用平均场博弈方法研究可耗尽资源的生产和开发

因此，如果勘探是瞬时的和确定性的，则不需要储量。我们在分析流体极限模型时探讨了这一点，并将其与20世纪70年代早期的单代理网络联系起来。第三，勘探控制给古诺峰带来了新的数学挑战，特别是由于运输方程中的非局部项（来自离散储量事件）和非光滑储量分布，其中包括x=0的点质量和（0，∞). 第四，时间固定的古诺制造创造了一种非标准的“自由边界”特征，这需要一个与时间相关的近似值。我们的见解包括分析勘探不确定性和勘探频率对MFG平衡的模糊影响。这突出了除了游戏效果之外，战术稳定性、预备队和两种类型的控制之间的复杂互动。另一个重要贡献是开发定制的数值方案，以解决古诺模型的各种版本，这些版本需要对边界条件、空间和时间维度以及确定最优控制的一阶条件项进行不同的处理。在我们的示例中，时间范围T的作用主要是次要的，仅影响发现率λ（T）。可以进行更广泛的校准，以添加额外的t依赖性，这可以作为一种手段来捕获边做边学，或者捕获发现规模可能会随着时间而变小的直觉。提出的MFG方法的另一个变体是考虑单一主要能源生产商和大量次要能源生产商之间的竞争，参见【23，10】。例如，这相当于石油输出国组织（OPEC）在原油市场上发挥的主导作用，OPEC控制着全球约40%的石油产量。

由于由此产生的市场力量，小生产者根据欧佩克的生产战略选择生产战略。相应的博弈模型将包含主要参与者的博弈价值函数、代表性生产者的博弈价值函数以及次要生产者的储量分布。然后，价格由主要生产商加上所有次要生产商的总产量决定。另一个悬而未决的问题是，如何确定具有随机发现的制造业MNE的存在性和唯一性，以及相关价值函数的规律性。如前所述，对应的储量分布是非光滑的，点质量为x=0，因此预计只有弱不规则性。直观地说，如果发现分布是连续的（而不是固定数量的δ），则可能有更好的规律性，尽管这可能会对HJB方程产生进一步的挑战，在（3.12）中引入一个boni fied积分项。这种理论分析也有助于严格化所提出的数值格式的收敛性。附录A。1命题3.1证明。给定T，设h（T，x）∈ C∞c（（0，T）×R+）是（0，T）×R+中紧支持的测试函数。使用跳过程的It^o公式，h（T，XT）=h（0，X）=0，我们得到0=E[h（T，XT）- h（0，X）]=EZT公司th（t，Xt）- q（t，Xt）yh（t，Xt）dt+ZT[h（t，Xt）- h（t-, Xt公司-)]dNt公司= -Z∞ZT公司th（t，x）xη（t，x）dtdx+Z∞ZTq（t，x）xh（t，x）xη（t，x）dtdx-Z∞δZT（h（t，x）- h（t，x- δ） ）λ（t）a（t，x- δ)xη（t，x- δ） dtdx+ZTh（t，δ）λ（t）a（t，0）π（t）dt=：I1+I2+I3+I4。（A.1）通过部分积分以及h（t，x）在（0，t）×R+中具有紧密支撑的事实，最后一个等式（A.1）右侧的倒数等于toI1=Z∞ZTη（t，x）t型xh（t，x）dtdx=-Z∞ZT公司xh（t，x）tη（t，x）dtdx。

（A.2）通过定义F（t，x）：=Rxλ（t）A（t，z）η（t，dz），x>0，可将（A.1）最后等式右侧的第三项写成3=-Z∞δZTh（t，x）xF（t，x- δ） dtdx+Z∞ZTh（t，x）xF（t，x）dt dx=Z∞δZTF（t，x- δ)xh（t，x）dtdx-Z∞ZTF（t，x）xh（t，x）dt=Z∞δZT（F（t，x）- F（t，x- δ))xh（t，x）dtdx-ZδZTF（t，x）xh（t，x）dt dx。（A.3）（A.1）最后一个等式右侧的第四项可以写成asI4=ZTZδxh（t，x）dxλ（t）a（t，0）π（t）dt=ZδZTλ（t）a（t，0）π（t）xh（t，x）dtdx。（A.4）将（A.2）-（A.4）代入方程（A.1），得到0=-ZδZTxh（t，x）tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zx0+λa（t，z）η（t，dz）+λ（t）a（t，0）π（t）idt dx-Z∞δZTxh（t，x）tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zxx-Δλa（t，z）η（t，dz）dt dx，（A.5），这对于任何测试函数h（t，x）都是正确的∈ C∞c（（0，T）×R+）。根据（A.5）右侧的第一项，我们有0=tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zx0+λ（t）a（t，z）η（t，dz）+λ（t）a（t，0）π（t），0<x<δ。（A.6）根据（A.5）右侧的第二项，我们有0=tη（t，x）- q（t，x）xη（t，x）+Zxx-Δλ（t）a（t，z）η（t，dz），x>δ。（A.7）两个方程（A.6）-（A.7）构成了命题3.1中储量分布的运移方程。A、 引理3.2证明。我们将输运方程（3.16）的两边对x进行积分（0，∞] toobtainZ公司∞0+tη*（t，x）dx=-=:I1z}|{Zδ0+Zx0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx公司-=:I2z}|{Z∞δZxx公司-Δλ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx+Z∞0+q*（t，x）xη*（t，x）dx。（A.8）对于定义Stieltjes积分的最后一项，积分等于xη*（t，x）dx=η*（t，dx）。

