用平均场博弈方法研究可耗尽资源的生产和开发

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英文标题：
《Mean Field Game Approach to Production and Exploration of Exhaustible
  Commodities》
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作者：
Michael Ludkovski and Xuwei Yang
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In a game theoretic framework, we study energy markets with a continuum of homogenous producers who produce energy from an exhaustible resource such as oil. Each producer simultaneously optimizes production rate that drives her revenues, as well as exploration effort to replenish her reserves. This exploration activity is modeled through a controlled point process that leads to stochastic increments to reserves level. The producers interact with each other through the market price that depends on the aggregate production. We employ a mean field game approach to solve for a Markov Nash equilibrium and develop numerical schemes to solve the resulting system of non-local HJB and transport equations with non-local coupling. A time-stationary formulation is also explored, as well as the fluid limit where exploration becomes deterministic.
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中文摘要：
在博弈论的框架下，我们研究了能源市场中的同质生产者，他们从石油等可耗竭资源中生产能源。每个生产商同时优化生产率，以推动其收入增长，并通过勘探努力补充储量。该勘探活动通过控制点过程建模，该过程导致储量水平的随机增量。生产者通过依赖于总产量的市场价格相互作用。我们采用平均场博弈方法来求解马尔可夫纳什均衡，并开发了数值方案来求解由此产生的非局部HJB系统和具有非局部耦合的输运方程。此外，还探讨了时间固定公式，以及勘探变得确定的流体极限。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
--> Mean_Field_Game_Approach_to_Production_and_Exploration_of_Exhaustible_Commodities.pdf (744.25 KB)

2022-6-1 13:18:58 上传

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关键词：方法研究 SIMULTANEOUS Quantitative Exploration Exhaustible

可耗尽商品生产和开发的平均场博弈方法*1和美国加州大学圣巴巴拉分校统计与应用概率系杨旭伟（邮编：93106-3110）摘要在博弈论框架下，我们研究了能源市场中的同质生产者，他们从石油等可耗竭资源中生产能源。每个生产商同时优化生产率，从而推动其收入增长，同时也优化勘探效果，以增加储量。该勘探活动通过控制点过程建模，该过程导致储量水平的随机增量。生产者通过依赖于总产量的市场价格相互作用。我们采用平均场博弈方法来解决马尔可夫纳什均衡，并开发数值方案来解决由此产生的非局部HJB系统和具有非局部耦合的输运方程。还探讨了时间固定公式，以及探索变得确定的流体极限。关键词：平均场博弈、可耗竭资源、动态古诺模型。1引言我们考虑一个可耗尽商品市场的随机微分博弈模型，如asoil。利用现有储量生产能源和勘探/发现新储量推动了市场的动态发展。我们假设一个古诺式的竞争，每个生产者选择他们的生产率；这类似于欧佩克成员国调整产量以影响原油价格。商品的开采产生了收入流，但带来了损耗贸易效应。为了确定由此产生的较低储量，生产商承担了勘探新储量的义务。勘探是不确定的：持续勘探会随机导致额外储量的离散发现。

就个人而言，生产者的目标是最大化其总预期利润，即价格乘以开采量，减去生产和勘探成本。从战略上讲，生产者通过全球市场价格p进行互动，全球市场价格p由总产量决定。为了模拟商品生产商（即能源企业）之间的寡头垄断，我们假设在单一能源市场上竞争的同质代理的连续统。每个代理都很小，足以成为价格接受者，但在均衡状态下，总行为完全决定了供应，反过来又决定了结算价格。为简单起见，我们假设需求不变，关注生产者的选择。该模型合理地描述了市场的长期行为（以年为单位），*Ludkovski部分由AMPS-1736439支持：ludkovski@pstat.ucsb.eduwhere微观经济波动是平均的，商品供应和储备是市场结构的主要决定因素。虽然关于可耗竭资源开采的单智能体优化的文献可追溯到20世纪70年代【14、27、28】，但Harris等人于2010年首次对动态连续时间非合作模型进行了严格的处理。他们研究了N-玩家古诺博弈通过关联的非线性HJB偏微分方程系统进行，但由于数字挑战，插图仅限于两人模型。[25]和我们早期的工作[26]对competitiveduopoly进行了进一步分析；[24，13]研究了单个可耗尽参与者与N个可再生生产者竞争的特殊情况，这些生产者具有不同的盈利能力。1.1平均场博弈逼近一个具有有限数量N个参与者的微分博弈模型，其均衡策略可以由汉密尔顿-雅可比-贝尔曼-艾萨克斯（HJB-I）方程组确定，该方程组源自动态规划原理。

