 1].定义F（x，v）：=c（x，v）- φi（℃，x）。

那么函数v（φi（~c，x），x）由F（x，v）=0的解隐式给出。此外，对于每个x∈ [xmin，xmax]，F在某个开域中是全纯的vF（x，v）=vc（x，v）=√2πe-x2v型-v> 当v>0时为0。因此，根据复隐函数定理（见Fritzsche和Grauert（2012）的定理7.6），存在一个唯一的函数v（φi（≈c，x），x），该函数在x周围的某些区域是全纯的。因此，v在[-1, 1].因此存在ρ，ρ>1，使得Eρ 甘地Eρ G、 对于非常小的ρ，ρ的有界性如下，因为▄v在上是连续的[-1, 1].通过利用二元函数的低阶结构，我们可以进一步提高效率。为此，在我们的实现中，我们使用基于onTownsend和Trefethen（2013）的chebfun2算法。6实现作为隐含波动率函数近似的起点，我们将插值域划分为四个不同的区域。对于每个区域，我们通过单独的形式v的二元切比雪夫插值来近似隐含的波动性≈ INi，Nii（φi，x（c），φx（x）），其中φxis定义如（3.1）所示，对于每个区域，我们有不同的缩放比例φi，xin c。

为了清晰的演示，我们在下面列出了不同的领域和转换。I区：x区∈ [-5.-0.0348]和c∈ [cmin（x），c（x）]我们有φ1，x（c）：=2·○φ（c）-φ（cmin（x））1-φ（cmin（x））- 1、面积I“：对于x∈ [-0.0348、0]和c∈ [cmin（x），c（x）]我们再次使用变换φ1，x（c）。II区：x区∈ [-5、0]和c∈ [c（x），c（x）]我们有φ2，x（c）：=2c- c（x）c（x）- c（x）- 1、III区：x区∈ [-5、0]和c∈ [c（x），cmax（x）]我们有φ3，x（c）：=▄φ（c）▄φ（cmax（x））- 认购价格cmin（x）、c（x）、c（x）和cmax（x）对应于挥发性Vmin（x）=0.001- 0.03x，v（x）=0.25- 0.4x，v（x）=2- 0.4x，vmax（x）=6-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.5 0Moneynes X0123456时间sca主导的波动性垂直极化区域sArea IIIArea IIArea Ivmax（x）v2（x）v1（x）vmin（x）-0.15-0.1-0.05 0Moneynes x00.050.10.150.20.250.30.35时间sca主导的波动性垂直极化区域用于小xArea I’区域IIArea Iv1（x）vmin（x）图6.1：四个不同的插值区域切比雪夫方法。此外，我们用单变量插值代替边界调用价格c（x）、c（x）和cmax（x），以进一步减少运行时间。然而，cmin（x）的评估是直接进行的，因为低波动性很难估算出买入价格。