用平均场博弈方法研究可耗尽资源的生产和开发

然而，外部发现意味着储量分布是一个概率密度（0，Xmax），无需跟踪π（t），这意味着简化了各自的证明。与此相关的是，Cardaliaguet和Graber[5]详细证明了具有局部耦合的一阶MFG平衡解的存在性和唯一性。然而，具有非局部项v（t，x+δ）的一阶制造PDEs- 据我们所知，现有文献中尚未讨论v（t，x）（除了在[12，Sec 5]中提及的情况外），解的存在性、唯一性和正则性仍然是一个悬而未决的问题。MFG框架将每个生产者的个人战略行为与市场的宏观组织联系起来。因此，主要的经济见解涉及描述市场整体演变的结果总量。为此，我们重新定义了（3.15）A（t）中定义的总产量Q（t）和总储量R（t），分别定义为R（t）=Z∞η*（t，x）dx，（3.17）A（t）=-δZ∞λ（t）a*（t，x）η*（t，dx）。（3.18）注意R（t）=R∞P（Xt≥ x） dx=E【Xt】证明其总储量的意义。附录A.2中证明的下列引理3.2显示了这些感兴趣量之间的关系。它可以解释为储量的质量守恒：在宏观尺度上，总储量变化只是储量增加（通过新发现A（·））和储量消耗（通过产量Q（·））之间的净差异。引理3.2。我们有关系ddtr（t）=-Q（t）+A（t），即R（t）=R（0）-ZtQ（s）ds+ZtA（s）ds。（3.19）4数值方法和示例我们使用迭代格式数值求解HJB方程（3.12）和运输方程（3.16）系统，类似于[20，11]中的方法。

类似Picard的迭代从初始价格过程p（0）（·）开始，作为MFG值函数（3.2）的输入，这将简化为生产和勘探率的标准优化问题（q（0），a（0））。然后在储量演化方程（3.11）中输入（q（0），a（0）），求解η（0）（·，·）。通过p（1）（t），获得的q（0）和η（0）用于更新价格（2.8）=D-1.-R∞q（0）（t，x）η（0）（t，dx）+ p（0）（t）. 然后将更新后的价格p（1）（·）用于新的迭代。作为k→ ∞, 预计迭代将收敛到一个固定点，即三重（q(∞), a(∞), η(∞)) 这同时满足HJBequation（3.12）和transport equation（3.16），因此产生了制造MNE。出于数值目的，我们将其限制在一个有界的空间域[0，Xmax]，该空间域使用网格0=x<x<…<xM=Xmax，网格大小相等x=xm-xm公司-1，m=1，M、 下方我们fix在所有计算示例中，x=0.1。表1总结了我们示例的其他数字参数。在第4.1节中，我们介绍了一种数值方法来求解一个具有代表性的生产者的博弈价值函数的HJB方程，其中价格p（t）是外生的。在第4.2节中，weCost函数κ=κ=0.1，β=β=1最大价格/整数利率L=5，r=0.1保留动力学δ=1，λ=1数值方案T=50，Xmax=120，x=0.1表1：用于第4节中所有数字插图的参数值。引入数值方法来求解由上一步获得的最优（q，a）控制的储量分布方程（3.11）。在第4.3节中，我们展示了求解耦合HJB和输运方程的迭代格式。4.1 HJB方程的数值格式在本节中，我们用外部给定的价格p（t）求解（3.2）定义的平均场对策值函数v（t，x）。

将p（t）视为外源性可以避免（3.3）中的生产控制公式，该公式通过∞zv（t，z）η（t，dz）。相反，我们使用的（3.8）只取决于球员自己的预备队状态x，并简化为标准的最优随机控制问题。对于勘探控制，我们使用（3.7）中的一阶条件。带有边界条件（3.10）的HJB方程（3.2）类似于[25]中的单主体问题。后一篇论文考虑了一个时间平稳模型，该模型将HJB方程简化为x中的一阶非线性常微分方程。相比之下，（3.2）具有时间依赖性，因此是真正的偏微分方程。我们采用直线法离散x变量，并将HJB PDE视为时间变量t中的普通微分方程组，终端条件v（t，x）=0。v（t，x）在每个空间网格点XM处的空间导数由后向差商近似xv（t，xm）≈v（t，xm）-v（t，xm-1)x、 非本地术语xv（t，xm）近似为xv（t，xm）≈ v（t，xm+d）- v（t，xm），d=bδxc使xm+δ\'xm+d。我们将v（·，xm）作为变量t中的普通微分方程求解，查看v（t，xm-1） v（t，xm+d）作为源项，tv（t，xm）≈ rv（t，xm）-2β\"p（t）- κ-v（t，xm）- v（t，xm-1)x个+#-2β（λ（t）[v（t，xm+d）- v（t，xm）]- κ)+, m=1，M- d、 （4.1）对于边界情况m=0，生产停止，方程式变为tv（t，x）=rv（t，x）-2β（λ（t）[v（t，xd）- v（t，x）]- κ)+. （4.2）回想一下，对于足够大的x，储量达到饱和水平，没有进行勘探。我们采用xmax，这样对于xM也是如此-d+1，xM=xmax，其中项（λ（t）xv（t，x）- κ） +消失和（4.1）简化为tv（t，xm）=rv（t，xm）-2β\"p（t）- κ-xv（t，xm）+#, m=m- d+1，M

