交易费用下的效用最大化问题：最优对偶

如果我们继续进行与[GLY16，附录]类似的论证来证明上述命题，就可以看出这一点。它需要用清算价值过程来代替财富过程。与无摩擦情况不同，我们没有ODP的唯一性，即使是其FirstCoordination。第二坐标ODPs的非唯一性很容易观察到。它可能已经发生在有限的环境中Ohm 如【Sch17，示例2.4】所述。对于ODP第一次合作的不一致性，我们感谢Walter Schachermayer提供以下反例（另见[Sch17]）。示例4.10（Walter Schachermayer）。设W=（Wt）t≥0be an（FWt）t≥0-布朗运动，其中（FWt）t≥0是W在满足通常条件下产生的自然过滤。假设投资者的效用以对数函数U（x）=对数（x）为特征。在下面的内容中，我们首先构建了两个由两个不同过程bS和ˇ驱动的无摩擦市场，并最终找到了一个具有交易成本的市场S，这样bS和ˇS在与S交易时都是这个对数效用最大化问题的影子价格过程。此外，我们证明了BZ=（bS-1、1）和ˇZ=（ˇS-1，1）是此类问题的两个ODP，但BZ 6=ˇZ。构造分为三个步骤：步骤1：定义=exp（Wt+t），t≥ 确定交易成本水平0<λ<，并确定τλ=inf{t:Nt=2（1- λ)} .LetbS是随机区间J0，τλK上N的时变限制，即bSt=Ntan（πt）∧τλ, 0 ≤ t型≤ 1、考虑一个由过程B驱动的无摩擦市场，该市场适用于Ft定义的时变过滤系数：=FWtan（πt）∧τλ. 然后，bZ：=（bS）-1定义一个局部鞅定义域。

根据默顿法则，对数效用最大化问题可以通过以下策略来解决：在时间t=0时以价格b=1购买一只股票，在时间t=1时以价格b=2（1）出售- λ） （我们称为“买入-持有-卖出策略”）。步骤2：接下来，我们定义一个过程B的扰动，该扰动将用ˇS表示。为此，我们首先定义一个扰动Bz=（bS）-1，然后将该局部鞅分解为bz=cM+bP，其中cmt：=EhbZFti=2（1- λ） ，bPt：=bZt-cMt。请注意，BP=1-2λ2(1-λ） andbP=0。因此，bP是一种潜力。设σ：=inft:bPt=1, 然后，停止的局部鞅bpσ是有界的，因此是鞅。此外，P[σ<∞] =1.-2λ2(1-λ).对于δ>0，选择任意Fσ-可测函数F，取[1]中的值- δ、 1+δ]这样f1{σ<∞}=1.- 2λ2(1 - λ） 使得f在{σ<∞}. 通过71pt确定潜在的71p=E[f1{σ<∞}| 英尺∧σ], 0 ≤ t型≤ σ、 fbPt，σ≤ t型≤ 1，这也是一个从71p=1开始的局部鞅-2λ2(1-λ） 以ˇP=0结束。请注意，0≤ˇPt∈ [(1 - δ） bPt，（1+δ）bPt]，0≤ t<1，a.s.定义Z：=cM+P和s：=（Z）-1、然后，theratioˇStbSt∈ [(1 + δ)-1, (1 - δ)-1]. 很明显，由S驱动的无摩擦市场有一个局部鞅def'Z。这个市场再次具有对数最优策略y是买入-持有-卖出策略的性质。步骤3：定义=最大值（bSt，ˇSt），Mt=（1- λ)-1分钟（英国夏令时，英国夏令时）。有必要假设（1- λ)(1 + δ) < (1 - δ） 使mt<mt，0≤ t型≤ 1，a.s.定义bySt=（1- t） mt+tMt，0≤ t型≤ 1，从S=1开始，到S=2结束是连续的和自适应的。很明显，双方仍处于买卖价差[（1- λ） S，S]。因此，很明显，（bZ，1）和（71z，1）都是Zloc，λ（S）中的元素。

