用平均场博弈方法研究可耗尽资源的生产和开发

具体而言，如果存在初始分布X~ η，所有球员都应用策略qt=~q（x；⊙η）和at=~a（x；⊙η），然后预备队处理dxt=-对于所有t>0，q（Xt）1{Xt>0}dt+δd▄Nt（5.1）具有分布▄η（·），即储量分布在时间上是不变的。我们将当前预备队水平为x的球员的静态目标函数J定义为，有条件地将预备队分布η（·）定义为J（~q，~a；x，~η）：=EZ∞高清-1.Q（η）q（Xt）- Cq（￠q（Xt））- Ca（￠a（Xt））ie-rtdtX=X, （5.2）式中▄Q（▄η）：=-R∞~q（x）~η（dx）是固定骨料产量。定义5.1（固定制造商MNE）。一个平稳的平均场博弈纳什均衡是一个简单的（~q*, a*, η）使得（5.1）中的（Xt）储量分布η=P（Xt≥ x）t在策略下保持不变（▄q*, a*), 和▄v（x）≡J（▄q*, a*; ~η) ≥J（q，a；η），（q，a）∈ A、 （5.3）下面的命题5.1给出了在恒定发现率λ>0的情况下，静态HJB系统和输运方程的|v，|η。直觉上，在去掉对t的依赖性后，它与上一节中的方程等价。因此，我们将从PDE的微分方程转移到x.命题5.1（表征平稳制造平衡）中的普通微分方程。定常值函数▄vand upper CDF▄η满足：r▄v（x）=[-Ca（yena*（x） ）+~a*（x） λxv（x）]+p  q*（十）- Cq（▄q*（x） （）- q*（x） v（x）, x>0；（5.4）（0=λОa*(0)(1 - ~η(0+)) -Rx0+λИa*（z） η（dz）+q*（x） η（x），0<x≤ δ,0 = -Rxx-ΔλИa*（z） η（dz）+q*（x） η（x），x>δ，（5.5），其中平衡稳定生产和勘探速率（~q*, a*) 而价格p为q*（x） =βL-Q- κ- v（x）+,a*（x） =β（λxv（x）- κ） +，~p=D-1.~Q= L+Z∞q*（x） §η（dx），（5.6），其中▄Q由等式▄Q=-Z∞βL- κ- v（x）-Q+η（dx）。

（5.7）与【25】类似，~v（0）的边界条件由▄v（0）=supa确定≥0Ee-rτИv（δ）-Zτe-rtCa（a）dt= 苏帕≥0aλИv（δ）- Ca（a）r+aλ。（5.8）备注5.1。如果新发现率为零，λ=0，那么从输运方程（5.5）中，对于所有x>0的情况，我们得到|η（x）=0，这意味着从长远来看，没有具有正储备水平的生产者。5.1稳态MFG平衡的求解对于（5.4）-（5.5）中开发的稳态MFG，第4.3节中介绍的迭代方案不直接适用。挑战在于求解稳态输运方程（5.5）。我们看到，x=0处的奇点实际上在x=0处创建了一个自由边界，该边界描述了x>0的密度与耗尽生产者的点质量|π之间的平衡。目前尚不清楚如何直接处理这个自由边界，而不以一个棘手的全局耦合非线性方程组结束。为了克服这个问题，我们利用了时间相关模型和时间平稳模型之间的联系。具体而言，在恒定发现率λ和大视界T的情况下，策略（v*, 一*) 对t的依赖性很弱。因此，我们期望储备过程Xt收敛到不变分布，因为通过反馈、时间无关的控制，它在R+上形成了一个复发的马尔可夫过程。这建议取T大，求解[0，T]上的MFG，然后“提取”a（v，a，η），以近似真实的稳态解。恒定发现率λ（t）=λ的非平稳MFG的数值说明≡ 1如图5所示。图5下方的面板显示了总产量Q（t）、总发现量A（t）和总储量水平R（t）的演变，由（3.15）-（3.18）定义。