我们对（A.8）的RHS的前两个术语应用分部积分，以获得1=xZx0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）δ0+-Zδ0+xx个Zx0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx=δZδ0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）-Zδ0+xλ（t）a*（t，x）η*（t，dx）和（A.9）I2=xZxx-Δλ（t）a*（t，z）η*（t，dz）x个=∞x=δ-Z∞δxx个Zxx公司-Δλ（t）a*（t，z）η*（t，dz）dx=-δZδ0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）-Z∞δxλ（t）a*（t，x）η*（t，dx）-Z∞0+（x+δ）λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）= -δZδ0+λ（t）a*（t，z）η*（t，dz）+Zδ0+xλ（t）a*（t，x）η*（t，dx）+δZ∞0+λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）。（A.10）（A.8）的左侧可以写为Z∞0+tη*（t，x）dx=ddtZ∞0+η*（t，x）dx，（A.11），其中，在η和*（t，x）和tη*（t，x）在域（t，x）中是连续的∈ [0, ∞) × (0, ∞). 通过将（A.9）–（A.11）代入方程式（A.8），我们得到了ddtz∞0+η*（t，x）dx=-δZ∞0+λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）+Z∞0+q*（t，x）η*（t，dx），给出（3.19）。A、 3命题6.1的证明我们首先提出了引理A.1和A.2，它们总结了与我们制造模型的流体极限相关的偏微分方程。引理A.1。极限对策值函数vand reserves分布函数（|π，|η）满足以下系统rv（x）=p- v（x）q*（十）- Cq（▄q*（x） （）+-Ca（yena*（x） ）+~a*（x） λδИv（x）, x个≥ 0，（A.12）（0=-λδИa*(0)~π- q*(0)~η(0+),0 = (-λδИa*（x） +/q*（x） ）～η（x），x>0，（A.13），其中最佳生产率～q*和勘探率a*由q给出*（x） =βL-Q- κ- v（x）+,a*（x） =βλδИv（x）- κ+, （A.14）和总产量▄Qi由等式▄Q=-Z∞βL- κ- v（x）-Q+η（dx），（A.15），均衡价格为▄p=L+Z∞q*（z） Иη（dz）。（A.16）证明。

为了得到极限对策值函数≈v（x）的HJB方程（A.12）和相关的最优生产控制（A.14），我们让 → 0，因此δ ↓ 0和λ/ ↑ ∞ 在HJB方程（3.2）和相关的最佳生产和勘探控制（3.3）-（3.4）中，a*（x） =lim→0a*（x） =lim→0β[λ（￠v）（x+δ) - v（x） （）- κ] +=lim→0βλ（￠v）（x+δ) - v（x） （）- κ+=βλδИv（x）- κ+,q*（x） =lim→0q*（x） =lim→0βL-Q- κ- v（十）+=βL-Q- κ- v（x）+.方程式（A.13）和（A.15）类似于（5.5）和（5.7）。请注意，作为 ↓ 0 integraltermRxx-δλa（z） η（dz）在第三种情况下δ< （3.16b）的x收敛于→0Zxx-δλa（z） η（dz）=lim→0Zxx-δλa（z） η（dz）=λИa（x）xη（x）。引理A.2（x=0时的流体极限静态边界条件）。边界x=0的平衡生产和勘探流体速度极限满足（6.8）。证据在没有储量的边界x=0上，我们必须有ΔλИa*(0) ≥ q*(0) ≥ 0，即储量增加率必须大于或等于生产率。如果a*（0）=0，由此得出q*（0）=λδa*(0) = 0. 现在我们考虑的情况是*(0) > 0. 自q起*（十）≥ 0为非递减，且▄a*（x） 随着x的增加，减少到0，我们必须有一些点x*≥ 0个这样的q*（十）*) = λδa*（十）*). 请注意，一旦储备过程XT达到x级*, 自生产率q起，它将保持不变*（十）*) 由储量增量的速率λδОa平衡*（十）*) atXt=x*. 我们现在证明x*= 对于矛盾假设x*> 0

