限价订单簿的缓冲Hawkes过程

模型中的参数集为λ>0，a≥ 0，b>0，c>0，d≥ 0，我们假设稳定性条件（7）ac<b（c+d），从现在开始施加。我们假设Γ和N由（3）关联，即Nt=ZtZ∞（0，cΓs-]（z） M（ds，dz），因此NTI是一个带有补偿器cRtΓsds的纯跳跃过程，并且∧tis从（1）中定义的NTA的跳跃中获得，即∧t=λ+Ztae-b（t-s） dNs。设Ξ（ds，du）为R+×R+上的Cox随机测度，随机强度测度∧t-dt d e-d udu，即给定∧[9，pg.262]的条件泊松随机测度。然后lt=ZR+{s≤t} Ξ（ds，du）是纯跳跃过程，具有补偿器rt∧sds和非负积分过程kt=ZR+{s≤t型≤s+u}Ξ（ds，du）是对应的Lt/M/∞ 具有到达过程Lt和速率d的指数消除时间的Buffer过程。当Lt是强度为λ的泊松过程且Kt是M/M时，特殊选择a=0是先前8 INGEMAR KAJ和MINE Caglars研究的情况/∞使用参数λ和d进行处理。最后，为了完成X的构建，让我们使用由净输入Kt产生的缓冲过程-Nt，a s finedin（5），that is，Γt=supr≤t（Kt- 韩元- （Nt- Nr）），t≥ 请注意∧tandΓt分别对应于限额订单簿中限额订单和市场订单的到达强度。XT的构造意味着，这是一个出生-死亡过程，出生由Lt决定，死亡与Kt的向下跳跃和Nt的向上跳跃共享，只要buff是非空的。同时跳跃结构是写下X的马尔可夫发生器的关键。对于X=（λ，γ，n）∈ S和S上的函数f表示Exf（Xt）=E（f（Xt）| X=X）。

由Lf（x）=ddtExf（Xt）| t=0定义的xd的生成器L，对于充分正则f，其形式为Lf（x）=b（λ- λ)fλ（x）+λ（f（λ，γ+1，n）- f（x））+dγ（f（λ，γ-1，n）- f（x））+cγ（f（λ+a，γ-1，n+1）- f（x））。（8） 因此，对于这样的f，eXt[f]=f（Xt）- f（x）-ZtLf（Xs）ds，t≥ 0是一个零均值F-鞅。特别地，使用f（x）=λ，f（x）=γ，f（x）=n，这得到了∧t=λ+Zt（b（λ- ∧s）+acΓs）ds+eXt[f]Γt=Zt（λs- （c+d）Γs）ds+eXt[f]Nt=ZtcΓsds+eXt[f]。使这些关系与有限期望值的存在相一致→ ∞, 需要bλ- bE（λ）∞) + acE（Γ∞) = 0和E（λ∞) =（c+d）E（Γ∞). 因此E（Γ∞) = λb/（b（c+d）- ac）<∞, 由于稳定性条件（7）。为了结束这一小节，我们对X的二维边缘进行了评论。边缘分布（λt，Nt）不是马尔可夫分布，也不是（Γt，Nt），除了（6）中的a=0的情况。边际分布（λt，Γt）是一个生成函数f（λ，γ）=b（λ）的马尔可夫过程- λ)fλ（x）+λ（f（λ，γ+1）- f（λ，γ））+dγ（f（λ，γ-1) - f（λ，γ））+cγ（f（λ+a，γ-1) - f（λ，γ））。BUFFER-HAWKES过程9该双变量过程是对M/M的自激修正/∞ 模型中，每一次以概率c/（c+d）独立离开服务系统都会触发一种新的散粒噪声对后续客户到达强度的贡献。2.3. 一阶和二阶矩。我们推导了Buffer-Hawkes过程的一阶和二阶矩的表达式，其中包括参数A、b、c、d和λ。PutQ=p（b- c- d） +4ac，q-= （b+c+d- Q） /2，Q+=（b+c+d+Q）/2。提案2.1。表示E（Xt）=(lt、 gt，mt）。我们有lt=λq+- q-q+- q-+ acZt（e-q-s- e-q+s）dsgt=λq+- q-e-q-t型- e-q+t+bZt（e-q-s-e-q+s）dsmt=cZtgsds。证据

