非欧几里德条件期望与过滤

在文献[47]中，作者根据经验支持估计内在条件期望的后续过程，该过程首先使用黎曼对数变换将观测值线性化，然后在欧几里德空间中计算条件期望，最后使用黎曼经验映射将预测结果返回黎曼流形。本文为上述两种方法提供了一个严格的框架，证明了它们的最优解的存在性，并表明这两种公式是一致的。使用[47]中非欧几里德滤波算法的严格公式推导非欧几里德滤波方程。通过利用马科维茨空间的几何结构，实现并使用非欧几里德滤波问题来准确预测效率组合。在第4节发展非欧几里德条件期望的一般理论之前，下一节将研究考虑非欧几里德几何重要性的经验证据。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件和过滤2014年9月7日84非欧几里德条件期望和内在预测集EP【Xt | Gt】表示Rd中的向量值条件期望。设0< < t和considerep[Xt | Gt]=lim↓0EP[Xt | Gt]=lim公司↓0EP[文本-|燃气轮机-] + EP[（Xt- EP[文本-|燃气轮机-])|燃气轮机]= lim公司↓0ExpgEP[文本-|燃气轮机-]EPhLoggEP[文本-|燃气轮机-]（Xt）Gti公司. （4.1）第一个等式是通过取一个常数序列的极限和第二条线来获得的，该第二条线是使用EP[Xt]的Gt可测量性获得的-|燃气轮机-] 条件期望的线性。

方程（4.1）的最后一行是利用欧几里德空间中的黎曼指数映射和对数映射分别对应于加法和减法这一事实得到的。方程（4.1）将时间t的条件期望表示为从过去任意接近时间的条件期望沿直线移动，初始速度由x的位置和最后计算的条件期望确定。过去的时间段通过限制任意变小 → 方程（4.1）可以推广，并被视为一般Cartan-Hadamard流形设置中条件期望的定义。一般来说，这种定义将依赖于流程的特定非预期路径扩展。此pathwiseextension的定义类似于[17]中介绍的水平路径扩展。进程XT的扩展Xe:TTO将初始实现值Xconstant保留回-∞ 时间t值常数一直到∞. 形式上，Xe:tti由Xe:ts（ω）沿路径定义，Xt（ω）t≤ sXs（ω）0≤ s≤ tX（ω）s≤ 图1：进程Xt的扩展。下一个假设将确保初始条件概率法在M上成立。假设4.1假设Xis G是可测量的，并且相对于固有度量ugon（M，G）是绝对连续的。用f表示其密度，并假设至少存在一个点xin M such，该积分∈Mdg（x，y）f（y）ug（dy）是有限的。定义4.2（测地条件期望）设XT为（M，g）-v值c\'adl\'ag过程，Gt为Ft的细分。给定Gt的测地条件期望，用a表示。K ratsios，C。

Hyndman非欧几里德条件和过滤2018xGT被定义为递归系统XGT的解决方案，界限7→∞ExpgXgt-nEP“LoggXgt-nXe：ttGt#o！ift>0argminx∈MRy公司∈Mdg（x，y）f（y）ug（dy）如果t≤ 0，（4.2），其中Yo是Gt可选投影。几何直觉Behind方程（4.2）是，时间t的当前测地条件期望值是通过首先根据时间t的先前估计预测（M，g）上描述当前状态的最小速度来计算的-n、 然后沿着（M，g）沿该方向穿过细测地线。方程（4.2）的计算含义是，一旦计算了黎曼经验和黎曼对数映射，就可以使用所有用于计算经典欧几里德条件期望的经典工具来计算测地条件期望。引理4.3（初始条件的存在）。根据假设4.1，Xgexists是P-a.sunique。证据在假设4.1下，[2，练习5.11]保证X的存在。测地条件期望是非欧几里德条件期望的非典型表述。通常，非欧几里德条件期望被定义为M值随机化元素，最小化到Xt的预期固有距离。在【34】之后，通过首次将（M，g）等距嵌入到大型欧几里德空间RD中，空间LpP（F；M）随后被定义为Bochner-Lebesgue空间LpP的子集F研发部由M上P-a.s.支持的可测映射的等价类组成，且存在一些^X∈ M代表哪个Zω∈Mdpg公司X（ω），^XP（dω）p<∞.

