限价订单簿的缓冲Hawkes过程

最简单的交易价格是bySt在[11，pg.74]中形成的中间价格=N+t- N-t型α、 其中+表示向上，和- 表示向下，α>0是一个tick price参数，为了简单起见，我们取S=0。当N+和N-相互独立且分布相同，考虑S（m）t=Smt/√m、 由于eachN+和N的扩散极限-, 我们有{S（m）t}t≥0弱收敛为m→ ∞ 在间隔（[0，∞), R） 实值c\'adl\'ag过程到布朗运动的方差缓冲HAWKES过程19系数β，na mely，渐近波动率。为了证明这个f作用，我们观察了半鞅分解n+t- N-t=N+t- cZtΓ+十二烷基硫酸钠- N-t+cZtΓ-sds+At，其中漂移由At=cZtΓ+sds给出- cZtΓ-sds和N的鞅部分的二次变分+- N-isBt：=cZtΓ+sds+cZtΓ-SDS因此，气密性证明类似于N+或N-. 我们得到的渐近波动率为β：=ασ=αλc2（c+d）（1- ν） 式中，ν=acb（c+d）<1 x（11）。注意，由于Buffer-Hawkes模型中a/b或c/d的增加，波动率随着ν的增加而增加，而波动率仅取决于马尔可夫-霍克斯过程中的a/b【11，第75页】。4.3. NTA的平稳增量版本和协方差公式。到目前为止，考虑的模型从时间零点的空限额订单簿开始，Γ=0。启动阶段Γt从初始值到接近稳态Γ的过渡∞在这一节中，我们构造了一个具有平稳增量的NTV版本。当然，离散近似值将与原始过程相同。

除了实现期望值t的线性增加外，主要优点是沿N过程路径的协方差的显式表达式。回想一下，在原始模型中，每个市场订单在s+u的时间发生，其中s>0是LOB中限额订单的进入时间，u是订单执行前账簿中的占用时间。流程Ntcounts所有订单与s+u≤ t、 包括N（0）个TA以及Z（s，u）t所占的其他市场订单-s-u-1英寸（14）。为了获得具有固定增量的NTV版本，使用（3）中定义的泊松度量来扩展Buffer-Hawkes过程X的构造，在需要时进行相应的调整，并将限制订单的起始时间向后移动，以包括在时间s<0时下达的订单。对于这样的s，如果s+u≤ 0那么[0，t]中市场订单的结果数由Z（s，u）t给出-s-u- Z（s，u）0-s-u、 如果0<s+u≤ t如前所述，对NTIS Z（s，u）t的贡献-s-u

对N中的所有泊松点求和后，我们需要=ZR×R+{s+u≤0}（Z（s，u）t-s-u- Z（s，u）0-s-u） +1{0<s+u≤t} Z（s，u）t-s-uN（ds，du），t≥ 0.20 INGEMAR KAJ和MINE CAGLARHere，重新订购条款，eNr+t-eNr=ZR×R+{s+u≤0}（Z（s，u）r+t-s-u-Z（s，u）0-s-u） +1{0<s+u≤r+t}Z（s，u）r+t-s-uN（ds，d u）-ZR×R+{s+u≤0}（Z（s，u）r-s-u- Z（s，u）0-s-u） +1{0<s+u≤r} Z（s，u）r-s-uN（ds，d u）=ZR×R+{s+u≤r} （Z（s，u）r+t-s-u- Z（s，u）r-s-u） +1{r<s+u≤r+t}Z（s，u）r+t-s-uN（ds，du），因此通过N（ds，du）相对于s的平移不变性，我们得到了所需的平稳增量性质nr+t-eNrd=eNt。统计平均值为mt=E（eNt）=mt+ZR×R+{s≤0,0≤s+u≤t} xt公司-s-un（ds，du）+ZR×R+{s+u≤0}（xt-s-u- x0-s-u） n（ds，du）=λcc+dZtxsds+λcc+dacq+-q-中兴通讯（e-q-vq--e-q+vq+dv=···=λcbtb（c+d）- A方差为ZR×R+{0≤s+u≤t} E[Zt-s-u] n（ds，du）+ZR×R+{s+u≤0}E[（Zt-s-u-Z0型-s-u） ]n（ds，du）=λcc+dZtE[Zs]ds+λcc+dZ∞E[（Zr+t- 根据命题3.1，第二项不变量=λcc+dZt（xs+ys）ds+λcc+dZ∞wr（t）drva在缩放极限内，MVAREMT→λcc+d（x∞+ y∞) t=λcc+dx∞t、 BUFFER-HAWKES过程21由于增量是固定的≤ t、 Cov（eNs，eNt-eNs）=（变量- 瓦伦斯- 瓦伦特-s） =λc2（c+d）Zts（xu- 徐-s） du+Zts（yu- 于-s） du+Z∞（wr（t）- 西铁（s）- wr（t- s） ）dr.显然，Cov（eNms、eNmt-eNms）/米→ 0，m→ ∞, 在布朗运动标度极限下。5、结论与展望我们的模型强调市场事件的自激特征和相互激励，因此，我们自然会进一步研究这些机制对金融数学和定量金融计算应用的影响。为了说明本文开发的模型的潜在用途，我们通过列举几个例子来结束本文。参数估计。假设我们提取单个资产的交易数据，并尝试应用马尔可夫模型（Xt）来捕获其随时间的演化。