使用（8），（9）Exf（Xt）=f（x）+ExZtLf（Xs）ds，x=x中引入的发电机的Dynkin公式，很容易推导出一阶和二阶矩的ODE耦合系统，参见【11，Chp.2】。然后，使用（9），l′tg′tm′t+b-ac 0-1 c+d 00-c 0ltgtmt公司=bλ鉴于（7），q+≥ q-> 0，q+- q-= Q≥ 0，q-q+=b（c+d）- ac>0。对于ac>0，我们有Q>0。线性常微分方程组的解给出了结果。渐近为t→ ∞, 我们得到lt型→ l∞=b（c+d）λb（c+d）- ac，gt→ g级∞=l∞c+d，mt~cl∞c+D注意，在第2.1节中，情况a=0且c>0是基本的缓冲模型，其中q-= （c+d）∧b、 q+=（c+d）∨b、 Q=| b-c-d |。那么，对于任何b，lt=λ，gt=λc+d（1-e-（c+d）t）→λc+d，mt=cλc+dZt（1-e-（c+d）s）ds~cλc+dt。我们计算所有二阶矩，以追求下一步给出的NTA的渐近方差。10 INGEMAR KAJ和MINE CAGLARProposition 2.2。对于大t，我们有V（Nt）~λcc+db（c+d）b（c+d）- 交流电t、 证明。使用（9），二阶动量spt=E（λtΓt），qt=E（λt），rt=E（Γt），ut=E（λtNt），vt=E（ΓtNt），wt=E（Nt）满足方程组p′tq′tr′tu′tv′t+b+c+d-1.-ac 0 0-2ac 2b 0 0 0 0-2 0 2（c+d）0 0-c 0 0 b-ac0 0-c-1 c+dptqtrtutvt=bλ- accac+dac-c燃气轮机+2bλlt型+bλ此外，w′t=2cvt+cgt。重写，函数“pt=C（λt，Γt）=pt- 燃气轮机lt、 (R)qt=V（λt）=qt-lt、 \'rt=V（Γt）=rt-gt，求解\'p\'t\'q\'t\'r\'t+b+c+d-1.-交流电-2ac 2b 0-2 0 2（c+d）“pt”qt“rt=-accac+d燃气轮机+lt而“ut=C（λt，Nt）”、“vt=C（Γt，Nt）和“wt=V（Nt）”是“u’t”v’t+b-交流电-1 c+d“ut”vt=交流电-cgt+c“pt”rt“w”t=2c“vt+cgt。

在极限t内→ ∞,\'\'p∞=钙（c+d）g∞2（b+c+d）（b（c+d）- ac），q∞=钙（（c+d）（b+c+d）- ac）g∞2（b+c+d）（b（c+d）- ac）和∞= g级∞+cag公司∞2（b+c+d）（b（c+d）- ac）。此外\'\'u∞\'\'v∞=b（c+d）- 交流电c+d ac1 bacg公司∞+ c'p∞c（(R)r∞- g级∞)=“c+d+ac（（c+d）+ac）2（b+c+d）（b（c+d））-ac）1+ac2（b（c+d）-ac）#acg∞b（c+d）- ac.BUFFER-HAWKES过程11最终，V（Nt）~ c（2’v∞+ g级∞)t=λcc+db（c+d）b（c+d）- 交流电t。分支流程代表Buffer-Hawkes流程中的市场订单组件允许分支流程代表原始Hawkes流程（4）。分支表示强调时间上的聚类，这是自激或如上所述的相互激励的结果。这也有助于直接证明有限维分布的扩散极限。为了推导分支表示，我们使用马尔可夫过程（Xt）构造中详述的相同概率设置，但现在假设N（ds，du）和M（ds，du）是R+×R+上的泊松测度，强度测度N（ds，du）和M（ds，du），分别由（10）N（ds，du）=λds ce给出-（c+d）udu，m（ds，du）=ae-bsds ce-（c+d）udu。要了解这些强度为什么会反映X的动力学，请考虑LOB的大小为某个数字Γt=γ时的时间t。那么执行率是cγ，取消率是dγ。换言之，每个单一的限制指令都有执行率c和取消率d，因此在总强度为c+d的指数分布时间内保留在账簿中。在使用概率c/（c+d）进行独立细化后，可以获得在时间s+u执行的限制指令的定期到达中的强度n（ds，du）。

