非欧几里德条件期望与过滤

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英文标题：
《Non-Euclidean Conditional Expectation and Filtering》
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作者：
Anastasis Kratsios and Cody B. Hyndman
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  A non-Euclidean generalization of conditional expectation is introduced and characterized as the minimizer of expected intrinsic squared-distance from a manifold-valued target. The computational tractable formulation expresses the non-convex optimization problem as transformations of Euclidean conditional expectation. This gives computationally tractable filtering equations for the dynamics of the intrinsic conditional expectation of a manifold-valued signal and is used to obtain accurate numerical forecasts of efficient portfolios by incorporating their geometric structure into the estimates.
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中文摘要：
引入条件期望的非欧几里德推广，并将其特征描述为距离流形值目标的期望内平方距离的最小值。计算可处理公式将非凸优化问题表示为欧氏条件期望的变换。这为流形值信号的内在条件期望的动力学提供了计算上易于处理的滤波方程，并通过将其几何结构合并到估计中来获得有效投资组合的精确数值预测。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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PDF下载：
--> Non-Euclidean_Conditional_Expectation_and_Filtering.pdf (314.49 KB)

2022-6-1 13:38:59 上传

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关键词：欧几里德 条件期望 Quantitative Mathematical Applications

非欧几里德条件期望与过滤ganatasis Kratsios*科迪·B·海德曼*2018年9月7日摘要引入了条件期望的非欧几里德推广，并将其特征描述为与流形值目标的期望内在平方距离的最小值。计算trac表公式表达了欧几里德条件期望的非凸优化问题。这为多值信号的内在条件期望的动力学提供了计算上易于处理的滤波方程，并用于通过将其几何结构合并到估计中来获得有效投资组合的精确数值预测。关键词：条件期望、非欧几里德C传统期望、投资组合理论、非线性条件期望、非欧几里德几何、随机滤波、非欧几里德滤波方程、Gamma收敛。数学主题ct分类（2010）：60D05、91G60、91G10、62M20、60G35.1简介非欧几里德几何在金融问题中自然出现。[8]中使用李群方法描述了与有限维Heath Jarrow Morton（HJM）模型一致的短期利率模型。在[29，30]中，使用黎曼热核展开推导出了高精度随机波动率模型估计方法。在[20]中，零息票债券的有限维期限结构模型的等效局部鞅测度（ELMM）使用与远期利率曲线因子模型相关的光滑流形结构进行表征。在【11】中，开发了考虑概率密度的有限维流形的产量曲线建模信息几何技术。在文献[26，25]中，利用黎曼几何逼近随机波动率模型和协方差矩阵预测成功地预测了股票价格。

文献[37]表明，在数学金融问题上考虑相关几何结构会导致更准确的样本外预测。*康科迪亚大学数学和统计系，1455 Boulevard de Maisonn euve Ouest，Mont r\'eal，Qu\'ebec，Canada H3G 1M8。电子邮件：anastasis。kratsios@mail.concordia.ca，科迪。hyndman@concordia.caThis这项研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（NSERC）的支持。作者感谢Alina Stancu（康科迪亚大学）的有益讨论。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件化和过滤2018年9月7日非欧几里德方法的卓越预测能力被解释为数学金融问题中呈现的编码信息，否则被经典的欧几里德方法所忽视。这些方法中的每一种都使用微分几何来处理数学金融中的不同问题。条件期望和随机过滤是应用概率和金融中使用的一些最基本工具。条件期望的几何公式，如[47，44]中使用的，是非凸优化问题的解。问题的非凸性使得这些非欧几里德条件期望公式的计算变得困难或棘手。非欧几里德滤波公式，如【16】、【41】或【18】中的公式，假设信号和/或噪声过程是非欧几里德的，并使用经典的欧几里德条件期望估计噪声信号的泛函。在【44】动力学中，使用Le-Jan Watanabe连接，对发现旧值信号的人进行内在条件预测。

这种联系将固有的非欧几里德滤波问题简化为欧几里德滤波问题。然而，文献[44]的作者指出，由于Le Jan Watanabe连接引入的复杂性增加，实现其结果可能很难。本文提出了一种称为测地线条件期望的内在条件期望的可计算特征，并使用它来产生一个类似于[44]的非欧几里德滤波问题的可计算解决方案。非欧几里德粒子滤波器的实现类似于[47]。然而，在[47]中，算法对非欧几里德条件期望的收敛是不合理的。测地条件期望将内在条件期望表示为与非欧几里德信号过程相关的欧几里德条件期望的某些变换的限制。与[44]类似，这些变换将非欧几里德问题的计算简化为欧几里德问题的计算，其中心区别在于所需的变换是以闭合形式可用的。此处考虑的最小线性化变换类似于【23、22、26、28、1、47】中工程、计算机视觉和控制文献中的经验假设。本文的组织结构如下。第2节通过本文介绍了必要的符号和通用术语。第三节介绍了投资组合选择与非欧几里德几何的关系，并从有效投资组合空间的角度回顾了黎曼几何的要素。第4节介绍了非欧几里德环境条件扩展的两种自然泛化。这两种公式在定理4.6中是等效的。

