交易费用下的效用最大化问题：最优对偶

（2.3）（iii）如果x>0和y>0与b y u′（x）=y相关，或与x=-v′（y），然后bg（x）和bh（y）由一阶条件bh（y）=U′关联bg（x）和bg（x）=-V′bh（y）, （2.4）我们有bg（x）bh（y）= xy。特别地，bД（x）bY（y）+bД（x）bY（y）是所有的P-鞅bД（x），bД（x）∈ A（x）和bY（y），bY（y）∈ B（y）满足（2.3）。（iv）最后，我们有v（y）=inf（Z，Z）∈Zloc，λEV（yZT）.备注2.16。与[KS99，命题3.2]（另见[CS16a，附录A]）类似，在（2.2）中定义的v（y）的数量可以通过{ZT:Z]中的元素来近似∈ Zloc，λ}，即v（y）：=infh∈D（y）E[V（h）]=infZ∈Zloc，λE[V（yZT）]。（2.5）我们在此澄清以下章节中稳定性论证的符号。对于物理概率P下的市场效用最大化问题，我们采用B（y）=B（y，P），D（y）=D（y，P），Zλ=Zλ（P），Zloc，λ=Zloc，λ（P）。此外，我们称之为可选的强su渗透系数bY（y），bY（y）∈ B（y）感应BYT（y）=bh（y）最优双过程（ODP）。有时，我们使用校准的过程bY:=（bY，bY）∈ B（1），通过滥用定义，我们仍然称之为ODP。类似地，我们称之为交易策略bД（x），bД（x）∈ A（x）满足VliqTb^1（x）= bg（x）最优原始过程（OPP）。在解决摩擦市场中的效用最大化问题时，我们经常想知道这个市场是否可以被一个产生相同最优策略和效用的无摩擦市场所取代。由于效用最大化问题，这种无摩擦市场被称为影子市场。定义2.17。

半鞅=（eSt）0≤t型≤如果（i）eS在买卖价差中取其值，则称为优化问题的影子价格过程（2.1）[（1- λ） S，S]。（ii）对应无摩擦效用最大化问题的解决方案eД=（eД，eД）Ux+Д·eST→ 最大值！，(φ, φ) ∈ A（x；eS）存在，并与交易成本下的解决方案bД=（bД，bД）至（2.1）一致，其中（x；eS）表示无交易成本的价格的所有自我融资和可接受的交易策略集，如[KS99]所示。如果效用最大化双重问题的ODP满足适当的条件，则可以通过该ODP构建影子价格过程。这在【CS16a】中得出结论。提案2.18（【CS16a，提案3.7】）。对于固定x>0，假设定理2.15的所有条件都成立。假设对偶优化器bh（y）等于byt（y），其中u′（x）=y和by（y）∈ B（y；P）：=（bY（y），bY（y））是一对P-局部鞅。然后，严格正半鞅：=bY（y）bY（y）是优化问题（2.1）的影子价格过程。另一方面，每个影子价格过程可以用someODPs的商来表示。以下是在【CS16a】中获得的结果。提案2.19（【CS16a，提案3.8】）。如果存在影子价格，则ODP的影子价格为（bY（y），bY（y））∈ 对偶问题（2.2）的B（y，P）。3静态稳定性对于固定的物理概率测度P和固定的效用函数U，对于任何初始禀赋x，根据定理2.15，原始P问题（2.1）可以通过一些bДT（x；U，P）来解决∈ C（x；P），最优值用u（x；u，P）表示。另一方面，对于双输入y>0，由（V，p）参数化的对偶问题（2.2）p允许通过t（y；V，p）解决∈ D（y；P），最优值用v（y；v，P）表示。

