通过无套利在广义HJM型框架中进行深度学习

Hyndman Deep AF Regulation Dec 5thModel \\成熟度0.5 1 2 3 4 Vasiˇcek 3.155e-01 4.323e-01 3.622e-01 1.950e-01 5.730e-02dPCA 2.526e-01 4.349e-01 4.176e-01 2.526e-01 9.261e-02AF-Reg（dPCA）8.066e-01 6.943e-01 5.110e-01 2.755e-01 9.588e-02NS 4.513e-02 1.479e-01 01 2.134e-01 1.477e-01 5.968e-02AFNS 4.513e-02 1.479e-01 2.134e-01 1.477e-01 5.968e-02AF-Reg（NS）2.903e-02 9.514e-02 1.601e-01 1.235e-016.482e-02型号\\成熟度5 6 7 8 9Vasiˇcek 7.735e-03 1.996e-04 1.024e-03 1.480e-03 1.348e-03dPCA 2.193e-02 3.326e-03 3.119e-04 1.897e-05 8.097e-07AF-Reg（dPCA）2.221e-02 3.340e-03 3.123e-04 1.898e-05 8.099e-07NS 1.972e-02 8.313e-03 5.323 E-03 3.925e-03 2.998e-03AFNS 1.972e-02 8.313e-03 5.323e-03 3.925e-03 2.998e-03AF-Reg（NS）3.579e-02 2.236e-02 1.523e-02 1.050e-02 7.308e-03表1：（短）：MSE1日前债券价格预测的比较。型号\\成熟度10 11 12 13 14Vasiˇcek 1.108e-03 9.002e-04 7.382e-04 6.125e-04 5.135e-04dPCA 2.578e-08 6.328e-10 1.433e-11 2.607e-13 4.179e-15AF-Reg（dPCA）2.579e-08 6.328e-10 1.433e-11 2.607e-13 4.179e-15NS 2.381e-03 1.969e-03 1.686e-03 1.484e E-03 1.337e-03AFNS 2.381e-03 1.969e-03 1.686e-03 1.484e-03 1.337e-03AF-Reg（NS）5.215e-03 3.827e-03 2.885e-03 2.229e-03 1.761e-03模型\\成熟度15 16 1718 19Vasiˇcek 4.342e-04 3.698e-04 3.169e-04 2.729e-04 2.360e-04dPCA 6.714e-17 9.566e-19 1.426e-20 1.819e-22 2.749e-24AF-Reg（dPCA）6.714e-17 9.566e-19 1.426e-20 1.818e-22 2.746e-24NS 1.225e-03 1.138e-03 1.069e-03 1.012e-03 9.639e-04AFNS 1.225e-03 1.138e-03 1.069e-03 1.012e-03 9.639e-04AF-Reg（NS）1.422e-03 1.171e-03 9.831e-04 8.406e-04 7.316e-04表2：（Mid）：提前1天的MSE比较债券价格预测。A、 克拉齐奥斯，C。

Hyndman Deep AF Regulation Dec 5模型\\成熟度20 21 22 23 24Vasiˇcek 2.049e-04 1.784e-04 1.558e-04 1.364e-04 1.196e-04dPCA 3.816e-26 5.254e-28 8.047e-30 9.958e-32 1.336e-33AF-Reg（dPCA）3.781e-26 4.847e-28 3.015e-30 2.684e-30 1.452e-29NS 9.228e-04 8.866e-04 8.542e-04 8.247e-04 7.976e-04AFNS 9.228e-04 8.866e-04 8.542e-04 8.247e-04 7.976e-04AF-Reg（NS）6.480e-04 5.838e-04 5.349e-044.984e-04 4.814e-04型号\\成熟度25 26 27 28 29 VASIˇcek 1.051e-04 9.254e-05 8.160e-05 7.205e-05 6.371e-05dPCA 2.067e-35 2.814e-37 3.639e-39 5.371e-41 7.459e-43AF-Reg（dPCA）9.846e-29 1.102e-27 2.108e-26 6.986e-25 3.979e-23NS 7.722e-04 7.484e-04 7.257e-04 7.041e-04 6.835e-04AFNS 7.722e-04 7.484e-04 7.257e-04 7.041e-04 6.835e-04AF-Reg（NS）4.911e-04 5.288e-04 6.011e-04 7.214e-04 9.138e-04表3：（长）：1日前债券价格预测的MSE比较。Vasiˇcek 6.371e-05dPCA 7.459e-43AF-Reg（dPCA）3.979e-23NS 6.835e-04AFNS 6.835e-04AF-Reg（NS）9.138e-04表4：（30年）：1天期前债券价格预测的MSE比较。我们的数值实现突出了关于无套利正则化方法的几个关键事实。首先，对于几乎每一个成熟度，因子模型的无套利正则化的经验表现都与原始因子模型相当。当将无套利的有限维HJ M模型投影到Nelson-Siegel曲线的有限维流形上时，在[25]中观察到类似现象。因此，纠正套利行为不会带来显著的预测成本。

