通过无套利在广义HJM型框架中进行深度学习

因此，经典It^o微积分将适用于St.与[6，39，22]类似，潜在过程的因子模型φ将始终适用于可积分和可适当区分。具体而言，φ将属于pw的Banach子空间Xu（I×M×U），可连续嵌入Fr’echet空间C1,2,2（I×M×U）；这里，ν是I上支持的Borel概率度量，u是M×U上支持的Borel概率度量，ν和u都等效于受其支持限制的相应Lebesguemeasures。这里，1≤ p<∞ 保持固定。债券建模文献中反复出现的一个例子是[81]的Nelson-Siegel模型，如[26，27]所述，该模型将远期利率曲线表示为其水平的函数，s lope，A.Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5than和通过因子模型的曲率。Nelson-Siegel系列是更大类别的有效期结构模型的一部分，在该模型中，在任何给定的时间，远期利率曲线都是通过一组市场因素描述的，如Д（t，β，u），Д（u+t）+dXi=1βiДi（u+t），（5），其中d是一个正整数∈ X和Д是一条远期利率曲线，通常根据t=0时的可用数据进行校准。然而，如[36]所示，Nelson-Siegel模型通常不是无套利的，因此我们想学习最接近的无套利因子模型，由相同的

例如l 可能被视为X上的范数。从几何学上来说，AFProj描述了一种将φ投影到Hof因子模型子集（可能是非凸的）上的方法，使得每个St（φut，[φu]t；u）成为每个u的P-局部鞅∈ U、 一般来说，（AFProj）描述的问题可能难以实现，因为非凸集上的投影表现不佳。因此，与正则化文献（如[57，54，91]）类似，在统计学习理论中，人们可以考虑（AFProj）的以下松弛，因为它更容易受到数值影响argminφ的影响∈Hl (φ - φ） +AFλ（φ）；（AFReg）式中{AFλ}2≤λ<∞是从H到[0，∞] 如果eachSt（φut，[φu]t；u）同时是u的每个值的P-局部鞅，则取值0，其中λ是一个元参数，用于确定对惩罚因子模型的重视程度，该模型无法满足该要求。（AFReg）将被称为无套利正则化问题。[68]在债券市场的连续时间框架内考虑了（AFReg）的数值解，并且（AFReg）的离散时间类似物已由[74、73、13]f或股票组合实施。在这两种情况下，从数值上理解（AFReg）为（AFProj）的解提供了一个合适的估计。本文的第二个核心目标是确立这一事实。因此，本文的中心数学程序可概述如下。首先，当评估因子模型定义P-局部鞅族时，将构造n个负惩罚函数族AFλ的值为0。其次，利用文献[21]中发展的Γ-收敛理论，可以证明（AFReg）的优化器收敛到（AFProj）的另一个优化器。这是第2节的内容。

关于ce，问题已经在全面的概括性中得到解决，第3节返回到激励债券的例子。其中，深度前馈神经网络的灵活性用于近似（AFReg），并与其他方法进行比较。为了方便起见，现在将总结精确的假设和符号。A、 Kratsios，C.Hyndman Dec 5第1.1条深度AF正则化。本文将保留以下符号。（i） i，[0，∞).（ii）（M，gt）是（RN，gEUC）的一个具有时变连接的黎曼子流形，其中gEUC是RN上的黎曼度量。初始帧U将始终固定。（iii）u是I×U上的Borel概率测度（相对于其相对拓扑），它等效于其支撑上的L ebesgue测度，（iv）C1,2,2（I×M×U）是从I×M×U到R的函数空间，第一个输入中包含一个导数，其他输入中包含两个导数；它将通过以下半范数族进行拓扑化spγ、α、δ、K（φ）、sup |γ|≤1,|α|≤2,|δ|≤2sup（t，β，u）∈Kγsγ|α|βαii。βαjj|δ|uδli。uδkjφ（t，β，u）;其中K是I×M×U的非空紧子集，γ、α、dδ是（多）指数。假设1.2。本文将坚持以下假设。（i） β是一个Ft自适应的gt水平s emi鞅，具有固定的初始帧Ξ∈ O（M）和随机反发展bt是Rd值de（1）的唯一强解；其中wt是Rd值布朗运动，分量ui:R1+d→ R areglobally K-Lipschitz，组件σi，j:R1+d→ Rd×ddi，j=1为全局K-Lipschitz，其中K，K>0。（二）φ∈ X，其中X是Lpν的Banach子空间ν（I×M×U），它允许连续嵌入C1，2，2（I×M×U）。