我们观察到小t的丰富层（大致为t∈ [0，12]），由非平衡初始分布η（dx）和另一个边界层（大致为t∈ [45，50]），由终端条件v（T，x）=0引起。后者导致limt→TR（t）=0，极限→TA（t）=图中观察到的0。（请注意，随着地平线的接近，总产量会上升，以消耗所有储量，且R（T）=0。）同时，对于中间体t，所有量都有效地与时间无关，因此应接近稳定的MFG平衡溶液。特别是，由于保护储量，R（t）\'1.9表示∈ [15，45]我们观察到Q（t）\'A（t）在时间间隔上。类似地，各储量分布η（t，x）几乎与t无关，参见图5中的π（t）图。换句话说，地平线T的实际值在本质上是不相关的，因为它只确定世界边界层末端出现的位置（T=T附近- 5），对之前的溶液影响可忽略不计。Cardaliaguet al.[6]对局部耦合MFG和Cardaliaguet al.[7]对非局部耦合的特殊情况进行了严格的处理。根据【7】，对于每个t∈ [0，T]，非平稳MFG模型的解（v（T，x），η（T，x））在L-范数中收敛到平稳MFG模型的解（￠v（x），￠η（x）），即T→ ∞. 此外，在IR设置中，通过L-范数测量的平稳和非平稳平均场博弈均衡解之间的差异在t=t/2时最小化。

将这些证明扩展到古诺MFG的设置，并进行探索，这有待于未来的研究。根据这些结果，我们可以通过以恒定的发现率λ（t）求解非平稳方程（3.12）和（3.16），获得平稳MFG MNE的近似解≡ λ、 采用与第4.3节中相同的迭代方案。然后将解（v（t，x），η（t，x））att=t/2作为平稳平均场博弈模型（5.4）-（5.5）的近似解，即|Μv（x）≈ v（T/2，x）和|η（x）≈ η（T/2，x）表示所有x∈ [0，Xmax]。inChan和Sircar【12】采用了相关方法，其中通过求解非平稳输运方程和平稳HJB方程，并取较大的时间限制，获得了平稳MFG解。在图5所示的示例中，T=50，因此我们使用中间溶液（v（T，x），η（T，x））≈ t=t/2=25时的（|v（x），|η（x）），近似于相应的时间静态制造。图5的左上面板显示了（近似）静态储备密度|m（x）≈xη（25，x）。我们观察到，当0<x时，x中的m（x）增加≤ δ，其中发现率高于生产率，当x>δ时，发现率降低。类似地，我们可以通过在t=t/2=25时查看Q（t），A（t），R（t）来提取固定总产量Q，总发现A和总储量水平R。（由于质量守恒A=Q。）5.2固定MFGIt的比较静力学对于研究勘探对固定平均场均衡的影响具有指导意义。图6显示了发现率λ对聚集的固定量Q、A和R的影响，所有这些都与λ呈正相关。随着λ越大，发现速度越快，每次发现的边际值越小，这对探索效应产生了不明确的影响*.

在图6）的右上面板中，我们观察到λ、λ的低值→ a*（x；λ）增加，即发现可能性增加，鼓励勘探。然而，对于高λ，λ→ a*（x；λ）逐点递减，因为生产者变得“懒惰”，并且认为不需要那么努力，因为很容易获得新的储量。在整个x中，我们观察到λ和总发现率▄A（左上图）之间存在正相关关系。由于▄A=▄Q，这将转化为更高的总产量和更低的价格。0 5 10 1500.10.20.30.40.5cm（t，x）t=0t=5t=250 10 20 30 40 5000.20.40.6tπ（t）0 10 20 30 40 5000.511.522.5tA（t）Q（t）0 10 20 30 40 50012345tR（t）图5：具有常数λ（t）的MFG溶液≡ λ=1和T=50，以说明时间相关解和平稳解之间的关系。左上面板：放射性分布的密度m（t，x）。右上角：无储量生产者的比例π（t）。左下：总勘探速率A（t）和总产量Q（t）。右下：总储量R（t）。更容易的发现也会提高储量的稳定水平▄R，尽管潜在影响▄η是非单调的。图6右下角的面板对此进行了说明，该面板绘制了几个不同λ的密度m（x），并突出显示了多个感兴趣的现象。一方面，我们观察到λОa*（0）λ单调增加，这减少了在x=0时直到下一次发现的预期时间，因此降低了平稳比例|π。同样，R上升λ并将整个m向右移动。另一方面，利差，即m的方差开始随着λ的增加而下降。因此，对于较低的λ，|η更分散，|π更高；对于高λ，η集中在平均值R附近。此外，m的支撑在λ中呈驼峰形状。

