限价订单簿的缓冲Hawkes过程

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英文标题：
《A buffer Hawkes process for limit order books》
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作者：
Ingemar Kaj and Mine Caglar
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We introduce a Markovian single point process model, with random intensity regulated through a buffer mechanism and a self-exciting effect controlling the arrival stream to the buffer. The model applies the principle of the Hawkes process in which point process jumps generate a shot-noise intensity field. Unlike the Hawkes case, the intensity field is fed into a separate buffer, the size of which is the driving intensity of new jumps. In this manner, the intensity loop portrays mutual-excitation of point process events and buffer size dynamics. This scenario is directly applicable to the market evolution of limit order books, with buffer size being the current number of limit orders and the jumps representing the execution of market orders. We give a branching process representation of the point process and prove that the scaling limit is Brownian motion with explicit volatility.
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中文摘要：
我们引入了一个马尔可夫单点过程模型，通过缓冲机制调节随机强度，并通过自激效应控制到达缓冲区的流。该模型应用了霍克斯过程的原理，其中点过程跳跃产生散粒噪声强度场。与霍克斯的情况不同，强度场被送入一个单独的缓冲区，缓冲区的大小是新跳跃的驱动强度。通过这种方式，强度循环描述了点过程事件和缓冲区大小动态的相互激发。此场景直接适用于限额订单账簿的市场演变，缓冲区大小是当前限额订单的数量，跳跃代表市场订单的执行。我们给出了点过程的分支过程表示，并证明了标度极限是显式波动的布朗运动。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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2022-6-1 12:44:33 上传

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关键词：Hawk Mathematical Presentation Quantitative Applications

限制订单BOOKSINGEMAR KAJ和MINE CAGLARAbstract的缓冲区HAWKES过程。我们引入了一个马尔可夫单点过程模型，通过缓冲机制和自激效应控制到达缓冲流的随机强度。该模型应用了霍克斯过程的原理，其中点过程跳跃产生散粒噪声强度场。与霍克斯的情况不同，强度场被送入一个单独的缓冲器，其大小是新跳跃的驱动强度。通过这种方式，强度回路描绘了点过程事件和衰减动力学的相互激发。这种情况直接适用于限制订单簿的市场演变，其规模是当前限制订单的数量，跳跃代表市场订单的执行。我们给出了点过程的branchingprocess表示，证明了标度极限是显式波动的布朗运动。1、简介自激点过程（称为霍克斯过程）是近期一些极限订单书（LOB）数学研究中的一个亮点模型【2】。它表示了市场事件的间隔时间的依赖性，以便与经验的有序流动和扩散动态相匹配【17】。该方法背后的观点是，当从账簿中删除NORDER时，出价和调用的执行事件会触发新订单进入限额订单账簿的速率增加。在本文中，我们构建并分析了一个更一般的自激过程，旨在更直接地针对限价指令和市场指令的基本动力学。

它部分涉及马尔可夫霍克斯过程，与多维霍克斯过程相比，它以非标准的方式捕获了在极限排序簿中观察到的相互激励。大量且不断增长的文献致力于霍克斯过程在金融中的应用[4]。马尔可夫-霍克斯过程是一个过程（λt，Nt），因此，根据（1）∧t=λ+Ztae，Ntisa计数过程和∧thas是指数递减的过程和由Ntae产生的正跳跃-b（t-s） dNs，t≥ 0，日期：2017年10月10日。2010数学主题分类。60G55、91G80、60J80。关键词和短语。自我激励，市场价格，订单，分支过程。一、 瑞典乌普萨拉乌普萨拉大学数学系Kaj(ikaj@math.uu.se).M、 土耳其伊斯坦布尔Koc大学数学系Caglar(mcaglar@ku.edu.tr).2 INGEMAR KAJ和MINE Caglar，λ>0，a，b，0<a<b，参数，而且∧是Nt的随机性。Hawkes和Oakes[18]提出的集群表示揭示了自激过程和分支模型之间的密切联系。在此视图中，λ是流动移民的强度，ξ（ds）=ae-bsds是亚临界分支过程正半线上泊松弹簧分布的强度，平均值为ν=RR+ξ（ds）=a/b<1，它统计由于内部反馈引起的额外事件。霍克斯过程是每个移民在到达时发起的独立分支过程的叠加。在金融和其他应用中，对过程的研究比（1）中的指数散粒噪声更具普遍性。（2）∧t=∧+Ztφ（t）形式的强度过程- s） dNs=∧+Xsi≤tφ（t- si），其中φ是合适的非负函数，∧是随机或常数，定义了一类更广泛的线性Hawkes模型，具有自激事件时间s，s，[6].