然后▄v（x*) =Z∞h▄p▄q*（二十）*t）- Cq（▄q*（二十）*t） （）- Ca（yena*（二十）*t） ）ie-rtdt=Z∞[▄p▄q*（十）*) - Cq（▄q*（十）*)) - Ca（yena*（十）*))] e-rtdt≤ v（0），从x开始*, Xx号*t=x*对于所有t，因此得出的策略（≈q*（十）*), a*（十）*)) 对于零初始储量是可接受的，因此对于问题定义v（0）是次优的。接下来，让τ：=infnt≥ 0：Rtq*（0）ds=x*o、 v（0）=Zτpq*（Xt）- Cq（q*（Xt））- Ca（yena*（Xt））e-rtdt+e-rτИv（Xτ）<Zτpq*（Xt）- Cq（q*（Xt））e-rtdt+e-rτИv（Xτ）≤ v（x*) （A.17）如果严格不等式“>”是由于假设*（0）>0，最后一个不等式是从x开始的策略*, 使用零勘探将储量降至零，然后继续使用▄v（Xx*τ） 可用于问题定义v（x*) （处理固定）。上述两个不等式相互矛盾；因此x*= 0和▄q*（0）=λδИa*(0).利用引理A.1和A.2，我们证明了命题6.1。命题6.1的证明。（i） 。自q起*（x） >0和￠a*（x） =0，对于x>0，根据内部的方程式（A.13），对于x>0，我们有￠η（x）=0。因此，储量分布生成为0，|π=1的点质量。将后一个事实代入（A.15），我们得到▄Q=βL- κ- v（0）-Q+,给出了Q=1+β（L- κ- v（0））+。根据（A.14），x=0时的平衡生产率为q*(0) =βL- κ- v（0）-Q+=1 + βL- κ- v（0）+. （A.18）将生产率（A.18）和勘探效率（A.14）用x=0替换为方程式q*（0）=λδИa*（0）求解▄v（0），我们得到▄v（0）=（L- κ)β+ κ(1 + β)β+ (1 + β)λδ. （A.19）然后，通过将上述v（0）代入（A.18），我们得到了q*（0）=[（L- κ)λδ - κ]+β+ (1 + β)λδ.由于▄π=1，我们有▄Q=-R∞q*（x） η（dx）=q*（0）得出（6.7）。A、 4引理证明6.1防止。类似于引理A.2，在x=0时，我们有q*（t，0）=λδa*（t，0）。

（A.20）将（6.3）-（6.4）代入（A.20），得到边界条件xv（t，0）=β（p（t）- κ) + βλδκβλδ+ β.将（6.5）代入（6.3）-（6.4），我们得到*（t，0）和q*（t，0）的显式形式*（t，0）=λδ（p（t）- κ) - κβλδ+β，（A.21）q*（t，0）=λδ（p（t）- κ) - λδκβλδ+ β. （A.22）通过将（6.5）、（A.21）和（A.22）代入HJB方程（6.1），我们得到了v（·，0）的以下线性一阶微分方程：0=tv（t，0）- rv（t，0）+（a）*（t，0））+（q*（t，0））, 0<x，0≤ t<t，允许显式解v（t，0）=v（t，0）e-r（T-t） +ZTt（a）*（s，0））+（q*（s，0））e-r（s）-t） D匹配（6.6），因为v（t，0）=0。参考文献【1】Y.Achdou、F.Camilli和I.Capuzzo Dolcetta，《平均场游戏：有限差分法的收敛》，暹罗数值分析杂志，51（2013），第2585-2612页。[2] Y.Achdou和A.Porretta，《平均场游戏中偏微分方程组弱解的有限差分格式的收敛》，暹罗数值分析杂志，54（2016），第161-186页。[3] K.J.Arrow和S.Chang，《不确定资源存量的最优定价、使用和勘探》，《环境经济与管理杂志》，9（1）（1982），第1-10页。[4] A.Bensoussan、J.Frehse和P.Yam，《平均场游戏和平均场类型控制理论》，斯普林格出版社，2013年。[5] P.Cardaliaguet和P.J.Graber，《一阶平均场游戏系统》，ESAIM：控制、优化和变异演算，21（2015），第690-722页。[6] P.Cardaliaguet、J.-M.Lasry、P.-L.Lions和A.Porretta，《平均场游戏、网络和异质媒体的长期平均值》，7（2012），第279-301页。[7] P.Cardaliaguet、J.-M.Lasry、P.-L.Lions和A.Porretta，《具有非局部耦合的平均场游戏的长期平均值》，《暹罗控制与优化杂志》，51（2013），第3558–3591页。[8] E.Carlini和F.J。

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