交易费用下的效用最大化问题：最优对偶

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英文标题：
《Utility maximization problem under transaction costs: optimal dual
  processes and stability》
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作者：
Lingqi Gu and Yiqing Lin and Junjian Yang
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  This paper discusses the num\\\'eraire-based utility maximization problem in markets with proportional transaction costs. In particular, the investor is required to liquidate all her position in stock at the terminal time. We first observe the stability of the primal and dual value functions as well as the convergence of the primal and dual optimizers when perturbations occur on the utility function and on the physical probability. We then study the properties of the optimal dual process (ODP), that is, a process from the dual domain that induces the optimality of the dual problem. When the market is driven by a continuous process, we construct the ODP for the problem in the limiting market by a sequence of ODPs corresponding to the problems with small misspecificated parameters. Moreover, we prove that this limiting ODP defines a shadow price.
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中文摘要：
本文讨论了具有比例交易成本的市场中基于numeraire的效用最大化问题。特别是，投资者需要在交割时清算其所有股票头寸。我们首先观察了效用函数和物理概率发生扰动时，原值函数和对偶值函数的稳定性以及原优化器和对偶优化器的收敛性。然后，我们研究了最优对偶过程（ODP）的性质，即从对偶域导出对偶问题最优性的过程。当市场由一个连续过程驱动时，我们通过一系列ODP来构造极限市场中问题的ODP，这些ODP对应于具有小的错误指定参数的问题。此外，我们证明了这种极限ODP定义了影子价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Utility_maximization_problem_under_transaction_costs:_optimal_dual_processes_and.pdf (254.47 KB)

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关键词：效用最大化 交易费用 交易费 最大化 maximization

交易费用下的效用最大化问题：最优对偶过程与稳定性*Lingqi Gu1,3，Yiqing Lin+2，Junjian YangFakult–at f¨ur Mathematik，Universit–at Wien，Oskar Morgenstern Platz 1，A-1090 Wien，Australiacentre de Math'ematiques Appliq'ees，'Ecole Polytechnique，f-911 28 Palaiseau Cedex，FranceCollege of Mathematics，福建师范大学，35011 7福州，中国10月13日，2017年摘要本文讨论了具有比例交易成本的市场中基于num'eraire的效用最大化问题。特别是，投资者需要在交割时清算其所有股票头寸。当效用函数和物理概率发生扰动时，我们首先观察原始和对偶值函数的稳定性以及原始和对偶优化器的收敛性。然后，我们研究了最优对偶过程（ODP）的性质，即从对偶域导出对偶问题最优性的过程。当市场由一个连续的过程驱动时，我们通过一系列ODP来构建有限市场中问题的ODP，这些ODP对应于具有小错误参数的问题。此外，我们证明，这种限制性ODP定义了一个sha dow pric e.Keywords。效用最大化问题，交易成本，稳定性，最优对偶过程，影子价格过程MSC2010。91G80、93E15、60G481简介最近，人们对具有恒定比例交易成本的效用最大化问题进行了深入研究。在本文中，我们限制我们的elves用一个基于num'eraire的一般模型来考虑这一问题，其中投资者的目标是解决其最终财富上预期效用的最大化问题。在这个市场中，股票价格是由一个不一定是半鞅的过程驱动的。

然而，投资者按价格购买股票，但只收到（1- λ） S出售时，w在这里λ表示恒定的比例交易成本。投资者用可接受的策略交易股票S，并被要求在最后时刻T清算其在股票中的所有头寸。正半线上的效用最大化问题由一组可容许的交易策略a（x）表示：EUVliqT（Д）→ 最大值！，φ = (φ, φ) ∈ A（x），（1.1）*作者衷心感谢奥地利科学基金（FWF）在25815号拨款下、欧洲研究理事会在321111号ERC高级拨款下以及维也纳大学在短期大海外（KWA）下提供的财政支持。这项工作的一部分是在L.Gu和J.Yang访问CMAP期间完成的，由N.Touzi教授主持，感谢他们。+通信人：yiqing。lin@polyt技术。eduwhereД和Д分别表示其在债券和股票中的头寸。对于超越半鞅的无摩擦市场模型，通常存在套利机会，因此效用最大化问题不能很好地解决。然而，交易成本的存在可能会排除此类策略：例如，Guasoni[Gua06]表明，当考虑到任意小比例的交易成本时，分数Black-Scholes模型是无套利的。在这种情况下，可以为具有有限间接效用函数的最大化问题找到最优策略【Gua02】。在比例交易成本λ的情况下，效用最大化的对偶理论可以追溯到[C K96，CW01]的开创性工作，当时S由It^o过程驱动，后来[CS16a，CSY17]将其扩展到效用函数仅支持正半直线的一般框架。