在本节中，我们研究了初始禀赋和双重输入的扰动如何影响主问题和对偶问题的最优性投资者效用的变化；o基础市场模型的错误说明。假设投资者效用的变化由一系列扰动函数（Un）n表示∈非真实市场模型的非真实性由概率序列（Pn）n描述∈N、 现在，我们介绍这个问题的严格数学公式，其中我们根据[Kv11]f中的假设，考虑具有随机禀赋的无摩擦情况。假设3.1。对于每个n∈ N、 Pn编号~ P和limn→∞Pn=总变化中的P，limn→∞Un=U点方向和xn→ x>0，yn→ y>0。备注3.2。（1） 对于每个n，存在Radon-Nikodym导数dpndpE。此外，表示为：=EPdPndP英尺,这是一个P-鞅。很明显，Zloc，λ（P）6= 表示Zloc，λ（Pn）6=, 对于每个∈ N、 准确地说，对于任何Z∈ Zloc，λ（P），eZ-1Z∈ Zloc，λ（Pn），对于任何Z′∈ Zloc，λ（Pn），eZZ′∈ Zloc，λ（P）。此外，我们定义ZN：=eZnT=dPndP。（2） 那个limn→∞Un=U逐点意味着他们的列根-芬切尔变换序列的逐点收敛，即limn→∞Vn=V点位。的确，{Un}n∈是有限维空间上的一类凹函数。然后，逐点收敛与极限函数域内部的epi收敛相等，而且，Unepi收敛到U相当于共轭序列VN收敛到V（有关更一般的分析，请参见[SW77，RW98]）。（3） 由于凸性，序列{Un}n∈N、 {Vn}N∈Nas及其衍生物{U′n}n∈N、 {V′N}N∈n在（0，∞) 达到各自的极限U、V、U′和V′（参见例如。

【Roc70，定理10.8和25.7】用于一般性陈述）。在无摩擦的情况下，Larsen在【Lar09，第2.6节】中提到，{Un}n的逐点收敛∈不足以证明值函数的上半连续性和{Un}n收敛序列上的更多结构条件∈n应强制执行。在本论文中，我们介绍了以下假设，其在无摩擦情况下的类似物可在[Kv11，第2.3.2节]中找到。假设3.3。定义：=ZT：（Z，Z）∈ Zloc，λ.存在ZT∈ ZT，因此对于所有y>0的家庭，家庭nznv+n伊兹特赞在…上∈Nis P-uniformlyintegrable。定理3.4。在定理2.15的假设和假设3.1、3.3下，我们对值函数和最优解有以下限制关系：limn→∞u（xn；Un，Pn）=u（x；u，P），limn→∞v（yn；Vn，Pn）=v（y；v，P）；（3.1）limn→∞xu（xn；Un，Pn）=xu（x；U，P），limn→∞yv（yn；Vn，Pn）=yv（y；V，P）；（3.2）limn→∞bхn，0T（xn；Un，Pn）=bхT（x；U，P），limn→∞bh（yn；Vn，Pn）=bh（y；V，P），a.s.（3.3）为了证明这个定理，我们首先需要借助以下命题重新表述对偶问题Vn。提案3.5。Ifeh公司∈ D（y，P），然后对于每个n∈ N、 eheZn公司∈ D（y，Pn）。相反，如果h∈D（y，Pn），然后是heZn∈ D（y，P）。证据在不丧失一般性的情况下，让h∈ D（1，Pn）。通过定义D（1，Pn），存在一个负Pn可选强超鞅（Y，Y），Y=1，YT=h，满足yy∈ [(1 - λ） S，S]和ДY+ДYis是所有Д的非负Pn可选强上鞅∈ A（1）。工程师：=EPdPndP英尺,这是一个P-鞅。显然，eZn=eZnT。必须在P下显示工艺的超可压缩性∈ A（1）。