订单建模和财务数据分析通常采用多变量过程{（si，di），i≥ 1} 式中，Dii是向量值计数过程的成分指数Nt=（Nt，…，Nnt），其强度∧t=（∧t，…，Nnt），使得∧jt=∧j+nXi=1Ztφij（t- s） dNis，1≤ j≤ n、 在LOB环境中，通常情况下，霍克斯点流程NJ会计算资产j的限制订单到达量或市场订单执行量，而强度∧j会控制这些订单的速度。该模型的扩大涉及资产j=1，…，的极限顺序的另一组霍克斯过程，n，并允许f或不同类型的订单之间的相互引用，参见例[2]。对于单变量模型的长时间行为，强大数定律不成立→ (1 - ν)-1，几乎可以肯定，作为t→ ∞ 函数中心极限定理是弱收敛的√m级Nmt公司-1.- νmt=> σBt，m→ ∞, σ=(1 - ν） ，其中B是布朗运动。在假设矩阵（Φij），Φij=R的情况下，在[5]中建立了多元Hawkes模型的类似结果∞φij（t）dt，谱半径严格小于1。霍克斯过程捕捉到的一个重要特征是时间上的聚类，这是订单到达时观察到的一个很好的经验事实[8，11]。这是由于自激励特性，即跳跃强度随自身过程而增加。若干研究表明，有序流的另一个特征是相互激发。市场订单激发限价订单，改变价格缓冲区霍克斯过程的限价订单激发市场订单[14，3]。针对复制此类风格化行为的机制，我们提出了一个o市场订单到达N的交织模型，其强度与现有限额订单成比例限制订单到达，强度∧受市场订单激励；o取消单个资产LOB中的到货限额订单。

我们表明，所有这些事件以一种连贯的、分析上可处理的方式聚集在一起。该模型反映了限价指令和市场指令之间的相互传染。明确地说，我们的方法是考虑马尔可夫过程XT=（λt，Γt，Nt），其中∧a和N仍然通过关系（1）联系在一起，但其中∧不再是市场或过程N的随机强度。相反，∧是辅助过程Lt的随机性，它是限额订单的LOB-In-FiteServer buffer的到达过程。arr ival事件是放置新的限价订单，而离开服务系统则是取消限价订单或执行市场订单，其结果是（倍数），即现在的随机强度N。X的解释是∧是进入LOB的限价订单的强度过程，Γ是LOB的当前大小，N计算已执行的市场订单的累计数量。在该模型中，LOB中的条目数量随着限额订单的净余额到达而增加，由市场订单执行触发，或因取消或执行而离开，因此我们将X作为一个Buffer-Hawkes过程。我们推导了Bufferhawkes过程的一阶和二阶特性的显式公式。我们展示了它的分支过程表示，它揭示了由相互激励引起的聚类，以及增量的依赖关系。由于过程的长时间缩放，发现了扩散极限。我们通过中等价格模型ST=S来考虑市场影响+N+t- N-t型α、 其中N+和N-市场价格是否重要，+代表上涨，即买入，以及-代表down，that is sell，α>0是一个tick price参数，S是资产的价格，如[11]所示，该设置称为玩具模型。