由于以交易成本交易S只会产生无摩擦的交易forbS或ˇS，因此，对于摩擦对数效用最大化问题而言，以t=0购买一只股票并仅在t=1时出售的交易策略是最优的。通过（2.4），我们可以验证（bZ，1）和（ˋZ，1）都会导致双重优化rbh=2（1-λ).然而，bZ6=ˇZ.4.2最优对偶过程的收敛在本小节中，我们将讨论动态稳定性，这意味着DPS的稳定性。为了简单起见，我们首先考虑初始禀赋和效用函数扰动下的效用最大化问题，同时保持物理概率测度不变，即Pn≡ P.对于每个效用最大化问题u（xn；Un）以及极限问题u（x；u），我们假设命题4.6的所有条件。从上一小节的结果来看，最优对偶过程bYn：=（bYn，0，bYn，1）：=（bY（yn；Vn），bY（yn；Vn））是P-局部鞅的耦合，即bYn∈ ynZloc，λ（P）。提案4.11。对于市场模型和每个效用最大化问题u（xn；Un，P）（简称u（xn；Un））中的效用函数以及限制问题u（x；u，P）（简称u（x；u）），我们假设命题4.6的所有条件。此外，假设Limn→∞Un=U点方向和xn→ x>0。然后，对于与对应于对偶问题sv（yn；Vn）的对偶优化器bhn（即，bYn，0T=bhn）相关联的ODPsbYn：=（bYn，0，bYn，1）序列，存在一对局部鞅bY=（bY，bY）和{bYn}的凸组合子序列∞n=0，仍由{bYn}表示∞n=0，这样对于每[0，T]值的停止时间τ，bYn，0τ，bYn，1τP-→按τ，按τ.此外，车钩∈ yZloc，λ是一个ODP，对应于极限对偶问题v（y；v），byt=bh。证据

因为对于每个n，bYn∈ ynZloc，λ B（yn），然后根据[CS16b，定理2.7]，存在{bYn}的凸组合的子序列∞n=1，仍由{bYn}表示∞n=1，且optionalstrong supermartingalebY=（bY，bY），对于每个停止时间τ，取[0，T]中的值，（bYn，0τ，bYn，1τ）P-→ （按τ，按τ）。（4.4）根据定理3.4的结果，特别是（3.2）和（3.3），我们得到了，0T=bhnP-→bh=bYT。很明显∈ 因此，它是一个ODP，对应于效用最大化问题u（x；u）。通过应用命题4.8，构造的couplebY=（By，By）是一个局部鞅。备注4.12。如果我们只对每个问题u（xn；Un）和极限问题u（x；u）假设定理2.15中的条件，则上述命题中的结果不具有lo-calmartingale性质。备注4.13。对于更一般的情况，包括物理概率测量的扰动，我们假设与上述命题相同。此外，我们假设∈ N、 Pn编号~ P和limn→∞Pn=总变化中的P。对于每个n，我们在Pn下解决一个效用最大化问题，并提取一个ODPbY（yn；Vn，Pn），bY（yn；Vn，Pn）∈ ynZloc，λ（Pn），它是一对Pn局部鞅。通过改变度量，我们得到（eYn，0，eYn，1）：=bY（yn；Vn，Pn）eZn，bY（yn；Vn，Pn）eZn∈ ynZloc，λ（P） B（yn，P）。（4.5）对于每个n，p过程（eYn，0，eYn，1）是p-局部鞅。此外，根据事实→ 在L（P）和定理3.4中，我们有byt（yn；Vn，Pn）dPndPP-→bh（y，V，P）=bYT（y；V，P），其中右侧是V（y，V，P）的双重优化器。因此，同样根据[CS16b，Theorem2.7]，存在{（eYn，0，eYn，1）}n的凸组合的子序列∈N、 也由{（eYn，0，eYn，1）}N表示∈N、 使得每次停止时τ取[0，T]中的值，eYn，0τ，eYn，1τP-→按τ，按τ.