（4.3）我们使用Matlab的Runge-Kutta解算器ode45（向后）求解{v（t，xm）:m=0，1，…，m}的一般微分方程系统（4.1）–（4.3）。4.1.1 HJB方程的数值示例为了说明上述解决HJB方程（3.2）的方法，我们考虑一个恒定外生价格p（t）=3的示例，t型≤ T为了规定λ（t），观察新发现的直观机会应与地下剩余储量成比例。假设全球可开采储量因持续勘探和生产而及时（线性）减少，我们将考虑t与发现率λ（t）：λ（t）之间的线性关系=1.- t/t+.时间T可视为商品的全球枯竭。图1显示了几个中间t的最终最佳生产率q（t，x）和勘探效率a（t，x）。在每个t，生产率q（t，x）在储量水平x中增加（逐渐达到p（t））- κas x→ ∞), 当勘探效果a（t，x）在x中减少，在x中变为零a（t，x）=0≥ 80、q（t，·）和a（t，·）的单调性是由于储量的边际价值递减，这与[25，26]中的结果一致。由于发现率λ（t）降低，产量和勘探率在t中都会降低，这就增加了勘探的动机，反过来又降低了产量，成为储量的边际价值。上述q（t，x）和a（t，x）表示0≤ t型≤ T和0≤ x个≤ Xmax将在下一节4.2中用作输入，以计算储量分布的演变。0 5 10 15 2000.511.522.5xq（t，x）t=0t=10t=20t=400 5 10 15 2000.511.52xa（t，x）t=0t=10t=20t=40图1：与HJB方程（3.2）相关的恒定价格p（t）=3和λ（t）=（1）下的生产和勘探控制（q，a）- 0.025t）+，0≤ t型≤ T左面板：生产率Q（t，x）。

右面板：优化勘探速率a（t，x）。4.2输运方程的数值格式我们现在假设给定的控制q（t，x），a（t，x），并考虑储量分布的演变。为了数值求解η（t，x）的输运方程，我们使用一个完全显式的有限差分模式，该模式将导数替换为agrid上各个函数的离散增量。我们在空间域[0，Xmax]中使用相同的分区，使用x如前一节所述。为了证明x变量的这个有界域的合理性，回顾第3.1节末尾关于饱和水平xsatat的讨论，这促使我们假设a（t，x）=0表示x足够大，而η（t，x）=0表示x足够大（例如x≥ suptxsat（t）+δ，附加假设初始分布η的支撑也是有界的）。因此，我们将数值边界条件η（t，Xmax）=0用于所有t。（即使a（t，x）>0用于所有x，我们仍然期望η的右尾对于x大可以忽略不计，因此可以在Xmax处进行数值截断。）此外，我们使用网格0=T<T<…<tN=两次tN=nt、 为了处理x=0时的边界，x=0+时的值η（t，·）和q（t，·）分别用η（t，x）和q（t，x）进行数值近似。通过上述设置，我们通过前向差异商在时间和空间上近似两个导数：tη（tn，xm）≈η（tn+1，xm）- η（tn，xm）t，xη（tn，xm）≈η（tn，xm+1）- η（tn，xm）x、 通过选择d=bδxc，所以xm-δ\'xm-dwe用黎曼和近似（3.11a）–（3.11b）中的积分项-Zxm（xm-δ） +λ（t）a（t，x）η（t，dx）≈mXj=m-d+1∨1λ（tn）a（tn，xj）（η（tn，xj-1) - η（tn，xj）），（4.4），其中η（tn，xj-1) - η（tn，xj）是区间内拥有储量的生产者的比例【xj】-1，xj]。我们从给定的初始条件η（t，xm）=η（xm），m=0。