此外，我们在类似的上下文中引用了[DPT01、Bou02、BM03、CO 11、Yu17]，但可能具有多变量效用函数。在[CS16a]中，原始问题的解偶bД=（bД，bД）与以下对偶问题的解相关联[V（yYT）]→ 最小值！，Y=（Y，Y）∈ B（1）。（1.2）事实上，问题（1.1）是在[JK95]中引入的一致价格体系存在的假设下解决的。精确地说，一致的p-rice s-y-stem是一对过程Z=（Z，Z），由严格正的martin gale Zan和正的局部鞅Zsuch thatSZt：=ZtZt组成∈ [(1 - λ） S，S]，0≤ t型≤ T、 a.s.在无摩擦市场中，当在（NFLVR）（或（NUPBR））的假设下考虑相同问题时，这些过程扮演“等效局部鞅度量”（或“等效局部鞅定义”）的角色。与[KS99]中的Fatou极限论点不同，对偶问题（1.2）的域B（1）是所有可选的强超鞅的集合，这些超鞅是[CS16b]Znτ中一致价格系统的极限-→ Yτ，在P中，对于所有0≤ τ ≤ T、 （1.3）我们指出[CS16a，CSY17]中的对偶结果不仅是静态的，而且是动态的，这意味着可以通过=由，由在B（1）中，其第一个分量Y达到（1.2）的最优性。此外，如果ProcessBy是局部鞅，那么影子市场可以定义为[CS16a]小瓶：=bYbY。从概念上讲，所谓的影子市场是一个无摩擦的市场，由买卖价差之间的一些公关过程驱动[（1- λ） S，S]。如果投资者在交易成本下与无摩擦的S而不是与S进行交易，效用最大化问题（1.1）由相同的交易策略解决，该策略产生相同的最优性。

早在文献[CK96]中，就已经研究了ODP和影子价格过程之间的关系。值得一提的是，如果概率空间是有限的，那么such过程总是存在的，参见[KMK11]。然而，它可能无法在一般环境中存在（参见[BCKMK13，CMKS14]中的反例）。关于效用最大化问题（1.1），[CSY17，CPSY17]研究了局部鞅型ODP存在的充分条件，以便在它们的情况下，可以根据[CS16a]的结果构造影子价格。本文讨论了[CS16a，CSY17]中对偶结果的敏感性。特别是，我们考虑的问题是：输入参数（初始财富、投资者偏好等）的微小变化如何对问题的最优策略和最优性施加影响（1.1）？在没有转移成本的框架中，类似于（1.1）的问题的稳定性研究可追溯到[JN04]（另见[CR07]），其中Jouini和Napp证明了LP收敛（p≥ 1） 在It^o过程市场中，当效用函数受到扰动时，最优投资-消费策略。然后，将这一结果推广到byLarsen[Lar09]，以考虑一般连续半鞅市场中的类似问题。与[JN04]类似，Larsen对效用函数序列施加了增长条件。另一方面，如果只假设效用函数的路径收敛，他就有一个反例，证明了它在推导值函数连续性方面的效率。（有关此统一可积性（UI）类型条件的详细讨论，请参见[Kv11]）。

