非欧几里德条件期望与过滤

根据Shapiro-Wilks正态性检验，性能指标的误差分布为非高斯分布（详情参见【45】。使用[15]中的bootstrap调整置信度（BAC）区间方法代替tonon参数化生成95%置信度区间。之所以选择BAC方法，是因为它不假设基础分布为高斯分布，而是校正偏差，并校正数据中的偏斜。

通过从性能指标的已实现误差分布中重新采样10000次来执行引导。表1和表4显示，根据Frobenius、最大模量、完整性和光谱矩阵规范，在所有方法中，N-KF方法最为准确，方差最低。表4:PortfolioWeights性能指标的自举调整置信区间提前一天预测γ95 L平均值95 U0l5.93e-01 6.17e-01 6.40e-01l∞5.32e-01 5.51e-01 5.70e-010.5l7.38e-01 7.66e-01 7.98e-01l∞6.59e-01 6.86e-01 7.14e-011l7.37e-01 7.69e-01 8.00e-01l∞6.61e-01 6.89e-01 7.15e-01（a）欧氏卡尔曼滤波器γ95 L平均值95 U0l3.49e-01 3.71e-01 3.92e-01l∞3.18e-01 3.37e-01 3.55e-010.5l4.71e-01 5.02e-01 5.33e-01l∞4.33e-01 4.61e-01 4.89e-011l4.66e-01 4.94e-01 5.25e-01l∞4.26e-01 4.54e-01 4.82e-01（b）非欧几里得卡尔曼滤波器γ95 L平均值95 U0l5.51e-01 5.72e-01 5.95e-01l∞5.25e-01 5.45e-01 5.67e-010.5l7.45e-01 7.77e-01 8.07e-01l∞7.10e-01 7.41e-01 7.73e-011l7.45e-01 7.78e-01 8.13e-01l∞7.13e-01 7.41e-01 7.74e-01（c）非更新固有重心γ95 L平均值95 U0l6.70e-01 6.89e-01 7.07e-01l∞5.97e-01 6.14e-01 6.31e-010.5l8.21e-01 8.48e-01 8.76e-01l∞7.29e-01 7.55e-01 7.78e-011l8.15e-01 8.43e-01 8.70e-01l∞7.26e-01 7.51e-01 7.76e-01（d）非更新外部重心表1和2反映了当时KF方法的有效投资组合权重的预测性能比其他方法更准确。表4中报告的较低偏差和较紧的95%置信区间再次表明了这一点。所呈现的数字反映了将相关几何与数学金融问题相结合的重要性。

非欧几里德几何融入数值程序的方式影响了算法的有效性，非欧几里德卡尔曼滤波器的性能优于其他基准方法。下一节总结了本文所做的贡献。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里得条件化和过滤20186年9月7日摘要在本文中，我们考虑了条件期望的非欧几里得推广，它自然地模拟了概率模型中存在的非欧几里得特征。在数学金融中，将相关几何信息纳入概率估计程序的需要是由有效投资组合的几何结构推动的。[7]、[19,21]、[27]、[29]、[26]、[4]、[11]和[35,36]中也探讨了几何和数学金融之间的联系。非欧几里德滤波被视为优于传统的欧几里德滤波方法，其估计值呈现较低的预测误差。理论4.6证明了内在条件期望的常见公式与特殊欧几里德条件期望变换的等价性和存在性。这些结果是使用[14]中引入的Γ-收敛的变量演算理论建立的，随后由[10]通过暂时通过较大的LpP（Go；M）-空间发展而来。据我们所知，这些都是数学金融和应用概率论领域内的新证明技术。定理4.6的一个中心结果是，有可能使用经典的欧几里德滤波方程，写出（M，g）上内在条件期望动力学的可计算随机滤波方程。