，M，并使用右边缘边界条件η（tn，xM）=0，n=0，…，求解正时。。。，N、 我们取η（tn，x）=1并解释η（tn，x）≈ η（tn，0+），因此π（tn）=η（tn，x）-η（tn，x）。然后，我们在空间中求解η（tn+1，·），根据xm分解为多个情况 δ. 对于0<xm<δ（即m=1，2，…），对应于（3.11a），我们得到η（tn+1，xm）的数值为η（tn+1，xm）=η（tn，xm）+tq（tn，xm）η（tn，xm+1）- η（tn，xm）x个- tmXj=1λ（tn）a（tn，xj）（η（tn，xj）- η（tn，xj-1)) . （4.5）其中j=1的项对应于（3.11a）中的λ（tn）a（tn，0）π（tn）。对于xM>xM>δ，cf.-（3.11b），我们通过η（tn+1，xM）=η（tn，xM）获得η（tn+1，xM）的数值- tmXj=m-d+1λ（tn）a（tn，xj）（η（tn，xj）- η（tn，xj-1） ）+q（tn，xm）（η（tn，xm+1）- η（tn，xm））t型x、 （4.6）请注意，上述方程只需要值a（tn，xm）、q（tn，xm），并且很难将制造方程HJB部分的直线法方法与上述运输方程的完全离散有限差分方案相结合。4.2.1举例说明储量分布的演变假设初始储量分布具有抛物线初始密度m（x）m（x）=6x（u- x） u型<=> η（x）=1- 3（x/u）+2（x/u）表示0≤ x个≤ u、 否则m（x）=0。在图2所示的示例中，我们在图的左面板上取u=10，cf.m（0，x）。边界概率π（t）=P（Xt=0）的演化和储量分布密度m（t，x）=-xη（t，x）如图2所示。从数值上讲，密度函数近似为差值商m（tn，xm）≈η（tn，xm）-η（tn，xm+1）x、 由于发现率λ（t）随时间减少，储量密度m（t，x）随时间推移而向零移动，如图2左面板所示。

同样，无剩余储量的生产商的比例π（t）在t中增加，并且在发现变得不可能后不久，全球储量为零。参见图2的右面板。我们还注意到，由于离散储量从Xt=0.0 5 10 1500.10.20.30.40.5xm（t，x）t=0t=100 10 20 30 40 50 000.20.40.60.81tπ（t）跳变而导致m（t，·）atx=δ的不连续性。图2：在第4.1节获得的生产和勘探控制（q，a）下的储量分布演变。发现率为λ（t）=（1- 0.025t）+，发现的单位数量为δ=1。左面板：储量分布密度m（t，x）=-xη（t，x）表示几个t。右图：无储量生产者的比例π（t）=P（Xt=0）。t=41后，所有储量均已耗尽。4.3 MFG系统的数值格式我们引入了一种迭代格式来求解耦合HJB和传输方程组。我们的解决方案策略包括以下三个步骤的循环。循环在迭代k=0，1。直到数值收敛。为了初始化，我们从初始价格过程p（0）（t）（大于κ，以确保严格的正生产率）开始。在步骤1中，给定当前p（k）（·），对HJB方程执行第4.1节中的数值格式，输出最佳产量q（k）和勘探a（k）速率。接下来在步骤2中，按照第4.2节中的方案，将这些q（k）和a（k）代入输运方程，以求解η（k）。然后，我们通过使用aRiemann和来近似Q（k）（t，x）关于η（k）（t，·）的积分来计算总产量Q（k）。最后，在步骤3中，我们将价格更新为p（k+1）。观察如果p（k）（t）低于均衡价格p*（t） 对于allt∈ [0，T]，所得Q（k）（T）将低于平衡Q（T）。