然而，它确实带来了使模型在理论上合理并与套利定价技术兼容的好处。其次，由于（AFReg）在建模过程中引入了额外的约束，因此因子模型的无套利正则化与初始f因子模型相比，性能有所降低。在动态Nelson-Siegel模型的无套利Nelson-Siegel修正中，也观察到了这种现象。因此，不应期望通过纠正套利的存在来提高初始因子模型的预测性能。第三，在几乎所有到期日，AF Reg（dPCA）的经验表现明显优于其他无套利模型n amely AFNS、AF Reg（NS）和Vasiˇcekmodel的经验表现。中长期零息债券尤其如此。此外，与我们的第二点类似，AF Reg（dPCA）A.Kratsios、C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5than和dPCA的性能具有可比性。同样，对于大多数患者，th eAFNS、dNS和AF Reg（NS）模型的经验性能都相似，明显低于AF Reg（dPCA）、dPCA和Vasiˇcek模型的性能。这强调了一个事实，即无套利正则化方法只有在原始模型本身产生准确预测的情况下才能产生性能模型。因此，应由建模者选择合适的模型；然而，用于开发dPCA和AF Reg（dPCA）的方法可以作为通用的起点。在选择适当的因子模型时必须小心。

然而，由于无套利正则化方法适用于几乎任何因子模型，因此可以使用任何方法生成准确的因子模型，然后求助于无套利正则化，以使其在性能上以较小的成本在理论上保持一致。这为将机器学习模型（如dP CA）应用于融资提供了可能性，而无需担心它们是否无套利，因为它们的无套利正则化已得到很好的定义。此外，深度前馈神经网络的灵活性允许实现（AFReg）。在这种通用计算方法出现之前，这个问题显然是不可行的。我们总结了本文在中所做的贡献。4结论本文介绍了一种新的模型选择问题，并介绍了一种在（AFProj）提出的广义HJM型框架中学习无套利因子模型的方法。通过扩展我们的广义HJM型模型的结构，在命题2.1中得到了[36]的一致性条件和[55]的d裂谷条件的推广，由此可以制定出替代计算可处理模型选择（AFReg）。利用[21]引入的Γ-收敛理论中的技术，定理2.5表明，可处理模型选择（AFReg）的优化器收敛到计算难处理模型选择（AFProj）的优化器。回到期限结构模型的设置，Theorem3.1证明在一个期限结构设置中确实满足了Theorem2.5的条件，并获得了（AFReg）的简化形式。

根据定理3.1，采用深度学习优化方法（AFReg），并考虑进行数值实验，将应用于动态Nelson-Siegel和算法生成模型的无套利正则化方法与其他可比模型进行比较。研究发现，一般而言，无套利正则化方法在进行1天的债券价格预测时不会产生显著的预测成本。因此，无套利正则化方法允许on e以符合有效市场假设和套利定价理论的方式使用算法模型，如dPCA，而不会造成显著的性能损失。在未来的研究中，作者计划使用无障碍正则化方法，以与经典套利定价理论一致的方式，评估算法因素模型在其他类型的大型金融市场中的性能。作者要感谢ETH Z¨urich基金会以及加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）为该项目所需的资金。Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation 12月5日从事该研究项目。作者同样要感谢Alina Stancu的许多有益的讨论。参考文献【1】D.-H.Ahn、R.F.Dittmar和A.R.Gallant。四元期限结构模型：理论与证据。《金融研究回顾》，15（1）：243–2882002。[2] G.Alain、Y.Bengio、L.Yao、J.Yosinski、E.Thibodeau Laufer、S.Zhang和P.Vincent。GSNs：生成随机网络s.Inf.推理，5（2）：210–2492016。[3] L.学士。这是一个很好的例子。安。Sci。\'Ecole标准。啜饮。(3), 17:21–86, 1900.[4] H.Bakircioglu和T.Ko,cak。随机神经网络应用综述。EJOR，126（2）：319–330，2000年。[5] V.Bally、L.Caramellino和R.Cont。