我们的结果与[41]、[16]或[18]的结果不同，因为预测了内在条件期望的动力学，而不是欧几里德信号和/或观测过程上函数的欧几里德条件期望的动力学。同样，out的结果不像[44]那样依赖于Le-Jan Watanabe连接，唯一的计算瓶颈可能是计算黎曼对数和黎曼指数映射。然而，在本文未讨论的许多深入研究的计量学中，这些都很容易获得，例如，在文献[30]中用于研究λ-SABR模型的双曲几何。数学金融中许多其他自然发生的空间具有本文中心定理所需的性质。例如，在【30】do中开发的双因素随机波动率模型的几何结构。这里开发的技术可以在数学金融中找到该几何体和其他相关几何体的应用，并可以找到许多其他广泛使用标准机器学习方法的应用概率理论领域。参考文献【1】L.I.Allerhand和U.Shaked。具有驻留时间的线性切换系统的鲁棒稳定性和镇定。IEEE Trans。自动装置。控制。，56(2):381–386, 2011.[2] W.Ballmann。非正曲率空间讲座，DMV研讨会第25卷。Birkhauser Verlag，巴塞尔，1995年。[3] F.Barbaresco。基于Cartan的PD矩阵几何和信息几何的雷达信号处理创新工具。雷达会议，第1-6页。IEE E，2008年。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德调节和过滤2018年9月7日[4]E.Bayraktar、L.Chen和H.V.Poor。将远期流量投影到一个有限维流形上。《国际理论与应用金融杂志》，9（05）：777–7852006。[5] M.J.贝斯特。投资组合优化。

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之前的测地线，因此Expg（）和Logg（）映射可以在乘积黎曼流形上以组件方式表示。将M、N、~N到R、RD和p+的酒窝具体化，表明马科维茨空间是一个很好定义的黎曼人（如果旧的话）。mrkis公式只是度量空间之间乘积度量的公式。使用上面讨论的自然isomorp hism，乘积黎曼的截面曲率是截面曲率之和。由于欧几里德空间的截面曲率为0，而P+dha的截面曲率为非正（见[9]），因此马科维茨空间的截面曲率为非正。一般线性群GLD（R）具有两个连通分量，对应于具有负或正行列式的矩阵。由于P+d是由具有严格正特征值的矩阵组成的子集，其元素都具有严格正行列式。因此，P+Dis重叠连接。由于马科维茨空间的每个分量空间都是测地完备的（关于P+D的陈述，参见[9]），霍普里诺定理暗示了相关度量空间是完备的。Markowitz sp acetogether的非正曲率和Cartan-Hadamard定理意味着Markowitz空间的每一点上的黎曼指数映射是R1+D+D（D+1）上的一个差同态，其中D（D+1）是P+D的维数。该维数是通过计算对称矩阵主对角线上和上方的项来获得的。A、 2推导过滤方程推导推论4.7。表示条件期望EPhXitGtiby Xit。

[12，备注22.1.15]中的过滤方程意味着每个局部线性化坐标过程的条件平均值xit给定过滤GtiisXit=EPxiGi公司+ZtEP公司fi（Xu）Giu杜+祖EPh秀慈Giui公司- EPh▄秀GiuiEPhci（~秀）Giui公司dVu（A.1），其中创新处理VIT和VIT、Ztα（u、Yu）定义的可选项目-1dYu-Ztαi（s，~ Yiu）-1.^ci（ω，u，~Yiu）du^ci（ω，t，y），EPci（t，Xt，y）Gti公司,（有关创新过程的更多详情，请参见[12，第22.10章]；有关可选预测的更多详情，请参见[12，第7.6章]）。通过将It^o引理应用于（光滑）函数x 7，缩写为EgP[Xt | Gt]→*ExpgXgt-dXi=1x！，ei+RdA。K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日至处理PDI=1xteiieldshexpgxgt-dXi=1Xit！，eiiRd=hExpgXgt-dXi=1Xi！，eiiRd+ZtdXi=1*xiExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+Rdd^Xit+ZtdXi，j=1xixj*ExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+Rdd【^Xi，^Xj】t=hExpgXgt-dXi=1Xi！，eiiRd+Zt“dXi=1*xiExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+RdEPfi（Xu）Giu+dXi，j=1*xixjExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+RdΞi，judu+ZtdXi=1*xiExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+RdEPfi（Xu）GiudVu，（A.2），其中流程Ξi，jt由Ξi，jt定义，EPh秀慈Giui公司- EPh▄秀GiuiEPhci（~秀）Giui公司EPhXjucjGjui公司- EPhXjuGjuiEPhci（Xju）Gjui公司.结果随后应用定理4.6和可选投影[12，定理7.6.2]。A、 3定理4.6的证明我们回到定理4.6的证明。