对于0≤ s<t≤ T和Д=（ДT，ДT）0≤t型≤T∈ A（1），根据Bayes公式，我们有立即（φsYs+φsYs）EZN≥ EPh公司^1tYt+ДtYteZnt公司Fsi。类似地，我们可以展示第一个断言。定理3.4证明示意图。通过将随机禀赋q设置为0，证明将基本分为四个步骤，这与[Kv11]中的证明非常相似。为了避免冗余，我们只需在有交易成本的情况下列出所需的证据和清单。因此，请读者参考[Kv11，第3节]了解更多详细信息。（1） 根据命题3.5，对应于由（Un，Pn）参数化的效用最大化问题的对偶问题v（·；Vn，Pn）可以用参数（Un，P）重新表示。精确地说，v（y；Vn，Pn）=infh∈D（y，Pn）EPn[Vn（h）]=EPnhVnbh（y，Pn）i=infh∈D（y，P）EPeZnVn公司赫赞= EP“eZnVnbhn（y，P）eZn！#，其中EznConvergence to 1 in L（P），因而in L（P）；对偶优化器bh（y；Pn）∈ D（y，Pn）和BHN（y；P）∈ D（y，P）达到最大v（y；Vn，Pn）。上述等式对应于[Kv11]中的（3.1）。我们随后可以完全按照[Kv11，第3.2节]的步骤进行，以获得半连续性V（y；V，P）≤ lim信息→∞v（y；Vn，Pn），对于y＞0，其证明依赖于函数{Vn}n的性质∈Nand V以及假设3.1和备注3.2。（2） 对偶值函数具有上半连续性属性。事实上，对于任何ZT∈ ZT，y>0，我们需要（y，ZT）：=h类∈ D（y，P）：ZTh∈ L∞,然后，将[Kv11，第3.3节]中引理3.3和3.4对应的交易成本列示如下：引理3.6（比较[Kv11，L emma 3.3]）。修正y>0，让ZT∈ ZT应确保V+（yZT）∈L（P），Thenv（y；V，P）=进给∈eD（y，ZT）EPhV呃i、 引理3.7（比较[Kv11，引理3.4]）。假设对于某些f∈ L+，集合{eZnV+n（f/eZn）}n∈Nis P-一致可积。让h∈ L（P）为h≥ f a.s。

Thenlimn公司→∞eZnVn公司h/eZn= V（h）在L（P）中。借助这两个引理，我们可以用[K v 11，第3.3.2节]表示v（y；v，P）≥ lim支持→∞v（y；Vn，Pn），对于y>0。（3） 从（1）和（2）中的结果以及v（·；Vn，Pn）和v（·；Vn，Pn）是凸函数的事实，我们可以得出结论，limn→∞v（yn；Vn，Pn）=v（y；v，P）。另一方面，由于u（·；u，P）（resp.u（·；Un，Pn））是v（·；v，P）（resp.v（·；Vn，Pn））的勒让德-芬切尔变换。出于与备注3.2（2）和（3）类似的原因，我们有→∞u（xn；Un，Pn）=u（x；u，P）。从而证明了（3.1）。如（3.2）所示，必须应用u（·；Un，Pn）的ep i-收敛特性→ u（·；u，P）和v（·；Vn，Pn）→ v（·；v，P）并继续讨论次微分的图形收敛性，这与[K v 11，第3.4节]相同。（4） 最后，证明了对偶优化器limn的L-收敛性→∞bh（yn；Vn，Pn）=bh（y；V，P）在（3.3）中，我们可以定义一个辅助序列fn：=n-1yZT+（1- n-1） bh（y；V，P）∈eD（y，ZT），对于某些ZT∈ ZT，使V+（ZT）∈ L（P）。显然，fn→L中的bh（y；V，P）。然后，可以按照[Kv11，第3.5.2节]中的程序证明存在一个由{nk}k索引的子序列∈N、 这样的胆小鬼→∞Pnk（bh（ynk；Vnk，Pnk）∈ [k]-1，k]，fnkeZnkT∈ [k]-1，k]，bh（ynk；Vnk，Pnk）-fnkeZnkT> k-1） =0，其中在证明[DS94，引理A1.1]时使用的方法的更详细版本起着关键作用。鉴于（2.4）、（3.2）和Mark 3.2.4的动态稳定性，可获得（3.3）的其他部分。在上一节中，稳定性结果仅取决于财富过程的终值以及实现双重最优的可选超级鞅滤波器的终值。在本节中，我们将重点讨论实现最佳化的Whole过程的动力学。