部分随机积分和函数It^ocalculus。高等数学课程。C R M巴塞罗那。Birkhauser/Springer，2016年。2012年7月23日至27日，在巴塞罗那举行的巴塞罗那随机分析暑期班讲稿，由Frederic Utzet和Josep Vives编辑。[6] T.比约克和B.J.克里斯滕森。利率动态和一致的远期利率曲线。数学《金融》，9（4）：323–3481999。[7] A.编织物。Γ-初学者的收敛，牛津数学系列讲座第22卷及其应用。牛津大学出版社，牛津，2002年。[8] D.Brigo和F.Mercurio。对数正态混合动态和市场波动率的校准。《国际理论与应用金融杂志》，5（04）：427–4462002。[9] D.C.布罗迪和L.P.休斯顿。C haos和连贯性：利率建模的新框架。《伦敦皇家学会会刊：数学、物理和工程科学》，第460卷，第85-110页。皇家社会，2004年。[10] R.C.Brown和B.Opic。加权Sobolev空间到连续函数空间的Emb eddings。过程。罗伊。Soc。伦敦Ser。A、 439（1906）：279–2961992。[11] R.Carmona。统计中R.Springer文本中财务数据的统计分析。Springer，纽约，第二版，2014年。[12] R.A.卡莫纳。HJM：固定收益、信贷和股票市场动态模型的统一方法。巴黎普林斯顿数学金融讲座2004，数学课堂讲稿1919卷。，第1-50页。柏林斯普林格，2007年。[13] L.Chen、M.Pelger和J.Zhu。深入学习资产定价。SSRN，（3350138），2019年。[14] A.Choromanska、M.Hena Off、M.Mathieu、G.B.Arous和Y.LeCun。多层网络面临的损失。《艺术情报与统计》，第192-204页，2015年。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5【15】J.H.E.Christensen，F.X.Diebold和G.D。

鲁德布什。Nelson-Siegel期限结构模型的无套利类。J、 《计量经济学》，164（1）：2011年4-20日。[16] R.Cont和D.-A.Fourni\'e.泛函It^o演算和鞅的随机积分表示。安。概率。，41, 2013.[17] C.Cuchiero。函数和多项式过程。苏黎世ETH博士论文，2011年。[18] C.Cu chiero、I.Klein和J.Teichman n.大型金融市场资产定价基本理论的新视角。理论概率。应用程序。，60(4):561–579, 2016.[19] G.Cybenko。通过叠加一个S形函数来逼近。数学控制信号系统。，2(4):303–314, 1989.[20] G.Dal Maso。Γ-收敛简介，《非线性微分方程及其应用进展》第8卷。Birkhauser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿，1993年。[21]E.De Giorgi、G.Dal Maso和P.Longo。Γ-Ostacoli有限公司。阿迪·德拉·阿卡德米安·阿齐奥·德伊·林塞伊（Atti della AccademiaNazionale de i Lincei）。科学类、自然类。Re ndiconti，68（6）：481–4871980。【22】F.C.De Vecchi。SPDE的有限维解和有限喷射管的几何结构。arXiv预印本arXiv:1712.084902017。[23]F.Delbaen和W.Schachermayer。资产定价基本定理的一般版本。数学安。，300(3):463–520, 1994.[24]F.Delbaen和W.Schachermayer。无界随机过程资产定价的基本定理。数学安。，312(2):215–250, 1998. I SSN 0025-5831。【25】S.Devin、B.Hanzon和T.Ribarits。一个有限维HJM模型：无套利进化有多重要？内景J.Thero。应用程序。《金融》，13（8）：1241–126320010。【26】F.X.Diebold和C.Li。预测国债收益率的期限结构。J、 计量经济学，130（2）：337–3642006。【27】F.X.Diebold和G.D.Rudebusch。Yie ld曲线建模和预测。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2013年。【28】D.Du ffe和K.Singleton。

可违约债券的期限结构建模。《金融研究评论》，12:68772201999。【29】D.Du ffe、D.Filipovi\'c、D.W.Schachermayer。财务流程和应用。安。应用程序。概率。，13(3):984–1053, 2003.【30】B.杜皮尔。微笑着定价。风险杂志，7（1）：18–20，1994年。[31]B.杜皮尔。函数It^o演算。彭博投资组合研究论文编号：2009-04 Frontiers，2009。【32】C.Ehresm和n.Les单位中的联系不可区分。S’eminaireBourbaki，1:153–168，1948年。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation 12月5日[33]K.D.Elworthy。流形上的随机微分方程，伦敦数学社会讲稿系列第70卷。剑桥大学出版社，剑桥纽约，1982年。[34]K.D.Elworthy、Y.Le Jan和X.-M.Li。过滤几何。数学前沿。Birkhauser Verlag，巴塞尔，2010年。[35]D.Filipovi\'c.指数多项式族和利率期限结构。伯努利，6（6）：1081–11072000。[36]D.Filipovi\'c.Heath Jarrow Morton利率模型的一致性问题，数学课堂讲稿第1760卷。Springer Verlag，柏林，2001年。[37]D.Filipovi\'c.期限结构模型。斯普林格金融公司。Springer Verlag，柏林，2009年。Agraduate cours e.【38】D.Filipovi\'c和S.Tappe。L'evy期限结构模型的存在性。财务Stoch。，12(1):83–115, 2008.[39]D.Filipovic和J.Teichman。hjm框架中随机方程的有限维实现。arXiv预印本数学/01061552000。[40]D.Filipovi\'c and D J.Teichman。关于利率期限结构的几何学。《伦敦皇家学会会刊A：数学、物理和工程科学》，第460卷，第129-167页。皇家学会，2004年。[41]D.Filipovi\'c、S.Tappe和J.Teichman。