类似地，m（ds，du）是相应事件因单独贡献ae而发生的泊松强度-bs，s≥ 0，限制订单的到达强度。因此，N（0）t=ZR+×R+{s+u≤t} N（ds，du）=ZtZt-sN（ds，du）是由基准强度λ生成的[0，t]中的市场订单数。在执行时，这些事件中的每一个都独立地增加了限额指令的强度。由于霍克斯机制，新的强度贡献由泊松测度M决定，并以高度a和去除率b的散粒噪声曲线的形式出现。由于增加的强度而执行的每个新的市场订单都独立地重复该过程，因此总的市场订单数随着分支过程中的子代总数的增加而增加。让Zt，t≥ 0，表示Z=1的连续时间分支过程中，t时的个体总数，R+上的o f-spring分布由出生时s+u的每个泊松点（s，u）12 INGEMAR KAJ和MINE CAGLARof M的一个o f-spring单位组成。由于（7）分支过程是亚临界的，平均o f-spring（11）ν=ZR+×R+M（ds，du）=Z∞Z∞ae-理学学士-（c+d）udsdu=acb（c+d）<1。设Z（s，u），（s，u）∈ M、 表示Z的独立副本的集合。分支属性关系为（12）Ztd=1+ZtZt-sZ（s，u）t-s-嗯（ds，du）。综上所述，市场订单的组合数量为：asNt=ZtZt-sZ（s，u）t-s-uN（ds，du），（13），其中Z过程独立于N。因此，Xis的成分（Nt）也是移民的分支过程，因此单个移民在N的每个泊松点（s，u）的s+u处到达，每个移民根据Z生成独立的弹簧。

由于霍克斯反馈，有时可以方便地将N（0）t计数的移民从Zt的Ntalong轨迹的进一步跳跃中分离出来，即N（0）t+ZtZt-s（Z（s，u）t-s-u-1） N（ds，du）。(14)3.1. 亚临界分支过程的性质。由于潜在的分支机制是次临界的→ ∞ 几乎可以肯定的是，非减量过程zt达到了极限Z∞< ∞ , P-a.s.，在Galton-Watson过程中获得最终总后代的分布，泊松（ν）分布从单个个体开始。众所周知，Z∞具有平均值（1）的aBorel分布-ν)-1< ∞. 接下来回顾这些事实，作为矩母函数E[EθZt]和E[EθNt]的推导边界。乘以（12），对于llθ≤ 至少为0，ln E[EθZt]=θ+Zt-sE[EθZt-s-u]-1.m（ds，du）LetVt（θ）=ln E[EθZt]，V∞（θ） =ln E[EθZ∞],对于这些函数完全存在的每个θ。上述积分方程，Vt（θ）=θ+ZtZs电动汽车-u（θ）-1.ae-b（t-s） ds c公司-（c+d）udu，表明Vt（θ）在t中是可微的，并求解非线性常微分方程（15）V′t（θ）+（b+c+d）V′t（θ）+b（c+d）Vt（θ）=b（c+d）θ+ac（eVt（θ）-1） ，V（θ）=θ，V′（θ）=0。BUFFER-HAWKES过程13By单调收敛，V∞(θ) = θ + ν电动汽车∞(θ)-1..等效地-（五）∞(θ) - θ+ν）exp{-（五）∞(θ) - θ + ν)} = -νeθ-ν.对于每个θ-e-1.≤ -νeθ-ν<0，该方程有两个解g，由两个分支和W给出-实值Lambert-W函数的1。第二分支W-1被排除在外，因为属性W-1（x）≤ -1，e-1.≤ x<0，表示V∞（θ） >θ表示所有θ，事实并非如此。