推论4.7提供了描述非欧几里德期望动态的非欧几里德滤波方程。使用推论4.7，第5节返回到有效投资组合的空间，并从数字上说明了如何通过将几何特征纳入估算程序，更精确地预测历史股票数据上的有效投资组合。我们的过滤程序以工程和计算机视觉文献中的其他固有过滤算法为基准。第6节回顾了本文的贡献。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日本文中的预备知识和符号(Ohm, F，Fo，P）表示一个完整的随机基，在此基础上定义了WT和Bt定义的独立布朗运动。此外，Go表示Fo的细分。向量值条件期望将由EP[Xt | G]表示。度量m将表示Lebesgue度量，Lpm（F；RD）将表示关于Lebesguemeasure m的D元组的F-可测RD值函数的Bochnellebesgue空间。如果D=1，Bochner-Lebesgue空间将缩写为Lpm（F）。对于Ariemanian流形（M，g），内部测度用u表示，诱导距离函数用dg表示。拓扑空间的不交并或余积将用`表示。由（M，g）导出的从R到度量空间的c\'adl\'ag路径集由d（R；M，dg）定义。下一节通过介绍和讨论有效投资组合的几何结构来推动本文所研究的几何结构。3有效投资组合的几何学数学金融中的基本问题是选择最佳投资组合。通常，在现代投资组合理论中，投资组合由D个预先确定的风险资产和一个无风险资产集组成。

有效投资组合是指回报最大但风险不超过最高水平的投资组合。通常，回报水平由投资组合的预期（对数）回报来衡量。投资组合的风险量化为投资组合的方差。有效投资组合的优化问题可以通过多种方式来定义，本文考虑的一种方法是如下夏普权益比率^w（γ，u，∑），argminw∈RD‘w=1-γuw+w∑w. （3.1）这里，w是投资组合权重的向量，表示为投资于各Chrisky资产的财富比例，u∈ R是风险资产预期对数回报的向量，∑是这些对数回报的协方差矩阵，γ是平衡最大化投资组合回报与最小化投资组合方差目标的参数，\'1是向量，其所有组成部分等于1，以及表示矩阵转置操作。如果∑不退化，则方程（3.1）的唯一最优解为^w（γ，u，∑）=∑-1Σ+ γΣ-1u -Σ-1uΣ-1Σ-1. （3.2）t设置为0的特殊情况是[38]的最小方差组合。最小方差投资组合^w（0，u，∑）也可以通过最小化受预算约束的投资组合方差得出w=1。通过向投资组合中添加无风险资产，可以导出市场投资组合和资本市场线的类似表达式（有关这种投资组合理论方法的更多详细信息，请参见[5]）。与收益向量u不同，投资组合的协方差矩阵在欧几里德空间中没有意义的表示。也就是说，协方差矩阵并不是线性缩放的，其差异是。K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件和过滤2018年9月7日协方差矩阵不需要是协方差矩阵。

因此，预测未来协方差矩阵，即使是通过简单的技术，如直接对∑的分量进行线性回归，也可能导致无意义的预测。使用P+D表示的正定义集的内在几何结构可以避免这些问题。空间P+D，在卡坦哈达玛几何和李论的结合处，有一个研究得很好且丰富的几何。这种几何学的经验开发在数学成像（见[39]）、计算机视觉（见[42]）和信号处理（见[3]）中有许多应用。此外，这一几何学与信息论之间的联系在[46]中得到了进一步的探讨，将其与Cramer-Rao下界联系起来。集合P+不光滑，并配备了称为黎曼度量的自然最小距离概念。用g表示，P+D上的黎曼度量量化了沿P+D在欧几里德空间中进行微元运动与进行关于P+D几何的微元运动之间的差异。在[40]中的嵌入定理中，纳什对欧几里德空间的黎曼流形子进行了严格的描述。P+上两点之间的距离由连接两点的最短路径的长度来量化，称为测地线。在P+D上，任何两点都可以通过测地线连接。将两个点连接到连接它们的唯一最有效曲线的长度的距离函数可以表示为dg（∑，∑），日志ΣΣΣF=dXi=1λi日志Σ-ΣΣ-. （3.3）函数dg使P+din成为一个完整的度量空间，而两点之间的距离scor正好对应于唯一距离的长度，从而使它们之间的短程线最小。式中，k·k是Frobenius范数，首先将矩阵视为向量，然后计算其欧氏范数，∑是矩阵平方根算子，log是矩阵对数，λi（∑）表示∑的特征值。