参数比率c/（c+d）对应于执行与取消的限额订单的比率，这是一个直接可观察的数量。还可以获得已注册限额订单的平均数量，以EΓ表示∞= λ（c+d）-1(1 - ν)-1、许多观察到的Nt+1的变异系数，即样本方差与样本均值的比率- 例如，Nt还会给出ν的点估计值，从而得出a/b的点估计值。这将是一项单独的调查，以调查沿着这些线建立的有效且可靠的估计程序。价格形成过程。在交易过程中，在执行市场订单时，LOB中有大量的Γslimit订单，每个订单都有一个买入价或买入价。市场价格的上涨或下跌由LOB中最有利的因素决定，我们可以将其视为当前限额订单条目的最小值。因此，合理的是，价格的变化将与Γs成反比。因此，对市场订单数量和交易价格之间的联系进行更细致的建模可能会导致类型的价格过程=ZtΓ+s-{Γ+s-≥1} dN+s-ZtΓ-s-{Γ-s-≥1} dN-sα.在此模型下，可以研究价格的矩和长期行为。22 INGEMAR KAJ和MINE CAGLARGeometric Buffer-Hawkes流程。与几何泊松过程平行，参见[20，Ch.11]，考虑formSt=S（1+σ）Nteαt的价格过程-σRtcΓsds，其中σ>-1是一个常数。然后是Ss-不锈钢-= σSs-dNs，因此折扣价格流程'St=e-αTSTSTATIS文件St=\'S- σcZt'SsΓsds+σZt'Ss-dNs=S+σZt'Ss-（dNs- cΓsds），表明“sti”是一个鞅，E“St=平均收益率α”。非马尔可夫扩展。虽然我们的构造涉及马尔可夫过程（Xt），但点过程组件（Nt）本身当然不是马尔可夫的。

N的分支表示直接提供了进一步的扩展，类似于（2）中的扩展。例如，幂律核用于当前高频传输数据的研究[21]。在（12）中，考虑R+上的非负函数φ，设M是强度过程M（ds，du）=φ（s）c的泊松测度-（c+d）udu，并将（11）替换为条件ν=cc+dZ∞φ（s）ds<1。现在，让Z是与M通过（12）相关的亚临界分支过程，并且，在之前，生成N，如（13）所示。我们所研究的N的一些性质在这种更一般的情况下有直接的对应关系，有些需要更详细地研究。多变量扩展。多维版本可以考虑对多个资产进行建模，如[15，3]所示。这里，我们提到了二维Case，它有两个Buffer-Hawkes买卖订单过程，X+t=（λ+t，Γ+t，N+t）和X-t=（λ）-t、 Γ-t、 N个-t） ，分别为。组件流程如前所述，但购买订单的执行触发销售订单的到达，反之亦然，这表明存在半鞅关系d∧+t=b（λ- ∧+t）dt+acΓ-tdt+指数+t[f]dΓ+t=（λ+t- （c+d）Γ+t）dt+deX+t[f]dN+t=cΓ+tdt+deX+t[f]d∧-t=b（λ- Λ-t） dt+acΓ+tdt+deX-t[f]dΓ-t=（λ）-t型- （c+d）Γ-t） dt+指数-t[f]dN-t=cΓ-tdt+指数-t[f]，带（eX+[·]，eX-[·]）一个六分量鞅，比较第2.2节。BUFFER-HAWKES PROCESS 23参考s【1】A。Alfonsi，P.Blanc，《混合市场影响Hawkesprice模型中的动态最优执行》，金融斯托赫出版社。，20（2016），第183-218页。[2] F.Abergel，M.A n A ne，A.Chakraborti，A.Jedidi，I.Muni Toke，《限额订单》，剑桥大学出版社，剑桥，2016年。[3] F.Abergel，A.Jedidi，《基于霍克斯过程的限制订单的长期行为》，暹罗J.菲南。数学6（2015），第1026-1043页。[4] E。Bacry，I.Mastromatteo，J.F。

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