重新调用，由于勘探饱和度，~m在[0，~xsat+δ]上受支持，其中~xsatis为饱和度水平。我们发现，就λ而言，xsat首先上升，然后下降。例如，当λ=1时，我们的▄xsat=64.8可与▄xsat（λ=0.2）=60.7和▄xsat（λ=10）=23.9进行比较。在后一种情况下，当λ非常大时，没有理由持有许多储量（相反，资源几乎可以立即补充），因此v（x）很快接近其水平渐近线，因此只对小x进行勘探。另一种现象是，当λ非常小时，如图6中λ<0.05，在平稳平衡状态下，勘探完全停止（A=0导致R=0）。这是因为当κ>0且λ足够小时，值λ的预期相加xv（x）总是小于成本κ，因此不会进行勘探。因此，当发现“太困难”时，即使地下仍有潜在的新储量，勘探也将停止，λ>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 100.40.81.21.6λОQ0 20 40 60 8000.511.522.5x∧a（x）λ=0.2λ=0.5λ=1λ=4λ=100 0.2 0.4 0.6 0.8 100.40.81.21.6λОR0 2 4 6 8 1000.10.20.30.5 xλ=0.2λ=0.5λ=1λ=4λ=1 0图6：固定MFG溶液作为发现率λ的函数。左上面板：固定骨料勘探/生产▄A=▄Q。右上面板：固定骨料勘探▄A*（x） 。左下：固定骨料储量R=R∞xm（dx）；右下：平稳分布m（x）。注意，总质量为（0，∞) 是1- 取决于λ的π。如前所述，在x=δ=1.6的勘探过程流体极限处存在不连续性。勘探过程的随机性取决于两个因素：发现率λperunit勘探效率和每个发现的大小δ。

为了研究勘探过程的随机性对均衡产量和储量分布的影响，我们引入了无符号参数 > 0（参见[21]），重新缩放λ:= λ/ 和δ:= δ. 像 ↓ 0，我们有发现率λ↑ ∞ 和单位发现量δ↓ 0，这意味着探索过程变得更加确定。在我们使用的续集中 为各自的制造平衡编制索引。对于极限情况 = 0勘探过程是完全确定的。这被称为流体极限，因为我们完全平均了（Xt）中的随机性，而没有修改其平均值（在期望值的意义上）行为。直观地说，在流体极限中，差异项xv（t，x）=v（t，x+δ）- v（t，x）变为xv（t，x），积分变成δa*（t，x）xη（t，x），去掉非局部项。下文（6.1）–（6.2）给出了生成的制造方程。0 =电视（t，x）- rv（t，x）+2β“p（t）- κ-xv（t，x）+#+2β\"λδxv（t，x）- κ+#; (6.1)tη（t，x）=(-λδa*（t，x）+q*（t，x））xη（t，x），x>0，（6.2），其中最佳生产率q*勘探速度a*areq公司*（t，x）=arg maxq≥0p（t）q- Cq（q）- qxv（t，x）=βp（t）- κ-xv（t，x）+, （6.3）a*（t，x）=arg maxa≥0-Ca（a）+aλδxv（t，x）=βλδxv（t，x）- κ+, （6.4）和p（t）=L+R∞q*（t，x）η（t，dx）。注意，对于η，x=0时没有“边界”，因为从未明确遇到过消除；它只施加约束a*（t，0）≥ q*（t，0）。边界条件v（t，0）和xv（t，0）由附录A.4中证明的下列引理明确给出。引理6.1。边界条件v（t，0）和xv（t，0）满足xv（t，0）=β（p（t）- κ) + βλδκβλδ+ β; （6.5）v（t，0）=ZTtλδ（p（s）- κ) - κβλδ+ β（1+λδ）e-r（s）-t） ds。（6.6）取T→ ∞, 然后，我们可以考虑固定液限制造商。