一般来说，系统的维数在N中增加，这使得大型N的博弈模型难以处理。平均场博弈（MFG）方法通过考虑同质参与者连续统的均衡简化了建模；相应的有限维博弈状态扩展为分布m（·）。主要思想是考虑代理的优化问题；后者成为一个规则的随机控制问题，通过m（·）驱动的平均场相互作用捕获竞争效应。反过来，参与者的聚合行为意味着agent状态分布的动态性。这导致了一个由两个偏微分方程（PDE）组成的系统，该系统被视为原始有限元设置中单个多维HJB-I PDE的近似值。关于MFGs的一般理论，我们参考了[4，9]。在我们的背景下，各个州是储量的X级，相互作用是通过市场价格p实现的，市场价格p与所有生产者的总产量Q相关。因此，p将代表性生产者的博弈价值函数作为平均场项，并促使她选择生产和勘探控制。反过来，储量的分布由后者的生产率和勘探效果驱动。Gu’eant博士论文【19，20】首次介绍了这种寡头垄断制造的关键方面，即通过aggregateQ的平均场相互作用。由于生产者直接优化自己的生产率，这就相当于一场控制的平均场游戏，与通过密度m（·）相互作用的标准情况相反。古诺制造公司的第二个显著特点是，当储量为零时，难以耗尽。

Xt=0时的不同可能性包括退出游戏（这增强了剩余生产商的市场影响力）；转向可再生/取之不尽的资源；通过昂贵的储备补充延长生产。所有上述选择导致各个方程中出现非标准边界条件，需要进行定制处理。寡头垄断制造业的另外两个关键方面涉及储备过程（Xt）的规定动态和与p和总产量Q相关的反向需求曲线。对于后一个方面，从[20]开始，假设价格在数量上呈线性（递减），这带来了原始线性二次型制造的一些可处理性。这一选择在【11、16、17】中得到了保留。最近，Chan和Sircar【12】还研究了功率型需求曲线的制造商。我们注意到，即使采用线性价格表，由于x=0时的可耗尽性条件，生产和价格之间的整体联系也是非线性的，这需要单独跟踪已耗尽和生产企业。对于可耗竭资源，储量是不增加的，完全由过去的产量决定。然而，这并没有反映化石燃料商品补充的现实生活方面，全球储量的耗竭在很大程度上取决于正在进行的发现（深海石油、页岩气、油砂等）。这些发现都是由于各自的勘探工作所决定的勘探活动而产生的。在平迪克（Pindyck）[27]的早期模型中，勘探是增量的，导致确定性储量增加。随后的延伸将勘探视为计算新储量发现的一个点过程，参见[3,15,21]，这也是我们下面的选择。另一种选择是引入外源布朗噪声，即。

使储备随机波动。这对于理论和数值目的也很方便，并且在最近的制造业文献中已普遍使用，请参见【11、17、18、20】。我们还要提到（Xt）在一个具有受控波动率和漂移的随机微分方程【28】和一个常见噪声MFG模型之后的进一步可能性，以捕捉对总储量的系统性冲击【16】。从数学上讲，MFG设置导致了一个HJB方程来模拟代表性代理的策略，以及一个传输方程来模拟所有生产者状态分布的演化。这些方程的结构由（Xt）的规定动力学决定。如果是确定性的，则方程为一阶方程，参见例[5]。当Xt包括布朗激波时（参见[20，11]），HJB方程为二阶方程，而输运方程为通常的Kolmogorovforward方程。相反，离散发现在HJB【25，26】和传输方程中都添加了一阶非局部（“延迟”）项。这些特征对于需要处理非线性偏微分方程耦合系统的MFG的数值解至关重要。我们参考[1、2、8]了解不同计算方法及其收敛性的一般总结，包括有限差分和半朗格朗格式。另一种常见的方法[20、11、12]基于类似Picard的迭代方案。1.2贡献总结在本文中，我们将MFG方法应用于具有大量可耗竭但可补充资源的竞争生产者的能源市场模型。我们的主要关注点是在动态、随机的博弈论框架下，勘探与生产之间的战略互动（E＆P）。勘探与生产是能源企业商业决策中的一个主要主题，但在数学模型中很少这样处理。

我们调查的一些主题是：（i）勘探的价格效应；（ii）模型隐含的总生产路径；（iii）总体勘探效果；（iv）稳定平衡的可能性，其中勘探正好影响生产；（v） 勘探不确定性对解决方案的影响。我们的分析结合了“石油峰值”、“勘探研发价值”和“推迟枯竭的末日”等学术观点，从长期角度对大宗商品行业的宏观行为产生了定量的见解。具体而言，单个资源水平随机变化，但总储量分布和相关总产量和价格保持不变的平稳模型，是寡头垄断制造文献中我们所知的新特征。相对于现有的古诺制造模型，我们强调对随机探索的分析，这将导致一阶非局部制造方程。从这个意义上讲，我们的工作分为两种不同的能源生产博弈论模型。一方面，我们扩展了[11，20]，他们考虑了可耗尽的资源制造，但没有勘探；因此，储量没有增加。另一方面，我们将双寡头模型[25]扩展到具有连续生产者的限制性寡头垄断。在双寡头垄断中，各生产商直接影响价格；在本文的制造模型中，每个生产者对市场价格的影响力微乎其微，而市场价格是由总产量驱动的。与我们最接近的工作是Chan和Sircar[12]，他们主要关注的是可耗尽生产者的竞争，这些生产者在最终耗尽后转向昂贵的可再生资源。他们还研究了一大群可耗竭生产商与单一可再生生产商之间的竞争，类似于黄的主次模型【23】。