此外，X将始终被视为连续嵌入此空间中。（iii）对于每个u∈ U、 {St（·，·；U）}t∈[0,∞)是C1,2b中的非预期泛函，验证了[46]的以下“可预测依赖”条件，St（xt，xt；u）=St（xt，xt-; u）(t型∈ [0, ∞))（x，v）∈ D（[0，t]；Rd）×D（[0，t]；Sd+）,其中，Sd+是具有实系数的d×d维正半有限矩阵集，（iv）假设类别H X是一个非空且未绑定的ed。在转向术语结构模型的应用之前，本文的中心问题将在完全通用的情况下得到解决。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5 Th2（AFReg）和（AFProj）的一般解在本节中，我们展示了一般资产类别问题（AFProj）和（AFReg）的渐近等价性。这首先需要构造惩罚项AFλ，衡量给定因子模型离P-局部鞅有多远。AFλ的构造分两步进行，第一步是漂移条件，确保每个{Xt（u）}u∈Uis同时是局部鞅，这推广了[55]的漂移条件，并提供了与[40]一致性条件的类似。在第二步中，d裂谷条件将用于建立（AFReg）中的惩罚项。随后，将使用（AFReg）的优化器进行统一求解（AFProj）。命题2.1（漂移条件）。设φ，S，β如上所示。那么Xt（u）是P-局部鞅，对于每个u∈ U同时，当且仅当-DSs（φus，[φu]s；u）=Ss（φus，[φu]s；u）”φt（s，βs，u）+dXi=1φβi（s，βs，u）ui（s，bs）+dXi，j=1φβiβj（s，βs，u）-dXk=1Γki，j（t）kφβk（s，βs，u）！σi（s，bs）σj（s，bs）+tr公司Ss（φus，[φu]s；u）dXi=1φβi（s，βs，u）σi（s，bs）！。（6） 满足每一个t∈ [0, ∞) 和每个u∈ UP-a.s.证明。

对于每个u∈ U、 我们用φut=φU+ZtαU（s，φus）ds+ZtγU（s，φus）dWs来表示过程φ（t，βt，U）。根据泛函It^o公式，【16，定理4.1】，如果遵循该公式，则对于每个u∈ USt（φut，[φu]t；u）=St（0，φu，[φu]；u）+Zt[DSs（φus，[φu]s；u）+Ss（φus，[φu]s；u）αu（s，φus）+trSs（φus，[φu]s；u）（γu（s，φus））ds+ZtSs（φus，[φu]s；u）γu（s，φus）dWs。（7） 从鞅表示定理，[16，定理5.2]和（7）可以得出，foreach u∈ U、 p过程φutis是p-局部鞅当且仅当- DSs（φus，[φu]s；u）=Ss（φus，[φu]s；u）αu（s，φus）+trSs（φus，[φu]s；u）（γu（s，φus））（8）A.Kratsios，C.Hyndman Deep AF正则化12月5日接下来，描述了Au和γuar的数量。根据具有时间依赖性ent连接的黎曼方程的It^o公式，参见[52，推论3.6]，它遵循f或每个u∈ U（在局部坐标中工作）φ（t，βt，U）=Ztφt（s，βs，u）ds+ZtdXi=1φβi（s，βs，u）dbis+ZtdXi，j=1φβiβj（s，βs，u）-dXk=1Γki，j（t）kφβk（s，βs，u）！d[b]i，jsds=Zt“φt（s，βs，u）+dXi=1φβi（s，βs，u）ui（s，bs）ds+dXi，j=1φβiβj（s，βs，u）-dXk=1Γki，j（t）kφβk（s，βs，u）！σi（s，bs）σj（s，bs）ds+ZtdXi=1φβi（s，βs，u）σi（s，bs）dWis。（9） 鞅表示定理和（9）暗示αu（s，φus）=φt（s，βs，u）+dXi=1φβi（s，βs，u）ui（s，bs）+dXi，j=1φβiβj（s，βs，u）-dXk=1Γki，j（t）kφβk（s，βs，u）！σi（s，bs）σj（s，bs）γu（s，φus）=dXi=1φβi（s，βs，u）σi（s，bs）。（10） 将（10）并入（8）产量（6）。因此，对于St（φut，[φu]t，u）是一个P-局部鞅，同时对于每个u∈ U、 当且仅当P-a.s.（6）同时适用于每个U∈ U、 定理（2.1）中得到的漂移条件意味着，如果φ使得（6）左右两侧的d差等于0，则对于所有U∈ 然后St（φut，[φU]t；U）同时是所有U的P-局部鞅∈ U