因此，D(-1） （Q（k）（t））将高于p*（t） ，反之亦然。因此，为了加快收敛速度，我们在下一次迭代中将p（k+1）（t）取为p（k）（t）和D的平均值-1（Q（k）（t））。在数值上，我们观察到这产生了一个单调的p（k）（t）’序列，提高了收敛到平衡p的能力*（t） 。步骤0。从初始猜测p（0）（t），t开始∈ 市价的[0，T]。第1步。对于迭代k=0，1，2。。。，给定p（k）（·），求解HJB方程（3.12），得到v（k）（t，x）和相应的q（k）（t，x）和a（k）（t，x），如（3.13）-（3.14）所示。第2步。用上述q（k）和a（k）求解输运方程，得到满足（3.11）的η（k）（t，x）。第3步。通过新的总产量p（k+1）（t）：=D更新市场价格-1.Q（k）（t）+ p（k）（t），Q（k）（t）=M-1Xm=1q（k）（t，xm）[η（k）（t，xm）-η（k）（t，xm+1）]。重复步骤1-3，直到在定义为k·k的sup范数中收敛∞:= sup[0，T]×[0，Xmax]|·|。当满足误差公差T olError时，迭代将停止v（k+1）- v（k）∞< 工具错误，以及η（k+1）- η（k）∞< 工具错误。（4.7）我们继续运行示例，其中发现率为λ（t）=（1- 0.025t）+，δ=1，初始价格过程为p（0）（t）=3t、 回想一下，第4.1.1节和第4.2.1节中获得的解决方案可以视为上述方案的第一次迭代k=0。图3说明了k=0，1。在固定时间t=10时得到的HJB值函数v（k）（t，x）。在每次迭代k中，如果v（k）（t，x）小于平衡值v*（t，x）对于所有x∈ [0，Xmax]在一些t固定的情况下，在下一次迭代中，v（k+1）（t，x）将向上移动到平衡水平v（t，x）。图3中观察到x中的逐点单调收敛。

数值收敛，公差T olError=10-在k=4次迭代后达到6in（4.7）。0 20 40 60 80 100 120020406080xv（k）（t，x）k=0k=1k=2k=3k=4k=5图3：第4.3节中数值格式的收敛性。我们从初始猜测P（0）（t）=3开始t型∈ [0，T]，发现率λ（T）=（1- 0.025t）+。t=10时的对策值函数，v（k）（t，x），在k后收敛≥ 4次迭代。图4显示了总产量Q（t）、总发现率A（t）和总储量水平R（t）的演变。总储量R（t）随着生产的进行而减少；反过来，递减r（t）会降低总生产率Q（t），并提高市场价格p（t）。有趣的是，我们在t 7中观察到驼峰形状→ A（t）：最初勘探效果上升，然后达到峰值，然后逐渐下降。这种复杂的关系是由不断变化的勘探成功参数λ（t）（随着时间的推移，不鼓励勘探）和储量分布η（t，x）（随着储量平均趋于枯竭，鼓励勘探）驱动的。为了获得进一步的见解，我们将这些结果与发现率λ（t）=0的非勘探（NE）情况进行了比较。当λ（t）=0时，不会进行勘探*（t，x）≡ 因为没有希望有任何发现。因此，生产商只是逐渐提取其初始储量，最终导致总枯竭，图中t>10.5时，RNE（t）=0。图4最右侧的面板显示了储量“末日”的推迟，该面板绘制了枯竭生产商π（t）比例的演变。相比之下，对于具有勘探的amodel，最终耗竭仅发生在t=41左右（回想一下，λ（t）=0后t=40）。事实上，在t=10时，不到10%的生产者没有储量。

正如所料，由于勘探增加了全球储量，RE（t）≥ RNE（t），各储量的边际值较低，因此提高了产量，QE（t）≥ QNE（t）t、 因此，勘探不仅延缓了耗竭，而且明显地增加了收入。0 10 20 30 40 5000.511.522.5tQ（t）λ（t）=0λ（t）=（1- 0.025t）+0 10 20 30 40 500 123456tr（t）λ（t）=0λ（t）=（1- 0.025t）+0 10 20 30 40 5000.511.5tA（t）λ（t）=0λ（t）=（1- 0.025t）+0 10 20 30 40 5000.20.40.60.81tπ（t）λ（t）=0λ（t）=（1- 0.025t）+图4：从左至右：无储量生产者的总产量Q（t）、总储量R（t）、总发现率A（t）和比例π（t）随t的变化。Weshow发现率λ（t）=（1- 0.025t）+，与无勘探相比，λ（t）=0.5平稳平均场博弈纳什均衡。第3节，我们研究了一个具有时间不均匀发现率λ（t）的一般模型，该发现率通常会随着时间的推移而降低。当各地仍有丰富的资源时，可以合理地假设发现率为时间齐次λ（t）=λ，对于某些λ>0。由于勘探，用于生产的商品可以通过新发现得到补偿，从而获得稳定的生产和勘探水平。在这一节中，我们将讨论由（▄q，▄a，▄η）表示的平稳MFG平衡。