从数学上讲，这产生了最简单的设置，因为它消除了与离散探索相关的非局部“延迟”项，以及时间依赖性，留下了两个ODE的耦合系统。事实上，以下命题6.1意味着从经济上讲，流体极限中的平稳MFG减少为仅几个代数关系。命题6.1（流体极限中的平稳平均场博弈均衡）。固定MFGMNE流体极限( = 0）总结为（i）。固定储量分布为▄π=1，即所有生产商均不持有储量，▄R=0。（二）。流体极限中的均衡总产量qa和市场价格由Q=~Q给出*（0）=[（L- κ)λδ - κ] +β+（1+β）λδ，和▄p=L-Q；（6.7）（iii）。均衡勘探控制为*（x） =0x>0和▄a*（0）=ΔλИq*(0). （6.8）命题6.1的证明见附录A.3。在流体限制的情况下 = 0时，新资源的发现是以完全确定的方式进行的，因此不必为生产保留储量。从正储量开始的生产商在储量耗尽之前不会进行勘探。一旦储量水平达到零，方程式（6.8）意味着没有储量的参与者将选择生产和勘探策略，使生产率完全等于其勘探效果导致的储量增量。这就解释了零储量是如何在均衡状态下维持的。总的来说，上述命题表明，具有确定性探索的平稳平衡是微不足道的，即只有x=0的物质，ODE的有效性系统会与连接▄Qand▄Ato模型参数的代数方程合并。

这表明，随机模型比确定性模型更为复杂。6.1数值格式和说明第4.3节中的迭代格式很容易适用于求解流体极限系统（6.1）–（6.2）。如第4.1节所述，我们采用直线法数值求解HJB方程。v（t，x）在每个空间网格点xm处的空间导数由后向微分商近似xv（t，xm）\'v（t，xm）-v（t，xm-1)xso那个tv（t，xm）成为v（t，xm）和v（t，xm）的函数-1):tv（t，xm）=rv（t，xm）-2β\"p（t）- κ-v（t，xm）- v（t，xm-1)x个+#-2β\"λδv（t，xm）- v（t，xm-1)x个- κ+#, m=1，2，M、 （6.9）我们使用Matlab的Runge-Kutta ODE解算器ode45来求解{v（t，xm）：M=0，1，…，M}的普通微分方程系统（6.9），时间向后，边界条件为v（t，x）≡v（t，0）由（6.6）给出，对于所有m=0，1，…，初始条件v（t，xm）=0。。。，M、 我们使用时间向前和空间向前格式来求解输运方程（6.2）。在第4.2节中，我们还规定了边界条件η（tn，xM）=0，n=0。。。，xM时为N≡ xmax假设Xmaxis大于饱和水平。我们直接设置η（tn，x）=1，并获得m=1，…，时η（tn+1，xm）的数值，M通过η（tn+1，xm）=η（tn，xm）+t型[-λδa（tn，xm）+q（tn，xm）]η（tn，xm+1）- η（tn，xm）x、 图7说明了上述时间相关模型（左面板）及其静态模型（中面板和右面板）的最终解决方案，类似于第5节。我们观察到许多有趣的特征。首先，我们发现，不确定性阻碍了勘探，因为在发现日期τ，贴现效应降低了今天对延迟回报的NPV。因此，更多的不确定性降低了总产量Q，并提高了价格。其次，不确定性鼓励“囤积”，即。

持有额外储量，以防止因耗尽而耗尽增加 （图7的右面板）。同时，作为 ↓ 0固定储备水平R↓ 确实，在极限范围内 = 0，可以将生产视为完美的即时供应链：投入资金以发现少量的新地下资源，并立即开采和出售。因此，勘探资金相当于二次生产成本，即确保商品供应与预期生产率完全匹配的成本，以及对储备设施的预防性需求。因此，我们得出结论，有关发现的经济不确定性带来了成本。0 10 20 30 40 501.51.61.71.81.922.1tQ（t）^2=0^2=0.1^2=0.2^2=0.30 0.2 0.4 0.6 0.8 11.521.541.561.581.6^2方程0.2 0.4 0.6 0.8 100.511.52^2= λ/ 和δ= δ fordi different value of. 左面板：总产量Q的演变（t） 对于多个级别的.中间：固定生产Q反对. 右：固定储备水平R反对. 对于 = 0我们有Q=5·1-0.21+2·1=1.6（6.7）和▄R=0.7结论我们研究了平均寡头垄断中可耗尽商品的联合生产和勘探。利用劳动力寻找新资源的能力创造了一些新现象，改变了市场的数学和经济结构。首先，勘探削弱了可耗尽性约束，特别是允许存在一个静态模型，其中单个生产者储量不断变化，但市场价格和总量随时间变化不变。其次，勘探改变了持有储量的作用——储量部分用作缓解流失的缓冲，而不是确定未来可用的生产手段。