在[Kv11]中，Kardaras和ˇZitkovi'c不仅允许投资者的偏好发生变化，还允许主观概率发生变化，并获得了prim al和Dual优化器的L稳定性以及值函数及其导数的连续性。最近，Xing在[Xin17]中研究了当目标指数效用函数近似于R或半直线上定义的函数时的问题。[Lv07，Fre13，BK13，Wes16]中研究了另一类稳定性问题（另见[MW13]），其中模型的误判由风险y过程系数的变化表示。本文件组织如下。在第2节中，我们介绍了模型的公式和用c\'adl\'ag价格过程解决问题（1.1）的对偶结果。然后，我们在第3节中进行了敏感性分析，其中我们将[Kv11]中的（UI）条件与交易成本下的上下文相适应。对于受扰动的初始财富序列、投资者偏好和市场主观概率，我们发现了原始和对偶优化器的L-稳定性以及原始和对偶值函数及其导数的连续性。第4.1节致力于研究问题的杜阿尔域（1.2）和ODP的性质，这补充了[CS16a，CSY17]中的结果。特别是，我们为Y显示th∈ B（1），第一分量是局部鞅当且仅当是局部鞅。此外，我们还提供了一个简单的解释，说明了当S是连续的且最优财富过程的运行清算值远离0时，为什么ODP必须是[CSY17]中的局部鞅（见（4.3））。另一个重要的观察结果是，最优对偶过程不是唯一的，这与经典无摩擦理论的结果相反。感谢W。

Schachermayer，一个反例被构造成一个简单的几何布朗运动。除了第3节中的静态稳定性结果外，我们还根据上一小节中对ODPs的研究，研究了第4.2节中所谓的动态稳定性。数学上，如果{bYn}n∈若不存在与微扰问题相关的ODP，则至少存在{bYn}n的凸组合∈n在（1.3）的意义上，加入限制条件（x；U，P）。此限制必须是限制问题的ODP。当考虑到[CSY17，CPSY17]的情况时，动态稳定性结果为从扰动问题中构造极限问题的s hadow-price过程提供了一种可能的方法，这在本节第4.3.2节效用最大化问题的公式中进行了研究，我们引入了一个基于num'eraire的市场模型，其中包含交易成本和[CS16a]中获得的现有对偶结果。固定时间范围T>0。市场涉及比例交易成本0<λ<1，换言之，金融代理人必须以较高的要价St购买股票，并且只能收到较低的出价（1- λ） 销售时。假设2.1。股票价格过程S=（St）0≤t型≤它是严格正的，c\'adl\'ag，根据过滤的概率空间进行调整(Ohm , F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）满足光连续性和饱和性的一般条件。此外，我们假设FT-= FTand ST-= ST.备注2.2。附加假设FT-= FTand ST-= 盯着看，以避免在终端时间T进行可能的交易的特殊标记。也就是说，在不丧失一般性的情况下，我们假设价格S在最终时间T不会上涨，而投资者仍然可以清算其持有的STOCK股票，因此我们可以让ДT=0。有关这些假设的更多详情，请参阅，例如，[CS06，备注4.2]或[CS16a，p。

1895].定义2.3。模拟债券和股票单位持有量的交易策略是一个R值、可预测、有限变化过程Д=（Дt，Дt）0≤t型≤t确认满足以下自我融资约束：ZtsdДu≤ -ZtsSudД1，↑u+Zts（1- λ） SudД1，↓u、 对于所有0≤ s<t≤ T，其中Д=Д1，↑- φ1,↓表示两个递增过程的差异对ν的规范分解。备注2.4。任何有限的变化过程都是l\'adl\'ag。正如[CSY17]中所指出的，如果价格过程是连续的，我们可以假设交易策略是c\'adl\'ag。定义2.5。固定交易成本的0<λ<1级。对于交易策略Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T、 我们确定其在时间T的清算价值Vliqt（Д）∈ [0，T]byVliqt（Д）：=ДT+（ДT）+（1- λ） St公司- （^1t）-St.如果Vliqt（Д），则称交易策略Д为可接受≥ 0表示所有0≤ t型≤ T对于x>0，我们用A（x）表示所有可接受的、自我融资的交易策略的集合Д=（Дt，Дt）0≤t型≤T、 从初始捐赠（Д，Д）=（x，0）开始。用C（x）表示终端清算值的凸集SC（x）：=nVliqT（Д）：Д∈ A（x）o L+（P），等于集合ДT：Д=（Д，Д）∈ A（x），ДT=0如【CS16a】所述。我们使用效用函数对代理的偏好进行建模。假设2.6。让U：R+→ R是严格递增、严格凹、光滑函数，满足Inada条件U′（0）=∞ 和U′(∞) = 0，以及[KS99]中引入的“合理渐近弹性”条件，即AE（U）：=lim supx→∞xU′（x）U（x）<1。给定初始禀赋x>0，代理希望在最终时间T:E最大化其预期效用UVliqT（Д）→ 最大值！，φ ∈ A（x）。（2.1）为了避免这种微不足道的情况，我们有以下假设。假设2.7。