（4.6）任何此类限制过程由，由∈ yZloc，λ（P）是v（y；v，P）的一个ODP，通过应用命题4.8，它是一对P-局部鞅。备注4.14。回想一下，我们在本文中假设了过滤的美国条件，那么本小节中讨论的每个ODP都有一个c\'adl\'ag修改。这一特性对于影子市场的构建至关重要。4.3影子价格过程的构建本小节致力于通过与扰动问题相对应的一系列影子价格过程来构建极限效用最大化问题的影子价格过程。与前一小节类似，我们首先考虑Pn≡ P、 提案4.15。对于每个效用最大化问题u（xn；Un）以及极限问题u（x；u），我们假设命题4.11中的所有条件。对于每个n，假设bsn=bS（yn；Vn）是对应于第n个问题的影子价格过程，可以用bybsn=bYn，1bYn，0表示，其中：=bYn，0，bYn，1∈ B（yn）是一个P-局部鞅。然后，存在一系列的凸组合拜恩∞n=0和限制处理∈ B（y）使得byn在（4.4）的意义上接近tobY。此外，bS:=BYBY定义了限制问题u（x；u）的影子价格过程。证据这个命题可以通过简单地应用命题4.11和命题2.19来证明。备注4.16。对于物理概率测量中出现突变的更复杂的情况，我们转向备注4.13的设置。根据命题2.19，对于每一个n，效用最大化问题u（xn；Un，Pn）都存在一个影子价格过程b，它可以由与该问题对应的一些ODP表示，即bSn（xn；Un，Pn）=By（yn；Vn，Pn）By（yn；Vn，Pn）=eY（y；Vn，P）eY（y；Vn，P），其中序列{（eYn，0，eYn，1）}n∈Nis来自（4.5）。

然后，如注释4.13（4.6）所述构造的任何限制过程（bY，bY）定义了影子价格过程bs（x；U，P）：=限制问题U（x；U，P）的byby。参考文献【BCKMK13】G.Benedetti、L.Campi、J.Kallsen和J.Muhle Karbe。关于阴影的存在。《金融与随机》，17（4）：801–8182013。C.本德。简单套利。《应用概率年鉴》，22（5）：2067–20852012。[BK13]E.Bayraktar和R.Kravitz。关于m市场扰动的指数效用最大化的稳定性。《随机过程及其应用》，123（5）：1671–16902013。【BM03】B.Bouchard和L.Mazliak。一个多维b极定理inL（Rd；Ohm; FP） 。随机过程及其应用，107（2）：213–2312003。【Bou02】B.Bouchard。比例交易成本下实线效用最大化。《金融与Stoc hastics》，6（4）：495–5162002。【CK96】J.Cv itani\'c和I.K aratzas。交易成本下的套期保值和投资组合优化：鞅方法。《数学金融》，6（2）：133–165，1996年。[CMKS14]C.Czichowsky、J.Muhle Karbe和W.Schachermayer。交易成本、影子价格和离散时间的二元性。《暹罗金融数学杂志》，5（1）：258–2772014。L.Campi和M.P.Owen。具有比例交易成本的多元效用最大化。《金融与随机》，15（3）：461–4992011。【CPSY17】C.Czichowsky、R.Peyre、W.Schachermayer和J.Yang。Shad-ow价格、分数布朗运动和交易成本下的投资组合优化。预印本，2017年。【CR07】L.Carassus和M.R'asonyi。当代理商的偏好发生变化时，最优战略和基于效用的价格就会趋同。运筹学数学，32（1）：102–1172007。[CS06]L.Campi和W.Schachermayer。卡巴诺夫交易成本模型中的超级复制定理。《金融与随机》，10（4）：579–5962006。[CS16a]C。

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