（4.3）集合LpP（F；M）是一个Banach流形（有关更一般的结果，请参见[43]）。定义4.4（内在条件期望）关于M值随机过程x的σ-子代数Gtof F的内在条件期望被定义为最优贝叶斯作用eg，pP[Xt | Gt]，arginfZt∈LpP（Gt；M）EPdpg（Zt、Xt）.当p=2时，我们只需编写EgP[Xt | Gt]。通过转向Markowitz空间，可以获得关于intrin-sic条件期望的直觉。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德调节和过滤2018年9月7日示例4.5。Letγ≥ 0是固定不变的。设Xt，（γ，ut，∑t）是在马科维茨空间中取值的过程，方程（3.6）。然后，XtgivenGtisEgP[（γ，ut，∑t）| Gt]=argmin（|ut，∑t）的内在条件期望∈LpP（Gt；M）EPkut- utk+ EP公司dXi=1λilogq∑t-1∑tq▄∑t-1..（4.4）马科维茨空间固有的条件期望寻求投资组合权重，该权重给出了Gt中给定信息的最可能对数回报，同时通过遵循该路径对方差进行惩罚。在∑tis独立于utand∑tis Gt可测量的情况下，可简化方程式（4.4）。由于ut不依赖于∑tand，后者在LP（Gt；M）中，因此可以将∑tma替换为第二项，将其设置为零。因此，在这个简化的场景中，欧几里德条件期望的最小二乘性质（见[32，第80页]）为EGP[（γ，ut，∑t）| Gt]=argmin（∑t，∑t）∈LpP（Gt；M）EPkut- utk= EP[ut | Gt]。（4.5）LpP（Gt；M）上定义了一个自然拓扑，其特征是c'adl\'ag过程序列在其上处理的拓扑最弱-不∈Nin-LpP（Gt；M）收敛于toXtin-LpP（Gt；M）（参见a.2中的严格讨论）。对于具有此拓扑的LpP（Gt；M）的任意两个元素X和Y，我们将写≡ Y、 如果X和Y在此拓扑中不可区分。

直觉上，这意味着它们不能在拓扑中进一步分离。例如，在RDS中，两点不可区分当且仅当它们相等时，对于度量空间中的示例也是如此。然而，在从R到其自身的可测函数空间中，这两个函数是平方可积的，与它的通常拓扑相等，当且仅当它们在几乎所有点上相等时，这两个函数是不可区分的（有关拓扑不可区分性的详细信息，请参见[33]）在温和的假设下，测地条件期望和内在条件期望在Cartan-Hadamard空间上一致，如下定理所示。定理4.6（无条件期望）。设Xt是一个M值过程，其c\'adl\'agpath为M-a.e.t的L（Gt；M）中≥ 0且假设4.1和A.7成立。对于1≤ p<∞, 存在内在条件期望EgP[Xt | Gt]。此外，如果p=2，则EGPXe：tt燃气轮机e： t型≡ Xgte:t，（4.6），其中方程（4.6）的左侧是内在条件期望，其右侧是测地条件期望。定理4.6对[47]中的粒子滤波算法进行了调整。在证明定理4.6和发展所需理论之前，我们将探讨一些含义和示例。A、 K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件和过滤20184.1过滤方程理论4.6在使用测地线条件期望预测最佳内在条件期望方面具有计算意义。这些影响体现在某些过滤问题的可计算解决方案中。理论4.6没有讨论一对耦合的M值信号过程X和观测过程Y的动力学，而是将X和Y局部线性化，然后在最终返回到（M，g）之前描述其欧几里德动力学。