对数和∑运算符在P+D上都有很好的定义。距离测量之间的差异由P+D的内部曲率来解释。截面曲率是描述空间固有曲率的一种形式，如asP+D。它是通过滑动与测地路径相切的平面并测量该相切平面经历的扭曲和转动来测量的。对P+D的详细测量表明，其截面曲率处处为非正。这意味着局部空间P+在伪球面和欧几里德空间之间发生了某种程度的位错弯曲。或者，可以这样描述：P+D没有像圆形一样凸出，而是皱起或弯曲。欧几里德空间的一个光滑子空间称为Cartan-Hadamard流形，该子空间的每一个地方都有非正曲率，并配有黎曼度量，并且每一对点都可以通过一个唯一距离的最小化测地线连接。这些空间具有许多良好的性质，如[2]中所研究的，但在本讨论中，本文中Cartan-Hadamard流形最重要的性质是存在P+D×P+Donto Rd的光滑映射Logg（）。这里Rdi是与P+D维数相等的欧氏空间。对于每个固定的输入，该映射都是完全不同的，具有一个完全可微分的逆，因此将P+Din与Rd平滑对应。映射Logg（）称为黎曼那。K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日对数。它与两个协方差矩阵之间的距离有关，通过hdg（σ，σ）=kLogg∑（σ）k，Log∑（σ），LogΣ-ΣΣ-Σ. （3.4）用Expg（）表示的黎曼指数映射是Logg（）的逆。

黎曼指数m ap取一个协方差矩阵∑，切向速度向量v到∑，并将其映射到协方差矩阵∑，通过沿P+Dat以初始速度v沿∑开始的最有效路径移动，并在一个时间单位后停止移动来找到协方差矩阵∑。测地线P+D通过缩放Expg（）地图中的初始速度矢量获得，表示为SEXPG∑（v），∑expΣ-Sym（v）∑-∑（3.5）Sym（v），vv。vDvvD+1。v2D-1.虚拟磁盘。vD（D+1）。,其中exp是矩阵指数。回到投资组合理论，方程（3.2）意义上的任何有效投资组合都是由对数回报、风险集合之间的非退化协方差结构和风险规避水平来表征的。将所有有效投资组合参数化的空间（在[38]之后称为Markowitz空间）具有自然的几何结构。定义3.1（Markowitz空间）设gE、gDE和g为r、RD上的欧氏黎曼度量和P+D上的黎曼度量。黎曼流形MMrkD，gMrkD,R×Rd×P+D，gE⊕ 通用电气⊕ g级被称为（D维）马科维茨空间。命题3.2（选择Markowitz空间的性质）。Markowitz空间是连通的，具有非正曲率，其关联的度量空间是完备的。距离函数isdMrk（（γ，u，∑），（γ，u，∑）），kγ- γk+ku- uk+dXi=1λi日志Σ-ΣΣ-!. （3.6）MMrkare上的黎曼Logg（）和Expg（）映射形式为Expg（γ，u，∑）（（v，v，v）），γ+v，u+v，∑expΣ-Sym（v）∑-ΣLogg（γ，u，∑）（（γ，u，∑）），γ- γ, u- u，∑logΣ-ΣΣ-Σ. （3.7）注意，黎曼指数图和对数图均定义为与R1+D+D（D+1）的平滑1:1对应关系。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日证明。

证明推迟到附录中。Markowitz空间是本文其余部分所考虑的几何空间的典型例子，这些是非正曲率的黎曼流形，对于这些流形，每两点都可以通过一个唯一的最小距离测地线连接。在本文的其余部分中，所有黎曼人if olds都是Cartan-Hadamard流形。Cartan-Hadamardmanifold出现在数学金融领域的许多地方，例如在[30]中，与具有两个驱动因素的随机波动率模型相关的自然几何结构是Cartan-Hadamardmanifold。在Cartan-Hadamard流形上，如Markowitz空间，没有严格定义条件期望的概念。因此，这些空间几何结构固有的严格估计仍然是一个普遍未解决的问题。我们通过讨论数学成像文献中存在的一些内在条件期望公式和相关经验技术来激发这个问题。条件期望isEP[Xt | G]，argminZ的最小二乘公式∈LP（G；Rd）EPkXt公司- Zk公司.用期望的内禀距离代替期望的欧几里德距离给出了非欧几里德条件期望的典型表达式。此公式将被称为Intrin sic条件期望。或者，通过使用黎曼对数映射对数据进行局部线性化，在欧几里德空间中形成估计，并将数据返回到黎曼流形中，来进行黎曼流形中的估计。这种方法在计算机视觉和数学成像文献中得到了广泛的应用【23、26、28、1】和【47】。