特别是，我们将首先研究最优对偶过程的性质，并讨论所谓的动态稳定性。此外，我们构造了一个影子p-rice过程，通过影子价格序列限制由（x；U，p）参数化的问题，该影子价格序列对应于由{（xn；Un，Pn）}n参数化的问题∈N、 在本节中，我们需要以下假设，这是影子价格过程存在的必要条件（见[CSY17]）。假设4.1。此外，我们假设股票价格是由一个连续的过程驱动的。4.1可选强上鞅函数的性质在本小节中，我们首先研究可选强上鞅函数的性质，这对于动态稳定性的论证是必要的。为了表示法的简单性，我们只考虑Y：=（Y，Y）∈ B（1）。根据[Mer72]，由于这些过程是可选的强超级马丁格尔，它们允许Doob-Meyer-Mertens分解，这是c\'ad l\'ag超级马丁格尔的Doob-Meyer型分解的类似物，即Yi=Mi- Ai，i=0，1，（4.1），其中Mi是一个c\'adl\'ag局部鞅，Ai是一个非减量l\'adl\'ag可预测过程。我们现在介绍以下命题，它显示了非减损部分A和A之间的关系，即象征性的，（1- λ） StdAt公司≤ dAt公司≤ 标准日期。提案4.2。假设4.1成立，Y：=（Y，Y）∈ B（1）。这些过程允许独特的Doob-Meyer-Mertens分解为（4.1）。设ε+λ≤ 设σ与[0，T]中的耗时值相匹配。定义τε：=inft型≥ σStSσ=（1+ε）或（1- ε)∧ T、 然后，对于满足σ的所有停止时间τ≤ τ ≤ τε,(1 - ε)(1 - λ） SσEAτ- AσFσ≤ EAτ- AσFσ≤ （1+ε）SσEAτ- AσFσ.（4.2）备注4.3。

在[CSY17，引理3.5]中可以找到一个类似的引理，该引理给出了一个特殊的超鞅函数的性质（4.2），该超鞅函数构造为局部一致价格系统序列的Fatou限制过程。我们注意到，我们对上述命题的简单证明将不取决于Y的构造，而仅取决于整个过程的超鞅性质∈ A（1）。证据考虑以下交易策略Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T∈ A（1）定义为（Дt，Дt）：=(1 - (1 - λ)(1 - ε), 0) , 0 ≤ t<σ；-(1 - λ)(1 - ε） ，Sσ, σ ≤ t<τε；Vliqτε（Д），0, τε≤ t型≤ T、 显然，上述交易策略是λ-自我融资且可接受的。实际上，我们只需要考虑最坏的情况，即股价达到（1- ε） Sσ，那么σ<t≤ T，液化值Vliqt（Д）≥ -(1 - λ)(1 - ε) + (1 - λ） Sσ（1- ε） Sσ=0。通过对可选stron g supermartingale过滤器的定义，我们得到了每个τ∈Jσ，τεK，- (1 - λ)(1 - ε） （Mσ- Aσ）+Sσ（Mσ- Aσ）≥ E-(1 - λ)(1 - ε)Mτ- Aτ+SσMτ- AτFσ.我们可以假设Mand-Mare是真鞅，而不丧失一般性，否则，停止技巧适用。因此，我们获得Aτ- Aσ| Fσ≥ (1 - ε)(1 - λ） SσEAτ- AσFσ.对于其他不平等，让我们定义另一种交易策略Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T∈ A（1）乘以（Дt，Дt）：=(λ + ε, 0) , 0 ≤ t<σ；(1 - λ) + λ + ε, -Sσ, σ ≤ t<τε；Vliqτε（Д），0, τε≤ t型≤ T、 对于相同的参数，我们对每个σ都有≤ τ ≤ τε，（1+ε）SσEAτ- AσFσ≥ EAτ- Aσ| Fσ,这就结束了证明。以下推论很简单。推论4.4。对于每个可选的强力超级马丁表Y、 Y型∈ B（1），如果第一个分量是局部鞅，那么第二个分量也是局部鞅。备注4.5。实际上，在没有引理4.2的情况下，我们仍然可以得到推论4.4。