Lambert-W函数一次分支的有关解法∞(θ) = θ - ν -W(-νeθ-ν), θ < θ= -lnν+ν- 1、由于θ>0表示0<ν<1和W（e-1) = -1，（对数）力矩母函数Vt（θ）和V∞（θ） 在包含0的开放区间中存在θ，即（16）Vt（θ）≤ 五、∞(θ) ≤ 五、∞(θ) = -lnν，θ≤ θ.特别是，任意阶n的矩都是有限的，（17）EZnt≤ EZn公司∞< ∞, t>0。Lambert-W函数的定义性质W（x）eW（x）=x意味着eθZ∞] = eθ-νe-W(-νe-νeθ）=W(-νe-νeθ）-ν, θ ≤ θ.Waround 0，W（x）泰勒级数的一个应用=∞Xn=1(-1） n个-1n！xn，| x |≤ e-1，揭示了Borel分布p（Z∞= k） =（kν）k-1k！e-νk，k=1，2。从（15）中可以看出，均值和方差函数xt=EZt=ddθVt（θ）θ=0，yt=VarZt=ddθVt（θ）θ=0，满足x′t+（b+c+d）x′t+（b（c+d）-ac）xt=b（c+d），x=1，x′=0andy′t+（b+c+d）y′t+（b（c+d）-ac）yt=acxt，y=0，y′=0。解决方案为XT=1+acZte-q-s- e-q+sq+- q-ds14 INGEMAR KAJ和MINE CAGLARandyt=acZtxse-g级-（t-s）- e-g+（t-s） q+- q-德莫雷奥弗→ ∞,xt公司→ x个∞= 简单∞=b（c+d）b（c+d）- ac=1- ν、 年初至今→ y∞= 变量Z∞= （十）∞-1） x个∞=ν(1 - ν).关于Zt增量的性质，我们提到以下性质，这些性质将用于获得Buffer-Hawkes过程的平稳增量版本的协方差。提案3.1。平方增量期望值WR（t）=E[（Zr+t- Zr）]，t≥ 0是r上的可积函数，因此z∞wr（t）dr=1- νZ∞（xr+t- xr）dr+ν1- νZt（c+d）e-b（t-u）-是-（c+d）（t-u） c+d- b（徐+余）杜<∞在t.Proof中是统一有界的。

使用ZR+t- Zr=Z{0<s+u<r}（Z（s，u）r+t-s-u- Z（s，u）r-s-u） M（ds.du）+Z{r<s+u<r+t}Z（s，u）r+t-s-uM（ds.du），它跟在wr（t）=E[Zr+t之后- Zr]+Z{0<s+u<r}E[（Zr+t-s-u- 锆-s-u） ]m（ds.du）+Z{r<s+u<r+t}E[Zr+t-s-u] m（ds.du）=（xr+t-xr）+Z{0<s+u<r}wr-s-u（t）m（ds.du）+Z{r<s+u<r+t}（xr+t-s-铀+年+吨-s-u） m（ds.du）。BUFFER-HAWKES过程15R yieldsZ上这种关系的积分∞wr（t）dr=Z∞（xr+t- xr）dr+acb（c+d）Z∞wr（t）dr+acbZt（c+d）e-b（t-u）-是-（c+d）（t-u） （c+d）（c+d- b） （xu+yu）du，它生成所述的积分表达式。可以直接使用Xt和Yt的显式表示来检查t中的一致有界性。3.2. NTS的其他属性源自群集表示。使用（13），ln E[EθNt]=zt-s（eVt-s-u（θ）-1） λce-（c+d）ududs=λcc+dZt（eVu（θ）- 1) (1 - e-（c+d）（t-u） ）du，（18）so by（16）ln E[EθNt]≤λc（c+d）1- νν（（c+d）t- 1+e-（c+d）t），θ≤ θ.命题2.1中推导出的平均mt=entt与xt=EZtvia进一步相关，即DEm′t+（c+d）m′t=c（g′t+（c+d）gt）=λc xt。m=m′=0时该方程的解为-sEZt公司-s-un（ds，du）=λcc+dZtxu（1- e-（c+d）（t-u） ）du，这也是（18）的直接值，与θ有关。同样的方法允许我们推导Nt方差的表达式，这比之前的“wt”更方便，命名为varnt=ZE[Zt-s-u] n（ds，du）=λcc+dZt（yu+xu）（1- e-（c+d）（t-u） ）du。使用标度参数m，市场订单的渐近增长率asm→ ∞ 伊斯门特→λcc+dx∞t=λcc+d1- νt，16 INGEMAR KAJ和MINE Caglar with Mvarnmt→λcc+d（x∞+ y∞)t=λcc+d（1- ν） t，与命题2.2一致。把这些关系放在一起，我们就得到了弱大数定律。另一方面，NMTM给出的强大定律-→λcc+d1- νt，m→ ∞,根据遍历定理，考虑到下面第4.3小节中给出的N的平稳增量版本的存在。