我们根据假设N+和N的每个市场订单的结果，得出S的标度极限-都是独立的。鞅机制对于获得函数中心极限定理的紧性至关重要，即使在独立的情况下也是如此。作为模型参数的函数，显式地获得了渐近稳定性。例如，在分析最优高频交易策略时，一个简单的模型很有用。在[1]中，提出了一个类似的市场影响模型，以获得动态最优执行框架，其中价格表达式包括a4 INGEMAR KAJ和MINE CAGLARmultiple，即服从Hawkes过程的市场订单。市场订单影响了[7]中的中间价格漂移，其目的是在自我激励的买卖订单基础上制定控制策略。霍克斯过程和极限订单b的相关工作为本文模型的未来工作提供了启示。已考虑了包含多个资产的多维过程，并在例如[3]中建立了长期行为。在【10】中考虑了限额订单的买卖双方不同ick级别的队列。对于更一般的Hawkes过程的理论研究，在[16]中，在队列的上下文中证明了函数中心极限定理。在[22]中，买卖价格是使用带有附加约束的霍克斯过程研究的。除了霍克斯机制模拟的内源性效应外，在【12】中，还将外源效应附加到强度过程中，以模拟基础系统各种因素的接触影响。有关更多参考文献的大量列表，请参阅[4，5]。最近，在[19]中，一个积分过程被证明是作为霍克斯过程的极限而出现的，并根据其性质表现出自激性质。本文的组织结构如下。

在第2节中，我们激发了一个初步版本，然后构建了限价订单簿的Buffer-Hawkes过程。我们还可以计算第一阶和第二阶矩。在第3节中，给出了流程的branchingrepresentation。第4节研究了作为长期行为的差异缩放，其中同时考虑了市场订单过程和价格过程。2、市场和限价订单模型我们考虑到相互激发的事件，逐步开发限价订单簿模型。首先，通过一个过程Γ将市场到达过程N构造为一个自激励过程。然后，将lat t t er链接到限额订单，以捕获市场和限额订单之间的相互激励。我们的方法遵循[9，Thm.VI.6.11]中的构造。我们从概率空间开始(Ohm, H、 P）可测空间（R+×R+，B）配备过滤F=（Ft），适用于Borel乘积σ-代数B=（BR+ BR+。让M：Ohm ×B 7→ [0, +∞) 是（R+×R+，B）上的泊松随机测度，Lebesgue强度测度u（ds，dz）=ds dz相对t o F。这意味着ω7→ M（ω，B）=M（B）是每个B的随机变量∈ B和B 7→ M（ω，B）是每个ω在（R+×R+，B）上的度量。此外，对于每个B∈ B随机变量M（B）是泊松分布，期望u（B）=RBu（ds，dz），对于B，Bn公司∈ B、 n个≥ 2，变量M（B），M（Bn）是独立的。此外，M（B）∈ 每B英尺∈ B[0，t]BR+，测量值M限制为设定值（t，∞) ×R+与Ft无关。LetΓ=（Γt）t≥0是一个非负过程，c\'adl\'ag路径适应F andlet（t-)t型≥0是Γ的左连续版本，因此是F-可预测版本。假设Buffer-HAWKES过程5n是一个满足ZtZ的计数过程∞（0，Γs-]（z） M（ds，dz）。然后，过程-ZtΓsds=ZtZ∞（0，Γs-]（z） （M（ds、dz）- ds-dz）是F-鞅。

其二次变化由Ztz决定∞（0，Γs-]（z） ds dz=ZtΓsdsas 1=1。这里，（Γt-) 是N的随机强度过程。为了增加模型的灵活性，可以方便地包括另一个参数c>0，控制Γ对N的影响率。为此，用泊松随机测度Mc（ds，dz）替换M（ds，dz），用强度测度uc（ds，dz）=c ds dz，或用cΓ替换N定义中的Γ，从而（3）Nt=ZtZ∞（0，cΓs-]（z） M（ds，dz）。通过此扩展，补偿过程Nt- cRtΓsds，t≥ 0是一个Fmartingale，c控制反馈机制的强度，通过该机制，N中的跳跃会影响随后额外跳跃的强度。接下来，引入∧tO为给定散粒函数φ由N产生的散粒噪声过程，如（2）所述。霍克斯过程由Γ=∧的选择产生，因此假设N的强度过程是可预测的版本（∧t-)t型≥自引用进程∧的0。（2）中的设置产生了一类一般的非马尔可夫霍克过程，而∧=λ，φ（t）=ae-btis是经典的霍克斯过程（参见[9，第311页]，[4]）。在后一种情况下∧是具有（1）中定义的指数脉冲函数的基态回复散粒噪声过程，因此d∧t=-b（λt- λ） dt+a DNAND∧t≥ λ. 根据潜在的泊松随机测度Mc，这些关系进一步表明∧是随机积分方程∧t=λ+aZtZ∧s的解-e-b（t-s） Mc（ds，du），如【19】所述。对于固定a和b的经典情况，并且考虑到参数c，众所周知∧thas是c<b的平稳分布。