通过定义允许的交易策略（Дt，Дt）0<t≤T=（1+n，-n） 和（Дt，Дt）0<t≤T=（1-n、 n），n∈ N、 我们可以完成证明。接下来，我们在[CSY17]的框架下研究了ODP的局部鞅性质。实际上，C zichowsky等人在[CSY17]中发现了一个有效条件，当S是连续的时，它可以保证ODPs的局部鞅性质，也就是说，PPS的清算值过程是a.S.S三次正的，即inf0≤t型≤TbVliqt（bД）>0，a.s.我们将[CSY17]的结果总结为以下命题。提案4.6（【CSY17，提案3.3】）。固定交易成本的0<λ<1级。我们假设假设满足假设4.1和定理2.15的所有假设。此外，我们假设最优原始过程的清算值过程bД=（bДt，bДt）0≤t型≤T∈A（x）严格为正，即inf0≤t型≤TbVliqt（bД）：=inf0≤t型≤Tbхt+（1- λ） （bхt）+St- （bхt）-St公司> 0，a.s.（4.3）设y=u′（x），则存在局部λ-一致价格系统bz∈ Zloc，λ，使得ybZT=bh。备注4.7。在上述主张中，价格过程的连续性至关重要。否则，可以在[CMKS14]中找到反例。最近，论文[CPSY17]证明，如果我们假设“双向交叉”（TWC）的条件，（4.3）成立（定义见Bender[Ben12]）。这种情况意味着所有0<u<1的局部S满意度（CP Su）。（参见[CPSY17]中定理2.3的p屋顶。）[CSY17]中命题ab ove的证明基于OPP清算值的严格正性和[CSY17，引理3.5]（另见引理4.2）。在本文中，我们给出了一个比[CSY17，命题3.3]强一点的命题，然而，它的证明却大大减少了。

事实上，命题4.6的结果构造了这样一个ODP，它是一对局部鞅，这对于构造影子价格过程很有帮助，下面的命题指出，所有ODP都是同一框架中的局部鞅。这种说法在小说中是有意义的，因为与无摩擦的情况不同，ODP不再是唯一的（反例将在后面讨论）。提案4.8。固定交易成本的0<λ<1级。在第4.6项假设下，设y=u′（x）和by∈ B（y）是与对偶优化器相关联的可选辅助变量，即byt=bh a.s。那么，bY是局部鞅。换句话说，所有与双重优化器相关的λ-可选超级鞅定义都是一个局部λ-一致的价格体系。证据股票价格过程S是连续的，因此S是局部有界的。我们可以在不丧失一般性的情况下假设OPP（bVliqt）的清算价值为0≤t型≤这是可预测的（否则，考虑交易策略的c\'agl\'ad版本），从inf0开始≤t型≤TbVliqt>0，我们可以找到一系列a.s.增加和发散的停止时间{m}∞m=1，因此，对于每个m∈ N和t∈ [0，T]，我们有BVLIQT∧m级≥m、 m级≤ (1 - λ） St公司∧m级≤ St公司∧m、 确定最佳交易策略bД（x），bД（x）∈ A（x）。很容易验证b^1·∧m级-m、 b^1·∧m级∈ A（x）。因此b^1·∧m级-m级bY+b^1·∧MBY是一个可选的强上乘角色。回想一下，bИbY+bИbY是一个鞅，所以bYis是一个可选的强子鞅，最大可达m、 阿斯比∈ B（y），由·∧mhas是一个鞅。Sobys是一个局部鞅，根据推论4.4，bYis又是一个局部m artin鞅。备注4.9。与无摩擦情况类似，当S连续时，ODP总是一对局部鞅。也就是说，无论清算价值是否严格为正，ODP的第一个坐标都不会“失去”其质量。