维纳过程和泊松测度驱动的期限结构模型：存在性和正性。暹罗J.金融数学。，1(1):523–554, 2010.【42】M.Focardi。γ-收敛：跨尺度研究物理现象的工具。《应用科学中的数学方法》，35（14）：1613–16582012。【43】H.F¨ollmer。无概率计算。850:143–150, 1981.【44】C.Fontana。关于套利、近似套利和资产定价基本定理的注记。《概率与随机过程国际杂志》，86（6）：922–9312014。【45】C.Fontana。连续金融市场的弱和强无套利条件。《国际理论与应用金融杂志》，18（01）：15500052015。【46】D.-A.四年。函数伊藤微积分及其应用。博士论文，2010年。论文（博士）——哥伦比亚大学。【47】E.Gelenbe。运行带有正负信号的dom neu-ral网络，并生成解决方案。神经计算，1（4）：502-5101989。【48】E.Gelenbe。递归随机神经网络的学习。神经计算，5（1）：154–1641993年。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5【49】E.Gelenbe，V.Koubi和F.Pekergin。求解旅行商问题的动态随机神经网络方法。IEEE系统人与控制论会议论文集SMC，第2卷，第630–635页。IE EE，1993年。【50】M.Gidea和Y.Katz。金融时间序列拓扑数据分析：森林景观。物理。A，491:820–8342018。[51]H.Guo、R.Philipowski和A.Thalmaier。具有时间依赖连接的流形上的鞅。J、 Theoret。概率。，28(3):1038–1062, 2015.[52]郭浩，R.Philipowski，d A.T halmaier。具有时间依赖性连接的流形上的鞅。J、 Theoret。概率。，28(3):1038–1062, 2015.【53】J·M·哈里森和D·M·克雷普斯。

多周期证券市场中的鞅与套利。J、 经济学。《理论》，20（3）：381-4081979。【54】T.Hastie、R.Tibshirani和M.Wainwright。稀疏统计学习：拉索和推广。CRC出版社，2015年。[55]D.Heath、R.Jarrow和A.Morton。债券定价和利率期限结构：未定权益估值的新方法。《计量经济学》，第77-1051992页。【56】亨利·拉伯德·埃雷。统一BGM和SABR模型：双曲几何中的一个简短概念。在《金融大偏差和渐近方法》一书中，SpringerProc第110卷。数学《统计》，第71-88页。Springer，2015年。公元57年。霍尔和R·W·肯纳德。岭回归：非正交问题的有偏估计。《技术计量学》，12（1）：55–671970年。[58]K.霍尼克。多层前馈网络的逼近能力。神经网络，4（2）：251–2571991。[59]K.霍尼克、M.斯丁奇科姆和H.怀特。使用多层前馈网络对未知映射及其导数的通用逼近。神经网络，3（5）：551–5601990。[60]H.J aeger和H.Haas。利用非线性：预测混沌系统和无线通信中的节能。《科学》，304（5667）：78–802004。[61]J.Jakubowski和J.Zabczyk。带跳跃的HJM模型的指数矩。财务会计。，11(3):429–445, 2007.【62】S.J azaerli和Y.F.Saporito。函数It^o演算、路径依赖和希腊计算。随机过程。应用程序。，127(12):3997–4028, 2017.[63]J.Kallsen和P.Kr¨uhner。关于股票期权的希思·贾罗·莫顿方法。财务Stoch。，19(3):583–615, 2015.【64】M.Keller Ressel。A ffne流程–对理论和应用的贡献。博士论文，博士论文，杜维恩，2008年。A、 Kratsios，C.Hyndman Deep AF Regulation Dec 5[65]D.P.K ingma和J.Ba。Adam：一种随机优化方法。