此外，具体假设▄Xit=Ztfi（▄Xiu）du+Ztβi（u，▄Xiu）dBiu，▄Yit=Zuci（▄Xiu，▄Yiu）du+Ztαi（u，▄Yiu）dWiu，▄Xit，hLoggXgt-n（Xt），eiiRdYit，hLoggXgt-n（Yt），eiiRdBi⊥⊥ Wj，Bi⊥⊥ 北京，威斯康星州⊥⊥ Wj；i 6=j（4.7），其中bt和wt是独立的布朗运动，而▄Xit，▄yit满足通常的存在性和唯一性条件（例如参见【12，第22.1章】。这意味着xit只依赖于自身，而▄Yitdepends只依赖于一个Xitand本身。特别是，这意味着EphXitGti=EPhXitGtii，（4.8），其中Git是仅由▄Yit产生的过滤。使用这些动力学，测地条件期望Xgt、EgPhXextt动力学的不对称局部滤波方程ηexttc的Gtiin项可以推导出来，并在以下定理4.6的推论中求和。推论4.7（Asymp totic非欧几里德滤波器）。设M=Rd，用Xg表示xgT的ITH坐标，it，并假设假设4.1和A.7以及[12，第22.1章]中对x和y的假设。如果Xgtis P m-a.e.unique，intr insic ConditionalExpection Xgt的一个版本，EgPhXexttGTI必须满足SDEXg，it=lim7.→0+hExpgXgt-dXi=1Xi！，eiiRd+Zt“dXi=1*xiExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+RdEPfi（Xu）Giu+dXi，j=1*xixjExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+RdΞi，judu+ZtdXi=1*xiExpgXgt-dXi=1Xit！，ei+RdEPfi（Xu）GiudVu，（4.9）A.K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件化和过滤2018年9月7日，其中限制是关于LP（Gt；M）上的度量拓扑，过程Ξi，jt由Ξi，jt定义，EPh秀慈Giui公司- EPh▄秀GiuiEPhci（~秀）Giui公司EP公司Xjucj公司Gju公司- EP公司Xju公司Gju公司EP公司ci（Xju）Gju公司.证据证明推迟到附录中。推论4.7给出了一种使用经典欧几里德滤波方法获得非欧几里德条件期望SDE任意精度近似值的方法。

它是两个折叠式的，因为它需要前面的非欧几里德条件期望Xgt-计算下一个upd ate。实际上，xGT将被视为之前的渐近估计。下一节将研究非欧几里德滤波方法的数值性能。5数值结果为了评估推论4.7过滤方程的经验性能，考虑了苹果和谷歌股票截至2018年9月4日的1000个连续下跌价格。未观测信号过程XT是时间收盘价与观测过程Yt之间的协方差矩阵，是在7天移动窗口上生成的经验协方差矩阵。假设信号和观测过程Xt和Yt由方程（4.7）耦合。函数F和C被建模为确定性线性函数，而βi、αi被建模为常数。Xit=ZtAi，iXiudu+ZtCi，idBiuYit=ZtHi，iXiudu+ZtKi，idWiu，Yit，hLoggXgt-n（Yt），eiiRdXit，hLoggXgt-n（Xt），eiiRdBi⊥⊥ Wj，Bi⊥⊥ 北京，威斯康星州⊥⊥ Wj；i 6=j（5.1），其中A、B、C、H和K是可逆对角矩阵非零行列式。ben-chmark方法采用类似动力学，确保卡尔曼滤波器是随机滤波问题的解决方案。A、B、C、H和K的值使用最大似然估计进行估计。经典方法（KF）和建议方法（N-KF）也与[28]的非欧几里德卡尔曼滤波算法（N-KF-int）进行了对比。该算法提出了a。K ratsios，C。

Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日使用变换▄Xit、DLogg∑（Xt）、eiERd、▄Yit、DLogg∑（Yt）、eiERd、▄argmin∑在欧几里德空间中建模Xit和Yitbe的动力学∈P+DXj=1dg（σ，Ytj），其中∑是内禀黎曼重心（有关内禀均值的详细属性，请参见[6]），黎曼对数和经验函数是从MMrk的P+Dandnot的几何体中推导出来的，15是通过顺序验证选择的。与方程（4.7）不同，R iemannianlog和exp映射始终在s相同点∑附近执行，不会更新。这将反映在性能随时间逐渐下降的估计中。使用前15个经验协方差矩阵，从本质和外在两方面计算黎曼重心‘∑。P+上的非本征黎曼重心被定义为∑ext，Ex pgY的最小值Xj=1logy（Yj）.文献[28]中卡尔曼滤波算法的外在形式（N-KF-ext），通过▄Xit，DLogg∑ext（Xt），eiERd，▄Yit，DLogg∑ext（Yt），eiERd对线性化信号和观测过程建模。移动窗口的长度以最大化标准卡尔曼滤波器执行组件ise（EUC）性能的方式进行校准。通过对最初25%的数据进行序列验证，选择15个用于计算内禀均值的观测协方差矩阵。下表报告了这些发现。表1：有效投资组合提前一天预测γ=0γ=0.5γ=1ll∞ll∞ll∞N-KF 3.706e-01 3.366e-01 5.024e-01 4.613e-01 4.945e-01 4.540e-01EUC 6.174e-01 5.507e-01 7.662e-01 6.863e-01 7.690e-01 6.890e-01N-KF-int 5.724e-01 5.455e-01 7.769e-01 7.407e-01 7.776e-01 7.412e-01N-KF-01分机5.244e-01 4.804e-01 7.078e-01 6.515e-01 7.051e-01 6.497e-01表1通过评估预测投资组合权重的准确性来检查一天前的预测能力。