平稳性不是基于稳定性假设ν<1，遍历性是由泊松随机测度的时间偏移暗示的。4、扩散限制在本节中，我们考虑市场订单的长期扩展以获得扩散限制。Buffer Hawkes流程的这一部分是我们关注的重点，因为信息的价格将基于续集中的市场订单。4.1. 市场秩序过程的差异扩展。让我们通过输入“Nt=Nt”来引入中心和规模市场订单N（m）-ENt，N（m）t=(R)Nmt√m、 t型≥ 我们需要以下紧度结果来证明缩放过程的函数收敛性。引理4.1。过程序列es{N（m）·}m≥1太紧了。证据LetMt=Nt- cZtΓsds，At=cZt（Γs- gs）ds，Bt=cZtΓsds。然后，Mtis a（P，F）-鞅，Atis是漂移，hM，Mit=bt是“Nt”半鞅分解中的二次方差，由“Nt=At+Mt，t”给出≥ 0.Let（τm）m≥1b是一组（F）-停时，所有停时均以某个常数T，supmτm为界≤ T为了验证Aldous Rebolledo tig htness标准（参见例[13]），我们将表明，对于每个>0，存在δ>0和一个整数，使得（19）supm≥msuph公司∈[0，δ]PAm（τm+h）-Amτm√m级> ≤ 此外，当Atis被Btin（19）替换时，同样的有界性属性成立。BUFFER-HAWKES过程17By Chebyshev不等式，PAm（τm+h）-Amτm≥ √m级≤cEhZτm+hτm（Γms- gms）ds在不限制证明范围的情况下，我们可以≤ 1、将T′=T+1。根据赫德不等式，Zτm+hτm（Γms-gms）ds≤ZT′（Γms-gms）ds·Zτm+hτmds=ZT′（Γms-gms）ds·h，并结合前面的两个边界spAm（τm+h）- Amτm≥ √m级≤cZT′Var（Γms）ds·h。函数'rt=Var（Γt）'r∞< ∞ 在（）中获得，在实线上以'rsup=supt为界≥0Var（Γt）<∞. 因此，对于任何m，suph∈[0，δ]PAm（τm+h）- Amτm≥ √m级≤cT′rsupδ。取δ=/（c（T+1）(R)rsup），以获得（19）的漂移过程。

使用rsup=supt的相同参数≥0E[Γt]<∞ 而不是（19）表示的二次变化过程Bt。现在，我们准备在下面的理论中证明N（m）的扩散极限，其中，根据Buff-erHawkes过程的参数发现渐近方差。定理4.2。{N（m）t}t≥0弱收敛为m→ ∞ 在空间D中（[0，∞) , R） 方差系数σ=λcc+d（1- ν).证据我们展示了有限维分布的收敛性。PutΦ（x）=ex-1.-x、 Nt的累积量函数，lne exp{θ'Nt}=ZR+{s+u≤t} E[Φ（θZt-s-u） ]n（ds，du）=ZR+{s+u≤t}eVt公司-s-u（θ）- 1.- θxt-s-un（ds，du），对于每个θ都存在≤ θ、 由于（16），（17）。更一般地，ln E expnnXi=1θi'Ntio=ZR+×R+EhΦnXi=1θiZti-s-u{s+u≤ti}在（ds，du）18 INGEMAR KAJ和CAGLARis矿，f或0≤ t型≤ ··· ≤ tnandθ，θn，n≥ 1，Pnk=1θk≤ θ.使用缩放参数m进行缩放时→ ∞, p，q>1，p+q=1的Hlder不等式适用于使用MEH控制余项Φ（X√m）-Xm公司我≤√我|X | e | X|≤√我|X | 3p1/pE等式| X|1/q，对于一般随机变量X。实际上，当0<θ′<θ时，nXk=1θk≤ θ′q=θθ′>1，使用（17），对于大m，lne expninXi=1θiN（m）tio=-2mZR+×R+EhnXi=1θiZmti-s-u{s+u≤mti}in（ds，du）+O(√m）~ -X1≤i、 j≤nθiθjZR+×R+E[Zm（ti-s）-uZm（tj-s）-u] 1{秒+单位/米≤（ti∧tj）}n（ds，du）。作为m→ ∞, 右侧的前导项收敛为-X1≤i、 j≤nθiθjZti∧tjZ公司∞E（Z∞) n（ds，du）=-σX1≤i、 j≤nθiθj（ti∧ tj）和henceln E expninXi=1θiN（m）tio→ -σX1≤i、 j≤nθiθj（ti∧ tj）。根据引理4.1，证明是完整的。4.2. 价格过程及其长期扩展。假设N+和N-是上述Buffer-Hawkes流程的副本，分别代表市场买入指令和市场买入指令的执行。这两个计算过程自然与标的资产交易价格的上下波动相关。