【12】第5节简要讨论了资源勘探和各自的稳态平衡。与他们的说明相比，我们提供了多个额外的分析，包括对时间依赖和时间平稳平衡的详细处理，随着问题范围的增加收敛到平稳，以及“流体极限”的研究。后者是一种大数比例定律，可维持勘探/生产控制，但消除相关的不确定性。该机制允许量化不确定性对制造模型的纯粹影响，并与确定性过滤器制造模型相关联，这是相对于现有文献的另一个新发展。由于PDE中的非局部项以及它们之间的非局部耦合，我们的设置产生了一些数值挑战；本文的主要部分是构造一种求解MFG方程的计算格式。具体而言，我们通过类似Picard的迭代将HJB和运输方程解耦，该迭代交替更新最佳生产和勘探控制以及储量分布函数（反过来决定市场价格）。对于HJB方程和类似于【12】的方程，我们采用直线法，将空间维度离散化，并在时间维度求解得到的普通微分方程。由于x=0时的勘探控制和极限边界条件，后者仍然构成ODE的耦合系统。对于传输方程，我们使用完全明确的微分方案。然而，由于（Xt）的非光滑动力学，我们不使用密度m（dx），而是使用相应的累积分布函数η（·），并且单独处理枯竭生产者的比例π（t）。本文的组织结构如下。

在第2节中，我们介绍了N人古诺博弈，该博弈在极限N下激励MFG模型→ ∞. 第3节讨论了描述制造业纳什均衡的双耦合HJB系统和传输方程。第4节致力于求解该系统的数值方法，并给出了数值示例。然后，论文的其余部分对主要模型进行了两次修改，得出了重要的经济见解。在第5节中，我们研究了平稳MFG模型，其中由于生产和勘探的抵消作用，储量分布保持不变。第6节研究了渐进的“流体极限”状态，即勘探过程具有确定性，因此新资源的发现频率很高，发现量很小。本文以第7节和包含大多数证明的附录作为结论。2模型2.1有限参与者古诺博弈我们考虑一个有N个生产者（参与者）的能源市场。每个生产者都使用石油等可耗竭资源来生产能源。让xit代表球员i的预备队水平，i=1，N、 每个xit取非负实数集合R+中的值。储量水平在受控生产率qit下降低≥ 0，并且由于勘探也有随机离散增量。我们使用控制点过程（Nit）来模拟新发现的到达。具体而言，Nithas intensityλ（t）ait，其中ait是参与者i控制的勘探效果。参数λ（t）是单位勘探效果的发现率，反映了当前的勘探技术和地下总体资源，因此被视为外生给定，所有生产者都是一样的。由于地下总资源随着时间的推移而耗尽，因此可以合理假设λ（t）在t和limt中减少→∞λ（t）=0。

设τ为点过程Nit的第n个到达时间，则第n个和（n+1）个到达之间的到达时间满足以下概率分布Pτin+1>τin+t= 经验值-Zτin+tτinλ（s）aisds！。设δ表示发现的单位量，假设为正常数，如[25，26]所示。发现δ的单位量一般可以是随机的，见备注3.1。每个参与者的储备动力学由以下随机微分方程dxit=-qit{Xit>0}dt+δdNit，i=1，2，N、 Xi=Xi≥ 0，（2.1），其中xi为初始储量水平。指标函数1{Xit>0}意味着每当储量耗尽时，必须停止生产，qit=0，Xit=0。在（2.1）中，根据生产计划，不同发现之间的储量不断减少，并且在发现时期出现了瞬时的大小δ跳跃。成本函数。我们假设所有生产者都有相同的生产和勘探二次成本函数，分别用Cq（·）和Ca（·）表示，Cq（q）=κq+βq，Ca（a）=κa+βa。（2.2）二次项的系数β1,2>0被假定为正，使得成本函数严格凸，并保证最优生产和勘探效率水平是有限的。系数κ1,2≥ 线性项中的0表示由于使用设施和劳动力而产生的生产和勘探的恒定边际成本，而正交项中的β、β表示由于负外部性（如劳动力成本上升或在线税收）而增加的边际成本。我们注意到，当κ=0时，总是进行勘探，否则a*t=0可能是最佳值。供需平衡。