N-KF是本文提出的算法。N-KF-int是[28]基于[24]方法的算法，没有无迹变换。N-KF-int计算伊曼尼安对数u（·）和对数u（·）图，其中u是前15个观测值的内部平均值a。K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件和滤波2018年9月7日协方差矩阵和N-KF-ext与外部计算的平均值相同（有关黎曼流形上的内部和外部平均值的详细研究，请参见[6]）。使用以下两种方法，根据第二天的最佳投资组合权重评估一天的aheadpredicted权重l和l∞风险规避水平γ=0、0.5、1的投资组合的标准。根据每个绩效指标，使用本文介绍的Intrin-sic条件期望预测的有效投资组合表现最好。一种解释是，欧几里德方法忽略了所有的几何结构，而竞争的非欧几里德方法不更新其Expg（）和Logg（）变换的参考点。未能更新参考点会导致性能逐渐下降。当数据是静态的时，这种影响不像[24，23]中那样明显，但是数据的时间序列性质使得在数值上需要更新转换的参考点。表2直接检验了所有四种方法的协方差矩阵预测。弗罗布。最大模量Inf。

SpectralN KF 2.425e-04 1.988e-04 2.700e-04 2.345e-04EUC 5.043e-04 4.041e-04 5.525e-04 4.772e-04N-KF-int 4.321e-04 3.524e-04 4.817e-04 4.224e-04N-KF-ext 5.342e-04 4.200e-04 6.006e-04 5.219e-04表2：协方差矩阵预测比较考虑的性能指标为Frobenius、最大模量、，两支股票收盘价的预测协方差矩阵和实现未来协方差矩阵之间差异的现场和光谱矩阵范数。在表2中，所有非欧几里德方法都对提前一天预测的协方差矩阵进行了分量式经典欧几里德预测。协方差矩阵的预测不如有效投资组合权重的预测敏感，这很可能是由于Σ-1-1方程式（3.2）中出现的项，由于∑的值很小，对微小变化很敏感。表3：绩效指标的自举调整置信区间95 L平均值95 UFrob。最大4.70e-04 5.04e-04 5.43e-04。摩登派青年3.73e-04 4.04e-04 4.37e-04Inf。5.13e-04 5.52e-04 5.99e-04规范。4.42e-04 4.77e-04 5.16e-04（a）欧氏卡尔曼滤波器95 L均值95 UFrob。最大2.02e-04 2.42e-04 3.04e-04。摩登派青年1.61e-04 1.98e-04 2.53e-04Inf。2.25e-04 2.70e-04 3.36e-04规范。1.97e-04 2.34e-04 2.92e-04（b）渐近非欧几里德卡尔曼滤波器95 L均值95 UFrob。最大3.91e-04 4.32e-04 4.68e-04。摩登派青年3.18e-04 3.52e-04 3.91e-04Inf。4.38e-04 4.81e-04 5.26e-04规范。3.82e-04 4.22e-04 4.64e-04（c）非更新内禀重心95 L平均值95 UFrob。最大4.94e-04 5.34e-04 5.75e-04。摩登派青年3.88e-04 4.20e-04 4.56e-04Inf。5.55e-04 6.00e-04 6.46e-04规范。4.82e-04 5.21e-04 5.65e-04（d）非更新外部重心。K ratsios，C。Hyndman非欧几里德条件反射和过滤2018年9月7日表2和表3报告了各距离度量值前一天平均误差估计值的95%置信区间。