在此假设下，通过在前一个显示的关系或关系（1）中取期望值，E（λt）=λ+Ztae-b（t-s） c E（λs）ds，6 INGEMAR KAJ和MINE Caglar，因此E∧∞= λb/（b）- ac）。连续时间马尔可夫过程（λt，Nt）的最小生成器Lf（λ，n）=ddtE[f（λt，Nt）|∧=λ，n=n]t=0，满足合适的函数fLf（λ，n）=b（λ- λ)fλ（λ，n）+cγ（f（λ+a，n+1）- f（λ，n））。本文系统地使用了聚类表示法。我们在这里重新调用将扩展到Xt的设置中的基本情况。参数λ>0和a、b、0<a<b是固定的。设N（ds）和M（ds）是正实线上的独立泊松随机测度，N的强度测度N（ds）=λds，ξ（ds）=ae-M的bsds。设Zt为次临界分支过程，泊松弹簧强度为M（ds），平均弹簧ν=RR+ξ（ds）=a/b<1，满足branching关系Zt=1+ZR+{s≤t} Z（s）t-sM（ds），其中{Z（s）}是Zt的独立副本。霍克斯过程是由一系列根据N到达的移民产生的独立分支过程的集合，即（4）Nt=ZR+{s≤t} Z（s）t-序号（ds）。2.1. BUFF受监管的基本计数流程。在这一节中，我们讨论了驱动N强度过程的各种机制。对于最简单的例子，让∧=λ为常数，取a=0，这样霍克斯机制的影响就会发生变化，强度过程就很简单了∧t=λ。尽管如此，λ还是决定了到达限额订单的加权率。设Lt为相应的泊松过程，强度为λ，Nt由（3）定义，Γt=（Lt- Nt）+，这是一米/米的尺寸/∞ 用参数λ和c排队【9，练习VI.6.53】。此外，当Lt-≤ Nt公司-, 我们有Nt≤ 这个事实和M和L相互独立有助于证明（Γt，Nt）isMarkov。根据同样的论点，这也是马尔科夫。

由此产生的计数过程N是自我调节的，即如果N在某个时间间隔内发生多个跳跃，则其强度过程会相应降低，从而导致跳跃的进一步累积变慢。为了使此示例与LOB上下文更相关，我们添加了取消。假设以恒定速率d取消每个限额订单≥ 0.PutKt=t到达的未取消限额订单数量，因此K是M/M/∞ 在到达率λ和取消率d的限制订单的过程之后。再次让N是具有强度（cΓt）的计数过程-),BUFFER-HAWKES过程7但现在让Γ为动态存储过程（5）Γt=supr≤t（Kt- 韩元- （Nt-Nr））=千吨- Nt+supr≤t型{-（韩元- Nr）}，t≥ 连续时间马尔可夫过程（Γt，Nt）具有极小的生成函数Lf（γ，n），给定byLf（γ，n）=λ（f（γ+1，n）- f（γ，n））+dγ（f（γ- 1，n）- f（γ，n））+cγ（f（γ- 1，n+1）-f（γ，n））。（6） 计数过程N导致Γ也随着速率c而减小，因此Γ以M/M的形式略微分布/∞ 使用参数λ和c+d作为发电机L.2.2的证据。Buffer-Hawkes过程。我们现在准备通过将自激霍克斯机制与自我调节的buff-Hawkes机制相结合来构建我们所称的buff-Hawkes过程。设S=R+×N×N。Buffer-Hawkes过程是一个马尔可夫过程Xt=（λt，Γt，Nt），在状态空间S上实现c\'adl\'ag，其中∧t表示进入限制订单簿的限制订单的强度，Γt表示限制订单簿的大小，而N表示执行的市场订单的数量。