因此，St（φut，[φu]t；u）同时是所有u的aP局部鞅∈ U如果对于每个U∈ U[0，∞)-取值过程∧ut（φ）等于0P-a.s，其中∧ut（φ）由∧ut（φ）用（6）定义，DSs（φus，[φu]s；u）+Ss（φus，[φu]s；u）”φt（s，βs，u）+dXi=1φβi（s，βs，u）ui（s，bs）+dXi，j=1φβiβj（s，βs，u）-dXk=1Γki，j（t）kφβk（s，βs，u）！σi（s，bs）σj（s，bs）+tr公司Ss（φus，[φu]s；u）dXi=1φβi（s，βs，u）σi（s，bs）！;（11） A.Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation 12月5日，与之前一样，缩写为φut，φ（t，βt，u）。通过整合t和u的总体值，可以使用∧ut（φ）过程来定义（AFReg）中的惩罚。然而，在某些应用中，例如债券市场，更方便的方法是根据∧ut（φ）的除数构建AFλ，如以下定义所形式化。定义2.2（套利罚款）让{∧ut（φ）}φ∈Hu∈Ube一系列Ft-adapted[0，∞)∧ut（φ）（ω）=0的有值随机过程=> ∧ut（φ）（ω）=0，（12）适用于所有φ∈ H，t∈ 一、 u型∈ U、 P-几乎每个ω∈ Ohm. 然后，对于每个λ≥ 0，族{AFλ}λ≥函数0λ：X→ [0, ∞]φ 7→ λEP“λsZ（t，u）∈I×U |∧ut（φ）|λdu（t，U）#。（13） 据说定义了套利罚款。备注2.3。积分EPhλqR（t，u）的约定∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）等于（正）∞ 当其被积函数不可积时，将在本文中保持。下一个定理证明了问题（AFProj）和（AFReg）之间的等价性。证明依赖于Γ-收敛理论。这一理论致力于分析需要交换极限和arginf运算的问题。Brie fly，Γ-收敛理论是Weirestrass定理的外推[42，定理2.2]。最优化理论的这一基本结果表明，一个适当的、下半连续的、有界于下的强制函数允许一个极小值。

如[21]所示，除此之外，适当函数的ifa序列收敛到适当一致意义下的适当下半连续函数，称为等矫顽力，然后函数序列的极小化子序列收敛到极限函数的极小化子。或者，函数序列的Γ-收敛可以从几何学上理解为函数序列铭文到极限函数铭文的Kuratowski收敛（在[72]中介绍的集合收敛的一种形式）。铭文的收敛性这意味着这些铭文的最低点收敛到极限函数铭文闭合的最低点。此外，如果极限函数是下半连续的，则任何这样的最低点都必须位于其上。因此，在这种情况下，可以互换极限和极限操作。关于Γ-收敛的更多详细信息也可以在[20，70]中找到。需要以下附加假设，即ich在期限结构设置中是否满足。假设2.4。需要以下假设。（i） 永远yφ∈ H和P-a.e.ω∈ Ohm, 函数（t，u）7→ ∧ut（φ）（ω）在H上是连续的，（ii）{φ∈ H:(u∈ U） St（φut，[φU]t；U）是一个P-局部鞅} H关闭且非空。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF正则化12月5日注意，（i）和（ii）都是关于H上的相对拓扑的。定理2.5。在假设2.4下，以下保持：（i）（AFProj）在H（ii）limλ上允许一个极小值↑∞; λ≥2infφ∈Hl(φ - φ） +AFλ（φ）=最小φ∈Hl(φ - φ） +ιH（φ），（iii）If对于每个λ≥ 2 AFλ在H thenlimλ上是下半连续的↑∞; λ≥2argminφ∈Hl（Д）+AFλ（φ）=argminφ∈Hl（Д）+ιH（φ）。（14） 其中，H定义为H（φ），（0：(u∈ U） St（φut，[φU]t；U）是一个P-局部鞅∞ : 其他的（15） 证明。

因为（I×U，B（I×U），u）是一个有限的度量空间，那么limλ↑∞; λ≥2Z（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ=esssup（t，u）∈I×U∧ut（φ）；（16） 根据假设（2.4）（i），map（t，u）7→ 对于每个φ，∧ut（φ）是连续的∈ H，因此为SUP（t，u）∈I×U∧ut（φ）=sup（t，U）∈I×U∧ut（φ）。（17） 由于极限的乘积是乘积的极限，那么（16）y ieldslimλ↑∞; λ≥2λZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ=直线度λ↑∞; λ≥2λesssup（t，u）∈I×U∧ut（φ）=limλ↑∞; λ≥2λsup（t，u）∈I×U∧ut（φ）=0：sup（t，u）∈I×U∧ut（φ）=0∞ : 其他的（18） 因为u是以I×U为单位的概率度量，所以对于每1≤ λ≤ λ< ∞, 因此，foreveryφ∈ 赫兹（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ≤Z（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ≤ esssup（t，u）∈I×U |∧ut（φ）|。（19） 因此，对于每个φ∈ H，由（16）描述的收敛是单调（递增）和非负的；因此，根据单调收敛定理，可以得出limλ↑∞; λ≥2λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ=0：sup（t，u）∈I×U∧ut（φ）=0，P- a、 s。∞ : 其他的（20） A.Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5将位置2.1应用于（20）的右侧，可以得出ιH（φ）=0：sup（t，u）∈I×U∧ut（φ），P- a、 s.=0∞ : else（21）中的定义如（15）所示。因此，以下限值保持不变λ↑∞; λ≥2λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ= ιH（φ）(φ ∈ H）。（22）因此（22）确定了惩罚函数AFλ到ιH的收敛性，单位为H。