假设是这样∈C（x）E[U（g）]<∞,对于某些x>0。[C S16a]中关于效用最大化的对偶定理要求假设一致价格系统的存在性，这类似于等价m artin-Galemasures的存在性或无价格市场的一些类似较弱条件。定义2.8。固定0<λ<1。λ-一致价格系统是一个二维严格正过程Z=（Zt，Zt）0≤t型≤Twith Z=1，由一个鞅zan和一个局部鞅Zunder P组成，因此est：=ZtZt∈ [(1 - λ） St，St]，0≤ t型≤ T、 a.s.我们用Zλ（s）表示λ-一致价格体系的集合，我们说，如果Zλ（s）是非空的，则s满足承认λ-一致价格体系的条件（CP sλ）。定义2.9。如果存在严格正过程Z和序列{τn}n，我们说S局部满足条件（CP Sλ）∈Nof【0，T】∪ {∞}-有价值的停止时间，增加到完整性，这样每个停止的过程Zτ为停止的过程Sτn定义一个λ-一致的价格系统。我们称此过程Z为局部λ-一致的价格系统，并用Zloc表示，λ是所有过程的集合。假设2.10。对于所有0<u<λ，股票价格过程局部满足（CP Su）。定义2.11（可选强上马）。一个实值随机过程X=（Xt）0≤t型≤如果（1）X是可选的，则称为可选的强上鞅；（2） Xτ对于每[0，T]值的停止时间τ是可积的；（3） 对于所有停车时间σ和τ，0≤ σ < τ ≤ T，我们有xσ≥ E[Xτ| Fσ]。备注2.12。Mertens在[Mer72]中引入的这类过程的概念是对c\'adl\'ag超级鞅的推广。读者还可参考[DM82，附录I]了解这些过程的更多特性。定义2.13。

我们用B（y）表示所有可选强超鞅的集合，这是一对非负可选强超鞅y=（Yt，Yt）0≤t型≤Tsuch thatY=y，y=对某些[（1- λ） S，S]-值进程=（eSt）0≤t型≤T、 Y（Д+ДeS）=YД+YД是所有（Д，Д）的非负可选强上乘函数∈ A（1）。相应地，定义（y）=纽约时报：（y，y）∈ B（y）o，对于y>0。备注2.14。在无摩擦的情况下，我们不需要使用supermartingale deflicator的可选版本，因为与交易策略相关的财富过程始终是一个随机积分，这在新的背景下并不一定是真的。s=C（1）和D=D（1）之间的极性 L+（P）在[CS16a，引理A.1]中建立，这意味着C和D在此新上下文中逐字满足[KS99，命题3.1]中列出的条件。因此，【CS16a】中的以下二元性结果是按照【KS99】中的行直接得出的。定理2.15（对偶定理，[CS16a，Th eorem 3.2]）。在假设2.1、2.6、2.7、2.10下，定义原始和对偶值函数asu（x）：=supg∈C（x）E[U（g）]，v（y）：=infh∈D（y）E[V（h）]，（2.2），其中V（y）：=supx>0{U（x）- xy}，y>0，是U的共轭函数。然后，以下语句成立。（i） 函数u（x）和v（y）的值为整数值，对于所有x，y>0，且相互共轭ev（y）=supx>0[u（x）- xy]，u（x）=infy>0[v（y）+xy]。函数u和v是连续可微的，且严格凹（分别为凸）且满足yu′（0）=-v′（0）=∞, u′型(∞) = v′(∞) = 0。（ii）对于所有x，y>0，解决方案bg（x）∈ C（x）和BH（y）∈ D（y）存在，是唯一的，取其值a.s.（0，∞). 有bД（x），bД（x）∈ A（x）和bY（y），bY（y）∈ B（y）这样b^1（x）= bхT=bg（x）和byt（y）=bh（y）。