其次，建立了它们的Γ-收敛性，并利用它们的Γ-收敛性将（AFReg）中目标函数的Γ-收敛性推导出（AFProj）的目标函数。应用（19）和积分的单调性，可以得出对于每个φ∈ HλEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ≤ λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ≤ ιH（φ）。（23）因此，（23）连同[20，命题5.4]和[7，备注1.40（ii）]意味着（在H上）Γ-limλ↑∞; λ≥2λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ= ιlscH（φ），（24），其中ιlscHis是ιHon H的下半连续弛豫；即最小下半连续函数支配ιHon H；有关详细说明，请参见【42，第11页】。然而，假设（2.4）（ii）意味着ιHis确实是下半连续的；因此，ιlscH=ιH，在H上。因此，（24）简化为Γ-limλ↑∞; λ≥2λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ= ιH（φ）。（25）由于Γ-极限在连续扰动下是不变的，请参见[42，T heorem 2.8]，然后（25）和l(φ - ·) on H表示th at（on H）Γ-limλ↑∞; λ≥2.l (φ - ·) + λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（·）|λdu（t，U）！λ= l（Д）+ιH（·）。（26）为了应用Γ-收敛的基本定理，（26）左侧的函数族必须是等强制的。自λEP起R（t，u）∈I×U |∧ut（·）|λdu（t，U）λ是非负的，既然H是无界的，那么l（Д）是H上的曲线，即：limλ↑∞; λ≥2.l(φ) = ∞, （27）A.Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5than通过【20，提案7.7】以及（27）得出如下结论：l(φ) ≤ l（Д）+λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（·）|λdu（t，U）！λ(λ ≥ 2) ;（28）从哪里来，l（Д）+λEPR（t，u）∈I×U∧ut（·）|λdu（t，U）λλ≥2在H上形成一个等强制族。因此l（Д）+λEPR（t，u）∈I×U∧ut（·）|λdu（t，U）λλ≥2定义一个等式族，该族在H上Γ-收敛于ιH。因此，（26）和（28）一起意味着Γ-收敛的基本定理[20，定理7.8]适用。

因此，limλ↑∞; λ≥2infφ∈Hl（Д）+λEPZ（t，u）∈I×U∧ut（φ）|λdu（t，U）！λ= 最小φ∈Hl（Д）+ιH（φ）。（29）最后，[20，定理7.8]还暗示l（Д）+ιH（·）对H是强制的。因此l（Д）+ιH（·）是强制的，下半连续的，并且以0为界。因此，根据Weirestrass\'sTheorem，【42，定理2.2】，可以得出如下结论：l（Д）+ιH（·）允许H上有一个极小值。接下来，定理2.5和无套利调节（AFReg）将应用于债券市场。3[27]中讨论的债券价格的无套利正则化，由于期限结构模型的可跟踪性和可解释性，在远期利率曲线建模中通常使用期限结构模型。在[6]的公式中，如[35，41]进一步发展，一个有效期限结构模型的特点是（5）以及额外的要求，即其随机因素过程βt遵循一个有效的差异；byresults（如[29，17，64]）表明，β皮重的动力学由ui（t，β），γi+dXi=1γi，jβi给出σi（t，β）Tσj（T，β），αi，j+dXi，j=1αk；i、 jβk，（30），其中γi，γi，j，αi，j，αk；i、 j∈ R和i，j=1，d、 进一步注意，在此设置中，几何量M=Rdis欧几里德；基督的符号从何处消失，即：Γki，j=0。固定元参数p，κ≥ 1、对于下一个结果，所有因子模型将被视为属于加权Sobolev空间Wp，kw（I×M×U），权重函数w（t，β，U），Ce-|t型|-kβkκ-|u |κ，（31）A.Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5，其中C是唯一常数，确保1∈ Wp，Kw，其加权积分等于1，k需要满足yk≥1+d+Dp+2。（32）通过要求所考虑的无轨道正则化（AFReg）因子模型属于由φ（t，β，u）=φ（u+t）+dXi=1βiφi（u+t）定义的H类，确保了分析的可跟踪性。